1. Gv : Nguy n Thúy Hà
Së GD & §T Phó Thä §Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011
Tr−êng THPT YÓn Khª M«n: TOÁN; Kh i : A, B
Th i gian làm bài: 180 phút không k th i gian phát ñ
Câu I (2.0 ñi m)
Cho hàm s 4 21 1
y x x 1
4 2
= − + .
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s .
2. Tìm ñi m M thu c (C) sao cho t ng kho ng cách t ñi m M ñ n hai tr c t a ñ là nh nh t.
Câu II ( 2.0 ñi m)
1. Gi i phương trình: cos8x + 3cos4x + 3cos2x = 8cosx.cos3
3x –
2
1
2. Gi i h phương trình :
=−−−
=+−+
38923
143
22
22
yxyx
yxyx
Câu III (1.0 ñi m)
Tính tích phân
( )( )
1
x 2
1
dx
1 e 1 x− + +∫
Câu IV (1.0 ñi m)
Cho hình chóp t giác ñ u có ñ dài c nh ñáy b ng a, c nh bên b ng
2
5a
. Tính góc t o b i
m t bên v i m t ñáy và th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp ñó.
Câu V ( 1.0 ñi m)
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c:
xx
xx
y 24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
=
Câu VI (2.0 ñi m)
1. Trong m t ph ng t a ñ (Oxy) cho hình bình hành ABCD v i A(1, 1); B(4, 5). Tâm I c a
hình bình hành thu c ñư ng th ng d: x + y + 3 = 0. Tìm t a ñ ñ nh C, D bi t r ng di n tích hình
bình hành ABCD b ng 9.
2. Trong h tr c t a ñ (Oxyz) cho A(1, 1, 1), B(2, 0, 6), C (3, 2, 0) và D(7, 4, 2). L p
phương trình m t ph ng (P) ñi qua A, B và cách ñ u C, D.
Câu VII (1.0 ñi m)
Cho các s th c x, y, z th a mãn: 1333 =++ −−− zyx
. Ch ng minh r ng:
4
333
33
9
33
9
33
9 zyx
xyz
z
zxy
y
zyx
x
++
≥
+
+
+
+
+ +++
-----------------H t-----------------
Thí sinh không ñư c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm
H và tên thí sinh.................................................... ; S báo danh ........................
§Ò chÝnh thøc
CHƯƠNG TRÌNH CHU N
Thi thử Đại học www.toanpt.net
2. Gv: Nguy n Thúy Hà-THPT Y n Khê
S GD & ðT PHÚ TH ðÁP ÁN-THANG ðI M
TRƯ NG THPT Y N KHÊ §Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011
ð CHÍNH TH C
CHƯƠNG TRÌNH CHU N
Môn : TOÁN; Kh i : A, B
CÂU ðÁP ÁN ðI M
1.(1 ñi m) Kh o sát…
+) T p xác ñ nh: D= R
+) S bi n thiên:
- Chi u bi n thiên: xxy −=′ 3
; 10 ±=⇔=′ xy ho c .0=x
0,25
Hàm s ñ ng bi n trên các kho ng (-1;0) và (1; ∞+ ); ngh ch bi n trên
kho ng ( 1;−∞− ) và (0;1).
- C c tr : Hàm s ñ t c c ti u t i
4
3
,1 =±= CTyx ; ñ t c c ñ i t i
1,0 == Cðyx
- Gi i h n: +∞==
+∞→−∞→ xx
limlim
0,25
- B ng bi n thiên:
x ∞− -1 0 1 ∞+
y′ - 0 + 0 - 0 +
y ∞+ 0 ∞+
4
3
4
3
0,25
+) ð th :
f(x)=(1/4)x^4-(1/2)x^2+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0,25
2. (1,0 ñi m): Tìm ñi m M…
ð th ( C) c t Oy t i A(0;1), nên t ng các kho ng cách t A ñ n hai tr c t a ñ
b ng 1. ð th hàm s có hai ñi m c c ti u (
4
3
;1− ), (
4
3
;1 ) và nh n tr c Oy làm
tr c ñ i x ng, nên ta ch c n xét M ( ) ( )Cyx ∈00 ; và 10 0 ≤≤ x
0,5
T ng các kho ng cách t M ñ n hai tr c t a ñ là:
( ) 112
2
1
4
1
1
2
1
4
1
00
4
0
2
0
4
000000 ≥+−+=+−+=+=+ xxxxxxyxyx
0,5
I(2ñi m)
V i m i x0: 10 0 ≤≤ x , ñ ng th c x y ra khi và ch khi x0 = 0 ⇒ y0 = 1.
