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2015年度GPGPU実践プログラミング 第12回 偏微分方程式の差分計算
- 2. 今回の内容 2015/07/01GPGPU実践プログラミング2 差分法 1階微分，2階微分に対する差分法 2次元拡散方程式 gnuplotによる結果の表示 if分岐の書き方による実行時間の変化 高速化に利用できるいくつかのテクニック
- 3. 前回授業 2015/07/01GPGPU実践プログラミング3 ビットマップを使った画像処理 配列の1要素が物理的な配置に対応 配列の1要素に物理的なデータが定義 B G R
- 4. 数値計算（差分法） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング4 計算機を利用して数学・物理学的問題の解を計算 微積分を計算機で扱える形に変換 差分法では微分を差分に置き換え 処理自体は単純 精度を上げるために計算量が増加
- 5. シミュレーションの歴史と進歩 自動車シミュレーションにおける例 姫野龍太郎，次世代スーパーコンピュータとは そして，何がで きるようになるか http://accc.riken.jp/wp‐content/uploads/2015/06/secur e_4650_20100507kobe.pdf スライド6, 8 1985年 2次元でのシミュレーション 実験結果と“傾向は”一致 1987年 3次元化し，実車に近い形状で計算 2015/07/01GPGPU実践プログラミング5
- 6. シミュレーションの歴史と進歩 自動車シミュレーションにおける例 1988年～1990年 車輪や床下も含めたモデル化 1993年 空気抵抗を誤差1%で予測可能 空力解析以外にも利用 1992年～1993年 車体から発生する騒音のシミュレーション ドアミラーやピラーの形状の改良 エンジンルームの冷却 10mm以上の部品は全て含めて解析 2015/07/01GPGPU実践プログラミング6
- 7. 数値計算（差分法） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング8 物理空間に観測点を設置 観測点での物理量の変化を計算 観測点群を配列として確保し，その点で物理量を定義 観測点 （固定） 画像処理に類似 画素が観測点に相当 画素を配列として確保 画素の値を変化させることで 画像処理を実現
- 8. 偏微分方程式（拡散方程式） 物質の拡散を表す方程式 水の中に落ちたインクの拡散，金属中の熱伝導等 時刻t=0におけるfの分布（初期値）が既知 時間進行に伴い，fがどのように変化するかを計算 時間積分しながらfの分布を求める 2 2 ),(),( x txf t txf GPGPU実践プログラミング9 2015/07/01 2 2 2 2 ),,(),,(),,( y tyxf x tyxf t tyxf
- 9. 差分法 2015/07/01GPGPU実践プログラミング10 計算機で微分を計算する方法の一つ 微分の定義 xの関数fについて，xだけ離れた2点間の傾きを計算し，2点の間隔を 無限小に近づけたときの極限 差分近似 関数をある間隔でサンプリング その間隔xがfの変化に対して十分小さいと仮定 Δx xfΔxxf dx df Δx )()( lim 0 Δx xfΔxxf dx df )()(
- 10. 差分法（理論的なお話） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング11 差分の誤差 limを排除したことでどの程度の誤差が入るのか 関数fのテイラー展開を利用 Δx xfΔxxf Δx xfΔxxf dx df Δx )()()()( lim 0 3 33 2 22 !3!2 )()( dx fdΔx dx fdΔx dx df ΔxxfΔxxf 3 33 2 22 !3!2 1)()( dx fdΔx dx fdΔx ΔxΔx xfΔxxf dx df
- 11. 差分法（理論的なお話） 空間打ち切り誤差 定義とテイラー展開の比較 テイラー展開を有限項で打ち切ったことによる誤差 3 33 2 22 !3!2 1)()( dx fdΔx dx fdΔx ΔxΔx xfΔxxf dx df Δx xfΔxxf Δx xfΔxxf dx df Δx )()()()( lim 0 誤差 3 32 2 2 !3!2 dx fdΔx dx fdΔx GPGPU実践プログラミング12 2015/07/01
- 12. 2階微分の離散化 テイラー展開を応用 x方向にx離れた2点で展開 2式を足すと1階微分が消滅 3 33 2 22 !3!2 )()( x fΔx x fΔx x f ΔxxfΔxxf 3 33 2 22 !3!2 )()( x fΔx x fΔx x f ΔxxfΔxxf 2 22 !2 2)(2)()( x fΔx xfΔxxfΔxxf GPGPU実践プログラミング13 2015/07/01
- 13. 2階微分の離散化 2階微分の式に整理 22 2 )()(2)( Δx ΔxxfxfΔxxf x f GPGPU実践プログラミング14 2015/07/01 x f(x) f(x−x) f(x) x x=0 ･･･ x−x x x+x f(x+x)
- 14. 2階微分の離散化 2階微分の式に整理 22 2 )()(2)( Δx ΔxxfxfΔxxf x f GPGPU実践プログラミング15 2015/07/01 dx サンプリングされた関数値 を配列f[]で保持 f[i] f[i‐1] f[i+1] 2階の中心差分 (f[i+1]‐2*f[i]+f[i‐1])/(dx*dx) f[i] i i=0 ･･･ i−1 i i+1
- 15. 2階微分の離散化 2015/07/01GPGPU実践プログラミング16 サンプリングされた関数値fの保持 x方向長さ（計算領域の長さ）を等間隔xに分割 間隔xの両端に離散点（観測点）を置き，そこでfの値を定義 原点から順に離散点に番号を付与し，iで表現 離散点iにおけるfの値を配列f[i]に保存 配列f[] i=0 ･･･ i−1 i i+1 f[i] i 離散点 配列（メモリ）
- 16. 差分法の実装 2015/07/01GPGPU実践プログラミング17 計算領域内部 d2fdx2[i]=(f[i‐1]‐2*f[i]+f[i+1])/dxdx; 境界条件(関数値が無いため処理を変更) d2fdx2[0 ]=(2*f[0 ]‐5*f[1 ]+4*f[2 ]‐f[3 ])/dxdx; d2fdx2[N‐1]=(2*f[N‐1]‐5*f[N‐2]+4*f[N‐3]‐f[N‐4])/dxdx; d2fdx2[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 1 Δx ＋
- 17. 差分法の実装 2015/07/01GPGPU実践プログラミング18 計算領域内部 d2fdx2[i]=(f[i‐1]‐2*f[i]+f[i+1])/dxdx; 境界条件(関数値が無いため処理を変更) d2fdx2[0 ]=(2*f[0 ]‐5*f[1 ]+4*f[2 ]‐f[3 ])/dxdx; d2fdx2[N‐1]=(2*f[N‐1]‐5*f[N‐2]+4*f[N‐3]‐f[N‐4])/dxdx; d2fdx2[i] f[i] ＋ 2 1 Δx
