SỞ GD­ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CỔ LOA
­­­­e&f­­­­
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 ­ NĂM 2012
MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1, B, D
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2
3 ( 1) 1 y x x m x= - + + + (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = ­1
2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng d: 1 y x= + tại ba điểm phân biệt A(0;1),
B, C sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC bằng
65
2
, với O là gốc tọa độ.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
3 2
os os
2
1 sin
c x c x
x
+
=
-
2. Giải phương trình 2 2 3
15 2 3 8 x x x+ + = + +
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
( )
2
1
2
2 2
x
I dx
x x x
+
=
+ - -
ò .
Câu IV (1 điểm) Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Tam giác SAC vuông cân tại S nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt đáy, SA= 2 a . Điểm M thuộc đoạn thẳng SA thỏa mãn SM=2MA, điểm G là trọng
tâm tam giác ABC. Góc giữa đường SB và mặt phẳng (SAC) bằng 60 o
. Tính thể tích khối tứ diện SMGC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng MG và SC.
Câu V (1 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz x z y+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 3
1 1 1
P
x y z
= - +
+ + +
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ( ) 4; 1 A - , đường trung tuyến từ B có phương trình
8 3 0 x y- - = , đường phân giác trong góc C có phương trình 1 0 x y- - = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z - 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và điểm (1; 1; 1) A - - .
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời đường
thẳng d cắt hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt tại M, N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN.
Câu VII.a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn
w 2 z i= + + và 1 2 1 z i- + =
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng : 2 1 0 d mx y m- - + = và đường tròn C):( ) ( )
2 2
1 2 5. x y- + - = Tìm
m để đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biết A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D vuông góc với mặt phẳng (P):
7 4 1 0 x y z+ - + = và cắt cả hai đường thẳng 1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
- +
= =
-
, 2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
= - +ì
ï
= +í
ï =î
Câu VII.b (1 điểm) Tìm phần thực của số phức z biết 2 2012
1 ... z i i i= + + + +
­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­
Thi thử Đại học www.toanpt.net

ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1) (1 điểm). Khảo sát hàm số...
m= ­1 ta có: 3 2
3 1 y x x= - +
· Tập xác định: ¡
· Sự biến thiên
lim , lim
x x
y y
®-¥ ®+¥
= -¥ = -¥
0,25
­ Chiều biến thiên: 2
' 3 6 y x x= - ;
0
' 0
2
x
y
x
=é
= Û ê =ë
Bảng biến thiên
X -¥ 0 2 +¥
y’ + 0 ­ 0 +
1 +¥
Y
-¥ ­3
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 , 2;-¥ +¥ , nghịch biến trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại 0, 1 CD x y= = . Hàm số đạt cực tiểu tại 2, 3 CT x y= = -
0,25
· Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (­1; ­3), (3; 1) và nhận I(­1; 1) làm điểm uốn
0,25
2) (1 điểm)
Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d là nghiệm phương trình
3 2
2
0
3 ( 1) 1 1
3 0(2)
x m
x x m x x
x x m
= "é
- + + + = + Û ê
- + =ë
Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Û phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x khác 0
{ }
9
; 0
4
m
æ ö
Û Î -¥ç ÷
è ø
(*)
0,25
Với điều kiện (*), hai đồ thị cắt nhau tại A(0; 1), ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 1 , ; 1 B x x C x x+ +
( ) ( ) , ,
1 . .
. 2 . .
2 4
OBC O d O d
OB OC BC
S d BC R d OB OC
R
D = = Þ =
0,25
Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
65 1
2 . 1 . 1 65 2 2 1 2 2 1
2 2
x x x x x x x x= + + + + Û = + + + +
( ) ( ) 2 2
1 1 1 2 2 2 65 2 3 8 1 2 2 3 8 1 2 x x m x m x x m x mé ù é ùÛ = - + + + - - + + + -ë û ë û
( )( ) 1 2 65 8 1 2 8 1 2 x m x mÛ = + - + - vì 1 2 , x x là nghiệm của phương trình (2)
( )
2
1 2 1 2 65 64 8(1 2 )( ) 1 2 x x m x x mÛ = + - + + -
0,25
I
(2điểm)
Theo viet 1 2
1 2
3 x x
x x m
+ =ì
í
=î
ta có 2 2( / )
3 10 0
5( / )
m t m
m m
m t m
=é
+ - = Û ê = -ë
0,25
4
2
2
4
6
5

1) (1 điểm).
