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200AUFGABEN
AUS DER TRIGONOMETRIE
        MIT L303226SUNGEN
               von   Karl   W303266fxe




 Zur Vorbereitunguf das Abitur an Gymnasien,
                a
Realgymnasien,                      sowie
             Wirtschaftsoberrealschulen    f303274r




    Studierendend Freunde
              u          derMathematik




HRISCHER
       SCHULBUCH-VERLAG
                     M303234NCHEN
DiesesHeft ist ein Sonderdruckus dem im Rahmen des
                             a
       Unterrichtswerkesdes BayerischenSchulbuchverlages
Mathematischen



erscheinenden             Band Geometrie                   II   342200224



                                                                               Trigonometrie.
Es wendet sich [in erster Linie an die Abiturienten    der Gymnasien,
Realgymnasien           Wirtschaftsoberrealschulen, die es
                                  und                                                                   f303274r




reichhaltigen
                        zur Vorbereitung auf die
                 303234bungsstoflF                           bietet,                            Reifepr303274fung

sowiean Studierendeder technischenWissenschaften.
    Hinweise und Anregungen zur weiteren Ausgestaltung
F303274r                                                      sowie
   Verbesserungsvorschl303244ge
f303274r                        sind Verlag und Verfasserdankbar.




                                                            1963
  Verlegt im Bayerischen               Schulbuch-Verlag,    M303274nchen        19,Hubertusstra303237e           4,Verlags-Nr.   727
  GesamthersteUung:             Graphische      Betriebe   Dr. F. P.Datterer & Cie.- Sellier
                                                                                   Inh.                                       - Freising
Vorbemerkungzum Rechnenmit                                                                                                      Me303237werten

Beiden bisherigenAufgaben haben wir die Zahlenangabenals absolut genau betrachtet.
In der Praxis der Trigonometrie hat man es jedochmeist mit Me303237werten zu tun. Wird
beispielsweise Streckezu 3,64 m gemessen, o
               eine                               s      dies,          die wahre                                                                                                       hei303237t                                    da303237
                                                                                                                                                                                                                                                                                                        L303244nge
zwischen3,635m und 3,645m liegt. in zu
                                     E         gemessenerWinkel liegt zwischen                                                                               32302260
                                                                                                                                                                                                                                                                                                             31,5302260

und        Im ersten Fall besteht eine Unsicherheitvon 0,005m, im zweitenFall eine
          32,5302260.                                                                                                                                                                            302261




solche von          Wie sich diese Unsicherheitenauf das Ergebnisauswirken, zeigt
                                  3022610,5302260.




folgendes
              Beispiel:
              In einem rechtwinkligen  Dreieckist eine Kathete o zu 3,64 gemessen, der ihr anliegende
                                                                         m
              Winkel konnte nur auf Grad genau zu
                                       303237
                                                       bestimmt werden. Berechne die Kathete b!Innerhalb                            32302260



              welcher Grenzen kann b liegen ?
              L303266sung:

              b = o tan/9 = 3,64
                            342200242
                                                                          tan
                                                                342200242
                                                                                 32302260




              logt = 0,5611                                +9,7958-10
                                                                   0,3569
              b = 2,274[m]
              Untere Grenze von b: bu
              log6w = 0,5605 9,7873
                             +
                          = 2,228
                                                                                -=10= 0,3478
                                                                                   3,635                                   tan
                                                                                                                 342200242


                                                                                                                                     31,5302260




              bu                [m]
              Obere Grenze von b: b0 = 3,645 tan
                                                                                -10
                                                                                                           342200242

                                                                                                                                  32,5302260




              log&o = 0,5617 9,8042 = 0,3659
                            +                                                                                                                                                                                                                                                 Abb.   1
              b0 = 2,322[m]
              W303274rden    wir nun das Ergebnis mit b = 2,274m angeben, so                        dies, b zwischen 2,2735m                                                                                hie303237e                   da303237



              und 2,2745 liegen      m                 mit einer Genauigkeit von
                                                                       w303274rde                    m.
                                                                                            0,0005 Wir erkennen,             diese                                                          302261                                                                                           da303237




              Genauigkeit sinnlos ist und                   wir, um den Schwankungsbereich einigerma303237en
                                                                                              da303237              zu erfassen,
              runden                     In unserem Fall kann das Ergebnis nur mit 6 2,3m angegeben werden, wobei
                                    m303274ssen.
                                                                                                                                                                                                                 =
              selbst hier noch eine Unsicherheit von 1 Einheit der letzten Stelle besteht. Obwohl also die
              Kathete o drei geltende Ziffern besitzt, kann das Ergebnis 303274berraschenderweise             nur mit 2
                      Ziffern
              geltenden
                                     angegeben werden. Dies    liegt daran,     der Winkel nur auf Grad genau bestimmt                                                    da303237
                                                                                                                                                                                                                             303237




              werden konnte1). Eine Genauigkeit von                       in der Winkelma303237zahl       also offenbar in der                 1302260                                                                              l303244303237t




              Streckenma303237zahl       nur 2 geltende Ziffern zu. Wir erkennen:
Die Genauigkeit                                   desErgebnisseswird                                       durch                     die ungenaueste, an der Rechnung beteiligte                                                                                                           Ma303237gr303266303237e



bestimmt.
Mit der Berechnung der Fehler und Schwankungen                         sich ein besonderer weig
                                                                                          Z                                                                                            befa303237t


der Mathematik, in den wir mit unserenbisherigenKenntnissenjedochnicht eindringen
         Wir werden aber den Verh303244ltnissen
k303266nnen.
                                                  einigerma303237en gerecht, wenn wir folgende
Faustregelbeachten:
Es entsprechen:
2 geltendeZiffern                                        der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit                                                                                                                  von        ^ 1                        302260


                                                                                                                                                                                                                                                                                und      umgekehrt
3 geltendeZiffern                                        der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit                                                                                                                  von        ^                                       und      umgekehrt
                                                                                                                                                                                                                                        ^ 1'
                                                                                                                                                                                                                                                       03022731302260




4 geltendeZiffern                                        der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit                                                                                                                  von                                                und      umgekehrt
5 geltendeZiffern                                        der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit                                                                                                                  von        ^5"                                    und      umgekehrt
l) Hier       liefert nicht nur die 48tellige                                   Tafel, sondern sogar der Rechenstab                                                                       ein zu genaues Ergebnis                                                                I




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            1
Beispiel:
         Die        H303266he                   einer Stange wurde zu                                              1,72m, die                       L303244nge
                                                                                                                                                                     ihres Schattens zu             1,42 gewessen.
                                                                                                                                                                                                       m                  Wie hoch
         steht          die Sonne ?
         L303266sung:

         Mit der 4stelligen Tafel            man a =         Dieser ert ist zu genau. Wir geben nach der
                                                                   W              erh303244lt
                                                                                                                                     50,45302260.




         Faustregel   alsErgebnis an: a =         womit wir uns der Genauigkeit desRechenstabes angepa303237t
                                                                                                             50,5302260,



         haben.           der Schatten, etwa wegen unscharfer Konturen, nur auf Dezimeter genau gemessen
                                   H303244tte



         werden k303266nnen, so     der Winkel a auf ganze Grad zu runden gewesen.
                                                                    w303244re




            Bei allen folgenden Aufgaben, in denen aus dem Text eindeutig zu
Zur Beachtung:
erkennen     die beteiligten
             ist,             da303237
                                            sind, ist die Genauigkeit,falls nicht mit             Gr303266303237en
                                                                                                                                Me303237werte

dem Rechenstabgerechnetwurde, nach obigerFaustregelsinnvoll zu begrenzen.