- 18. 差分法の実装 2015/07/01GPGPU実践プログラミング19 計算領域内部 d2fdx2[i]=(f[i‐1]‐2*f[i]+f[i+1])/dxdx; 境界条件(関数値が無いため処理を変更) d2fdx2[0 ]=(2*f[0 ]‐5*f[1 ]+4*f[2 ]‐f[3 ])/dxdx; d2fdx2[N‐1]=(2*f[N‐1]‐5*f[N‐2]+4*f[N‐3]‐f[N‐4])/dxdx; d2fdx2[i] f[i] 2 1 Δx ＋
- 19. #include<stdlib.h> #include<math.h>/*‐lmオプションが必要*/ #define Lx (2.0*M_PI) #define Nx (256) #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define Nbytes (Nx*sizeof(double)) #define dxdx (dx*dx) void init(double *f){ int i; for(i=0; i<Nx; i++){ f[i] = sin(i*dx); } } void differentiate(double *f, double *d2fdx2){ int i; d2fdx2[0] = ( 2.0*f[0] ‐5.0*f[1] +4.0*f[2] ‐ f[3])/dxdx; for(i=1; i<Nx‐1; i++) d2fdx2[i] = ( f[i+1] ‐2.0*f[i ] + f[i‐1])/dxdx; d2fdx2[Nx‐1]=(‐ f[Nx‐4] +4.0*f[Nx‐3] ‐5.0*f[Nx‐2] +2.0*f[Nx‐1])/dxdx; } int main(void){ double *f,*d2fdx2; f = (double *)malloc(Nbytes); d2fdx2 = (double *)malloc(Nbytes); init(f); differentiate(f,d2fdx2); return 0; } CPUプログラム 2015/07/01GPGPU実践プログラミング20 differentiate.c
- 22. GPUへの移植 計算領域内部を計算するスレッド d2fdx2[i]=(f[i‐1]‐2*f[i]+f[i+1])/dxdx; 境界を計算するスレッド d2fdx2[0 ]=(2*f[0 ]‐5*f[1 ]+4*f[2 ]‐f[3 ])/dxdx; d2fdx2[N‐1]=(2*f[N‐1]‐5*f[N‐2]+4*f[N‐3]‐f[N‐4])/dxdx; 2015/07/01GPGPU実践プログラミング23 d2fdx2[i] f[i] ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 1 Δx ＋ ＋
- 23. #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h>/*‐lmオプションが必要*/ #define Lx (2.0*M_PI) #define Nx (256) #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define Nbytes (Nx*sizeof(double)) #define dxdx (dx*dx) #define NT (128) #define NB (Nx/NT) void init(double *f){ int i; for(i=0; i<Nx; i++){ f[i] = sin(i*dx); } } __global__ void differentiate (double *f, double *d2fdx2){ int i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; if(i==0) d2fdx2[i] = ( 2.0*f[i ] ‐5.0*f[i+1] +4.0*f[i+2] ‐ f[i+3])/dxdx; if(0<i && i<Nx‐1) d2fdx2[i] = ( f[i+1] ‐2.0*f[i ] + f[i‐1])/dxdx; if(i==Nx‐1) d2fdx2[i]=(‐ f[i‐3] +4.0*f[i‐2] ‐5.0*f[i‐1] +2.0*f[i ])/dxdx; } GPUプログラム 2015/07/01GPGPU実践プログラミング24 differentiate.cu
- 24. int main(void){ double *host_f,*host_d2fdx2; double *f,*d2fdx2; host_f =(double *)malloc(Nbytes); cudaMalloc((void **)&f,Nbytes); cudaMalloc((void **)&d2fdx2,Nbytes); init(host_f); cudaMemcpy(f, host_f, Nbytes, cudaMemcpyHostToDevice); differentiate<<<NB, NT>>>(f, d2fdx2); //host_d2fdx2=(double *)malloc(Nbytes); //cudaMemcpy(host_d2fdx2, d2fdx2, Nbytes, cudaMemcpyDeviceToHost); //for(int i=0; i<Nx; i++)printf("%f,%f,%f¥n",i*dx,host_f[i],host_d2fdx2[i]); free(host_f); free(host_d2fdx2); cudaFree(f); cudaFree(d2fdx2); return 0; } GPUプログラム 2015/07/01GPGPU実践プログラミング25 differentiate.cu
- 25. 2次元への拡張 2015/07/01GPGPU実践プログラミング26 拡散方程式 1次元 2次元 2 2 ),(),( x txf t txf 2 2 2 2 ),,(),,(),,( y tyxf x tyxf t tyxf differentiate.cuで計算 どのように2次元 に拡張するか どのように離散化 するか
- 26. 2次元への拡張 x方向2階偏微分 y方向を固定してx方向に偏微分 y方向2階偏微分 x方向を固定してy方向に偏微分 22 2 ),(),(2),( Δx yΔxxfyxfyΔxxf x f 22 2 ),(),(2),( Δy ΔyyxfyxfΔyyxf y f GPGPU実践プログラミング27 2015/07/01
- 27. 時間積分 時間微分項の離散化 時間微分項を前進差分で離散化 右辺のt+tの項を移行 Δt tyxfΔttyxf t f ),,(),,( GPGPU実践プログラミング28 2015/07/01 f t f 2 t f ΔttyxfΔttyxf ),,(),,( 拡散方程式を代入 ),,(),,(),,( 2 tyxfΔttyxfΔttyxf f(x, y, t)の2階微分を計算できればf(x, y, t+t)が求められる
- 28. 離散化された方程式の記述 簡略化した表現 配列との対応をとるため下付き添字i, jを利用 時間は，上付き添字nを利用 jifyxf ,),( jifyΔxxf ,1),( 1,),( jifΔyyxf n jiftyxf ,),,( 1 ,),,( n jifΔttyxf GPGPU実践プログラミング29 2015/07/01
