1.
Sở GD&ĐT Nghệ An
Trường THPT Quỳnh lưu 4
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC­ CAO ĐẲNG NĂM 2011­LẦN 2
Môn: Toán; Khối: A­B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
2 3( 1) 2 y x mx m x= + + - + (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0 m = .
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : 2 y xD = - + tại 3 điểm phân biệt (0;2) A ; B; C sao cho tam
giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1). M
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2 2
2sin sin 2 cos sin 2 1 2
4
x x x x cos x
pæ ö
- + = -ç ÷
è ø
2. Giải phương trình 3 2 2 3 3
2 10 17 8 2 5 x x x x x x- + - + = -
Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 2
; 2 y x y x= = - . Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ( 0) a > . Góc · ABC bằng 120 0
, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a= . Gọi ' C là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng ( )a đi qua ' AC
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại ', '. B D Tính thể tích khối chóp . ' ' ' S AB C D
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , a b c .Chứng minh rằng
( )
2 2 2 2
9 2 2 2
1 1 1
a b c a b c
b c a ab bc ca
+ +æ ö æ ö æ ö
+ + + + + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ + +è ø è ø è ø
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm trên đường thẳng
( ): 2 3 14 0 x yD - + = , cạnh BC song song với ( )D , đường cao CH có phương trình 2 1 0 x y- - = . Biết trung
điểm của cạnh AB là điểm ( 3;0) M - . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C.
2. Trong khong gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng 1 ( )a : 2 2 3 0 x y z- + - = ;
2 ( ): 2 2 3 0 x y za + - - = và đường thẳng
2 4
( ) :
1 2 3
x y z
d
+ -
= =
- -
. Lập phương trình mặt cầu (S) có
tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng 1 ( )a và 2 ( )a .
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 2 1
2
3 6 ; .
3
i
z i z z= - + = - có các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức
tương ứng là A, B. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng 1 2 3 , ,D D D lần lượt có phương trình 3 4 5 0 x y+ + = ,
4 3 5 0, 6 10 0. x y x y- - = - - = Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng 3D và
tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 ,D D .
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (4;2;1). E Giả sử ( )a là mặt phẳng đi qua E và cắt tia
Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P. Viết phương trình mặt phẳng ( )a khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3 3 log ( ) log 2
2 2
4 4 4
4 2 ( )
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
x y x x y
ì = +ï
í
+ + = + +ïî
­­­Hết­­­
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2.
Sở GD&ĐT Nghệ An
Trường THPT Quỳnh lưu 4
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN­THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC­ CAO ĐẲNG NĂM 2011­LẦN 2
Môn: Toán; Khối: A­B
Đáp án­ thang điểm gồm 4 trang
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
· Tập xác đinh: D R=
· Sự biến thiên:
­Chiều biến thiên: 2
' 3 3 y x= - , ' 0 1 y x= Û = ±
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1-¥ - và ( ) 1;+¥ ,nghịch biến trên ( ) 1;1-
­ Giới hạn: 3 3
lim ( 3 2) ; lim ( 3 2)
x x
x x x x
®-¥ ®+¥
- + = -¥ - + = +¥
0,25
­Bảng biến thiên:
x ­¥ ­1 1 +¥
' y + 0 ­ 0 +
y 4 +¥
­¥ 0
0.25
· Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( )D là: 3 2
2 3( 1) 2 2 x mx m x x+ + - + = - +
2
0 2
( ) 2 3 2 0(2)
x y
g x x mx m
= Þ =é
Û ê
= + + - =ë
0.25
Đường thẳng ( )D cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Û
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
% 2 2 1 ' 0 3 2 0
2 (0) 0 3 2 0
3
m hoacm
m m
g m m
ì > <D > ì - + >ì ï
Û Û Ûí í í
¹ - ¹ ¹î î ï
î
0,25
Gọi ( ) 1 1 ; B x y và ( ) 2 2 ; C x y , trong đó 1 2 , x x là nghiệm của (2); 1 1 2 y x= - + và 1 2 2 y x= - +
Ta có ( )
3 1 2
;( )
2
h d M
+ -
= D =
2 2.2 2
4
2
MBC S
BC
h
Þ = = =
Mà 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 BC x x y y x x x xé ù= - + - = + -ë û = 2
8( 3 2) m m- +
0.25
I
(2,0 điểm)
Suy ra 2
8( 3 2) m m- + =16 0 mÛ = (thoả mãn)hoặc 3 m = (thoả mãn)
0,25
1. (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đuơng với 2
2sin sin 2 cos sin 2 1 1 2
2
x x x x cos x
pæ ö
- + = + -ç ÷
è ø
2
2sin sin 2 cos sin 2 1 1 sin 2 x x x x x- + = +
0.25
I
(2,0 điểm)
( ) sin 2 2sin cos sin 2 1 0 x x x xÛ - - =
sin 2 0
2sin cos sin 2 1 0
x
x x x
=é
Û ê - - =ë
0,25

3.
