parcial de trigonometria realizado con geogebra

1. PARCIAL TRIGONOMETRÍA
Actividad 3:
-Una rana se adhiere fuertemente al borde de la rueda de un molino de agua de un metro
de radio cuyo centro está exactamente en la superficie del agua. De manera inmediata, la
rana es sacada del agua y gira junto con la rueda. La rueda gira en sentido antihorario, de
modo que da una vuelta completa cada 6 minutos.
1) ¿Cuántos grados gira la rana cada minuto y cada segundo?
6 minutos _______ 360° 60’_________ 60°
1 minuto________ 60°. 1’__________ 1°.
Rta: La rana gira 60° cada minuto y 1° cada segundo.
2) Si la rana recorrió 20°, ¿a qué altura de la superficie del río estará? Si en ese
preciso momento la rana se dejara caer directamente hacia el agua, ¿a qué
distancia del centro de la rueda caería? Explica tu respuesta.
Senβ:
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Senβ:
𝑥
1 𝑚
Sen 20° x 1 m = 𝑥
x
a
0,34 m= 𝑥

2. Cos β:
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
cos 20° x 1 m = 𝑎
Cos 20°:
𝑎
1 𝑚
0,94 m = 𝑎
Rta: La rana estará a 0,34 metros de la superficie del río. Se resolvió con la relación
trigonométrica del seno ya que se contaban con los datos del radio de la rueda del molino
de agua y el ángulo recorrido, es decir el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del
triángulo conformado. Si se deja caer, caerá a 0,94 metros del centro de la rueda, y se
utilizó la relación trigonométrica del coseno para resolver la incógnita a.
3) Si la rana se queda pegada en el borde de la rueda:
a) ¿para cuántos grados estará a 20 cm de altura del agua? Explica tu respuesta.
Senβ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
β = arc sen 0.20
Senβ =
0.20
1
m = 11° 32´13´´
Rta: Para 20 cm de altura del agua la rana estará formando un ángulo de 11° 32´13´´ con
respecto a la superficie. Para hallar el ángulo se tomó a la altura como cateto opuesto y el
radio de la rueda del molino como hipotenusa, utilizamos la relación trigonométrica del
seno.
1 m
20cm
𝛽
𝛽

3. b) ¿Para cuántos grados estará a una distancia horizontal de 75 cm del centro de la
rueda?
Cos β =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
β: arc cos =
0,75
1
Cos β =
0,75
1
m β: 41° 24´34´´
Rta: A una distancia horizontal de 0,75 m, la rana formará un ángulo de 41° 24´34´´ con
respecto al centro de la rueda.
c) ¿Para cuántos grados la rana estará bajo el agua? Explica tu respuesta.
Rta: Dependiendo del lugar donde esté ubicada la rana deberá dar un giro de 180° o
menos para estar bajo del agua.
0,75 m
𝛽
180°
180°
Superficie terrestre
Debajo delagua

4. d) Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que la rana sale del agua, ¿en
cuánto tiempo llegará de nuevo al agua y que distancia habrá recorrido? Explica tu
respuesta.
360°
180°
Rta: Llegará al agua nuevamente en 3 minutos y habrá recorrido 180°, teniendo en cuenta
que en 6 minutos recorre un giro completo (360°).
1 vuelta360°
½ vuelta180°
Rta: Desde el instante en que la rana haya salido del agua hasta que ingrese nuevamente
habrá recorrido 3,14 metros. Porque al saber que en una vuelta recorre 6,28 metros en
media vuelta recorrerá la mitad (3,14 metros).
e) Si la rana permanece 5 horas en la rueda, ¿cuántas vueltas dio y que distancia
recorrió? Explica tu respuesta.
5 horas = 300 minutos
6 minutos
300 minutos
Una vuelta
50 vueltas
Rta: Si en 6 minutos la rana recorre una vuelta (360°), en 5 horas, que equivalen a 300
minutos, recorrerá 50 vueltas (1800°).
Si en una vuelta recorre 6,28 metros, entonces en 50 vueltas transitará 314 metros.
6 minutos
X = (180x6) ÷ 360  3 minutos
180°
Sale del aguaLlega nuevamente al
agua
𝜋 x d = 6,28 m
X = 3,14 metros
Una vuelta
X = (300x1)÷ 6  50 vueltas
𝜋 𝑥 𝑑 = 6,28 metros
𝑥 = 50x6,28  314 metros