- 29. 離散化された拡散方程式 連続系 離散系 t秒後の値 2 2 2 2 ),,(),,(),,( y tyxf x tyxf t tyxf 2 1,,1, 2 ,1,,1, 1 , 22 Δy fff Δx fff Δt ff n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji 2 1,,1, 2 ,1,,1 , 1 , 22 Δy fff Δx fff Δtff n ji n ji n ji n ji n ji n jin ji n ji GPGPU実践プログラミング30 2015/07/01
- 30. 離散化された関数値の保持 2015/07/01GPGPU実践プログラミング31 各方向を等間隔x, yに分割し，離散点を配置 離散点で関数値を定義し，配列に保存 配列f[][] i=0 ･･･ i−1 i i+1 i 離散点 配列（メモリ） j=0 ･･･j−1 j j+1
- 31. 拡散方程式（熱伝導方程式） x y i i+1i−1 j j+1 j−1 x y x y x y t t+t GPGPU実践プログラミング32 2015/07/01 2 1,,1, 2 ,1,,1 , 1 , 22 Δy fff Δx fff Δtff n ji n ji n ji n ji n ji n jin ji n ji i i+1i−1 j j+1 j−1
- 32. 拡散方程式の安定性 2015/07/01GPGPU実践プログラミング33 プログラムを正しく作成しても正常な計算結果が得られ ない場合がある 安定条件 拡散の強さを表す係数（拡散係数）を使った形 二つの条件を満たすことが必要条件（結果が正しいかは別） 5.02 Δx Δt v 5.02 Δy Δt v 2 1,,1, 2 ,1,,1 , 1 , 22 Δy fff Δx fff Δtff n ji n ji n ji n ji n ji n jin ji n ji
- 33. 計算手順 1. 計算条件の決定 計算領域の大きさLx, Ly 計算領域の分割数（離散点の個数）Nx, Ny 離散点同士の間隔（格子間隔）x, y 計算時間間隔t 2. 初期値の決定 fの初期分布の決定 3. 差分値の計算 fの分布からx, y方向の2階微分値を計算 境界条件に基づいて境界の値を決定 t秒後のfを計算 GPGPU実践プログラミング34 2015/07/01
- 34. CPUプログラム 計算条件の決定 計算領域の大きさLx, Ly 計算領域の分割数 （離散点の個数）Nx, Ny 離散点同士の間隔 （格子間隔）x, y 計算時間間隔t #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx (1.0) #define Ly (1.0) #define Nx 128 #define Ny 128 #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy (Ly/(Ny‐1)) #define dt 0.0001 GPGPU実践プログラミング35 2015/07/01
- 35. CPUプログラム 初期条件 境界条件 GPGPU実践プログラミング36 2015/07/01 )2.0(1 )2.0(0 r r f 1 1 x y r 0 n f n n n: 外向き法線ベクトル jiji jiji ff Δx ff ,1,1 ,1,1 0 2 1,1, 1,1, 0 2 jiji jiji ff Δy ff 22 yxr
- 36. #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx (1.0) #define Ly (1.0) #define Nx 128 #define Ny 128 #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy (Ly/(Ny‐1)) #define dt 0.0001 #define endT (1.0) #define Nt (int)(endT/dt) #define DIFF (0.01) #define dxdx (dx*dx) #define dydy (dy*dy) #define Nbytes (Nx*Ny*sizeof(double)) void init(double *, double *, double *); void laplacian(double *, double *); void integrate(double *, double *, double *); void update(double *, double *); int main(void){ double *f,*f_new,*f_lap,x,y; int i,j,n; f = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); f_new = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); f_lap = (double *)malloc(Nx*Ny*sizeof(double)); init(f, f_lap, f_new); for(n=0;n<Nt;n++){ laplacian(f,f_lap); integrate(f,f_lap,f_new); update(f,f_new); } return 0; } CPUプログラム 2015/07/01GPGPU実践プログラミング37 diffusion.c
- 37. void init(double *f, double *f_lap, double *f_new){ int i,j,ij; double x,y; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ f [i+Nx*j] = 0.0; f_lap[i+Nx*j] = 0.0; f_new[i+Nx*j] = 0.0; x=i*dx‐Lx/2.0; y=j*dy‐Ly/2.0; if(sqrt(x*x+y*y)<=0.2) f[i+Nx*j] = 1.0; } } } void laplacian(double *f, double *f_lap){ int i,j,ij,ip1j,im1j,ijp1,ijm1; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ ij = i+Nx*j; im1j=i‐1+Nx* j; if(i‐1< 0 )im1j=i+1+Nx*j; ip1j=i+1+Nx* j; if(i+1>=Nx)ip1j=i‐1+Nx*j; ijm1=i +Nx*(j‐1);if(j‐1< 0 )ijm1=i+Nx*(j+1); ijp1=i +Nx*(j+1);if(j+1>=Ny)ijp1=i+Nx*(j‐1); f_lap[ij] = (f[ip1j]‐2.0*f[ij]+f[im1j])/dxdx +(f[ijp1]‐2.0*f[ij]+f[ijm1])/dydy; } } } void integrate (double *f, double *f_lap, double *f_new){ int i,j,ij; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ ij = i+Nx*j; f_new[ij] = f[ij] + dt*DIFF*f_lap[ij]; } } } void update(double *f, double *f_new){ int i,j,ij; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ ij = i+Nx*j; f[ij] = f_new[ij]; } } } CPUプログラム 2015/07/01GPGPU実践プログラミング38 diffusion.c
