Teks tersebut merupakan ringkasan soal dan pembahasan untuk Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012 tingkat SMP. Terdapat 11 soal yang dibahas secara rinci beserta pembahasannya. Soal-soal tersebut meliputi materi bilangan, geometri, kombinatorika, dan lainnya.

1. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 1
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
SOAL DAN PEMBAHASAN
OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2012 (OMVN 2012)
TINGKAT SMP BABAK PENYISIHAN (BAGIAN I : SOAL 1-10)
BAGIAN I
1. Bentuk paling sederhana dari
√ ( )√ ( )√
( √ )(√ √ )(√ √ )
adalah …
Pembahasan :
√ ( )√ ( )√
( √ )(√ √ )(√ √ )
√ ( )√ ( )√
( √ )(√ √ )(√ √ )
√ ( )√ √ ( )√
( √ )(√ √ )(√ √ √ )
√ ( ( )√ ( ))
( √ )(√ √ )√ (√ )
( )√ ( )
( √ )(√ √ )(√ )
√ √
( √ )(√ √ )(√ )
(√ ) √
( √ )(√ √ √ )(√ )
(√ ) √
( √ )√ (√ )(√ )
( √ )( √ )
( √ )√ (√ )(√ )
( √ )( √ )
( √ )√ ((√ ) )
√
√ ( )
√
√
√
√
√
√
√ √ √ √
2. Perhatikan gambar!
Pada persegi panjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik E.
Suatu lingkaran berjari-jari 1 dan berpusat di E menyinggung sisi AB dan
CD. Pada interior persegi panjang tersebut, jika besar sudut ABE adalah 30o
maka luas daerah yang diarsir adalah …
Pembahasan :
Diketahui :
Perhatikan segitiga sama kaki AEB :
Sehingga :
Perhatikan segitiga sama kaki AED :
Karena ini menunjukkan
bahwa segitiga AED adalah segitiga sama sisi, sehingga :

2. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 2
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
Perhatikan segitiga siku-siku AFE : (gunakan teorema Pythagoras)
√ √ √ √
√ √
( ) ( )
( √ ) ( √ )
√ √
√
√
3. Hasil jumlah sebanyak 2012 bilangan asli adalah suatu bilangan ganjil sedangkan hasil kali semua bilangan
tersebut adalah suatu bilangan genap. Paling banyak ada berapa bilangan ganjil diantara 2012 bilangan tersebut?
Pembahasan :
Misalkan :
⏟ ⏟
Agar diperoleh bilangan ganjil yang terbanyak maka pada penjumlahan 2012 bilangan asli haruslah ada 2011
bilangan ganjil dan 1 bilangan genap
⏟ ⏟
Agar diperoleh bilangan ganjil yang terbanyak maka pada hasil kali 2012 bilangan asli haruslah ada 2011
bilangan ganjil dan 1 bilangan genap

3. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 3
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
Jadi paling banyak bilangan ganjil diantara 2012 bilangan tersebut adalah
4. Untuk bilangan-bilangan real dan diberikan sistem persamaan :
{
Nilai dari adalah …
Pembahasan :
Diketahui :
{
( )
( )
( )
Eliminasi persamaan (1) dengan (2) :
( )
( )
Eliminasi persamaan (3) dengan (2) :
( )
( )
( ) ( )
Jadi nilai dari adalah
5. Suatu bilangan puluhan nilainya sama dengan tiga kali hasil kali digit-digitnya. Hasil kali semua bilangan puluhan
yang memenuhi sifat tersebut adalah …
Pembahasan :
Diketahui : (misalkan)
Sehingga :

4. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 4
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
Untuk
Untuk
( )
( )
( )
( )
Dengan demikian untuk ( )
Diperoleh bilangan puluhan yang memenuhi :
Jadi hasil kali semua bilangan puluhan yang memenuhi sifat tersebut adalah
6. Bilangan asli terkecil sedemikian sehingga merupakan bilangan kubik adalah …
Pembahasan :

5. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 5
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
( )
( )
( ) ( )
⏟ ( ⏟ )
Agar merupakan bilangan kubik maka harus bilangan kubik, sehingga :
( ) ( )
( ) ( )
Jadi bilangan asli terkecil yang memenuhi adalah
7. Untuk bilangan real positif , jika maka nilai dari
Pembahasan :
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan berikut :
( ) ( )

6. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 6
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
( )
( )
8. Delapan bilangan asli memiliki rata-rata 6,5. Empat dari delapan bilangan tersebut adalah 4, 5, 7, dan 8. Selisih
antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 10. Jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar, maka
banyaknya susunan ada …
Pembahasan :
Diketahui : (Misalkan)
{ }
( )
( )
Substitusikan persamaan (2) ke (1) :
( )
( )
( )
Perhatikan tabel berikut : ( { })
Banyak penyusunan
1 11 5
4
10 6
9 7
8 8
2 12 2
6
11 3
10 4
9 5
8 6
7 7
3 9 3
4
8 4
7 5
6 6

7. www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2013
SD.A 2 Y.K
www.siap-osn.blogspot.com Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2012Tingkat SMP / Page 7
Blog tentang : “Soal Matematika dan Pembahasannya untuk SD, SMP, SMA atau Sederajat”
4 6 4
2
5 5
Banyak cara mengurutkan dari terkecil ke terbesar 16
Jadi banyak susunan jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar adalah
9. Banyak bilangan bulat yang memenuhi ( ) ( ) ( )
Pembahasan :
Perhatikan kesamaan berikut :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Karena diruas kanan terdapat bilangan 503 yang merupakan bilangan prima, dan diruas kiri terdapat
persamaan ( ) yang bersesuaian dengan 503 maka pencarian nilai cukup dicari berdasarkan
kesamaan :
( ) ( ) ( )
Lakukan pengecekan untuk
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Jadi banyak bilangan bulat yang memenuhi ada
10. Kepada lima anak yang lolos sebagai finalis OMV 2012, tiga anak diantaranya akan diberi sovenir sebagai
kenang-kenangan. Jika terdapat lima sovenir yang berbeda maka banyak cara memberikan sovenir-sovenir
tersebut adalah … cara
Pembahasan :
Diketahui :
( )
( )
Jadi banyak cara memberikan sovenir-sovenir tersebut kepada 3 anak adalah
11. Pada posting berikutnya di : www.siap-osn.blogspot.com