Una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales, como sumar vectores y multiplicarlos por escalares. Se demuestra que la transformación T definida por T(x,y) = (4yx, 3y-2x) es lineal porque cumple con ambas partes de la definición: 1) T(u + v) = T(u) + T(v) y 2) T(cu) = cT(u) para cualquier escalar c.

1. TRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONES
LINEALESLINEALES

2.  En esta sección, comenzamos con laEn esta sección, comenzamos con la
definición de transformación lineal ydefinición de transformación lineal y
varios ejemplos que esperamosvarios ejemplos que esperamos
ilustren mejor el concepto.ilustren mejor el concepto.

3. DefiniciónDefinición. Sean. Sean VV yy WW espaciosespacios
vectoriales sobre el mismo campovectoriales sobre el mismo campo kk. Una. Una
transformación linealtransformación lineal dede VV enen WW, es una, es una
función tal que:función tal que:

4. En otras palabras, una transformación linealEn otras palabras, una transformación lineal
es una función que respeta las operacioneses una función que respeta las operaciones
definidas en los espacios vectoriales: “abredefinidas en los espacios vectoriales: “abre
sumas y saca escalares”.sumas y saca escalares”.

5. EjemploEjemplo
Demuestre que la transformaciónDemuestre que la transformación
T: definida porT: definida por
es lineal.es lineal.
22
ℜ→ℜ






+
=





4yx
3y-2x
y
x
T

6. SoluciónSolución
sea u = y v =sea u = y v =
Entonces T(u + v) =Entonces T(u + v) =






1
1
y
x






2
2
y
x
)(
2
2
1
1






+





y
x
y
x
T 





+
+
=
22
11
yx
yx
T

7. (v)T(u)T
y
x
T
y
x
T
4yx
3y-2x
4yx
3y-2x
)y4(y)x(x
)y3(y-)(2
2
2
2
2
22
22
11
11
2121
2121
+=






+





=






+
+





+
=






+++
++
=
xx

8. Para todo escalarPara todo escalar
cT(u)
y
x
cT
4yx
3y-2x
c
4cy
3cy-2cx
cy
cx
T)(
1
1
11
11
11
11
1
1
=






=






+
=






+
=






=
cx
cuT

9.  Se satisfacen ambas partes de laSe satisfacen ambas partes de la
definición, de modo que T es lineal.definición, de modo que T es lineal.

10.  Se satisfacen ambas partes de laSe satisfacen ambas partes de la
definición, de modo que T es lineal.definición, de modo que T es lineal.