- 38. CPUプログラム 差分計算 x方向，y方向偏微分を個別に計算して加算 void laplacian(double *f, double *f_lap){ int i,j,ij,ip1j,im1j,ijp1,ijm1; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ ij =i +Nx* j; im1j=i‐1+Nx* j; if(i‐1< 0 )im1j=i+1+Nx*j; ip1j=i+1+Nx* j; if(i+1>=Nx)ip1j=i‐1+Nx*j; ijm1=i +Nx*(j‐1);if(j‐1< 0 )ijm1=i+Nx*(j+1); ijp1=i +Nx*(j+1);if(j+1>=Ny)ijp1=i+Nx*(j‐1); f_lap[ij] = (f[ip1j]‐2.0*f[ij]+f[im1j])/dxdx +(f[ijp1]‐2.0*f[ij]+f[ijm1])/dydy; } } } GPGPU実践プログラミング39 2015/07/01
- 39. ラプラシアン計算のメモリ参照 ある1点i,jのラプラシアンを計算するために，周囲5点 のfを参照 GPGPU実践プログラミング40 2015/07/01 f[] f_lap[] i−1 i i+1 j−1jj+1
- 40. ラプラシアン計算のメモリ参照 ある1点i,jのラプラシアンを計算するために，周囲5点 のfを参照 GPGPU実践プログラミング41 2015/07/01 i−1 i i+1 j−1jj+1 f[] f_lap[]
- 41. ラプラシアン計算のメモリ参照 ある1点i,jのラプラシアンを計算するために，周囲5点 のfを参照 GPGPU実践プログラミング42 2015/07/01 i−1 i i+1 j−1jj+1 f[] f_lap[]
- 42. ラプラシアン計算のメモリ参照 ある1点i,jのラプラシアンを計算するために，周囲5点 のfを参照 GPGPU実践プログラミング43 2015/07/01 i−1 i i+1 j−1jj+1 f[] f_lap[]
- 43. ラプラシアン計算のメモリ参照 ある1点i,jのラプラシアンを計算するために，周囲5点 のfを参照 全てのfを参照し，領域内部のf_lapを計算 GPGPU実践プログラミング44 2015/07/01 f[] f_lap[]
- 44. CPUプログラム 境界条件 法線方向の1階微分が0 境界での2階の差分式 GPGPU実践プログラミング45 2015/07/01 f_lap[] 0 n f n: 外向き法線ベクトル jiji jiji ff Δx ff ,1,1 ,1,1 0 2 1,1, 1,1, 0 2 jiji jiji ff Δy ff 2 ,,1 2 ,,1 2 ,1,,1 22 or 222 Δx ff Δx ff Δx fff jijijijijijiji 2 ,1, 2 ,1, 2 1,,1, 22 or 222 Δy ff Δy ff Δy fff jijijijijijiji
- 45. CPUプログラム 境界条件 参照する点が境界からはみ出して いる場合は添字を修正 2階微分を計算する式は変更なし 右端ではi+1をi‐1に修正 左端ではi‐1をi+1に修正 上端ではj+1をj‐1に修正 下端ではj‐1をj+1に修正 GPGPU実践プログラミング46 2015/07/01 f_lap[] if(i‐1< 0 )im1j=i+1+Nx*j; if(i+1>=Nx)ip1j=i‐1+Nx*j; if(j‐1< 0 )ijm1=i +Nx*(j+1); if(j+1>=Ny)ijp1=i +Nx*(j‐1);
- 46. CPUプログラム fの積分 void integrate(double *f, double *f_lap, double *f_new){ int i,j,ij; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ ij = i+Nx*j; f_new[ij] = f[ij] + dt*DIFF*f_lap[ij]; } } } GPGPU実践プログラミング47 2015/07/01 2 1,,1, 2 ,1,,1 , 1 , 22 Δy fff Δx fff Δtff n ji n ji n ji n ji n ji n jin ji n ji
- 47. CPUプログラム fの更新 fnからfn+1を計算 fn+1からfn+2を計算 今の時刻から次の時刻を求める 求められた次の時刻を今の時刻と見なし，次の時刻を求める void update(double *f, double *f_new){ int i,j,ij; for(j=0;j<Ny;j++){ for(i=0;i<Nx;i++){ ij = i+Nx*j; f[ij] = f_new[ij]; } } } GPGPU実践プログラミング48 2015/07/01 同じアルゴリズム
- 48. #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define Lx (1.0) #define Ly (1.0) #define Nx 2048 #define Ny Nx #define dx (Lx/(Nx‐1)) #define dy (Ly/(Ny‐1)) #define dt 0.000001 #define endT (1.0) #define Nt (int)(endT/dt) #define DIFF (0.01) #define dxdx (dx*dx) #define dydy (dy*dy) #define Nbytes (Nx*Ny*sizeof(double)) #include "dif1.cu" //#include "dif2.cu" //#include "dif3.cu" int main(void){ int n; double *dev_f,*dev_f_new,*dev_f_lap; dim3 Thread, Block; if(DIFF*dt/dxdx > 0.5){ printf("configuration error¥n"); exit(1); } cudaMalloc( (void**)&dev_f , Nbytes ); cudaMalloc( (void**)&dev_f_new, Nbytes ); cudaMalloc( (void**)&dev_f_lap, Nbytes ); Thread = dim3(THREADX,THREADY,1); Block = dim3(BLOCKX ,BLOCKY, 1); init<<<Block, Thread>>> (dev_f, dev_f_lap, dev_f_new); for(n=1;n<=Nt;n++){ laplacian<<<Block, Thread>>>(dev_f,dev_f_lap); integrate<<<Block, Thread>>> (dev_f,dev_f_lap,dev_f_new); update<<<Block, Thread>>>(dev_f,dev_f_new); cudaDeviceSynchronize(); } return 0; } GPUプログラム（CPU処理用共通部分） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング49 diffusion.cu