Điều kiện: sin 1 2
2
x x k
p
p¹ Û ¹ +
( )
( )( )
2
cos 1 cos
2 1 sin 1 cos 2 sin cos sin cos 1 0
1 sin
x x
x x x x x x
x
+
= Û + + = Û + + - =
-
0,25
Đặt sin cos 2 sin
2
t x x x
pæ ö
= + = +ç ÷
è ø
, 2; 2 t é ùÎ -ë û ,
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=
Phương trình trên trở thành:
2
1( / ) 1
1 0
3( ai) 2
t t m t
t
t lo
=é-
+ - = Û ê = -ë
0,25
Với 1 t = ta có
2
1
sin
4 2 2
2
x k
x
x k
p
p
p
p
=é
æ ö ê+ = Ûç ÷ ê = +è ø
ë
k ΢ 0,25
Kết hợp với điều kiên được nghiệm của phương trình là 2 x k p= ( ) Z k Î 0,25
2) (1 điểm).
2 2 3
15 8 2 3 x x x+ - + + = (1)
Vì 2 2
15 8 2 0 x x+ - + + > x" Ρ nên 0 x >
0,25
(1) 2 2 3
3 8 15 2 x x x+ + - + =
Xét hàm số 2 2 3
( ) 3 8 15 f x x x x= + + - + trên khoảng ( ) 0;+¥
( ) 3 2 2 2
1
'( ) 0 0;
8 15
x x
f x x
x x x
= + - > " Î +¥
+ +
nên f(x) đồng biến trên ( ) 0;+¥
0,5
II
(2điểm)
Mà f(1)=0 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1,
0,25
( ) 2 2 2
2 2
1 1
2 2 2 2 4
2 2
x x x x x
I dx dx
x x
+ + + - + + -
= =ò ò 0,25
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 1 1 4 1 1 4 1 1 4
ln ln 2
1 2 2 2 2 2 2 2
x x x
dx x dx dx
x x x x x x
æ ö- - -æ ö
= + + = - + + = + +ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
ò ò ò 0,25
Xét
2 2
2
1
4
2
x
F dx
x
-
= ò Đặt 2sin 2cos x t dx tdt= Þ = ;
2 2
t
p pæ öé ù
Î -ç ÷ê úë ûè ø
Đổi cận 1
6
x t
p
= Þ = ; 2
2
x t
p
= Þ = Ta có
2 2
2
6
1 os
2 sin
c t
F dt
t
p
p
= ò
0,25
III
(1điểm)
( )
2
2
6
1 1 1 3 2
1 cot
2 sin 2 2 6
6
dt t t
t
p
p
p
p
p
æ ö
= - = - + = -ç ÷
è ø
ò
Vậy I = 1 1 3
ln 2
2 2 2 6
p
+ + -
0,25
IV
(1điểm)
Gọi I BD AC =Ç ,
( ) ( )
( )
SI AC
SI ABCD
SAC ABCD
^ìï
Þ ^í
^ïî
, ( ) BI AC BI SI BI SAC^ ^ Þ ^
0,25
I
A
B
C
D
S
G
M
N
K
H

Góc giữa SB và (SAC) bằng góc 60 o
BSIÐ =
2 2
2 AC SA SC a= + = ;
2
AC
SI a= = ; tan60 3 o
BI SI a= =
3
1 1 3 1 2 2 2 3
. . . . . 2
3 3 3 2 3 27
GMSC SMC
a a a
V GI S aD= = = (đvtt)
0,25
Lấy M thuộc đoạn thẳng SB thỏa mãn SN=2NB
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , ,
/ / 4
/ /
/ / 3 MG SC MNG SCD G SCD I SCD
MN CD
MNG SCD d d d d
NG SD
ì
Þ Þ = = =í
î
0,25
Kẻ ( )( ) ,
; ( ) I SCD
IK CD IH SK IH SCD d IH^ ^ Þ ^ Þ =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 21
7
a
IH
IH SI KI SI IC ID
= + = + + Þ =
Vậy ( ) ,
4 21
21 MG SC
a
d =
0,25
Ta có 1
x z
xz
y y
+ + = . Đặt
1
tan ; tan ; tan
2 2 2
x z
y
a b g
= = = vì , , 0 x y z > nên ( ) , , 0;a b g pÎ
Khi đó tan tan tan tan tan tan 1 cot tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b g g a a b gæ ö
+ + = Û = +ç ÷
è ø
a b g pÞ + + =
0,25
Biến đổi 2 2 2
2cos 2sin 3cos
2 2 2
P
a b g
= - + 0,25
