1. 1
Тема: Конус та його елементи. Перерізи конуса.
«Гарні задачі- це цікаві і легкі»
І.М.Гельфанд
Мета:
Навчальна: ввести поняття конуса, ознайомити здобувачів освіти з
основними елементами конуса, розглянути перерізи конуса. Застосувати
отриманні знання до розв’язання задач.
Розвивальна: сприяти розвитку логічного мислення здобувачів освіти та
розширенню кругозору; розвивати просторову уяву здобувачів освіти,
вміння застосовуватиформулипланіметрії при розв’язанні стереометричних
задач; розвиватиі удосконалювативміння застосовуватиотриманнізнання в
зміненій ситуації; розвивати грамотну математичну мову, навички
самоконтролю.
Виховна: виховувати охайність, активність, інтерес до предмету, навчити
здобувачів освіти цінити кожну хвилину і вміло організовувати свою роботу.
Форми організації учбовоїдіяльності: фронтальна, індивідуальна, діалог,
робота з матеріалом слайда, підручника; самостійна і дослідна робота.
Методи: наочний, словесний, умовно-символічний, дослідницький.
Додаток: слайдова презентація в програмі PowerPoint, тести в програмі
Plickers, Padlet (рефлексія), Learningapps(підсумки), Quizlett (групова робота)
Тип заняття: комбіноване
Організаційно вступна частина.
Взаємне вітання викладача зі здобувачами освіти.
Налаштування на продуктивнуспівпрацю проводимо за допомогою спільної
роботи здобувачів освіти за допомогою Padlet з гаджетами (здобувачі освіти
відповідають на питання: «Який настрій? Як ви налаштовані провести
заняття?»(на екрані демонструємо відповіді здобувачів освіти).

2. 2
https://padlet.com/olyasvirin/hl2v2zfnxlj0fuq8
План
1. Поняття конуса.
2. Елементи конуса.
3.Перерізи конуса.
4.Розв’язання задач.
Актуалізація опорних знань.
Для швидкої перевірки залишкових знань здобувачів освіти використовуємо
сервіс Plickers. (Більш детальна інформація за посиланням
https://get.plickers.com/). Після проходження тесту, викладач і здобувачіосіти
одразубачать які завдання не були розв’язаніправильно. Після цього
викладачем дається додатковаінформація, яка допомагає студентам
виправити помилки.
Однією з поставлених цілей на занятті є вміння застосовуватиформули
планіметрії при розв’язання стереометричнихзадач.
Математичний диктант
1.Теорема Піфагора.
2. Формула знаходження довжини кола.
3. Формула знаходження довжини дуги, яка обмежує сектор.
4. Площа круга.
5. Що називається кутом між прямою і площиною.
6. Площа трикутника?
7. Яка з формул написана вірно?
а)
a
b


cos
б)
c
b


sin
a
b
a
c
a
h

3. 3
в)
b
a
tg 

Повідомлення теми заняття.
Корисно здобувачам освіти давати виклик. Для цього перед оголошенням
теми заняття пропонуємо здобувачам освіти завдання. Ключове слово нашої
теми заняття зашифровано на цьому слайді.
Для того щоб його назвати, треба відповісти на питання: що спільного у цих
предметів? (форма конуса)
Таким чином здобувачі освіти навчаються бачити й застосовувати
математику в реальному житті.
Повідомлення теми. Тема: Конус та його елементи. Перерізи конуса.
Перевірка домашнього завдання:
Застосовано методику «перевернутий клас». У зв’язку з тим, що здобувачі
освіти знайомились з конусом в молодших класах, пропонуємо їм скласти
конспект на тему: «Конус та його елементи» за планом. В аудиторії викладач
корегує отриманні знання дома здобувачів освіти, доповнює їх і більшу увагу
на занятті приділяємо розв’язанню задач.
План за яким здобувачі освіти працювали дома:
1.Етімологічна довідка.(доповідь студента)
2.Історична довідка.(доповідь студента)
3.Математична довідка.(означення конуса)

4. 4
4.Виконати розгортку конуса. (дане завдання розвиває навички
використання інженерного підходу для розв’язання реальних завдань,
дизайн).
Пояснення нового матеріалу
1 Конус та його елементи.
S Означення: Конусом називається тіло, утворене
Обертанням прямокутного трикутника навколо осі, що
А О В містить його катет.
Зауваження: Якщо прямокутний трикутник SOA обертати навколо катета
SO, його гіпотенуза SA опише бічну поверхню, а катет АО – круг – основу
конуса.
Основою конуса є круг.
Вершиною конуса є точка S.
Означення: Твірною конуса називається відрізок, який з’єднує (сполучає)
вершину конуса з будь якою точкою кола його основи.
Зауваження: Всі твірні конуса рівні.
Означення: Висотою конуса називається відстань від його вершини до
площини основи конуса.
Зауваження: Якщо бічну поверхню конуса розрізати по будь якій твірній і
розгорнути на площині, дістанемо її розгортку.
Розгорткабічної поверхні конуса радіуса R із твірною L є сектором радіуса L,
довжина дуги дорівнює довжині кола основи, т.б. R

