Σε αυτό το μάθημα εισάγεται η έννοια της σύγκλισης, του σημείου συσσώρευσης καθώς και ένας "πειραματικός" ορισμός του ορίου, βασισμένος στην αρχή της μεταφοράς.

1. ΄Ορια — Μάθημα 1ο
Σύγκλιση, σημεία συσσώρευσης και ο ορισμός ορίου
Μάρκος Βασίλης — aftermathsgr.wordpress.com
15 Σεπτεμβρίου 2019
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 1 / 20

2. Σύγκλιση Ορισμός
΄Ερχεται. . .
Ας πάρουμε μία μεταβλητή x στην οποία δίνουμε, διαδοχικά, τις εξής
τιμές:
(0.9, 0.99, 0.999, . . .).
Τότε, παρατηρούμε ότι, καθώς δίνουμε τιμές στην x, αυτές
«πλησιάζουν» όλο και περισσότερο τον αριθμό 1. Εναλλακτικά,
μπορούμε να δώσουμε και αυτές τις τιμές στη μεταβλητή x:
(1.1, 1.01, 1.001, . . .).
Και σε αυτήν την περίπτωση, καθώς δίνουμε τιμές στην x, αυτές
«πλησιάζουν» όλο και περισσότερο τον αριθμό 1. ΄Αλλη μία, από τις
πολλές εναλλακτικές, είναι και η εξής:
(0.9, 1.01, 0.99, 1.01, 0.999, 1.001, . . .).
Ωστόσο, τι εννοούμε όταν λέμε «πλησιάζουν»; Φεύγουν οι αριθμοί από
τη θέση του και πάνε προς το 1;
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 2 / 20

3. Σύγκλιση Ορισμός
Ορισμός της σύγκλισης
Ορισμός (Σύγκλιση)
Θα λέμε ότι μία μεταβλητή x συγκλίνει (τείνει) σε έναν αριθμό x0 και θα
γράφουμε x → x0 αν ισχύουν τα εξής:
◮ η x παίρνει τιμές αυθαίρετα κοντά στον x0 από ένα σημείο και
μετά και,
◮ x = x0.
Επομένως, η έννοια της σύγκλισης (του «πλησιάζειν») έχει να κάνει με
μεταβλητές και όχι με αριθμούς.
Διαισθητικά, οι αριθμοί είναι ο «δρόμος» πάνω στον οποίο βαδίζει η
μεταβλητή για να φτάσει «κάπου». Επομένως, ο δρομός καθοδηγεί τη
μεταβλητή προς την πορεία της, αλλά ο δρόμος (δηλαδή, οι αριθμοί) δεν
κινείται!
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 3 / 20

4. Σύγκλιση Ορισμός
Παραδείγματα
◮ Ας πάρουμε μια μεταβλητή x με τιμές:
(1.9, 1.99, 1.999, . . .).
Τότε, εύκολα βλέπουμε ότι x → 2.
◮ Ας πάρουμε μια μεταβλητή x με τιμές:
(2.2, 2.02, 2.002, . . .).
Τότε, εύκολα βλέπουμε και πάλι ότι x → 2.
◮ Ας πάρουμε μια μεταβλητή x με τιμές:
(1.9, 2.2, 1.99, 2.02, 1.999, 2.002 . . .).
Τότε, και πάλι έχουμε ότι x → 2.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 4 / 20

5. Σύγκλιση Ορισμός
Παρατήρηση
Προσοχή!
Δε χρειάζεται μία μεταβλητή να προσεγγίζει έναν αριθμό μόνο από μία
πλευρά. ΄Οπως είδαμε και στα προηγούμενα παραδείγματα, είτε
δώσουμε τιμές αποκλειστικά μικρότερες του 2, είτε αποκλειστικά
μεγαλύτερες είτε και μικρότερες και μεγαλύτερες, αυτό που καθορίζει το
αποτέλεσμα είναι ότι τελικά πλησιάζουμε στο 2.
Με άλλα λόγια, δεν έχει σημασία ποιες είναι οι ακριβείς τιμές που
παίρνει η μεταβλητή, αλλά το ότι αυτές, από ένα σημείο και μετά, είναι
οσοδήποτε κοντά στο 2 θέλουμε και, όπως είπαμε, δεν είναι ποτέ ίσες με
2 («πλησιάζει» αλλά δεν «ακουμπάει»).
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 5 / 20