                                                                                                                             AUFGABEN

I. Rechtwinkliges
                Dreieck
 1.Wie lang ist die Winkelhalbierende                                                                                             wa       im rechtwinkligen                                     Dreieck den Katheten
                                                                                                                                                                                                       mit
     a = 5 cm und                                          6=7cm?
 2.Ein DreieckABC ist beiB rechtwinklig.   Es ist a = und AB = c = 6,5 cm. Wie                                                                                                      35302260




     lang ist das      der Mittelsenkrechten Hypotenuse,das durch die Schenkel
                                            zur      St303274ck


     von a begrenzt wird ?
 3.a) In einem gleichseitigenDreieckwird              eine Seitein 3 gleiche Teile geteilt. Die
      Teilpunkte    werden mit der gegen303274berliegenden       Ecke verbunden. In welche
      Teilwinkelwird dadurch der                          zerlegt?                                                           60302260-Winkel


   b) In einem gleichschenkligen      Dreieck,dessenBasiswinkel doppeltso                  sind                                                                                                                   gro303237



      wie der Winkel an der Spitze,wird die Basis 3 gleicheTeile geteilt. Die
                                                             in
      Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden     Ecke verbunden. In welche
      Teilwinkel      dadurch der Winkel an der Spitze?
                                              zerf303244llt




 4.Die Grundlinie a eines gleichschenkligenDreiecksmit dem Basiswinkel wird                                                                                                                                                     303237




   beiderseitsm den Schenkel esDreiecks
                 u                d                                 Die Endpunkte werden mit                                                                   verl303244ngert.

   der Spitzeverbunden.Wie lang sind die Seitendesneuen Dreiecks a = 35 mm;   ?
     0=69302260
                                   18'.
 5. Von einem stumpfwinkligen  Dreieckist die Grundlinie c und der Winkel a
          Der
     bekannt.            F der     hc liegt auf der Verl303244ngerung von AB so,                             H303266he                                                                                                                  da303237




                                              des Dreiecks c = 6 cm; =
                                                   Fu303237punkt

     BF= AB. Berechnedie fehlenden
                        302243
                                                                I                                                                           St303274cke                                                                oc                35302260.




 6.Auf         eine a Meterhohe Bretterwand                                                                                          fallen         die Sonnenstrahlenunter dem Winkel a
                                                                                                                                                 gegen die Horizontale, d Meter vor der
                                                                                                                                                 Wand steht eine h Meterhohe Stange. Um
                                                                                                                                                 wie vieleMeter ragt der Schattender Stange
                                                                                                                                                 aus dem Schlagschattender Bretterwand
                                                                                                                                                 heraus, wenn die durch die Sonnenstrahlen
                                                                                                                                                 und die Stange bestimmte Ebene auf der
                                                                                                                                                 Wand senkrecht steht (Abb.2) ? a = 2;
                                                                                                                                                 h= 5 ; d =
                                                                Abb.      2                                                                      Ma303237stab
                                                                                                                                                                  a=
                                                                                                                                                                             1:3;
                                                                                                                                                                             Zeichnung im
                                                                                                                                                                              100.
                                                                                                                                                                                                    32302260.




2
7. Von einem h Meterhoch gelegenen
                                  Fenster eines Hauses
                                                     sieht man die Spitzeeines
   Turmes unter dem H303266henwinkel a, den           desTurmes unter demTiefenwinkel                                                                             Fu303237
                                                                                                                                                                                                                                                                                                   303237.




   Wie hoch ist der Turm und wie weit ist er vom Haus entfernt, wenn er mit diesem
   auf der gleichenwaagrechtenEbenesteht ?
                   h = 9,95 m; a =
     Me303237werte:                        ;      =                                                         19,2302260                               303237
                                                                                                                                                                                 3,9302260.




 8.1)Von einem Punkt A des Talgrundes aus erscheint ein Berghotel H unter dem
   H303266henwinkel a, vom Punkt B desTalgrundes unter dem H303266henwinkel   Wie hoch
                                  dem Tal, wenn AB = s horizontal
                                                                                                                                                                                                                                                                         303237.




   liegt das Berghotel                                                          Ay By H in
                                                                        303274ber
                                                                                                                                                                                                                                               verl303244uft,

   einer Lotebene       liegen und die Augenh303266he des Beobachtersh                                                                                                                                                                         betr303244gt?

                   s
     Me303237werte:
                     = 295 m; =            ;       =          h =   m.                     <x            32,6302260                             303237
                                                                                                                                                                             23,4302260;                                1,1
 9.1)Ein Billard hat die Form eines Rechtecks ABCD.Eine Kugel K hat von der
   BandeAB den Abstand x, von der BandeBCden Abstand y. Unter welchemWinkel
           die Kugel an der Bande AB aufschlagen,damit ein in der Mitte des Billards
     mu303237




   stehenderKegel
   a) nach einmaligerReflexionan der Bande AB,
   b) nach Reflexionan der Bande AB und nachfolgenderReflexionan der BandeAD
       getroffen wird?
    AB = 2m;                                   BC = 1,2m; = 0,4m; y = 0,6m; eichnung
                                                          x               Z                                                                                                                                                                           im          Ma303237stab           1      :20!
    ^Breitformat!                              Gan2e Heftseite!
     Anleitung:                   Spiegele Kegela) an der Bande AB b)
                                         den                                                                                                                                                    an der Bande AD und das Spiegelbild
     nochmals     an ABl

10.1) man
   Stellt             einen Theodoliten an den        eines Turmes, so         das Fernrohr a                                                                       Fu303237                                                                    da303237




     Meter          dem Bodenliegt, so sieht man das Gipfelkreuzeines Berges        unter dem
                                                 a.
                    303274ber




   H303266henwinkel     Bringt man das Instrument in ein Fenster des Turmes, so           das                                                                                                                                                                                      da303237




   Fernrohr b Meter               dem Bodenliegt, so erscheintdas Gipfelkreuzunter dem
                                                             303274ber




   H303266henwinkel     Wie hoch liegt das Gipfelkreuz
                                                 303237.
                                                                 der durch den              des                                                                                                       303274ber
                                                                                                                                                                                                                                                                      Fu303237punkt

   Turmes gehenden Horizontalebene?
                   a = 1,32; =
     Me303237werte:
                                a             b = 59,82; =                                       32302260
                                                                                                                  17';                                                                                     303237
                                                                                                                                                                                                                          2830226044'.



II.1)uf der h Meter
     A                            dem Bodengelegenen     Plattform A eines Aussichtsturmes
                                                               303274ber




   wird ein Theodolit aufgestellt und die Spitze S eines Fernsehmastes           anvisiert. Sie
   erscheintunter dem H303266henwinkel a. Vom          F desTurmes aus ist S wegeneines                                                                                         Fu303237




   dazwischenliegenden         Baumes nicht sichtbar. Geht man aber mit dem Instrument
   von F aus b Meter in Richtung auf den Mast bis zum Punkt By so erscheintS unter
   dem H303266henwinkel       Die       des Fernrohrs         der Plattform bzw. dem
                                                                303237.
                                                                                                 H303266he                                                                                      303274ber




   Erdboden  ist a Meter.Berechnedie            des Fernsehmastes, enn angenommen
                                                                     w                                                       H303266he

     werdendarf,       A, F, B und S in einer Lotebene
                                  da303237
                                                         liegen!
                   h = 59,4; b = 160 a = 1,32 a =
     Me303237werte:                  ;            ;                  =                                                                                                                                        19,2302260;      303237
                                                                                                                                                                                                                                                  42,6302260.




12.!) Berghotelliegt h Meter dem Spiegeleines Sees. Hotel aus sieht ein
      Ein                                                             Vom                                      303274ber




   Beobachtereine Wolke unter dem H303266henwinkel a, ihr Spiegelbild See  im     unter dem
   Tiefenwinkel Welchesist die                  der Wolke         dem Seespiegel  ?                                          H303266he                                                                    303274ber




                   h = 70,2; a =
                                                303237.




      Me303237werte:
                                               =                                                  58,1302260;                        303237
                                                                                                                                                                     61,2302260.