2 .
L
R

2
R

5. 5
Перевірка знань під час викладання нового матеріалу.
Задачі по готовим рисункам дають можливість економити час.
Пропонуємо здобувачам освіти десяток задач по готовим рисункам, з
дидактичними функціями, розраховані на безпосереднє застосування
вивченої теорії, на закріплення вивчених питань.
Виконати усно.
1. Радіус і висота конуса дорівнюють 3см і 4см. Знайти:
1.1 Твірну конуса. (SA=5, єгипетський трикутник)
1.2.Кут нахилу твірної до площини основи. (<SAO=arctg4/3)
1.3.Кут між висотою і твірною. (<SAO=arcctg4/3)
1.4.Площу основи конуса. (S= 
9 )
2.Висота конуса 4см, твірна 5см. Знайти кут сектора, який є розгорткою
бічної поверхні цього конуса.
4
3
О
А S
S
K O
4
5
S
5 5
K A
m

6. 6
Розв’язання:
1) Довжина кола основи конуса дорівнює довжині дуги сектора KmA.
2) Знайдемо довжину кола основи конуса l= R

2 , l= OK


2 . SOK
 -
єгипетський, тому КО=3
l= 
6
3) довжину дуги сектора KmA знаходимо за формулою : 

180
n
r
L




L=l= 
6 ; r=SK=5.




216
5
6
180
180








 r
L
n
Відповідь: 216
2 Перерізи конуса.
І знову виклик здобувачам освіти.
Проблемне питання: Ліхтар встановлений на висоті 10м. Кут розсіювання
ліхтаря 120
. Визначити, площу освітлюваної поверхні.
Питання:
1) Поверхня, яку освітлює ліхтар має вигляд якої геометричної фігури?(круг)
2) Тобто необхідно знайти площу круга. Як знайти площу круга? ( 2
R
S 
 )
3) Виникає питання: як знайти радіус круга, знаючи тільки кут розсіювання і що
це за кут мовою математики?
І щоб відповісти на це питання ми переходимо до вивчення нової теми. Тому
переходимо до наступного пункту плану «перерізи конуса», в якому ми
розглянемо найпростіші перерізи конуса, проаналізуємо результати перерізів
конуса площинами. А вже після теоретичного матеріалу повернемось до
задачі.

7. 7
а) б) в)
а) Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину (рис. б).
В результаті отримали рівнобедрений трикутник у якого бокові сторони є
твірними конуса, а основа трикутника є хордою основи конуса.
б) Осьовий переріз конуса (рис. а) – це переріз конуса площиною, яка
проходить через вісь конуса.
В результаті отримали рівнобедрений трикутник у якого бокові сторони є
твірними конуса, а основа трикутника є діаметром основи конуса.
в) Переріз конуса площиною паралельною основі конуса (рис. в).
Площина, паралельна основі конуса, перетинає конус по кругу, а бокову
поверхню – по колу з центром на осі конуса.
При цьому дістанемо два тіла обертання: менший конус і зрізаний конус.
Зрізаний конус можна розглядати і як тіло, утворене обертанням
прямокутної трапеції навколо меншої її бічної сторони.
Зрізаний конус обмежений двома кругами – його основами і бічною
поверхнею.
Висота – відстань між основами.
Твірна АВ – відрізок, який сполучає точки кіл основ.
Перевірка знань під час викладання нового матеріалу.
В
О
А

8. 8
Фронтальне опитування:
1. Яку фігуру представляє собою переріз конуса площиною, яка проходить
через його вершину? (Рівнобедрений трикутник)
2. Чим є для конуса бокові сторони цього трикутника? (твірними)
3. Що називається осьовим перерізом конуса? (переріз, що проходить через
його вісь)
4. Чи є осьовий переріз конуса рівнобедреним трикутником? (да)
5. Чим є для конуса висота і основа рівнобедреного трикутника, який
представляє собою осьовий переріз конуса. (висота трикутника є висотою
конуса, основа трикутника є діаметром основи конуса).
6. Яка фігура утворюється при перерізі конуса площиною паралельною основі
конуса? (круг).
3 Закріплення вивченого на занятті.
Задачі по готовим рисункам. Виконати усно.
1.

9. 9
А тепер повернемось до вирішення поставленого проблемного питання.
1. Ліхтар встановлений на висоті 10м. Кут розсіювання ліхтаря 120 
.
Визначити, площу освітлюваної поверхні.
Розв’язання:
Освітлювана поверхня є круг – основа конуса, лампа
ліхтаря – вершина конуса, промені, направлені на коло
-твірні конуса, кут 120
– це кут при вершині
осьового перерізу.
1) Розглянемо трикутник ASB (AS=SB), SO- висота,
бісектриса, медіана, < OSB= 60
.
2) Розглянемо трикутник SOB(<O=90
).
3
10
60
60 



 

tg
SO
OB
SO
OB
tg (м).
3) Знаходимо площу освітлюваної поверхні, тобто
площу круга   

 300
3
10
2
2


 R
S (м2
)
Відповідь: 
300
2. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений прямокутний трикутник.
Радіус основи конуса 7см. Знайти
1. Висоту конуса.
2. Твірну конуса.
120
S
В
А
О
2.