3
3
1
2sin 1 0 sin
2
sin 2 0 ;
2
x x
k
x x k Z
p
é
- = Û =ê
ê
ê
= Û = Îêë
0.25
3
3
3
;
2
;
1 2
arcsin 2
1 2 sin ;
2 1
arcsin 2
2
k
x k Z
k
x k Z
x k
x k Z
x k
p
p
p
p p
é
= Îê
é ê= Îê ê
êÛ Û = +ê
ê = Î ê
êë ê
= - +ê
ë
0,25
2. (1,0 điểm)
Nhận thấy 0 x = không phải là nghiệm, chia cả hai vế phương trình cho x 3
, ta được
3
2 3 2
10 17 8 5
2 2
1 x x x x
- + - + =
-
Đặt
1
( 0) y y
x
= ¹ . Khi đó ta có 3 2 2 3
8 17 10 2 2 5 1 y y y y- + - = -
0.25
3 2 2 3
(2 1) 2(2 1) 5 1 2 5 1 y y y yÛ - + - = - + -
Suy ra ( ) 2 3
(2 1) 5 1 f y f y- = - , trong đó 3
( ) 2 f t t t= +
0,25
Do 3
( ) 2 f t t t= + là hàm đồng biến trên R nên ( ) 2 3
(2 1) 5 1 f y f y- = - Û 2 3
2 1 5 1 y y- = -
3 2 2
8 17 6 0 (8 17 6) 0 y y y y y yÛ - + = Û - + =
0.25
Giải ra tìm được 0 y = (loại);
17 97
16
y
±
=
17 97
12
xÞ =
m
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: 2 2
2 1 x x x= - Û = - hoặc 1 x =
0.25
Khi [ ] 1;1 xÎ - thì 2
2 0 x- ³ và đồ thị hàm số 2 2
; 2 y x y x= = - cùng nằm phía trên trục Ox
0,25
Vậy ( )
1
2 4
1
2 V x x dxp
-
= - -ò 0.25
=
1
3 5
1
44
2
3 5 15
x x
xp p
-
æ ö
- - =ç ÷
è ø
(đvtt) 0,25
Gọi O là giao điểm AC và BD; I là giao điểm SO
và AC’.
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng
song song cắt SB, SD lần lượt tại B’ và D’
Từ ( ) BD SAC^
' ' ( ) ' ' '. B D SAC B D ACÞ ^ Þ ^
0.25
III
(1,0 điểm)
IV
(1,0 điểm)
Ta có:
1
3 2 '
2
AC a SC a AC SC a= Þ = Þ = = 0,25
A
B
C
D
S
' C
D’
O
I
B’

4.
Do I là trọng tâm tam giác SAC
2 2
' ' .
3 3
a
B D BDÞ = =
2
' ' '
1
'. ' '
2 3
AB C D
a
S AC N DÞ = =
0.25
Vậy đường cao h của hình chóp . ' ' ' S AB C D chính là đường cao của tam giác đều
' SAC
3
2
a
hÞ =
3
. ' ' ' ' ' '
1 3
.