6. Σύγκλιση Πλευρική σύγκλιση
Πλευρική σύγκλιση
Ορισμός (Εκ δεξιών σύγκλιση)
Λέμε ότι μία μεταβλητή x συγκλίνει από δεξιά σε έναν αριθμό x0 και
γράφουμε x → x+
0 αν:
◮ x → x0 και,
◮ x > x0.
Ορισμός (Εξ αριστερών σύγκλιση)
Λέμε ότι μία μεταβλητή x συγκλίνει από αριστερά σε έναν αριθμό x0 και
γράφουμε x → x−
0 αν:
◮ x → x0 και,
◮ x < x0.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 6 / 20

7. Σύγκλιση Πλευρική σύγκλιση
Παραδείγματα
΄Ετσι,
◮ αν δώσουμε στην x τις τιμές:
(2.4, 2.49, 2.499, . . .)
τότε x → 2.5−,
◮ αν της δώσουμε τις τιμές:
(2.51, 2.501, 2.5001, . . .),
τότε x → 2.5+.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 7 / 20

8. Σημεία συσσώρευσης Ορισμός
Σημεία συσσώρευσης
Ας πάρουμε μία μεταβλητή x που παίρνει τιμές στο διάστημα
A = (−2, 4]. Για ποια x0 ∈ R μπορούμε να δώσουμε τιμές στην x έτσι
ώστε x → x0; Με άλλα λόγια, ποιους αριθμούς μπορούμε να
πλησιάσουμε αν «ζούμε» μόνο στο A;
◮ Μπορούμε να πλησιάσουμε το −2,
◮ Μπορούμε να πλησιάσουμε το 4,
◮ Μπορούμε να πλησιάσουμε κάθε x0 ∈ A,
Επομένως, μπορούμε να πλησιάσουμε όλους τους αριθμούς στο σύνολο
A′ = [−2, 4], μιας και βρίσκονται «οσοδήποτε κοντά σε κάποιο
στοιχείο του A».
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 8 / 20

9. Σημεία συσσώρευσης Ορισμός
Ορισμός
Ορισμός (Σημεία συσσώρευσης)
΄Εστω A ⊆ R και x0 ∈ R. Θα λέμε ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης
του A αν μπορούμε να δώσουμε τιμές από το A σε μία μεταβλητή x έτσι
ώστε: x → x0.
Επίσης, μπορούμε να φτιάξουμε και ένα νέο σύνολο που να περιέχει όλα
τα σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου:
Ορισμός (Σύνολο σημείων συσσώρευσης)
΄Εστω A ⊆ R. Ορίζουμε ως σύνολο σημείων συσσώρευσης του A και
συμβολίζουμε με A′ το σύνολο:
A′
= {x ∈ R | το x είναι σημείο συσσώρευσης του A}.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 9 / 20

10. Σημεία συσσώρευσης Ορισμός
Παραδείγματα
◮ Για το σύνολο A = (0, 6) έχουμε A′ = [0, 6].
◮ Για το σύνολο A = (−4, 1] έχουμε A′ = [−4, 1].
◮ Για το σύνολο A = (0, 1) ∪ (1, 5) έχουμε A′ = [0, 5].
◮ Για το σύνολο A = [1, 4] έχουμε A′ = [1, 4].
◮ Για το σύνολο A = [0, 3) ∪ {4} έχουμε A′ = [0, 3].
◮ Για το σύνολο A = {2, 5, 8} έχουμε A′ = ∅.
◮ Για το σύνολο A = N έχουμε A′ = ∅.
◮ Για το σύνολο A = R έχουμε A′ = R.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 10 / 20

