Esame di Stato A.S. 2010-11. Percorso con Matematica, Fisica, Filosofia.

1. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Le Tappe della Crisi
delle Fondamenta del
Pensiero Matematico
Materie Coinvolte: Matematica, Filosofia, Fisica

2. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Le Tappe della Crisi
delle Fondamenta del
Pensiero Matematico
L’Antinomia di Le Equazioni di
Russel e il Teorema Maxwell e la Relatività
dell’Indeterminatezza Ristretta Einsteiniana
di Gödel

3. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Perche?
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

4. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Il Platonismo delle
Idee Matematiche
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

5. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Verso la Matematica
Pura: Le Geometrie
Non Euclidee
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

6. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Il Quadrilatero di Saccheri
Sia ABCD un quadrilatero avente gli angoli A e
B retti ed i lati AD e BC congruenti.
Si possono fare tre ipotesi sugli angoli C e D:
• potesi dell'angolo retto: gli angoli sono
I
entrambi retti.
• potesi dell'angolo ottuso: gli angoli interni
I
sono entrambi ottusi.
• potesi dell'angolo acuto: gli angoli interni sono
I
entrambi acuti.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

7. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Geometria Ellittica e Sferica
Il V Postulato di Euclide
nelle Geometria Ellittica e
Sferica diventa:
“Due rette qualsiasi di un
piano hanno sempre almeno
un punto in comune.”
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

8. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Geometria Iperbolica
Il V Postulato di Euclide nella
Geometrie Iperbolica diventa:
“Data una retta r e un punto P
disgiunto da r, esistono almeno
due rette distinte passanti per P
e parallele a r.”
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

9. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Geometria Iperbolica
Il V Postulato di Euclide nella
Geometrie Iperbolica diventa:
“Data una retta r e un punto P
disgiunto da r, esistono almeno
due rette distinte passanti per P
e parallele a r.”
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

10. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Geometria Iperbolica
nell’Arte: Escher
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

11. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Le Fondamenta del
Pensiero Matatematico
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

12. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Età del Rigore
“Età del rigore” è quel perdiodo storico
che parte dalla pubblicazione nel 1797
di “Théorie des functions analytiques”
di Carnot e si può dire non essere mai
terminato.
In questo periodo si è definita, grazie
all’opera di Lagrange, Carnot, Cauchy,
Fourier, Dirichlet, Abel, Jacobi, Green,
Gauss, Weierstrass ed altri, l’analisi
nella sua formulazione moderna.
Inquesto possiamo vedere l’arché del
Riduzionismo.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

13. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Riduzionismo
Il termine “riduzionismo” deriva dal
procedimento di ridurre (cioè ricondurre)
ogni parte della matematica ad altre parti
via via più semplici, arrivando in fine al
fondamento ultimo di tutta la matematica.
Per quanto il movimento sia moderno
abbiamo già precursori.
È chiaro che l’intera matematica è
fondata sul concetto di numero naturale,
quindi bisognava definire il numero.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

14. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Cantor e Peano
Cantor ricondusse il numero alla carinalità degli insiemi.
Peano definì i numeri attraverso i concetti primitivi: zero
(0), numero (n) e successore (n’), e cinque assiomi:
1. 0 appartiene a N;
2. Se n appartiene a N, allora anche n’ appartiene a N;
3. 0 non è successore di alcun numero;
4. Se due numeri hanno lo stesso successore, allora i due
numeri sono uguali;
5. Se 0 appartiene ad un insieme M e, appartenendo n a
M allora anche n’ appartiene a M, allora M=N
(principio di induzione).
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

15. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Logicismo
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

16. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Frege
Gli obiettivi dell’intento logicista portato
avanti da Gottlob Frege:
• Risolvere i concetti matematici, anche quelli
considerati non ulteriormente definibili e
perciò primitivi, in termini puramente logici;
• Dimostrare i teoremi della matematica
mediante l'applicazione dei principi e delle
regole di inferenza del ragionamento logico.
Scrisse: “Ideografia”, “I Fondamenti
dell’Aritmetica” e “I Principi dell’Aritmetica”
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