5. 2- Elaborar el concepto de circunferencia unitaria, goniométrica o círculo trigonométrico,
cuadrantes.
Circunferencia goniométrica
Para el estudio de las funciones trigonométricas se utiliza como base la circunferencia de
radio 1 o circunferencia unitaria. Para obtener la fórmula de la circunferencia unitaria
usamos la fórmula de distancia entre dos puntos. Consideramos el centro “O” con
coordenadas (0,0), el radio 1 y un punto cualquiera M sobre la circunferencia de
coordenadas (x,y).
Definición de cuadrantes:
Los ejes de coordenadas X e Y dividen al plano en 4 partes iguales y cada uno de ellos se
llama cuadrante. Cada cuadrante mide un ángulo recto.
y
x
I (+,+)II (-,+)
III(-,-) IV (+,-)

6. 2. Indica cuáles son las coordenadas de M  Las coordenadas del lado son (X´, Y’)
3. Dibuja el triángulo rectángulo que se forma con el punto M, la distancia y’ y la parte
positiva del eje x.
4. Aplicando lo que sabes sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos,
calcula el valor de x y el valor de y del triángulo que dibujaste. Explica tu respuesta.
El lado 𝑋𝑌̅̅̅̅ es el lado opuesto al ángulo de referencia, por lo que se toma la función seno
para calcular su valor:
Seno 𝛼=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Seno 𝛼=
𝑋𝑌̅̅̅
𝑂𝑀̅̅̅̅
Seno 𝛼 × 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑋𝑌̅̅̅̅
5. Representar en un círculo trigonométrico de radio 1, en forma aproximada, los
siguientes ángulos (cada ángulo en un círculo):
a) 30º ; 45º; 60º; 90º; 225º; 300º; -45º

7. b) π/4; -π/4¸π/6; 2/3 π; -π

8. 6. Sea un ángulo de 450º:
a) Grafica el ángulo en un círculo trigonométrico. ¿A qué cuadrante pertenece este
ángulo?
Pertenece al primer cuadrante
B) Determina cuántos giros completos lo forman y cuánto sobra y luego completa:
450º = 360º × cantidad de giros + ángulo que sobra
Lo forma un giro completo y sobran 90°:
450° = 360° x cantidad de giros + ángulo que sobra.
450°= 360° x 1 + 90°
7. Elabora una regla general para que, dado un ángulo α cualquiera mayor que un giro,
lo puedas reducir a su equivalente que llamaremos β.
𝛼 − 360° 𝑥 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜𝑠 = 𝛽
Regla general: Sea un ángulo 𝛼 mayor a 360° (un giro) se lo puede reducir a su
equivalente ( 𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝛽); multiplicando 360° por la cantidad de giros. Luego se
hace la diferencia entre 𝛼 y dicho resultado.
1. ¿A qué cuadrante pertenece un ángulo de:
a) 500º b) 1000º c) 786º
a) 500°:
500°-360° = 140°, por lo que pertenece al II cuadrante.
450° - 360° = 90°
I

9. b) 1000°:
1000°-720°= 280°, es decir que pertenece al IV cuadrante.
c) 786°:
786°-720°= 66°, pertenece al I cuadrante.
2. Sea un ángulo de -120º:
a) Grafica el ángulo en un círculo trigonométrico. ¿A qué cuadrante pertenece este
ángulo? ¿A qué ángulo positivo equivale?
- 120° pertenece al III cuadrante y su ángulo
equivale positivo es 240°
-120° + 360° = 240.
b) Realiza el mismo análisis para – 300º:
- 300 + 360= 60.
c) Trata de pensar en una regla o fórmula para transformar un ángulo negativo α
cualquiera en un positivo equivalente, que llamaremos β.
El ángulo-300° pertenece al I
cuadrante y su ángulo
equivalente positivoes60°.