3 18
S AB C D AB C D
a
V h SÞ = = (đvtt)
0.25
Đặt biểu thức ở vế trái là M, áp dựng bbất đẳng thức 2 2 2 2 1
( )
3
x y z x y z+ + ³ + + ta được
2 2
1 2 2 2 1
1 1 1 3 2
3 3
a b c a b c
M
b c a b c a
é ùæ ö æ ö
³ + + + + + = + + +ç ÷ ç ÷ê ú
è ø è øë û
(1)
0,25
Áp dụng bất đẳng thức
( )
2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
+ +
+ + ³
+ +
, ta có
( )
2 2 2 2
a b c a b c a b c
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + + ³
+ +
. (2)
0.25
Đặt S =
( )
2
a b c
ab bc ca
+ +
+ +
, áp dụng bất đẳng thức 2 2 2
x y z xy yz zx+ + ³ + + suy ra 3. S ³
Từ (1) và (2) có 2 1
(3 2 )
3
M S³ +
0.25
V
(1,0 điểm)
Vậy
( )
2 2 2 2
9 2 2 2
1 1 1
a b c a b c
b c a ab bc ca
+ +æ ö æ ö æ ö
+ + + + + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷
+ +è ø è ø è ø
9 M SÛ ³
2
(3 2 ) 27 ( 3)(4 3) 0. S S S SÛ + ³ Û - - ³ luôn đúng vì 3 S ³ . Dấu bằng xảy ra khi a b c= =
0.25
1. (1,0 điểm)
Vì AB CH^ nên AB có phương trình: 2 0 x y c+ + = .
Do ( 3;0) M - ABÎ nên 6 c = . Vậy phương trình đuờng thẳng AB là: 2 6 0 x y+ + =
0.25
Do AÎD nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
2 3 14 0
( 4;2)
2 6 0
x y
A
x y
- + =ì
Þ -í
+ + =î
0.25
Vì ( 3;0) M - là trung điểm cạnh AB nên ( 2; 2) B - - .
Cạnh BC song song với D và đi qua B nên BC có phương trình: 2( 2) 3( 2) 0 x y+ - + =
2 3 2 0 x yÛ - - = .
0.25
Vậy toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
2 3 2 0
(1;0)
2 1 0
x y
C
x y
- - =ì
Þí
- - =î
0.25
2. (1,0 điểm)
Do tâm ( ) I dÎ nên ( ) 2 ; 2 ;4 3 I t t t- - - + . 0.25
Mặt cấu (S) tiếp xúc với ( 1a ) và ( 2a ) khi và chỉ khi ( ) ( ) 1 2 ;( ) ;( ) d I d Ia a= , thay vào ta giải
ra được 1 12 t = - hoặc 2
18
19
t = - .
0.25
Do đó ( ) 1 1 2 2
20 36 22 35
10;24; 32 35; ; ;
19 19 19 19
I R I R
æ ö
- Þ = - Þ =ç ÷
è ø
0.25
VIa
(2,0 điểm)
Vậy ta có hai mặt cầu toả mãn yêu cầu bài toán là:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1
2 2 2 2
2
( ): 10 24 32 35 ;
20 36 22 35
( ):
19 19 19 19
S x y z
S x y z
- + - + + =
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
0.25

5.
Ta có 2 1 65 AB z z= - = 0.25
1 45 OA z= = 0.25
2 20 OB z= = 0.25
VIIa
(1,0 điểm)
Suy ra 2 2 2
OA OB AB+ = nên · 0
90 AOB = 0.25
1. (1,0 điểm)
Do ( ) 3 6 10; I I a aÎ D Þ + . 0.25
Ta có ( ) ( ) 1 2 ; ; d I d I RD = D = 0.25
0 aÛ = hoặc
70
43
a = -
0.25
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( )
2 2 2
2 2
1 2
10 70 7
( ) : 10 49;( ) :
43 43 43
C x y C x y
æ ö æ ö æ ö
- + = - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
0.25
2. (1,0 điểm)
Giả sử ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; M m N n P p (p>0),
suy ra phương trình mặt phẳng ( ) MNP là: 1
x y z
m n p
+ + = .
0.25
( ) 3
3
4 2 1 6
4;2;1 ( ) 1 6 E MNP mnp
m n p mnp
Î Þ = + + ³ Þ ³
0.25
1 4 2 1
36 min 36
6
OMNP OMNP V mnp V
m n p
Þ = ³ Þ = Û = = .
0.25
VIb
(2,0 điểm)
Vậy phương trình mặt phẳng ( )a cần tìm là: 1
12 6 3
x y z
+ + =
0.25
Điều kiện:
0
3 0
xy
x y
>ì
í
+ >î
Từ phương trình thứ nhất biến đổi tương đương ta có: 3 3 log log
4 2 2 0 xy xy
- - =
0.25
Đặt 3 log
2 ( 0) xy
t t= > , phương trình trở thành: 2
2 0 t t- - = 2 tÞ = 3 log 1 3 xy xyÞ = Û = (3) 0.25
Từ phương trình thứ hai biến đổi tương đương ta có: ( ) ( ) 2 2
4 4 log 4 log 2 3 x y x x yé ù é ù+ = +ë ûë û
Û ( ) ( ) 2 2
4 2 3 x y x x y+ = + 2 2
2 3 x y xyÛ + = (4)
0.25
VIIb
(1,0 điểm)
Từ (3), (4) giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình là: ( ) 6
3; 3 ; 6;
2
æ ö
ç ÷ç ÷
è ø
.