- 49. #define THREADX 16 #define THREADY 16 #define BLOCKX (Nx/THREADX) #define BLOCKY (Ny/THREADY) __global__ void laplacian(double *f, double *f_lap){ int i,j,ij,im1j,ip1j,ijm1,ijp1; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij =i +Nx* j; im1j=i‐1+Nx* j; if(i‐1< 0 )im1j=i+1+Nx*j; ip1j=i+1+Nx* j; if(i+1>=Nx)ip1j=i‐1+Nx*j; ijm1=i +Nx*(j‐1);if(j‐1< 0 )ijm1=i +Nx*(j+1); ijp1=i +Nx*(j+1);if(j+1>=Ny)ijp1=i +Nx*(j‐1); f_lap[ij] = (f[ip1j]‐2.0*f[ij]+f[im1j])/dxdx +(f[ijp1]‐2.0*f[ij]+f[ijm1])/dydy; } __global__ void integrate (double *f, double *f_lap, double *f_new){ int i,j,ij; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij = i+Nx*j; f_new[ij] = f[ij] + dt*DIFF*f_lap[ij]; } __global__ void update(double *f, double *f_new){ int i,j,ij; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij = i+Nx*j; f[ij] = f_new[ij]; } __global__ void init (double *f, double *f_lap, double *f_new){ int i,j,ij; double x,y; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij = i+Nx*j; f [ij] = 0.0; f_lap[ij] = 0.0; f_new[ij] = 0.0; x=i*dx‐Lx/2.0; y=j*dy‐Ly/2.0; if(sqrt(x*x+y*y)<=0.2) f[ij] = 1.0; } GPUプログラム（1スレッドが1点を計算） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング50 dif1.cu
- 50. gnuplotによる結果の表示 2015/07/01GPGPU実践プログラミング51 2次元，3次元データをプロットするアプリケーション コマンドラインで命令を実行してグラフを描画 関数の描画，ファイルから読み込んだデータの表示が可能 tesla??では正しく動作しないため，grouseで実行する こと
- 51. gnuplotによる結果の表示 2015/07/01GPGPU実践プログラミング52 表示可能なファイルフォーマット データはスペース区切り 3次元表示では列（または行）の区切りとして空白行が必要 ‐0.500000 ‐0.500000 0.000000e+00 ‐0.499022 ‐0.500000 0.000000e+00 ... 0.499022 ‐0.500000 0.000000e+00 0.500000 ‐0.500000 0.000000e+00 <‐改行 ‐0.500000 ‐0.499022 0.000000e+00 ‐0.499022 ‐0.499022 0.000000e+00 ... 0.499022 ‐0.499022 0.000000e+00 0.500000 ‐0.499022 0.000000e+00 <‐改行 ‐0.500000 ‐0.498045 0.000000e+00 ‐0.499022 ‐0.498045 0.000000e+00
- 52. gnuplotによる結果の表示 2015/07/01GPGPU実践プログラミング53 スクリプトの実行 gnuplotのコマンドを記述したファイルを実行 load 'スクリプトファイル名' anim.gpl 結果を単色の等値面で3次元表示 anim_color.gpl 結果をカラーの等値面で3次元表示 anim_2d.gpl 結果をカラーの等高線で2次元表示
- 53. gnuplotによる結果の表示 2015/07/01GPGPU実践プログラミング54 スクリプトanim.gplの内容 set xrange [‐0.5:0.5] x軸の表示範囲を‐0.5~0.5に固定 set yrange [‐0.5:0.5] y軸の表示範囲を‐0.5~0.5に固定 set zrange [0:1] z軸の表示範囲を0~1に固定 set ticslevel 0 xy平面とz軸の最小値表示位置の差 set hidden3d 隠線消去をする set view 45,30 視点をx方向45°,y方向30°に設定 set size 1,0.75 グラフの縦横比を1:0.75 unset contour 2次元等高線は表示しない set surface 3次元で等値面を表示 unset pm3d カラー表示はしない 以下でファイルを読み込み，3次元表示 splot 'f0.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=0.00s" ... splot 'f1.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=1.00s"
- 55. gnuplotによる結果の表示 2015/07/01GPGPU実践プログラミング56 スクリプトanim_color.gplの内容 set xrange [‐0.5:0.5] x軸の表示範囲を‐0.5~0.5に固定 set yrange [‐0.5:0.5] y軸の表示範囲を‐0.5~0.5に固定 set zrange [0:1] z軸の表示範囲を0~1に固定 set ticslevel 0 xy平面とz軸の最小値表示位置の差 set hidden3d 隠線消去をする set view 45,30 視点をx方向45°,y方向30°に設定 set size 1,0.75 グラフの縦横比を1:0.75 unset contour 2次元等高線は表示しない set surface 3次元で等値面を表示 set pm3d カラー表示する set cbrange[0:1] カラーバーの表示範囲を0~1に固定 以下でファイルを読み込み，3次元表示 splot 'f0.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=0.00s" ... splot 'f1.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=1.00s"