10. 10
Групова робота.
Quizlet гра live https://quizlet.com/_9yhlnm?x=1qqt&i=2gcelo. За цим
посиланням можна отримати завдання.
Здобувачам освіти пропонується смартофоном відсканувати QRкод для
приєднання до гри. Система поділить групу на команди. Команді
пропонується загальне питання, а відповіді розкидані на різних смартфонах
учасників даної команди і треба знайти правильний і натиснути відповідь на
одному із смартфонів. Виграє та команда яка першою прийшла до фінішу.
Після закінчення гри сервіс показує завдання, в яких було допущено більше
помилок, що дає можливість викладачу на наступне заняття спланувати
систему завдань для подолання цих помилок.
4. Підсумки.
Гра «Вірю-не вірю» https://learningapps.org/display?v=pvj0n1xij21
1.Чи може осьовий переріз конуса бути прямокутним трикутником?(да)
2.Чи може осьовий переріз конуса бути трикутником з кутами 20
, 75
,85
?
(ні)
3.Чи завжди твірна конуса більша за його висоту? (Да)
4.Чи може осьовий переріз конуса бути трикутником зі сторонами 2см, 9см,
10см?(ні)
5.Чи може переріз конуса, який проходить через його вершину бути
трикутником з кутами 20
, 20
, 140
? (да)
Домашнє завдання.
1. «Геометрія» :11кл.:підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: академ.рівень,
проф. рівень/ Г.В. Апостолова, упорядкув. завдань: Ліпчевського Л.В.(та
ін..).-К.: Генеза, 2011.-304с.
С.163-169

11. 11
2.Наближаються новорічні свята і приємні традиції. И ми не залишаємось в
стороні і розв’яжемо таку задачу.
Гірлянди закріплені на верхівці ялинки і розподілені по боковій поверхні
конуса через 30
, висота ялинки 12м, а довжина ялинкової гілки при основі
дорівнює 5м. Обчислитискільки метрів гірлянди необхідно для прикрашання
ялинки?
(Розв’язання: за форму ялинки візьмемо конус, висотою 12м і радіусом
основи 5м.Гірлянди закріплені на верхівці ялинки і розподілені по боковій
поверхні конуса через 30
.
1.Кількість гірлянд на ялинці: 360:30=12 (ниток).
2.Довжина гірлянди співпадає з довжиною твірної. З прямокутного
трикутника за теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу.
12 2
+5 2
=169. Значить довжина гірлянди 13.
3.Кількість гірлянд множимо на довжину гірлянди 12*13=156(м)
3.Для кмітливих: чи можна в результаті перерізу конуса площиною
отримати параболу, гіперболу, еліпс? Якщо да, підібрати картинки.
Рефлексія.
Спільна робота студентів та викладача за допомогою Padlet. Робота з
гаджетами. (студенти відповідають на питання: «Що ви дізнались нового на
занятті? На скільки відсотків ви були активними?» (на екрані демонструємо
відповіді студентів)

12. 12
5. Перелік джерел посилання
1. «Геометрія» :11кл.:підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: академ.рівень,
проф. рівень/ Г.П. Бевз , В.Г. Бевз , Н.Г. Владімірова, В.М. Владіміров.-К:
Генеза,2011.-336с.: іл.-Бібліогр: с.310.
2. «Геометрія» :11кл.:підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: академ.рівень,
проф. рівень/ Г.В. Апостолова, упорядкув. завдань: Ліпчевського Л.В.(та
ін..).-К.: Генеза, 2011.-304с.
3. Погорелов О.В. Геометрія:Стереометрія: Підр для 10-11кл. серед. шк.-6-те
вид.-К.:Освіта, 2001.-128с.
4. «Геометрія» :11кл.:підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: академ.рівень,
проф. рівень/ Г.П. Бевз , В.Г. Бевз , Н.Г. Владімірова, В.М. Владіміров.-К:
Генеза,2011.-336с.: іл.-Бібліогр: с.310.
5. «Геометрія» :11кл.:підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: академ.рівень,
проф. рівень/ Г.В. Апостолова, упорядкув. завдань: Ліпчевського Л.В.(та
ін..).-К.: Генеза, 2011.-304с.
6. Сенин В.Г., Сенина Г.Н., МБОУ «СОШ № 4», г. Корсаков
7. http://uchitelya.com/geometriya/75502-otkrytyy-urok-konus-reshenie-zadachi-
11-klass.html
8. «Сучасна підготовка до ЗНО з математики»/ Ю.О. Захарійченко .-
Кам’янець-Подільський:Аксіома,2020.-232с.
9. Мотивація у навчанні. Вебінар для вчителів.
https://www.youtube.com/watch?v=GxJZSLPKe2s
10. 2020-2021 навчальний рік - Рік математичної освіти в Україні.
https://pol-otg.gov.ua/news/1593684639/