13.Ein Sandkasten hat die Form eines geraden, dreiseitigenPrismas, dessen
              ein gleichschenkliges
      Querschnitt                     Dreieckist mit der Basis1,2 und der
                                                                      m                  1,0 m.                                                                                                                                                                          H303266he




l) Diese Aufgaben sollen dadurch                                                 gel303266st    werden,                       da303237        2 Strecken als                                    Unbekannte                    eingef303274hrt            und     2 Gleichungen zu
ihrer Berechnung aufgestellt werden.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               3
Er         mit der ruht           auf dem                    Basisfl303244che

                                                                                                                    Erdboden.Eine der           Seitenw303244nde wird       schr303244gen

                                                                                                                    von der Sonne beschienen, nd zwar so,
                                                                                                                                                u                                                                                              da303237




                                                                                                                    die unter dem Winkel       gegen      die                             35302260




                                                                                                                         einfallenden
                                                                                                                    Horizontale       Sonnenstrahlendie
                                                                                                                    dreieckigen        gerade streifend
                                                                                                                                        Stirnw303244nde                                                               ber303274hren.

                                                                                                                    Zwischen Sonne und Kasten steht in 0,8 m
                                                                                                                    Entfernung    von diesem (auf dem Boden
                                                                                                                    gemessen) eine hinreichend lange Bretterwand
                                                                                                                    von der          1,6 Wieviel % der
                                                                                                                                        m.             H303266he                                                                     Fl303244che


                                                                                                                    der            Seitenwandliegt im Schatten?
                                    Abb.         3                                                                  Zeichnung im
                                                                                                                                       schr303244gen

                                                                                                                                             1 20 (Abb. 8)!             Ma303237stab                     :
II.SchiefwinkligesDreieck
14. osinussatzmit
   C                                          Me303237werten

    In den folgenden Aufgaben stellen die Streckenma303237zahlen gemesseneWerte mit 4 geltenden Ziffern
    dar. Dann         beachtet werden,
                    mu303237                 auch die Quadrate dieser Ma303237zahlen nur mit 4 geltenden
                                                                                        da303237



    Ziffern angegeben werden k303266nnen. Zu ihrer Berechnung benutzt man die Quadratwurzeltafel       von
    rechts nach links, gegebenenfalls mit Interpolation

    Beispiel:
    x2 = 6,0732+ 4,9182 2 6,073 4,918 cos       -                        342200242




                                                                                                     -
                                                                                                     342200242
                                                                                                                       4330226012'




    6,0732= 36,88(Tafel!)   log 2       0,3010
           =
    4,9182 24,19  (Tafel!)  log 6,073 = 0,7834
    ~~Y = 61,07                       =
                            log 4,918 0,6918
        P = 43,54           log       = 9,8627-10                       cos..
        x2 = 17,53          logP =-1,6389
        x = 4,187 (TafelI)      P = 43,54
    Berechnedie fehlenden         wenn gegeben ist:             St303274cke,


    a) b =    5,128km;    c= 3,918 a=km;                                                                                                                      6230226023'


    b) a = 7,425km ; b = 6,203km; y =               47'                                                                                                   102302260




    c) a = 63,32m;        c= 79,46m;                                                                                                                          303266l0^'


    d)6= 2,728km; c = 3,155m; <x=
                                                                                                                                           303237=



                                     k                                                                                                                        52,33302260

    e) a = 3,245km; b = 4,375km; c = 5,514              km
    f) a= 52,54m;         b= 29,85m;        c = 65,38m
    g) a = 548,8m;        b = 235,2m;       c = 712,4m
15. In einem Kreis sind von einem Punkt P seinesUmfangs aus 2 Sehnen von der
           7 cm und 5 cm eingetragen,welcheeinen Winkel von
    L303244nge
                                                             einschlie303237en. Wie                                                                                                             23302260




         ist der Radius desKreises
    gro303237
                                  ?
16.n einem Dreieckist a = 58,5mm, b = 73,5mm und
  I                                                                                                                                                                          y
                                                                                                                                                                                  =     76,3302260.           Wie lang sind                      die
    Abschnitte, in                       welchedie Seitec durch die Winkelhalbierende                                                                                                            wy            zerlegt wird ?
17. (Vorpr303274fung               1962)
    Von  einem Feldweg zweigt in P ein           unter einem Winkel von      nach                                        Fu303237weg
                                                                                                                                                                                                                          20302260




    vorne rechts ab und      nach 173 zu einem Punkt A. 141 nach der
                                       m                       m
                                                      f303274hrt


          in P geht von dem Feldweg im Punkt Q ein zweiter
    Abzweigung
                                                                      unter einem                                                                                                                  Fu303237weg

    Winkel von      nach vorne links ab zu dem von Q 60m entfernten Punkt B.Alle
                                 50302260




4
drei Wege verlaufen geradlinig und befindensich in einer Ebene.Wie      ist die                                                                                                                                                                                                                                                    gro303237




  Entfernung   d der beidenPunkte A und B ? (Winkel sind auf Minuten zu runden!)
18.n Abb.4 ergibt sich die rot gezeichneteStreckex durch eine leicht ersichtliche
  I
  Konstruktion aus den           c, und                                                         Gr303266303237en                  oc
                                                                                                                                                                     303237.




  a) Stelle x als Funktion der gegebenen        dar!                                                                                                               Gr303266303237en




  b) Berechnex        c = 5 cm; =            =        f303274r                                                       oc                      70,5302260;                        303237
                                                                                                                                                                                                          39,5302260.


  c) Untersuchedie
            La             =60302260,
                                                                      Spezialf303244lle

                                                             303237=30302260;
                                                                                                                       IL       a=90302260;                                                  III.                 oc         =              303237.




                                                                                                                                                                                                                                                           Abb.                        5
19.n Abb.5 ergibt sich die Streckex durch Konstruktion
  I                                                                                                                                                                                                                                                       aus den                                  Gr303266303237en                                   a und                              a.
       a) Stellex als Funktion von a und dar!                                                                                                      oc


       b) Berechnex       a = 5,25 cm!   =            f303274r                                                                              oc                   37302260      12'.
       c) Untersuchedie                =   sowie =                   Spezialf303244lle
                                                                                                                       oc                       30302260                                     oc                        45302260!




20.DerTangenssatz
       a) Zeige,                       da303237     zwischen2 Seitena und                                                                                       b und ihren                                                Gegenwinkeln                                                                oc              und                       303237
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              die
            Beziehung                               besteht

                                                                                                                       a+b
                                                                                                                       a b  342200224
                                                                                                                                                               tan
                                                                                                                                                                                 -^
                                                                                                                                                                                  a+

                                                                                                                                                                                  a-303237
                                                                                                                                                                                               303237




                                                                                                                                                               tan342200224/
                                                                                                                                                                                                                     ._

            Anleitung: Benutze die Sehnenbeziehungen  o = 2 r sina und b = 2 r sin/9!                                                                                                          342200242                                                                  342200242




            Bemerkung: DerTangenssatz eignet sich       die Berechnung eines Dreiecks aus 2 Seiten und                                                       f303274r




            dem eingeschlossenen Winkel. Ist beispielsweise o, 6 und y gegeben, so ist
                                                                                       a + = 90 Y                                                                                                                                                                                                        342200224-342200224
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      303237

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      342200224
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     342200224

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    .
            Mithin    sich (a    und weil (a + bekannt ist,
                               l303244303237t                        a und berechnen. Der
                                                                    342200224


                                                                                   303237),                                              303237)
                                                                                                                                                                                               schlie303237lich                                              303237




                hat gegen303274ber
            Tangenssatz              dem Cosinussatz den Vorteil,    durchgehend logarithmisch gerechnet                                                                                       da303237



            werden kann. Seine Anwendung ist insbesondere dann am Platz, wenn lediglich nach den
            Winkeln, nicht aber nach der fehlenden Seitegefragt ist.
       b)   Berechneein Dreieck a 59,23  aus                    b = 48,43m; y                                           =                                         m;                                                                                                      =                 42302260       54'.
       c) Ebenso: a = 31,75 ; c = 53,20m;
                            m                 =                                                                                                                                                                                              4130226038'.


       d) Ebenso: b= 1,638 c= 2,635km; =
                                                                                                                                                                                                              303237




                             km;                                                                                                                                                                               oc                            10730226020'.


       e) Auf den Schenkeln des Winkels =  werden vom Scheitel S aus zwei                                                                                     oc                  35302260