0.25
­­­­­­Hết­­­­­
Giáo viên
Trương Xuân Sơn
Sở GD&ĐT Nghệ An
Trường THPT Quỳnh lưu 4
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC­ CAO ĐẲNG NĂM 2011­LẦN 2
Môn: Toán; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

6.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
2 3( 1) 2 y x mx m x= + + - + (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0 m = .
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : 2 y xD = - + tại 3 điểm phân biệt (0;2) A ; B; C sao cho tam
giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1). M
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 2 2
2sin sin 2 cos sin 2 1 2
4
x x x x cos x
pæ ö
- + = -ç ÷
è ø
2. Giải phương trình ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 3 0
x x
+ - - - =
Câu III (1,0 điểm) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 2
; 2 y x y x= = - . Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ( 0) a > . Góc · ABC bằng 120 0
, cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a= . Gọi ' C là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng ( )a đi qua ' AC
và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại ', '. B D Tính thể tích khối chóp . ' ' ' S AB C D
Câu V (1,0 điểm) Giả sử , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4 4 a c c
P
b c a c a b a b c
= + +
+ - + - + -
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm trên đường thẳng
( ): 2 3 14 0 x yD - + = , cạnh BC song song với ( )D , đường cao CH có phương trình 2 1 0 x y- - = . Biết trung
điểm của cạnh AB là điểm ( 3;0) M - . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C.
2. Trong khong gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng 1 ( )a : 2 2 3 0 x y z- + - = ;
2 ( ): 2 2 3 0 x y za + - - = và đường thẳng
2 4
( ) :
1 2 3
x y z
d
+ -
= =
- -
. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I
thuộc (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng 1 ( )a và 2 ( )a .
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hai số phức 1 2 1
2
3 6 ; .
3
i
z i z z= - + = - có các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức
tương ứng là A, B. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đường thẳng 1 2 3 , ,D D D lần lượt có phương trình 3 4 5 0 x y+ + = ,
4 3 5 0, 6 10 0. x y x y- - = - - = Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng 3D và
tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 ,D D .
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (4;2;1). E Giả sử ( )a là mặt phẳng đi qua E và cắt tia
Ox tại M, tia Oy tại N, tia Oz tại P. Viết phương trình mặt phẳng ( )a khi tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3 3 log ( ) log 2
2 2
4 4 4
4 2 ( )
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
x y x x y
ì = +ï
í
+ + = + +ïî
­­­Hết­­­
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………………………………….; số báo danh:…………………………….

7.
Sở GD&ĐT Nghệ An
Trường THPT Quỳnh lưu 4
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN­THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC­ CAO ĐẲNG NĂM 2011­LẦN 2
Môn: Toán; Khối: D
Đáp án­ thang điểm gồm 4 trang
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
· Tập xác đinh: D R=
· Sự biến thiên:
­Chiều biến thiên: 2
' 3 3 y x= - , ' 0 1 y x= Û = ±
0.25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1-¥ - và ( ) 1;+¥ , nghịch biến trên ( ) 1;1-
­ Giới hạn: 3 3
lim ( 3 2) ; lim ( 3 2)
x x
x x x x
®-¥ ®+¥
- + = -¥ - + = +¥
0,25
­Bảng biến thiên:
x ­¥ ­1 1 +¥
' y + 0 ­ 0 +
y 4 +¥
­¥ 0
0.25
· Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( )D là: 3 2
2 3( 1) 2 2 x mx m x x+ + - + = - +
2
0 2
( ) 2 3 2 0(2)
x y
g x x mx m
= Þ =é
Û ê
= + + - =ë
0.25
Đường thẳng ( )D cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Û
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
% 2 2 1 ' 0 3 2 0
2 (0) 0 3 2 0
3
m hoacm
m m
g m m
ì > <D > ì - + >ì ï
Û Û Ûí í í
¹ - ¹ ¹î î ï
î
0,25
Gọi ( ) 1 1 ; B x y và ( ) 2 2 ; C x y , trong đó 1 2 , x x là nghiệm của (2); 1 1 2 y x= - + và 1 2 2 y x= - +
Ta có ( )
3 1 2
;( )
2
h d M
+ -
= D =
2 2.2 2
4
2
MBC S
BC
h
Þ = = =
Mà 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 4 BC x x y y x x x xé ù= - + - = + -ë û = 2
8( 3 2) m m- +
0.25
I
(2,0 điểm)
Suy ra 2
8( 3 2) m m- + =16 0 mÛ = (thoả mãn)hoặc 3 m = (thoả mãn)
0,25
1. (1,0 điểm) I
(2,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đuơng với 2
2sin sin 2 cos sin 2 1 1 2
2
x x x x cos x
pæ ö
- + = + -ç ÷
è ø
2
2sin sin 2 cos sin 2 1 1 sin 2 x x x x x- + = +
0.25

8.