V y ñi m M (0;1)
II(2ñi m) 1. (1 ñi m): Gi i phương trình…
3. Gv: Nguy n Thúy Hà-THPT Y n Khê
Phương trình ñã cho tương ñương v i phương trình:
( )
2
1
3cos39coscos22cos34cos38cos −+=++ xxxxxx
2
1
3cos.cos69cos.cos22cos34cos38cos −+=++⇔ xxxxxxx
0,5
Zk
k
xkxx
xxxxxxx
∈+±=⇔+±=⇔=⇔
−++=+⇔
,
530
2
3
10
2
1
10cos
2
1
cos.3cos68cos10coscos.3cos68cos
ππ
π
π
0,5
2.( 1 ñi m): Gi i h pt…
=+−+
=+
⇔
=−−−
=+−+
⇔
=−−−
=+−+
143
0205
38923
312933
38923
143
22
2
22
22
22
22
yxyx
yy
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
0,5
−=
±
=
=
±
=
⇔
=+−+
−=
=
⇔
4
2
133
0
2
133
143
4
0
22
y
x
y
x
yxyx
y
y
V y nghi m c a h là:
−
±
±
4;
2
133
;0;
2
133
0,5
( 1 ñi m): tính tích phân
Ta có
( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ ++
+
++
=
++
=
−−
1
0 2
0
1 2
1
1 2
111111 xxx
ex
dx
ex
dx
ex
dx
I
Xét
( )( )∫− ++
=
0
1 2
11 x
ex
dx
J , ð t dxdtxt =⇒−=
Khi 11,00 =⇒−==⇒= txtx . Khi ñó
( )( )∫ ++
=
1
0 2
11 t
t
et
dte
J
0,5
III(1ñi m)
∫ +
=⇒
1
0 2
1 x
dx
I , ð t ;
cos
1
tan 2
du
u
dxux =⇒=
V i
4
1;00
π
=⇒==⇒= uxux . Khi ñó
4
0
44
0
π
ππ
=== ∫ uduI
0,5
(1 ñi m)…IV(1ñi m)
G i H là tâm c a ñáy ABCD, ta có SH⊥ (ABCD); M là trung ñi m c a BC thì
BC⊥ (SMH), do các m t bên t o v i ñáy cùng m t góc, nên góc SMH b ng góc
t o b i m t bên v i ñáy.
Ta có: SH =
2
322 a
AHSA =− , HM =
2
a
0SH
tanSMH 3 SMH 60
SM
⇒ = = ⇒ =
0,5
Hình chóp S.ABCD ñ u, nên tâm I c a kh i c u ngo i ti p hình chóp là giao
c a ñư ng th ng SH v i m t ph ng trung tr c c a m t c nh bên nào ñó c a hình
chóp.
0,5
4. Gv: Nguy n Thúy Hà-THPT Y n Khê
G i N là trung ñi m c a SC, thì IN là trung tr c c a SC. Suy ra SNI∆ ñ ng
d ng v i SHC∆
34
5a
SIR ==⇒
V y V=
432
3125
3
4 3
3 π
π
a
R =
N
M
H
C
A B
D
S
I
(1 ñi m):tính GTLN…
( )
( ) 3cos4cos3
4cos4cos3
cos2cos13
cos14cos3
24
24
222
24
+−
+−
=
+−
−+
=
xx
xx
xx
xx
y 0,25
ð t
3
5
3
5
3
2
cos33cos4cos3
2
224
≥+
−=+−= xxxt , mà 1cos0 2
≤≤ x nên
ñi u ki n c a t là 3
3
5
≤≤ t . Khi ñó
t
t
y
1+
= (1), v i 3
3
5
≤≤ t .