          Strecken und SBso abgetragen, SA = 2 SB.Wie
                 SA                                       sind die Winkel                                                                                         da303237
                                                                                                                                                                                                                              342200242



                                                                                                                                                                                                                                                                          gro303237



            SABund SBA ?
       f) Von einem Punkt P aus sieht man den Kirchturm K in der Richtung N      E1)                                                                                                                                                                                                                                                                   53,5302260



          und den trigonometrischen Punkt   T in der Richtung S         W. In welcher                                                                                                                                                                                      12,2302260




          Richtung erscheint von T aus der Kirchturm K, wenn PK =2,19 und     km
          PT= 3,05 km gemessen    wurden?
l)   E = Osten            (von engl.                  east).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    5
g) An einem Hang, dessenNeigung                                                                                                                                   zu                             16,5302260          wurde, steht ein 41,5
                                                                                                                                                                                                                    gemessen                   m
          hoher Turm. Wie hoch steht die Sonne,wenn der genau hangaufw303244rts                                                                                                                                                                                           gerichtete
          SchattendesTurmes zu 32,2 m bestimmt wurde ?
21. er Halbwinkelsatz
  D
    a)    Best303244tige                        zun303244chst,             Abb. 6 AD = s a und weiter tan
                                                                                                                2
                                                                                                                  =s a
                                                                                                               da303237          in                                                                                                                          -302243-
                                                                                                                                                                                                                                                                                   342200224-342200224




                                                                                                                                                                                                                                                                                                   342200224
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  .
          Zeige              da303237                        sich mit Benutzung der Formel F = g - s und der Heronischen
          Formel                  schlie303237lich
                                                                                                    ergibt:

                      a-(8-a)2                     V



              tanl^^--^7^
                 2 r 8-(s-b)

                         -C)
              tan^V'303226-^
                 2                                V                     8     342200242


                                                                                        (302253




                                                                                                                                                                                                                                       Abb.      6
          Bemerkung: Der Halbwinkelsatz kann bei der Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks im
          Fall IV an die Stelle des Cosinussatzes treten, wenn die gegebenen Zahlenwerte   eine
          logarithmische                                       Durchf303274hrung                                                 der Rechnung                                                als ratsam erscheinen lassen.
    b) Zeichne ein Dreieckmit den Seitenc = 5 cm; a = 3cm; b = 4,5cm!
       Konstruiere  den Inkreisund die 3 Ankreise 1 Berechnedie Radien der vier Kreise
       sowiedie Winkel des Dreiecks!      (Ganze Seite!)
    c) Berechnedie Winkel eines Dreiecks den Seitena = 248,4m, b = 315,7
                                              mit                                   m
       und         c= 286,9m!
    d) Berechnedie Winkel eines Dreiecks,wenn bekannt ist,            a b = 4 und                                                                                                                                                                             : 3:
          b:c=3:41
                                                                                                                                                                                                                                                 da303237




          Anleitung:                      Stelle eine fortlaufende                                                                                     Proportion                                     her!
    e) Leiteden Halbwinkelsatz rechnerisch,ohne jede Figur, aus dem Cosinussatzab!
       Anleitung: Zeige zuerst, tan  =       cosg und ersetze cosa durch &2 + c2-a2 ,                                                                                 *342226240




                                                                             2bc                               da303237
                                                                                                                                        342200224
                                                                                                                                                              

                                    2 f 1 + cosa
    f) Um die EckendesDreiecks      ABC sind Kreisegezeichnet,die sich paarweise
                 Berechnedie
          ber303274hren.          desvon ihnen gebildetenKreisbogendreiecks                                      Fl303244che                                                                                                                                              f303274r




       a)  a = 51 mm; b = 41 mm ; c = 58 mm;
       b) a = 35 mm ; b = 53 mm;        c = 66 mm.
22.Dier-Formeln
    In den folgenden Formeln sind wichtige                                                                                                              Dreiecksgr303266303237en
                                                                                                                                                                                                                    durch den Radius desUmkreises r und die
    Winkel            des Dreiecks                                             ausgedr303274ckt.                                      DieAusgangsbeziehungen                                                                die Ableitung dieser Formeln
                                                                                                                                                                                                                          f303274r



    sind     die Sehnenbeziehungen
                             a = 2 r sina                                                                           342200242

                                                                                                                                                        b   = 2r                               sin/9
                                                                                                                                                                                      342200242
                                                                                                                                                                                                                     c=2r                 siny
                                                                                                                                                                                                                                 342200242




    Beweise:
    a) ha = 2 r sin/? siny; hb = ?;       342200242


                                                                                                                                                              hc     = ?
    b) F = 2 r2 sina sin/? siny;                342200242




                   a
    c) s = Ar cos cos-j-cos ;
         a                    y
                               -y
                                                               342200224
                                                                                                    303237




6
*                                                                                                                                                                                                                                        f-^= ?
     d) s a = 4 r cos sin
     j      a                                                                                                                                                       y
                                                                                                                                                                 sin -y;                                                                            ?;
                                                                                                                       342200242

                                                                                                                                                   303237
                    342200224                                                              342200224                                     -302243-

                                                                                                                                                                                                                                  3422262406=




     e) ^ = 4 r sin y sin y sin ;                                                                                                                               -302243-




                       a
     f) Qa = 4 r sin Y cos 2 cos 2                                             342200224

                                                                                                        342204242
                                                                                                                                  -302243-
                                                                                                                                                                                                                Qb
                                                                                                                                                                                                                                = ?; Qc=?
                     sin/9 siny
     g) wa=2r cosJ (0-y)           =                                                                                                                                                  W303237
                                                                                                                                                                                                                ?342200242



                                                                                                                                                                                                                                 Wy
                                                                                                                                                                                                                                    = P
                                                                                                                                                                                                                             1                          J_ J_
23   Zeige: ) F2 = q
          a                                                                                                  ga gb'           342200242



                                                                                                                                                                                                           b)                               1_



24. Dreiecksberechnungen
     Die         kann einer eventuell m303266glichen Konstruktion folgen. Eine rein rechnerische
                  L303266sung

         ergibt sich meist durch Benutzung der r-Formeln von Aufgabe 22.
     Behandlung




     Berechnedie fehlenden Seiten und Winkel sowie die Fl303244che des Dreiecks, enn             w
     gegebensind:
     a) r = 4 cm;                                                                                                                                              a=                            65302260
                                                                                                                                                                                                            j

     b) r = 3,5 cm ;
                                                                                                                                                                                                                                                     /S=54302260

                                                                                                                                                               hb                     = 4,5 cm;
     c) ha :h = 4 :3 ;
                                                                                                                                                                                                                                                     y=59302260
                                                                                                                                                                                 = 2<x;                                                                  =
     d) c = 5,8 cm;
                                                                                                                                                               303237




                                                                                                                                                               r             = 3,5 cm;
                                                                                                                                                                                                                                                     r
                                                                                                                                                                                                                                                     a   - 4cm
                                                                                                                                                                                                                                                            = 303237
                                                                                                                                                                                                                                                                                     32302260




                                                                                                                                                                                                   a+
                  Hinweis:
     e) a : r = 3 :2 ;
                                                     Es   l303244303237t              sich y und damit
                                                                                                                                                               ha
                                                                                                                                                              a=
                                                                                                                                                                                     = 6cm;
                                                                                                                                                                                                                  303237
                                                                                                                                                                                                                                berechnen.
                                                                                                                                                                                                                                                     y
                                                                                                                                                                                                                                                         -=    303237
                                                                                                                                                                                                                                                                                     30302260




     f) 303237=2cm;                                                                                                                                                                                                                                0=62302260
                                                                                                                                                                                                                                                         =
                                                                                                                                                                                            49302260;




     g) 2?= 1dm2;                                                                                                                                                                                                                                    y            58302260




     h)    = 5 cm;wy       a=
                                                                                                                                                              302243=65302260;


                                                                                                                                                                                            32,5302260;                                            y
                                                                                                                                                                                                                                                         =
           = 4 cm;         a=
                                                                                                                                                                                                                                                                 63,5302260




     i) Aa                                                                                                                                                                                  40302260




     k) a 4- b = 9 cm;
                                                                                                                                                                                                                                                     0=45302260