17. Stefano Sarao
V A p.n.i.
L’Antinomia di Russell
Sia I l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono
se stessi. Sia A un insieme che non contiene se stesso
come elemento, allora A∈ I.
Supponendo che I non contenga se stesso come
elemento, se ne deduce che I appartiene ad I (per la
definizione di I), cioè I∉I⇒I∈I; supponendo che I
contenga se stesso, allora se ne deduce che I è un
elemento di un insieme che ha per elementi tutti gli
insiemi che non contengono se stessi; quindi risulta un
elemento a se stesso, cioè non può appartenere ad I,
cioè I∈I⇒I∉I.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

18. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Predicativismo
Hermann Weyl e Henri Poincaré sono i
principali esponenti del predicativismo.
“Per l'analisi il circolo vizioso [della
definizione non predicativa] che si è
insinuato in essa attraverso l'incerta
natura degli usuali concetti di insieme
e di funzione, costituisce una forma di
errore non trascurabile e non
facilmente evitato.”
Hermann Weyl
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

19. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Principia Mathematica
Questa opera monumentale è scritta a quattro
mani da Bertrand Russell e Alfred North
Whitehead.
Russel formulò “La Teoria dei Tipi Logici”
ovvero l’alternativa logica alla teoria degli
insiemi e costituisce l’impianto del primo
libro dei “Principia Mathematica”.
La Teoria dei Tipi instaura una gerarchia dei
tipi logici che non deve essere infranta.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

20. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Formalismo
Il programma di Hilbert
Hilbert era convinto che fosse possibile
ricondurre tutta la matematica ad un
modello assiomatico, riconducendo le
teorie più complesse alle più semplici,
fino a basare tutto sull’aritmetica.
Il programma doveva:
• Formalizzare completamente le teorie
matematiche.
• Dimostrare la non-contraddittorietà.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

21. Stefano Sarao
V A p.n.i.
I Teoremi di Gödel
In ogni teoria matematica T sufficientemente
espressiva da contenere l'aritmetica, esiste
una formula tale che, se T è coerente, allora
né né la sua negazione sono
dimostrabili in T.
Sia T una teoria matematica sufficientemente
espressiva da contenere l'aritmetica: se T è
coerente, non è possibile provare la coerenza
di T all'interno di T.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

22. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Dimostrazione dell’esistenza di Dio: Gödel
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

23. Stefano Sarao
V A p.n.i.
“La domanda riguardo ai fondamenti profondi e al
significato ultimo della matematica resta aperta; noi non
sappiamo lungo quale direzione troverà la sua soluzione
finale e neppure se ci si debba aspettare una risposta finale
oggettiva. “Far matematica” potrebbe ben essere un'attività
creativa dell'uomo, come il linguaggio o la musica, di
grande originalità, le cui prese di posizione storiche
disattendono la completa ed oggettiva razionalizzazione.”
Hermann Weyl
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

24. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Thomas Kuhn
“La Struttura delle Rivoluzioni Scientifiche”
Le fasi della Scienza:
• Fase 0: Periodo Pre-Paradigmatico.
• Fase 1: Accettazione del Paradigma.
• Fase 2: Scienza Normale.
• Fase 3: Nascita delle Anomalie.
• Fase 4: Crisi del Paradigma.
• Fase 5: Rivoluzione Scientifica.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

25. Stefano Sarao
V A p.n.i.
Le Equazioni di Maxwell
And God said:
And there was light.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico

26. Stefano Sarao
V A p.n.i.
La Relatività Ristretta
Postulati della relatività ristretta:
1. Principio di relatività particolare: Le leggi
della fisica sono invarianti rispetto al sistema
di riferimento inerziale nel quale sono
applicate.
2. Principio di invarianza della velocità della
luce: La velocità della luce c nel vuoto è
indipendente dalla sorgente che l'ha emessa e
dallo stato di moto rettilineo uniforme di chi
la osserva.
La Crisi delle Fondamenta del Pensiero Matematico