- 57. gnuplotによる結果の表示 2015/07/01GPGPU実践プログラミング58 スクリプトanim_2d.gplの内容 set xrange [‐0.5:0.5] x軸の表示範囲を‐0.5~0.5に固定 set yrange [‐0.5:0.5] y軸の表示範囲を‐0.5~0.5に固定 set zrange [0:1] z軸の表示範囲を0~1に固定 set view 0,0 真上から見下ろす set size 1,1 グラフの縦横比を1:1 set contour 2次元等高線を表示 unset surface 3次元で等値面を表示しない unset pm3d カラー表示しない set cntrparam levels incremental 0,0.1,1 等高線を0から1まで0.1刻みに設定 以下でファイルを読み込み，3次元表示 splot 'f0.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=0.00s" ... splot 'f1.00.txt' using 1:2:3 with line title "t=1.00s"
- 59. 様々な境界条件の計算 共有メモリを利用してキャッシュを模擬 共有メモリに付加的な領域を追加 袖領域 GPGPU実践プログラミング60 2015/07/01 f[] f_lap[]
- 60. 様々な境界条件の計算 共有メモリを利用してキャッシュを模擬 共有メモリに付加的な領域を追加 GPGPU実践プログラミング61 2015/07/01 f[] f_lap[]
- 61. 様々な境界条件の計算 共有メモリを利用してキャッシュを模擬 共有メモリに付加的な領域を追加 GPGPU実践プログラミング62 2015/07/01 f[] sf[][] f_lap[]
- 64. 境界条件 2015/07/01GPGPU実践プログラミング65 1階微分が0 0 2 1,1, Δy ff y f jiji 1,1, jiji ff 0 2 ,1,1 Δx ff x u jiji jiji ff ,1,1
- 65. 境界条件 2015/07/01GPGPU実践プログラミング66 2階微分が0 0 2 2 ,1,,1 2 2 Δx fff x f jijiji jijiji fff ,1,,1 2 1,,1, 2 jijiji fff 0 2 2 1,,1, 2 2 Δy fff y f jijiji
- 66. 境界条件 2015/07/01GPGPU実践プログラミング67 2階微分を片側差分で計算 3211 464 jjjjj fffff 2 11 2 321 2 2 2 452 Δy fff Δy ffff y f jjj jjjj 2 11 2 321 2 2 2 452 Δx fff Δx ffff x f iii iiii 3211 464 iiiii fffff 境界での2階微分の差分近似 境界外側の値 境界外側の値
- 68. GPUプログラム（ラプラシアンカーネル） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング69 ブロック内のスレッド数＋袖領域分の共有メモ リを確保 袖領域があるために添字の対応が変化 添字の対応を考えないと，必要なデータを袖領域に置い てしまう __syncthreads()を呼んでスレッドを同期 共有メモリにデータが正しく書き込まれた事を保証 __shared__ float sf[1+THREADX+1][1+THREADY+1]; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; tx = threadIdx.x; ty = threadIdx.y; ij = i+Ny*j; sf[tx][ty] = f[ij]; __syncthreads(); f[] sf[][]
- 69. GPUプログラム（ラプラシアンカーネル） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング70 ブロック内のスレッド数＋袖領域分の共有メモ リを確保 袖領域があるために添字の対応が変化 添字の対応を考えないと，必要なデータを袖領域に置い てしまう __syncthreads()を呼んでスレッドを同期 共有メモリにデータが正しく書き込まれた事を保証 __shared__ float sf[1+THREADX+1][1+THREADY+1]; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; tx = threadIdx.x + 1; ty = threadIdx.y; ij = i+Ny*j; sf[tx][ty] = f[ij]; __syncthreads(); f[] sf[][] +1
- 70. GPUプログラム（ラプラシアンカーネル） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング71 ブロック内のスレッド数＋袖領域分の共有メモ リを確保 袖領域があるために添字の対応が変化 添字の対応を考えないと，必要なデータを袖領域に置い てしまう __syncthreads()を呼んでスレッドを同期 共有メモリにデータが正しく書き込まれた事を保証 __shared__ float sf[1+THREADX+1][1+THREADY+1]; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; tx = threadIdx.x + 1; ty = threadIdx.y + 1; ij = i+Ny*j; sf[tx][ty] = f[ij]; __syncthreads(); f[] sf[][] +1 +1
- 71. GPUプログラム（ラプラシアンカーネル） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング72 袖領域の設定 if(blockIdx.x == 0 && threadIdx.x == 0 ) sf[tx‐1][ty] = sf[tx+1][ty]; if(blockIdx.x != 0 && threadIdx.x == 0 ) sf[tx‐1][ty] = f[i‐1+Nx*j]; if(blockIdx.x == gridDim.x‐1 && threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[tx+1][ty] = sf[tx‐1][ty]; if(blockIdx.x != gridDim.x‐1 && threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[tx+1][ty] = f[i+1+Nx*j]; if(blockIdx.y == 0 && threadIdx.y == 0 ) sf[tx][ty‐1] = sf[tx][ty+1]; if(blockIdx.y != 0 && threadIdx.y == 0 ) sf[tx][ty‐1] = f[i+Nx*(j‐1)]; if(blockIdx.y == gridDim.y‐1 && threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[tx][ty+1] = sf[tx][ty‐1]; if(blockIdx.y != gridDim.y‐1 && threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[tx][ty+1] = f[i+Nx*(j+1)]; __syncthreads(); グローバルメモリにデータがある箇所はグロー バルメモリから読み込み グローバルメモリにデータがない箇所は2階微 分が0になるように袖領域の値を決定 ブロックが境界に接しているか否かで処理を切替