                           a=                                                                                                                                                               45302260




     1) c a = 1,5cm;
                                                                                                                                                                                                                                                     /?=56302260
                   342200224

                                                                                                                                                                                            80302260
                                                                                                                                                                                                                                                    y
                                                                                                                                                                                                                                                         =    64302260




     m)a 4- 6 4- c = 12cm;                                                                                                                                                                                                                          /? =
                                                                                                                                                              303237=



                                                                                                                                                              a=78302260                                                                                    46302260




     n) c = 6cm;           a b = 2cm;                                                                                                                                                                                                               a-/3=
                                                                                                                                                                                -
                                                                                                                                                                             342200224
                                                                                                                                                                                                                                                                                    30302260




     o) a = 5cm;
     p) c = 6cm;
     q) a :6 = 7 :3 ;
                           y
                           a:b=
                                                                                                                                                                                              60302260;




                                                                                                                                                                                                            5:3; g:r=2:5
                                                                                                                                                                                                                  = cm
                                                                                                                                                                                                                                                     a-/?=26302260
                                                                                                                                                                                                                                                                   2,5
                           302253:/J-3:l;                                                                                                                                                                                                         hc
     r) Beweise Mollweideschen Formeln1)
              die

                                                                                                                                                                COS~                        302253-/?                                                                         .           *-303237

                                                                                                 a+6                                                                                                                                               a ~b _                  Sm~^~
                                                                                                                                                                                                            "5                                      c
                                                                                                              C                                                                                                                                                                                   y
                                                                                                                                                                  sin
                                                                                                                                                                                              -302243-                                                                        cosy
                  und benutze eine dieserBeziehungenin Verbindung mit dem Tangenssatzzur
                  Berechnungder Seitec, wenn b = 3,225km; a = 5,575km und y = 48'1                                                                                                                                                                                                                                               70302260




     s)                                                                                1961,
                  (Vorpr303274fung
                  Von einem Dreieck ABC ist gegeben: = 10,5cm, =
                                                    c           y
                                                                                                                                gek303274rzt.)

                                                                                                                                                                                                                                                                                                          60302260,
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             :
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           a b = 3 8.         :
                  a) Berechnedie Seitena und 6, die   ha, den Winkel a                                                                                                                                                           H303266he                                                                        und     die Entfernung
                     des Inkreismittelpunktes vom Punkt A1
                  b) Berechnedie            des Umkreisbogens
                                                            zwischenA                                        L303244nge
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         und            C, der B nicht
                                   enth303244lt!




0 Mollweide,                          Astronom,                          17753422002241825.




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  7
25.Durch den Mittelpunkt
                       desInkreises esDreiecks
                                   d          ABC ist zu AB = c die Parallele
          SieschneidetAC in X und BCin Y. Zeige,
    gezogen.                                           die      z der                                                                                                                                                       da303237   f303274r
                                                                                                                                                                                                                                                           L303244nge

    Transversalen                  XY                  gilt:
                                                                                                                        2     ~
                                                                                                                              _          1.
                                                                                                                                         2
                                                                                                                                               cos342200224-342200224

                                                                                                                                                                                2
                                    cos2 cos 0  2
                                                                                                                                                                  <x
                                                                                                                                                             342200224                       342200224




   Berechnesodannz      a) c = 6cm;a = =            b) c = 5cm;a =        /? = f303274r
                                                                                                                                                                            303237
                                                                                                                                                                                                60302260;                                                               74302260;
                                                                                                                                                                                                                                                                                            59302260.




26.Gegebendas gleichschenklige  DreieckABC mit der Grundlinie AB = c und dem
   Winkel y an der Spitze.Durch den Mittelpunkt    der      hc wird zur Grundlinie                                                                                                                                              H303266he

   AB die Parallelegezogen. schneidetden Umkreis des Dreiecks
                             Sie                                      ABC in den
   Punkten X und Y. Zeige,        die        s der SehneXY gilt:                                           da303237       f303274r
                                                                                                                                                    L303244nge



                                                                                                                                                                 +
                                                                                                                                         tV302273
                                                                                                                                                                                       sinV/2
    Berechnesodann s                                                              f303274r




    a) ein gleichseitiges      Dreieck AB = 6 cm!
                                       mit
    b) c = 4 cm; y =                                                                  40302260.




27. In einem gleichschenkligen        Trapez sind die Schenkel ebensolang wie die
         a. Au303237erdem ist Winkel BAC = a.
    Grundlinie



    a) Berechnedie               desTrapezes!                           Fl303244che


    b) Zeige, der prozentuale Anteil der                         an der         des                                                                                                                                                                            Fl303244che

                                                                                                     -^!
                                          da303237
                                                                                                                                                                                            Trapezfl303244che

       umbeschriebenen    Kreises sin3a %             1     welches Trapez nimmt dieser                                                                betr303244gt
                                                                                                                                                                                                               F303274r




       Prozentsatzseinen                        Wert an und wie      ist dieser
                                                                              ?                 gr303266303237tm303266glichen                                                                                                      gro303237




28.Die Seitenhalbierende                                                              im            Dreieck
    Beweise,                        da303237         f303274r        die             L303244nge
                                                                                                                   der Seitenhalbierendenc einesDreiecks den Seiten
                                                                                                                                        s              mit
    a, b                   und     c gilt:
                                                                                                                  Sc =
                                                                                                                                    ^y2a2+ 2&2-c2
    Anleitung:                      Setzein den beiden Teildreiecken                                                                                        f303274r                 o und b jeweils den Cosinussatz                                                       an und addiere
    beide Gleichungen!
29.Die Winkelhalbierende                                                                    im         Dreieck
    a) Beweise it Hilfe des Sinussatzes, eine Dreiecksseite der Halbierenden
              m                                              von                                                                                        da303237




       des Gegenwinkelsim             der anliegendenSeitengeteilt wird!                                 Verh303244ltnis


    b) Berechnedie Teilabschnittem und n aus den SeitendesDreiecks  1

    c) Zeige,       die       der Winkelhalbierenden wY gilt:
                                        da303237         f303274r
                                                                                               L303244nge




                                                                                         wY
                                                                                                    =                       b            (a 4- b 4- c) (a 4- b c)
                                                                                                                                                                                                                              -
                 Anleitung:              Setzein den beiden Teildreiecken    o und b jeweils den Cosinussatz an und                                                            f303274r




                 eliminiere       das Glied mit wy durch Addition der beiden Gleichungen nach vorhergehender
                                                                        o!
        '        Multiplikation




    d) Beweise ie Formel
             d
                                  mit b bzw.


                                                                                                                              wv = a
                                                                                                                               Y
                                                                                                                                      ,
                                                                                                                                    lab cos-^-
                                                                                                                                     +br y 2
                                                                                                                                                   _




                 Anleitung:                          Setze               f303274r     m und n jeweils den Cosinussatz an und beachte,                                                                                                                da303237
                                                                                                                                                                                                                                                                    wegen               m:n= b:a
                 die Beziehung o2 m2                                                        = b2 n2 besteht!