( ) sin 2 2sin cos sin 2 1 0 x x x xÛ - - =
sin 2 0
2sin cos sin 2 1 0
x
x x x
=é
Û ê - - =ë
0,25
3
3
1
2sin 1 0 sin
2
sin 2 0 ;
2
x x
k
x x k Z
p
é
- = Û =ê
ê
ê
= Û = Îêë
0.25
3
3
3
;
2
;
1 2
arcsin 2
1 2 sin ;
2 1
arcsin 2
2
k
x k Z
k
x k Z
x k
x k Z
x k
p
p
p
p p
é
= Îê
é ê= Îê ê
êÛ Û = +ê
ê = Î ê
êë ê
= - +ê
ë
0,25
2. (1,0 điểm)
Phương trình tương đương với ( ) ( )
2
2 1 2 2 1 3 0
x x
+ - - - =
0.25
Đặt ( ) ( ) 1
2 1 ( 0) 2 1
x x
t t
t
= + > Þ - = 0,25
Phương trình trở thành 2 3 2
3 0 3 2 0 t t t
t
- - = Þ - - =
0.25
Giải ra ta có nghiệm của phương trình là: 2 1
log 2 x +
=
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là: 2 2
2 1 x x x= - Û = - hoặc 1 x =
0.25
Khi [ ] 1;1 xÎ - thì 2
2 0 x- ³ và đồ thị hàm số 2 2
; 2 y x y x= = - cùng nằm phía trên trục Ox
0,25
Vậy ( )
1
2 4
1
2 V x x dxp
-
= - -ò 0.25
=
1
3 5
1
44
2
3 5 15
x x
xp p
-
æ ö
- - =ç ÷
è ø
(đvtt) 0,25
Gọi O là giao điểm AC và BD; I là giao điểm SO
và AC’.
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng
song song cắt SB, SD lần lượt tại B’ và D’
Từ ( ) BD SAC^
' ' ( ) ' ' '. B D SAC B D ACÞ ^ Þ ^
0.25
Ta có:
1
3 2 '
2
AC a SC a AC SC a= Þ = Þ = =
Do I là trọng tâm tam giác SAC
2 2
' ' .
3 3
a
B D BDÞ = =
0,25
III
(1,0 điểm)
IV
(1,0 điểm)
2
' ' '
1
'. ' '
2 3
AB C D
a
S AC N DÞ = =
0.25
A
B
C
D
S
' C
D’
O
I
B’

9.
Vậy đường cao h của hình chóp . ' ' ' S AB C D chính là đường cao của tam giác đều
' SAC
3
2
a
hÞ =
3
. ' ' ' ' ' '
1 3
.
3 18
S AB C D AB C D
a
V h SÞ = = (đvtt)
0.25
Đặt , , x b c a y c a b z a b c= + - = + - = + - ( 0, 0, 0 x y z> > > )
Khi đó , ,
2 2 2
y z z x x y
a b c
+ + +
= = =
0,25
Ta có
4( ) 4( ) 4( ) 4 9 4 16 9 16
2
2 2 2
y z z x x y y x z x z y
P
x y x z y z
æ ö æ ö+ + + æ ö
= + + = + + + + +ç ÷ ç ÷ç ÷
è øè ø è ø
0.25
Áp dụng bất đẳng thứcAM­GM, ta được:
4 9 4 16 9 16
2 2 . 2 . 2 . 52
y x z x z y
P
x y x z y z
³ + + =
0.25
V
(1,0 điểm)
26. PÞ ³ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 26.
Đạt được .