Bài toán tr thành tìm GTLN, GTNN c a hàm s (1) trên ño n [ 3;
3
5
]
0,25
V(1 ñi m)
Trên ño n [ 3;
3
5
], ta có 0
1
2
<
−
=′
t
y
V y =
3;
3
5
Maxy
5
8
3
5
=
y ; ( )
3
4
3
3;
3
5
==
yMin 0,5
1 (1 ñi m): …
VI(1ñi m)
Ta có ( )4;3=AB , ðư ng th ng có d ng : 0134 =−− yx
Vì dI ∈ , nên t a ñ ( )3; 00 −−xxI ⇒t a ñ c a C( )72;12 00 −−− xx
Di n tích c a hình bình hành ABCD là : S=2 ( )ABCdABS ACB ,.=∆
AB = 5,
( )
5
1614
,
0 +
=
x
ABCd
5
1614
.5
0 +
=⇒
x
S =9
−=
−
=
⇔=+⇔
14
25
2
1
91614
0
0
0
x
x
x
0,5
5. Gv: Nguy n Thúy Hà-THPT Y n Khê
V i ( )6;2
2
1
0 −−⇒−= Cx , và ( )10;5
2
5
;
2
1
−−⇒
−− DI
V i ,
7
24
;
7
32
14
25
0
−−⇒−= Cx và
−−⇒
−−
7
52
;
7
53
14
17
;
14
25
DI
0,5
2(1 ñi m)…
G i m t ph ng (P) có phương trình : 0=+++ dczbyax . Vì m t ph ng (P) ñi
qua A (1;1;1) và B(2;0;6) nên ta có :
=++
=+++
062
0
dca
dcba
(I)
M t khác (P) cách ñ u C và D nên ta có d(C,(P)) = d(D,(P))
T c là:
=+++
=++
⇔+++=++
035
02
24723
dcba
cba
dcbadba (II)
0,5
Ch n c = 1 và t (I) và (II) ta có:
−=
=
−=
−=
=
−=
⇔
−=++
−=+
−=++
−=+
−=+
−=++
3
8
3
10
3
5
2
3
2
135
62
1
12
62
1
d
b
a
d
b
a
dba
da
dba
ba
da
dba
V y m t ph ng (P) c n tìm là: 0232 =−++− zyx và 083105 =−++− zyx
0,5
(1 ñi m)…
VII(1ñi m)
ð t zyx
cba 3;3;3 ===
Theo gi thi t ta có a, b, c > 0 và abccabcab =++ (1)
B t ñ ng th c c n ch ng minh:
4
4
2
3
2
3
2
3
222
cba
abcc
c
abcb
b
abca
a
cba
abc
c
cab
b
bca
a
++
≥
+
+
+
+
+
⇔
++
≥
+
+
+
+
+
Thay abc vào b t ñăng th c ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
333
cba
bcac
c
abcb
b
caba
a ++
≥
++
+
++
+
++
0,5
Áp d ng BðT cô si cho 3 s dương ta có: 0,5
6. Gv: Nguy n Thúy Hà-THPT Y n Khê
( )( )
( )( )
( )( ) 4
3
64
.3
88
4
3
64
.3
88
4
3
64
.3
88
3
33
3
33
3
33
ccbcac
bcac
c
bbabcb
abcb
b
aacaba
caba
a
=≥
+
+
+
+
++
=≥
+
+
+
+
++
=≥
+
+
+
+
++
C ng ba b t ñ ng th c cùng chi u trên ta có ðPCM