8
e) Auf dem einen Schenkeleines    60302260-Winkels wird die StreckeSA = 6 cm, auf
       seiner Winkelhalbierenden die Strecke = 4 cm abgetragen.AB schneidetden
                                                 SB
       freien Schenkeln C.Zeige, SC = (2 + 3 y3~)!
                      i                                                                                                                     da303237
                                                                                                                                                                                        f303244




30.Das Sehnenviereck
    a) Zeige,                        da303237                 f303274r         die Diagonale e = AC einesSehnenvierecks
                                                                                                                          gilt:
                                                                                             2_ (ad + bc) (ac+ bd)
                                                                                                      ab + cd
       Anleitung:                                 Setze                        f303274r      die Diagonale e zweimal den Cosinussatz                                                                                                           an und eliminiere                              303237




    b) Berechne die Winkel einesSehnenvierecksaus den vier Seiten a = 104              mm;
       b = 56mm; c = 49mm; d = 39mm I
    c) Beweise Satz des
                den                                                                                              Ptolem303244us:

       Im Sehnenviereck ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke
       aus            je%wei Gegenseiten.
    d) Zeige,                        da303237                 f303274r         die                Fl303244che                    des Sehnenvierecks
                                                                                                                                                        gilt:
                                                                                                                     F -V(7^i      =
                                                                                                                                                                  302273)(302253-   -&)(302273-                  -c)(302253-                    -<*)
       wobei 2s=a+b+c+dy                                                                                                                             und                  berechne 2?                                         f303274r       a = 60mm ;                                   b       = 33mm;
       c= 25mm; d = 16
                     mm.
       Anleitung:             Wende auf die Diagonale e wieder zweimal den Cosinussatz an und eliminiere
       diesmal         el Welcher Ausdruck ergibt sich   cos/9? etzesodann die
                                                                S                     desVierecks additiv aus                                        f303274r                                                                                         Fl303244che


                                                                 zweier Teildreiecke zusammen und beachte,
       den
       sin/9
                        Fl303244chen


                          = y'l                    -            cos2/?                         =          |/(i+cosjS)(l-cos/5)
                                                                                                                                                                                                                                           da303237




31.
  Das              H303266henfu303237punktdreieck

       DieSeiten eines Dreiecks BC sind a, 6,c,seine Winkel a,
                              A
       303237t    yt seine                      Fl303244che          F.A B                                              C seien die                          Fu303237punkte                      der
        H303266hen      hat                      hf302273        hc (Abb. 7).
    a) Berechne    jede SeitedesDreiecks BC die
                                          A             f303274r




       beidenAbschnitte, in diesiedurch den                                                                                                                                              H303266hen-


               zerlegt wird 1
       fu303237punkt

    b) Zeige, jedes der DreieckeAC'B BC'A
                                      da303237




       CA'B'zum DreieckABC          ist!                                                                                               303244hnlich
                                                                                                                                                                                                                                      A                                                                      C
    c) Berechne Winkel und Seiten des                                                                                                                                        H303266henfu303237-

                                                                                                                                                                                                                                                                                   Abb.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 303237




       punktdreiecksund        den Satz:                                                                  best303244tige

       Die           Dreiecks die Winkelhalbierenden seines
                            sind
                           H303266hen                         eines
   d) Zeige,        die        F'desH303266henfu303237punktdreiecks gilt:
                                      da303237                  f303274r                              Fl303244che
                                                                                                                                                                                                                                                                     H303266henfu303237punktdreiecks.




                          F' = 2 F cosacos/S         cosy
32.Auf dem einen Schenkel esWinkels a mit dem ScheitelS wird die Strecke = s
                          d                                                   SA
   abgetragen. Derandere Schenkel ird vom Kreis um S mit dem Radius SA in B
                                  w
   und vom Halbkreis      SA als Durchmesser C geschnitten.Es entsteht einevon
                                                    in                                      303274ber




   der StreckeCBund den beidenBogenAB und AC begrenzte                         Figur.                                                                                                                                                                                           klauenf303266rmige

   Zeige,       den Umfang u und die
                        da303237       f303274r
                                                    / dieserFigur gilt:                                                                                                 Fl303244che



             u = s (2 arca cosa   +1) / = 82 (2 arca sin 2a)                                                     342200224                                                                          342200224                                       342200224




                                                         o
   Berechneu und / speziell s = 6cm und a =                                                                           f303274r                                                                                70302260!