- 73. 2次元的な配列アクセスの優先方向 2015/07/01GPGPU実践プログラミング74 CUDAで2次元的に並列化してアクセ スする場合 threadIdx.xのスレッド群（threadId x.yが一定）が連続なメモリアドレスに アクセス C言語の多次元配列 2次元目の要素が連続になるようメモリ に確保 dif2.cuの共有メモリの使い方は不 適切 sf[THREADX+2][THREADY+2] threadIdx.x threadIdx.y THREADX+2 THREADY+2 f[] Nx Ny j i threadIdx.x threadIdx.y
- 74. 2次元的な配列アクセスの優先方向 2015/07/01GPGPU実践プログラミング75 共有メモリの宣言の変更 1次元目と2次元目を入れ替え sf[1+THREADX+1][1+THREADY+1] sf[1+THREADY+1][1+THREADX+1] 配列参照 1次元目の添字はthreadIdx.yを利用 2次元目の添字はthreadIdx.xを利用 threadIdx.xのスレッド群（threadIdx.y が一定）が連続なメモリアドレスにアクセス sf[THREADX+2][THREADY+2] threadIdx.x threadIdx.y THREADX+2 THREADY+2 sf[THREADY+2][THREADX+2] threadIdx.y threadIdx.x THREADY+2 THREADX+2
- 76. #define THREADX 16 #define THREADY 16 #define BLOCKX (Nx/THREADX) #define BLOCKY (Ny/THREADY) __global__ void laplacian(double *f, double *f_lap){ int i,j,ij; int tx,ty; __shared__ float sf[1+THREADY+1][1+THREADX+1]; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; tx = threadIdx.x + 1; ty = threadIdx.y + 1; ij = i+Nx*j; sf[ty][tx] = f[ij]; __syncthreads(); if(blockIdx.x == 0 && threadIdx.x == 0) sf[ty][tx‐1] = sf[ty][tx+1]; if(blockIdx.x != 0 && threadIdx.x == 0) sf[ty][tx‐1] = f[i‐1+Nx*j]; if(blockIdx.x == gridDim.x‐1 && threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = sf[ty][tx‐1]; if(blockIdx.x != gridDim.x‐1 && threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = f[i+1+Nx*j]; if(blockIdx.y == 0 && threadIdx.y == 0) sf[ty‐1][tx] = sf[ty+1][tx]; if(blockIdx.y != 0 && threadIdx.y == 0) sf[ty‐1][tx] = f[i+Nx*(j‐1)]; if(blockIdx.y == gridDim.y‐1 && threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = sf[ty‐1][tx]; if(blockIdx.y != gridDim.y‐1 && threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = f[i+Nx*(j+1)]; __syncthreads(); f_lap[ij] = (sf[ty ][tx‐1]‐2.0*sf[ty][tx]+sf[ty ][tx+1])/dxdx +(sf[ty‐1][tx ]‐2.0*sf[ty][tx]+sf[ty+1][tx ])/dydy; } GPUプログラム（共有メモリの添字を交換 したラプラシアンカーネル） 2015/07/01GPGPU実践プログラミング77 dif3.cu
- 77. ラプラシアンカーネルの実行時間の比較 2015/07/01GPGPU実践プログラミング78 格子分割数 Nx×Ny=2048×2048 1ブロックあたりのスレッド数 16×16 その他カーネルの実行時間 integrate 900s update 600s ラブラシアンカーネル 実行時間 [s] dif1版 1998 dif2版 2286 1900（袖領域の設定を除く） dif3版 2302 1900（袖領域の設定を除く）
- 78. GPUプログラムの評価 2015/07/01GPGPU実践プログラミング79 共有メモリを使用したdif3.cu dif1.cu（共有メモリ不使用）と比較して遅い Fermi世代以降のGPUはキャッシュを搭載 共有メモリを使っても速くならない 共有メモリへ明示的にデータを移動 余分な処理により負荷が増加 せっかくなのでif文の書き方について評価
- 79. GPUプログラムの評価 2015/07/01GPGPU実践プログラミング80 if分岐の書き方による実行速度の変化 ブロックとスレッドの条件を同時に記述 Warp内のスレッドが分岐すると実行速度が著しく低下 GPUはブロック単位で分岐，Warp単位で分岐しても実行速度 の低下は抑えられる 上の書き方は最適ではない？ ブロック単位の分岐とスレッド単位の分岐を同時に記述 if(blockIdx.x == 0 && threadIdx.x == 0 ) sf[ty][tx‐1] = sf[ty][tx+1]; if(blockIdx.x != 0 && threadIdx.x == 0 ) sf[ty][tx‐1] = f[i‐1+Nx*j]; if(blockIdx.x == gridDim.x‐1 && threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = sf[ty][tx‐1]; if(blockIdx.x != gridDim.x‐1 && threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = f[i+1+Nx*j]; if(blockIdx.y == 0 && threadIdx.y == 0 ) sf[ty‐1][tx] = sf[ty+1][tx]; if(blockIdx.y != 0 && threadIdx.y == 0 ) sf[ty‐1][tx] = f[i+Nx*(j‐1)]; if(blockIdx.y == gridDim.y‐1 && threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = sf[ty‐1][tx]; if(blockIdx.y != gridDim.y‐1 && threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = f[i+Nx*(j+1)];