2 3 4
x y z
Û = =
0.25
1. (1,0 điểm)
Vì AB CH^ nên AB có phương trình: 2 0 x y c+ + = .
Do ( 3;0) M - ABÎ nên 6 c = . Vậy phương trình đuờng thẳng AB là: 2 6 0 x y+ + =
0.25
Do AÎD nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
2 3 14 0
( 4;2)
2 6 0
x y
A
x y
- + =ì
Þ -í
+ + =î
0.25
Vì ( 3;0) M - là trung điểm cạnh AB nên ( 2; 2) B - - .
Cạnh BC song song với D và đi qua B nên BC có phương trình: 2( 2) 3( 2) 0 x y+ - + =
2 3 2 0 x yÛ - - = .
0.25
Vậy toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
2 3 2 0
(1;0)
2 1 0
x y
C
x y
- - =ì
Þí
- - =î
0.25
2. (1,0 điểm)
Do tâm ( ) I dÎ nên ( ) 2 ; 2 ;4 3 I t t t- - - + . 0.25
Mặt cấu (S) tiếp xúc với ( 1a ) và ( 2a ) khi và chỉ khi ( ) ( ) 1 2 ;( ) ;( ) d I d Ia a= , thay vào ta giải
ra được 1 12 t = - hoặc 2
18
19
t = - .
0.25
Do đó ( ) 1 1 2 2
20 36 22 35
10;24; 32 35; ; ;
19 19 19 19
I R I R
æ ö
- Þ = - Þ =ç ÷
è ø
0.25
VIa
(2,0 điểm)
Vậy ta có hai mặt cầu toả mãn yêu cầu bài toán là:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1
2 2 2 2
2
( ): 10 24 32 35 ;
20 36 22 35
( ):
19 19 19 19
S x y z
S x y z
- + - + + =
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
0.25
Ta có 2 1 65 AB z z= - = 0.25
1 45 OA z= = 0.25
2 20 OB z= = 0.25
VIIa
(1,0 điểm)
Suy ra 2 2 2
OA OB AB+ = nên · 0
45 AOB = 0.25
1. (1,0 điểm)
Do ( ) 3 6 10; I I a aÎ D Þ + . 0.25
Ta có ( ) ( ) 1 2 ; ; d I d I RD = D = 0.25
VIb
(2,0 điểm)
0 aÛ = hoặc
70
43
a = -
0.25

10.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( )
2 2 2
2 2
1 2
10 70 7
( ) : 10 49;( ) :
43 43 43
C x y C x y
æ ö æ ö æ ö
- + = - + - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
0.25
2. (1,0 điểm)
Giả sử ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; M m N n P p (p>0),
suy ra phương trình mặt phẳng ( ) MNP là: 1
x y z
m n p
+ + = .
0.25
( ) 3
3
4 2 1 6
4;2;1 ( ) 1 6 E MNP mnp
m n p mnp
Î Þ = + + ³ Þ ³
0.25
1 4 2 1
36 min 36
6
OMNP OMNP V mnp V
m n p
Þ = ³ Þ = Û = = .
0.25
Vậy phương trình mặt phẳng ( )a cần tìm là: 1
12 6 3
x y z
+ + =
0.25
Điều kiện:
0
3 0
xy
x y
>ì
í
+ >î
Từ phương trình thứ nhất biến đổi tương đương ta có: 3 3 log log
4 2 2 0 xy xy
- - =
0.25
Đặt 3 log
2 ( 0) xy
t t= > , phương trình trở thành: 2
2 0 t t- - = 2 tÞ = 2 log 1 2 xy xyÞ = Û = (3) 0.25
Từ phương trình thứ hai biến đổi tương đương ta có: ( ) ( ) 2 2
4 4 log 4 log 2 3 x y x x yé ù é ù+ = +ë ûë û
Û ( ) ( ) 2 2
4 2 3 x y x x y+ = + 2 2
2 3 x y xyÛ + = (4)
0.25
VIIb
(1,0 điểm)
Từ (3), (4) giải ra ta có nghiệm của hệ phương trình là: ( ) 6
3; 3 ; 6;
2
æ ö
ç ÷ç ÷
è ø
.
0.25
­­­­­­Hết­­­­­
Giáo viên
Trương Xuân Sơn