                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            9
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
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Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
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Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
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Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen  1963
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  • 1. 200AUFGABEN AUS DER TRIGONOMETRIE MIT L303226SUNGEN von Karl W303266fxe Zur Vorbereitunguf das Abitur an Gymnasien, a Realgymnasien, sowie Wirtschaftsoberrealschulen f303274r Studierendend Freunde u derMathematik HRISCHER SCHULBUCH-VERLAG M303234NCHEN
  • 2. DiesesHeft ist ein Sonderdruckus dem im Rahmen des a Unterrichtswerkesdes BayerischenSchulbuchverlages Mathematischen erscheinenden Band Geometrie II 342200224 Trigonometrie. Es wendet sich [in erster Linie an die Abiturienten der Gymnasien, Realgymnasien Wirtschaftsoberrealschulen, die es und f303274r reichhaltigen zur Vorbereitung auf die 303234bungsstoflF bietet, Reifepr303274fung sowiean Studierendeder technischenWissenschaften. Hinweise und Anregungen zur weiteren Ausgestaltung F303274r sowie Verbesserungsvorschl303244ge f303274r sind Verlag und Verfasserdankbar. 1963 Verlegt im Bayerischen Schulbuch-Verlag, M303274nchen 19,Hubertusstra303237e 4,Verlags-Nr. 727 GesamthersteUung: Graphische Betriebe Dr. F. P.Datterer & Cie.- Sellier Inh. - Freising
  • 3. Vorbemerkungzum Rechnenmit Me303237werten Beiden bisherigenAufgaben haben wir die Zahlenangabenals absolut genau betrachtet. In der Praxis der Trigonometrie hat man es jedochmeist mit Me303237werten zu tun. Wird beispielsweise Streckezu 3,64 m gemessen, o eine s dies, die wahre hei303237t da303237 L303244nge zwischen3,635m und 3,645m liegt. in zu E gemessenerWinkel liegt zwischen 32302260 31,5302260 und Im ersten Fall besteht eine Unsicherheitvon 0,005m, im zweitenFall eine 32,5302260. 302261 solche von Wie sich diese Unsicherheitenauf das Ergebnisauswirken, zeigt 3022610,5302260. folgendes Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieckist eine Kathete o zu 3,64 gemessen, der ihr anliegende m Winkel konnte nur auf Grad genau zu 303237 bestimmt werden. Berechne die Kathete b!Innerhalb 32302260 welcher Grenzen kann b liegen ? L303266sung: b = o tan/9 = 3,64 342200242 tan 342200242 32302260 logt = 0,5611 +9,7958-10 0,3569 b = 2,274[m] Untere Grenze von b: bu log6w = 0,5605 9,7873 + = 2,228 -=10= 0,3478 3,635 tan 342200242 31,5302260 bu [m] Obere Grenze von b: b0 = 3,645 tan -10 342200242 32,5302260 log&o = 0,5617 9,8042 = 0,3659 + Abb. 1 b0 = 2,322[m] W303274rden wir nun das Ergebnis mit b = 2,274m angeben, so dies, b zwischen 2,2735m hie303237e da303237 und 2,2745 liegen m mit einer Genauigkeit von w303274rde m. 0,0005 Wir erkennen, diese 302261 da303237 Genauigkeit sinnlos ist und wir, um den Schwankungsbereich einigerma303237en da303237 zu erfassen, runden In unserem Fall kann das Ergebnis nur mit 6 2,3m angegeben werden, wobei m303274ssen. = selbst hier noch eine Unsicherheit von 1 Einheit der letzten Stelle besteht. Obwohl also die Kathete o drei geltende Ziffern besitzt, kann das Ergebnis 303274berraschenderweise nur mit 2 Ziffern geltenden angegeben werden. Dies liegt daran, der Winkel nur auf Grad genau bestimmt da303237 303237 werden konnte1). Eine Genauigkeit von in der Winkelma303237zahl also offenbar in der 1302260 l303244303237t Streckenma303237zahl nur 2 geltende Ziffern zu. Wir erkennen: Die Genauigkeit desErgebnisseswird durch die ungenaueste, an der Rechnung beteiligte Ma303237gr303266303237e bestimmt. Mit der Berechnung der Fehler und Schwankungen sich ein besonderer weig Z befa303237t der Mathematik, in den wir mit unserenbisherigenKenntnissenjedochnicht eindringen Wir werden aber den Verh303244ltnissen k303266nnen. einigerma303237en gerecht, wenn wir folgende Faustregelbeachten: Es entsprechen: 2 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ 1 302260 und umgekehrt 3 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ und umgekehrt ^ 1' 03022731302260 4 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von und umgekehrt 5 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^5" und umgekehrt l) Hier liefert nicht nur die 48tellige Tafel, sondern sogar der Rechenstab ein zu genaues Ergebnis I 1
  • 4. Beispiel: Die H303266he einer Stange wurde zu 1,72m, die L303244nge ihres Schattens zu 1,42 gewessen. m Wie hoch steht die Sonne ? L303266sung: Mit der 4stelligen Tafel man a = Dieser ert ist zu genau. Wir geben nach der W erh303244lt 50,45302260. Faustregel alsErgebnis an: a = womit wir uns der Genauigkeit desRechenstabes angepa303237t 50,5302260, haben. der Schatten, etwa wegen unscharfer Konturen, nur auf Dezimeter genau gemessen H303244tte werden k303266nnen, so der Winkel a auf ganze Grad zu runden gewesen. w303244re Bei allen folgenden Aufgaben, in denen aus dem Text eindeutig zu Zur Beachtung: erkennen die beteiligten ist, da303237 sind, ist die Genauigkeit,falls nicht mit Gr303266303237en Me303237werte dem Rechenstabgerechnetwurde, nach obigerFaustregelsinnvoll zu begrenzen. AUFGABEN I. Rechtwinkliges Dreieck 1.Wie lang ist die Winkelhalbierende wa im rechtwinkligen Dreieck den Katheten mit a = 5 cm und 6=7cm? 2.Ein DreieckABC ist beiB rechtwinklig. Es ist a = und AB = c = 6,5 cm. Wie 35302260 lang ist das der Mittelsenkrechten Hypotenuse,das durch die Schenkel zur St303274ck von a begrenzt wird ? 3.a) In einem gleichseitigenDreieckwird eine Seitein 3 gleiche Teile geteilt. Die Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden Ecke verbunden. In welche Teilwinkelwird dadurch der zerlegt? 60302260-Winkel b) In einem gleichschenkligen Dreieck,dessenBasiswinkel doppeltso sind gro303237 wie der Winkel an der Spitze,wird die Basis 3 gleicheTeile geteilt. Die in Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden Ecke verbunden. In welche Teilwinkel dadurch der Winkel an der Spitze? zerf303244llt 4.Die Grundlinie a eines gleichschenkligenDreiecksmit dem Basiswinkel wird 303237 beiderseitsm den Schenkel esDreiecks u d Die Endpunkte werden mit verl303244ngert. der Spitzeverbunden.Wie lang sind die Seitendesneuen Dreiecks a = 35 mm; ? 0=69302260 18'. 5. Von einem stumpfwinkligen Dreieckist die Grundlinie c und der Winkel a Der bekannt. F der hc liegt auf der Verl303244ngerung von AB so, H303266he da303237 des Dreiecks c = 6 cm; = Fu303237punkt BF= AB. Berechnedie fehlenden 302243 I St303274cke oc 35302260. 6.Auf eine a Meterhohe Bretterwand fallen die Sonnenstrahlenunter dem Winkel a gegen die Horizontale, d Meter vor der Wand steht eine h Meterhohe Stange. Um wie vieleMeter ragt der Schattender Stange aus dem Schlagschattender Bretterwand heraus, wenn die durch die Sonnenstrahlen und die Stange bestimmte Ebene auf der Wand senkrecht steht (Abb.2) ? a = 2; h= 5 ; d = Abb. 2 Ma303237stab a= 1:3; Zeichnung im 100. 32302260. 2
  • 5. 7. Von einem h Meterhoch gelegenen Fenster eines Hauses sieht man die Spitzeeines Turmes unter dem H303266henwinkel a, den desTurmes unter demTiefenwinkel Fu303237 303237. Wie hoch ist der Turm und wie weit ist er vom Haus entfernt, wenn er mit diesem auf der gleichenwaagrechtenEbenesteht ? h = 9,95 m; a = Me303237werte: ; = 19,2302260 303237 3,9302260. 