- 80. GPUプログラムの評価 2015/07/01GPGPU実践プログラミング81 if分岐の書き方による実行速度の変化 ブロックとスレッドの条件を分け，ifを入れ子に ブロック単位で分岐した後，スレッド単位で分岐 ブロック単位での分岐による速度低下が抑えられそうな気がする ブロック単位の分岐を記述する8個のifは2個一組（同じ色の 行）で排他的に分岐 blockIdx.x==0が成立すると，blockIdx!=0は絶対に成立しない if(blockIdx.x == 0 )if(threadIdx.x == 0 ) sf[ty][tx‐1] = sf[ty][tx+1]; if(blockIdx.x != 0 )if(threadIdx.x == 0 ) sf[ty][tx‐1] = f[i‐1+Nx*j]; if(blockIdx.x == gridDim.x‐1)if(threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = sf[ty][tx‐1]; if(blockIdx.x != gridDim.x‐1)if(threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = f[i+1+Nx*j]; if(blockIdx.y == 0 )if(threadIdx.y == 0 ) sf[ty‐1][tx] = sf[ty+1][tx]; if(blockIdx.y != 0 )if(threadIdx.y == 0 ) sf[ty‐1][tx] = f[i+Nx*(j‐1)]; if(blockIdx.y == gridDim.y‐1)if(threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = sf[ty‐1][tx]; if(blockIdx.y != gridDim.y‐1)if(threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = f[i+Nx*(j+1)];
- 81. GPUプログラムの評価 2015/07/01GPGPU実践プログラミング82 if分岐の書き方による実行速度の変化 2個一組のifの片方をelseに書き換え 2個一組のifにおける条件判断は1回限り 2回ifの条件判断を行うよりは速いような気がする if(blockIdx.x == 0 ){if(threadIdx.x == 0 ) sf[ty][tx‐1] = sf[ty][tx+1];} else {if(threadIdx.x == 0 ) sf[ty][tx‐1] = f[i‐1+Nx*j];} if(blockIdx.x == gridDim.x‐1){if(threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = sf[ty][tx‐1];} else {if(threadIdx.x == blockDim.x‐1) sf[ty][tx+1] = f[i+1+Nx*j];} if(blockIdx.y == 0 ){if(threadIdx.y == 0 ) sf[ty‐1][tx] = sf[ty+1][tx];} else {if(threadIdx.y == 0 ) sf[ty‐1][tx] = f[i+Nx*(j‐1)];} if(blockIdx.y == gridDim.y‐1){if(threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = sf[ty‐1][tx];} else {if(threadIdx.y == blockDim.y‐1) sf[ty+1][tx] = f[i+Nx*(j+1)];}
- 82. if分岐の書き方の違いによる実行速度の変化 2015/07/01GPGPU実践プログラミング83 格子分割数 Nx×Ny=2048×2048 1ブロックあたりのスレッド数 16×16 if文の書き方 実行時間 [ms] ブロックとスレッドの条件 を同時に記述 2.30 ブロックとスレッドの条件 を分け，ifを入れ子に 2.51 2個一組のifの片方を elseに書き換え 2.35 カーネル1 （共有メモリ不使用） 2.00
- 83. その他の処理の高速化 2015/07/01GPGPU実践プログラミング84 laplacianカーネルとintegrateカーネルの融合 カーネルフュージョン(kernel fusion) 異なる処理を行うカーネルをまとめることでデータを再利用 グローバルメモリへの書き込み，読み出しを回避 __global__ void integrate(double *f, double *f_new){ int i,j,ij; double f_lap; //ある1点のラプラシアンを計算してレジスタに保存 i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij= i+Nx*j; f_lap = ... f_new[ij] = f[ij] + dt*DIFF*f_lap; //f[ij]=f[ij]+...とすると，全ての点のf_lapを計算する前にfを更新する可能性がある }
- 84. その他の処理の高速化 2015/07/01GPGPU実践プログラミング85 値の更新 f_newのデータをfにコピーしているだけ cudaMemcpyで代用可能 __global__ void update(double *f, double *f_new){ int i,j,ij; i = blockIdx.x*blockDim.x + threadIdx.x; j = blockIdx.y*blockDim.y + threadIdx.y; ij = i+Nx*j; f[ij] = f_new[ij]; }
- 85. その他の処理の高速化 2015/07/01GPGPU実践プログラミング86 値の更新 f_newのデータをfにコピーしているだけ cudaMemcpyで代用可能 for(n=1;n<=Nt;n++){ integrate<<<Block, Thread>>>(dev_f,dev_f_new); //update<<<Block, Thread>>>(dev_f,dev_f_new); cudaMemcpy(dev_f, dev_f_new, Nbytes, cudaMemcpyDeviceToDevice); } return 0;