= 2
3sin 2sin os 3
2 2 2
c
g g a b-
- + +
=
2
2 1 1 10
3 sin os os 3
2 3 2 3 2 3
c c
g a b a b- -æ ö
- - + + £ç ÷
è ø
0,25
V
(2điểm)
os 1
10 1 1 2 ; 2;
1 3 2 2 2
sin
2 3
c
MinP x y z
a b
g
-ì
=ïï
= Û Û = = =í
ï =
ïî
0,25
1) (1 điểm)
Tọa độ C(c; c­1), Gọi M là trung điểm AC, suy ra
4 2
;
2 2
c c
M
+ -æ ö
ç ÷
è ø
M thuộc trung tuyến từ B nên ( )
2
4 4 3 0 4
2
c
c c
-
+ - - = Û = - thu được C(­4;­5)
0,5
Gọi A’ là đối xứng của A qua đường 1 0 x y- - = . Tọa độ A’ là nghiệm hệ
4 1
1 1
4 1
1 0
2 2
x y
x y
- +ì
=ïï -
í
+ -ï - - =
ïî
Suy ra A’(0;3)
Đường thẳng BC đi qua A’(0;3), C(­4;­5) nên phương trình BC: 2x – y +3=0
Đường thẳng BC cắt đường thẳng 8 3 0 x y- - = tại B, suy ra B(1;5)
0,5
2) (1 điểm)
Gọi M(a;b;c), do A(1;­1;­1) là trung điểm MN nên N(2­a;­2­b;­2­c) 0,25
VIa
(1điểm)
( ) 1 1;0;1 n =
ur
là VTPT của (P), ( ) 2 0;1;1 n =
uur
là VTPT của (Q)
Gọi ( ) ( ) P QD = Ç , VTCP của D là ( ) 1 2 , 1; 1;1 u n nD
é ù= = - -ë û
uur ur uur 0,25

Ta có
( ) 3 0 2
( ) 1 0 0
1 0 1 . 0
M P a c a
N Q b c b
a b c c AM uD
ì Î + - = =ì ì
ï ï ï
Î Û - - + = Û =í í í
ï ï ï- - + + = == î îî
uuuur uur
0,25
Đường thẳng d đi qua A(1;­1;­1), VTCP (1;1;2) AM =
uuuur
nên phương trình d:
1 1 1
1 1 2
x y z- + +
= = 0,25
Gọi w x yi= + ( ) , x y Ρ ( ; ) M x yÞ là điểm biểu diễn cho số w trên hệ trục Oxy 0,25
( ) ( ) w 2 2 1 2 1 z i x y i z x y i= - - = - + - Þ = - + - 0,25
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 3 3 1 3 3 1 z i x y i x y- + = Û - + - = Û - + - = 0,25
VIIa
(2điểm)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I(3;3), bán kính R=1 0,25
1) (1 điểm)
Đường tròn (C) có tâm I(1;2), bán kính R= 5
Đường thẳng d luôn đi qua điểm E(2;1) với mọi m.
0,25
Vì E nằm trong đường tròn (C) nên với mọi m đường thẳng d luôn cắt đường tròn (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B
0,25
Gọi H là trung điểm AB. Vì
2
2 2
5
4
AB
IH R+ = = nên AB nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất.
Mặt khác IH IE£ nên IH lớn nhất khi và chỉ khi điểm H trùng điểm E
0,25
Khi đó: VTCP (1; ) d u m=
uur
vuông góc với (1; 1) IE = -
uur
suy ra m=1. 0,25
2) (1 điểm).
{ } ( ) 1 2 ;1 ; 2 d A A k k kD Ç = Þ - - + ; { } ( ) 2 1 2 ;1 ;3 d B B t tD Ç = Þ - + + 0,25
VIb
(1điểm)
( ) 2 2 1; ;5 AB t k t k k= - - + -
uuur
cùng phương với ( ) 7;1; 4 n = -
r
là VTPT (P) nên
2 2 1 5
1; 2
7 1 4
t k t k k
k t
- - + -
= = Û = = -
-
0,5
D đi qua A(2,0,­1), VTCP ( ) 7; 1;4 AB = - -
uuur
, phương trình
2 1
:
7 1 4
x y z- +
D = =
- -
0,25
( )
1006
2 2013 1 . 1
1
1 1
i i i
z
i i
--
= = =
- -
0,5
VIIb
(1điểm)
Phần thực của số phức z là 1 0,5