11. Ορισμός του ορίου Συζήτηση
Πού το πας;
Ας πάρουμε την ακόλουθη συνάρτηση f :
x
y
1.5
2
-1
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 11 / 20

12. Ορισμός του ορίου Συζήτηση
Η έννοια της σύγκλισης
Ας πάρουμε μία μεταβλητή x στην οποία δίνουμε τιμές έτσι ώστε
x → 1.5. Τότε παρατηρούμε ότι τα αντίστοιχα f (x) πλησιάζουν προς το
2. Μάλιστα, δεν έχει σημασία με ποιον τρόπο προσεγγίζουν οι τιμές της
x το 1.5, καθώς, όπως και αν αυτό συμβαίνει (από αριστερά, από δεξιά,
εκατέρωθεν ή όπως αλλιώς θέλει κανείς), οι τιμές της f (x) κάνουν
ακριβώς το ίδιο πράγμα· προσεγγίζουν το 2. Η παραπάνω κατάσταση
μας οδηγεί στον εξής ορισμό:
Ορισμός (Σύγκλιση συνάρτησης)
΄Εστω f : A → R μία συνάρτηση, ℓ ∈ R και έστω x0 ∈ A′. Τότε, αν για
κάθε μεταβλητή x με τιμές από το A για την οποία ισχύει ότι x → x0
ισχύει και ότι f (x) → ℓ θα λέμε ότι «η f (x) συγκλίνει στο ℓ καθώς
x → x0» και θα γράφουμε:
f (x)
x→x0
−−−→ ℓ.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 12 / 20

13. Ορισμός του ορίου Συζήτηση
Μοναδικότητα του ορίου
Μπορεί μία μεταβλητή να «τείνει» σε δύο διαφορετικούς αριθμούς· Ας
πάρουμε μία μεταβλητή x τέτοια ώστε x → 1 και x → 2, για
παράδειγμα. Τότε, θα έπρεπε οι τιμές της x από ένα σημείο και μετά να
είναι οσοδήποτε κοντά στο 1 και κοντά στο 2 θέλουμε. Επομέμως, θα
έπρεπε να είχαμε μία κατάσταση σαν αυτή στο παρακάτω σχήμα:
1 2
όπου η x θα έπρεπε να παίρνει τιμές ταυτόχρονα και στην μπλε και
στην κόκκινη έλλειψη από ένα σημείο και μετά, άτοπο! Επομένως, μία
μεταβλητή μπορεί να τείνει το πολύ σε έναν αριθμό!
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 13 / 20

14. Ορισμός του ορίου Ορισμός
Ορισμός του ορίου
Με όλα τα παραπάνω κατά νου, έχει νόημα να δώσουμε τον εξής
ορισμό:
Ορισμός (΄Οριο συνάρτησης)
΄Εστω f : A → R μία συνάρτηση, ℓ ∈ R και έστω x0 ∈ A′. Τότε, αν για
κάθε μεταβλητή x με τιμές από το A για την οποία ισχύει ότι x → x0
ισχύει και ότι f (x) → ℓ θα λέμε ότι «το όριο f (x) καθώς x → x0 είναι ίσο
με ℓ» και θα γράφουμε:
lim
x→x0
f (x) = ℓ.
Προσοχή!
Από τον ορισμό του ορίου, δεν παίζει κανέναν ρόλο αν η f ορίζεται στο
x0. ΄Ετσι, μπορεί μία συνάρτηση να μην ορίζεται στο 4 και να έχει όριο
εκεί.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 14 / 20

15. Ορισμός του ορίου Ορισμός
Παραδείγματα
◮ lim
x→3
5 = 5, αφού, με οποιονδήποτε τρόπο και να προσεγγίσουμε το 3
με την x, ισχύει f (x) = 5. Γενικότερα:
lim
x→x0
c = c,
για κάθε x0, c ∈ R.
◮ lim
x→−2
x = −2, αφού, αν η x προσεγγίζει το −2 με οποιονδήποτε
τρόπο τότε, προφανώς, η f (x) = x προσεγγίζει το −2. Γενικότερα:
lim
x→x0
x = x0,
για κάθε x0 ∈ R.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 15 / 20