10. Regla: Para transformar un ángulo negativo α en su equivalente positivo β se le suma
360° por la cantidad de giros.
- α + 360° x la cantidad de giros = β
1- Utiliza una hoja de cálculos, en el progama Excel y realiza una tabla como la
siguiente, transforma las amplitudes de los angulos a radiales, y a halla las
funciones trigonométricas que aquí se piden:
Amplitud del ángulo en grados Amplitud del ánguloen radiales Seno Coseno Tangente
0° 0 0 1 0
30° 0,52 0,5 0,87 0,58
60° 1,05 0,87 0,5 1,73
90° 1,57 1 0 →∞
120° 2,09 0,87 -0,5 -1,73
150° 2,62 0,5 -0,87 -0,58
180° 3,14 0 -1 0
210° 3,66 -0,5 -0,87 0,57
240° 4,19 -0,87 -0,5 1,73
270° 4,71 -1 0 →∞
300° 5,23 -0,87 0,5 -1,73
330° 5,76 -0,5 0,87 -0,58
360° 6,28 0 1 0
2. Construye, utilizando un programa graficador, las gráficas de las funciones seno,
coseno y tangente de los ángulos que usaste en la tabla.

11. 3. Analiza los valores obtenidos en la tabla de la actividad 1, observa los gráficos que
obtuviste en la actividad 2 y responde las siguientes preguntas:
a) ¿Para qué amplitudes los resultados de la función coseno se repiten?
Para la función coseno las amplitudes que se repiten son:
 30° y 330° (0,87)
 60° y 300° (0,5)
 0° y 360° (1)
 90° y 270° (0)
 120° y 240° (-0,5)
 150° y 210° (-0,87)
b) ¿Qué resultados de la función seno son nulos? ¿Qué periodicidad observan?
Los resultados de la función seno que resultan nulos son 0°, 180° y 360°. La periodicidad
que observamos es cada 180° en la tabla; y cada 2π en la gráfica, es decir, se repite cada
tramo comprendido entre 2π.
c) ¿Para qué amplitudes el resultado de la función coseno es 0,5?
Para las amplitudes 60° y 300° la función coseno es igual a 0,5.
d) ¿Para qué amplitudes la función tangente presenta resultados negativos?
Para las amplitudes 120°, 150°, 300° y 330° la función tangente presenta resultados
negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +

12. c) De lamismaforma que enel incisoa) trabaja la consignacompleta, peroconángulosdibujados
enel segundocuadrante,terceroycuarto y luegosintetizatus respuestasenungráficode la
circunferenciagoniométrica.
En el segundocuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativode lasx,mientrasque el
catetoopuestosigue sobre el ele positivode lasy.El radio (lahipotenusa)sigue siendopositivaen
todosloscuadrantes.Por lotanto: el coseno,latangente ysusinversas(secante ycotangente)
tienenresultadosnegativos.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + - - - -
REFERENCIAS
TAN
SEN
COS
REFERENCIAS
SEN
TAN
COS

13. En el tercer cuadrante, tantoel cateto adyacente comoel catetoopuestotienensussignos
negativos,yaque caensobre la parte negativade losejes.Eneste casola tangente (ysuinversa,la
cotangente) resultanpositivas(- :- = +)
sen cosec tg cotg cos sec
- - + + - -
En el cuarto cuadrante, el catetoadyacente vuelve aestarsobre el eje positivode lasx,mientras
que el catetoopuestosigue sobre el eje negativode lasy.En este caso,las únicasfuncionescuyo
resultadoserápositivosonel cosenoylasecante.
sen cosec tg cotg cos sec
- - - - + +
REFERENCIAS
SEN
TAN
COS
REFERENCIAS
SEN
TAN
COS