16. Ορισμός του ορίου Ορισμός
Πλευρικά όρια
Δύο ιδιαίτερα σημαντικά όρια που θα μας φανούν αρκετά χρήσιμα
είναι τα εξής:
Ορισμός (Δεξί πλευρικό όριο)
Αν f : A → R είναι μία συνάρτηση και x0 ∈ A′ τότε ονομάζουμε δεξί
πλευρικό όριο της f στο x0 το όριο:
lim
x→x+
0
f (x).
Ορισμός (Αριστερό πλευρικό όριο)
Αν f : A → R είναι μία συνάρτηση και x0 ∈ A′ τότε ονομάζουμε
αριστερό πλευρικό όριο της f στο x0 το όριο:
lim
x→x−
0
f (x).
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 16 / 20

17. Ορισμός του ορίου Ορισμός
Δεν υπάρχουν πάντα όρια!
Αν πάρουμε τη συνάρτηση f (x) =
|x|
x
, x = 0, τότε παρατηρούμε ότι, αν
x > 0 τότε f (x) =
x
x
= 1, οπότε:
lim
x→0+
f (x) = 1.
Αντίθετα, αν x < 0 έχουμε f (x) =
−x
x
= −1, οπότε:
lim
x→0−
f (x) = −1.
Επομένως, από τον ορισμό του ορίου, το lim
x→0
f (x) δεν υπάρχει, αφού
προσεγγίζοντας από δεξιά έχουμε f (x) → 1 ενώ από αριστερά έχουμε
f (x) → −1.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 17 / 20

18. Ορισμός του ορίου Ορισμός
Πλευρικά όρια και όριο
Γενικά, μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο:
Θεώρημα (Σχέση πλευρικών ορίων και ορίου)
Αν f : A → R είναι μία συνάρτηση και x0 ∈ A′ τότε ισχύει το εξής:
lim
x→x0
f (x) = ℓ ⇔ lim
x→x+
0
f (x) = lim
x→x−
0
f (x) = ℓ.
Το ⇒ είναι άμεσο από τον ορισμό του ορίου. Το ⇐ δεν είναι τόσο
άμεσο (δε θα αποδειχθεί εδώ), αλλά μας δίνει ένα χρήσιμο εργαλείο για
να εξετάζουμε αν ένα όριο υπάρχει.
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 18 / 20

19. Ορισμός του ορίου Ορισμός
΄Ενα όριο που. . . δεν υπάρχει!
Ας πάρουμε τη συνάρτηση f (x) = ημ
1
x
, η οποία έχει την ακόλουθη
γραφική παράσταση:
x
y
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 19 / 20

20. Ορισμός του ορίου Ορισμός
΄Ενα όριο που. . . δεν υπάρχει!
Αν δώσουμε σε μία μεταβλητή x τις τιμές:
1
π
,
1
2π
,
1
3π
, . . . ,
τότε f (x) = ημ
1
1/kπ
= ημ(kπ) = 0, οπότε f (x) → 0. Αν όμως δώσουμε
τις τιμές:
1
π/2
,
1
2π + π/2
,
1
4π + π/2
, . . . ,
τότε f (x) = ημ(2kπ + π/2) = 1, οπότε f (x) → 1, οπότε, εξ ορισμού, το
όριο lim
x→0
f (x) δεν υπάρχει.
Να παρατηρήσουμε ότι σε αυτήν την περίπτωση όχι μόνο δεν υπάρχει το
όριο της f , αλλά και κανένα από τα δύο πλευρικά δεν υπάρχει!
Μάρκος Βασίλης (∀fter − maths) ΄Ορια — Μάθημα 1ο
15 Σεπτεμβρίου 2019 20 / 20