8.1)Von einem Punkt A des Talgrundes aus erscheint ein Berghotel H unter dem H303266henwinkel a, vom Punkt B desTalgrundes unter dem H303266henwinkel Wie hoch dem Tal, wenn AB = s horizontal 303237. liegt das Berghotel Ay By H in 303274ber verl303244uft, einer Lotebene liegen und die Augenh303266he des Beobachtersh betr303244gt? s Me303237werte: = 295 m; = ; = h = m. <x 32,6302260 303237 23,4302260; 1,1 9.1)Ein Billard hat die Form eines Rechtecks ABCD.Eine Kugel K hat von der BandeAB den Abstand x, von der BandeBCden Abstand y. Unter welchemWinkel die Kugel an der Bande AB aufschlagen,damit ein in der Mitte des Billards mu303237 stehenderKegel a) nach einmaligerReflexionan der Bande AB, b) nach Reflexionan der Bande AB und nachfolgenderReflexionan der BandeAD getroffen wird? AB = 2m; BC = 1,2m; = 0,4m; y = 0,6m; eichnung x Z im Ma303237stab 1 :20! ^Breitformat! Gan2e Heftseite! Anleitung: Spiegele Kegela) an der Bande AB b) den an der Bande AD und das Spiegelbild nochmals an ABl 10.1) man Stellt einen Theodoliten an den eines Turmes, so das Fernrohr a Fu303237 da303237 Meter dem Bodenliegt, so sieht man das Gipfelkreuzeines Berges unter dem a. 303274ber H303266henwinkel Bringt man das Instrument in ein Fenster des Turmes, so das da303237 Fernrohr b Meter dem Bodenliegt, so erscheintdas Gipfelkreuzunter dem 303274ber H303266henwinkel Wie hoch liegt das Gipfelkreuz 303237. der durch den des 303274ber Fu303237punkt Turmes gehenden Horizontalebene? a = 1,32; = Me303237werte: a b = 59,82; = 32302260 17'; 303237 2830226044'. II.1)uf der h Meter A dem Bodengelegenen Plattform A eines Aussichtsturmes 303274ber wird ein Theodolit aufgestellt und die Spitze S eines Fernsehmastes anvisiert. Sie erscheintunter dem H303266henwinkel a. Vom F desTurmes aus ist S wegeneines Fu303237 dazwischenliegenden Baumes nicht sichtbar. Geht man aber mit dem Instrument von F aus b Meter in Richtung auf den Mast bis zum Punkt By so erscheintS unter dem H303266henwinkel Die des Fernrohrs der Plattform bzw. dem 303237. H303266he 303274ber Erdboden ist a Meter.Berechnedie des Fernsehmastes, enn angenommen w H303266he werdendarf, A, F, B und S in einer Lotebene da303237 liegen! h = 59,4; b = 160 a = 1,32 a = Me303237werte: ; ; = 19,2302260; 303237 42,6302260. 12.!) Berghotelliegt h Meter dem Spiegeleines Sees. Hotel aus sieht ein Ein Vom 303274ber Beobachtereine Wolke unter dem H303266henwinkel a, ihr Spiegelbild See im unter dem Tiefenwinkel Welchesist die der Wolke dem Seespiegel ? H303266he 303274ber h = 70,2; a = 303237. Me303237werte: = 58,1302260; 303237 61,2302260. 13.Ein Sandkasten hat die Form eines geraden, dreiseitigenPrismas, dessen ein gleichschenkliges Querschnitt Dreieckist mit der Basis1,2 und der m 1,0 m. H303266he l) Diese Aufgaben sollen dadurch gel303266st werden, da303237 2 Strecken als Unbekannte eingef303274hrt und 2 Gleichungen zu ihrer Berechnung aufgestellt werden. 3
  • 6. Er mit der ruht auf dem Basisfl303244che Erdboden.Eine der Seitenw303244nde wird schr303244gen von der Sonne beschienen, nd zwar so, u da303237 die unter dem Winkel gegen die 35302260 einfallenden Horizontale Sonnenstrahlendie dreieckigen gerade streifend Stirnw303244nde ber303274hren. Zwischen Sonne und Kasten steht in 0,8 m Entfernung von diesem (auf dem Boden gemessen) eine hinreichend lange Bretterwand von der 1,6 Wieviel % der m. H303266he Fl303244che der Seitenwandliegt im Schatten? Abb. 3 Zeichnung im schr303244gen 1 20 (Abb. 8)! Ma303237stab : II.SchiefwinkligesDreieck 14. osinussatzmit C Me303237werten In den folgenden Aufgaben stellen die Streckenma303237zahlen gemesseneWerte mit 4 geltenden Ziffern dar. Dann beachtet werden, mu303237 auch die Quadrate dieser Ma303237zahlen nur mit 4 geltenden da303237 Ziffern angegeben werden k303266nnen. Zu ihrer Berechnung benutzt man die Quadratwurzeltafel von rechts nach links, gegebenenfalls mit Interpolation Beispiel: x2 = 6,0732+ 4,9182 2 6,073 4,918 cos - 342200242 - 342200242 4330226012' 6,0732= 36,88(Tafel!) log 2 0,3010 = 4,9182 24,19 (Tafel!) log 6,073 = 0,7834 ~~Y = 61,07 = log 4,918 0,6918 P = 43,54 log = 9,8627-10 cos.. x2 = 17,53 logP =-1,6389 x = 4,187 (TafelI) P = 43,54 Berechnedie fehlenden wenn gegeben ist: St303274cke, a) b = 5,128km; c= 3,918 a=km; 6230226023' b) a = 7,425km ; b = 6,203km; y = 47' 102302260 c) a = 63,32m; c= 79,46m; 303266l0^' d)6= 2,728km; c = 3,155m; <x= 303237= k 52,33302260 e) a = 3,245km; b = 4,375km; c = 5,514 km f) a= 52,54m; b= 29,85m; c = 65,38m g) a = 548,8m; b = 235,2m; c = 712,4m 15. In einem Kreis sind von einem Punkt P seinesUmfangs aus 2 Sehnen von der 7 cm und 5 cm eingetragen,welcheeinen Winkel von L303244nge einschlie303237en. Wie 23302260 ist der Radius desKreises gro303237 ? 16.n einem Dreieckist a = 58,5mm, b = 73,5mm und I y = 76,3302260. Wie lang sind die Abschnitte, in welchedie Seitec durch die Winkelhalbierende wy zerlegt wird ? 17. (Vorpr303274fung 1962) Von einem Feldweg zweigt in P ein unter einem Winkel von nach Fu303237weg 20302260 vorne rechts ab und nach 173 zu einem Punkt A. 141 nach der m m f303274hrt in P geht von dem Feldweg im Punkt Q ein zweiter Abzweigung unter einem Fu303237weg Winkel von nach vorne links ab zu dem von Q 60m entfernten Punkt B.Alle 50302260 4
  • 7. drei Wege verlaufen geradlinig und befindensich in einer Ebene.Wie ist die gro303237 Entfernung d der beidenPunkte A und B ? (Winkel sind auf Minuten zu runden!) 18.n Abb.4 ergibt sich die rot gezeichneteStreckex durch eine leicht ersichtliche I Konstruktion aus den c, und Gr303266303237en oc 303237. a) Stelle x als Funktion der gegebenen dar! Gr303266303237en b) Berechnex c = 5 cm; = = f303274r oc 70,5302260; 303237 39,5302260. c) Untersuchedie La =60302260, Spezialf303244lle 303237=30302260; IL a=90302260; III. oc = 303237. Abb. 5 19.n Abb.5 ergibt sich die Streckex durch Konstruktion I aus den Gr303266303237en a und a. a) Stellex als Funktion von a und dar! oc b) Berechnex a = 5,25 cm! = f303274r oc 37302260 12'. c) Untersuchedie = sowie = Spezialf303244lle oc 30302260 oc 45302260! 20.DerTangenssatz a) Zeige, da303237 zwischen2 Seitena und b und ihren Gegenwinkeln oc und 303237 die Beziehung besteht a+b a b 342200224 tan -^ a+ a-303237 303237 tan342200224/ ._ Anleitung: Benutze die Sehnenbeziehungen o = 2 r sina und b = 2 r sin/9! 342200242 342200242 Bemerkung: DerTangenssatz eignet sich die Berechnung eines Dreiecks aus 2 Seiten und f303274r dem eingeschlossenen Winkel. Ist beispielsweise o, 6 und y gegeben, so ist a + = 90 Y 342200224-342200224 303237 342200224 342200224 . Mithin sich (a und weil (a + bekannt ist, l303244303237t a und berechnen. Der 342200224 303237), 303237) schlie303237lich 303237 hat gegen303274ber Tangenssatz dem Cosinussatz den Vorteil, durchgehend logarithmisch gerechnet da303237 werden kann. Seine Anwendung ist insbesondere dann am Platz, wenn lediglich nach den Winkeln, nicht aber nach der fehlenden Seitegefragt ist. b) Berechneein Dreieck a 59,23 aus b = 48,43m; y = m; = 42302260 54'. c) Ebenso: a = 31,75 ; c = 53,20m; m = 4130226038'. d) Ebenso: b= 1,638 c= 2,635km; = 303237 km; oc 10730226020'. e) Auf den Schenkeln des Winkels = werden vom Scheitel S aus zwei oc 35302260 Strecken und SBso abgetragen, SA = 2 SB.Wie SA sind die Winkel da303237 342200242 gro303237 SABund SBA ? f) Von einem Punkt P aus sieht man den Kirchturm K in der Richtung N E1) 53,5302260 und den trigonometrischen Punkt T in der Richtung S W. In welcher 12,2302260 Richtung erscheint von T aus der Kirchturm K, wenn PK =2,19 und km PT= 3,05 km gemessen wurden? l) E = Osten (von engl. east). 5
  • 8. g) An einem Hang, dessenNeigung zu 16,5302260 wurde, steht ein 41,5 gemessen m hoher Turm. Wie hoch steht die Sonne,wenn der genau hangaufw303244rts gerichtete SchattendesTurmes zu 32,2 m bestimmt wurde ? 21. er Halbwinkelsatz D a) Best303244tige zun303244chst, Abb. 6 AD = s a und weiter tan 2 =s a da303237 in -302243- 342200224-342200224 342200224 . Zeige da303237 sich mit Benutzung der Formel F = g - s und der Heronischen Formel schlie303237lich ergibt: a-(8-a)2 V tanl^^--^7^ 2 r 8-(s-b) -C) tan^V'303226-^ 2 V 8 342200242 (302253 Abb. 6 Bemerkung: Der Halbwinkelsatz kann bei der Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks im Fall IV an die Stelle des Cosinussatzes treten, wenn die gegebenen Zahlenwerte eine logarithmische Durchf303274hrung der Rechnung als ratsam erscheinen lassen. b) Zeichne ein Dreieckmit den Seitenc = 5 cm; a = 3cm; b = 4,5cm! Konstruiere den Inkreisund die 3 Ankreise 1 Berechnedie Radien der vier Kreise sowiedie Winkel des Dreiecks! (Ganze Seite!) c) Berechnedie Winkel eines Dreiecks den Seitena = 248,4m, b = 315,7 mit m und c= 286,9m! d) Berechnedie Winkel eines Dreiecks,wenn bekannt ist, a b = 4 und : 3: b:c=3:41 da303237 Anleitung: Stelle eine fortlaufende Proportion her! e) Leiteden Halbwinkelsatz rechnerisch,ohne jede Figur, aus dem Cosinussatzab! Anleitung: Zeige zuerst, tan = cosg und ersetze cosa durch &2 + c2-a2 , *342226240 2bc da303237 342200224 2 f 1 + cosa f) Um die EckendesDreiecks ABC sind Kreisegezeichnet,die sich paarweise Berechnedie ber303274hren. desvon ihnen gebildetenKreisbogendreiecks Fl303244che f303274r a) a = 51 mm; b = 41 mm ; c = 58 mm; b) a = 35 mm ; b = 53 mm; c = 66 mm. 22.Dier-Formeln In den folgenden Formeln sind wichtige Dreiecksgr303266303237en durch den Radius desUmkreises r und die Winkel des Dreiecks ausgedr303274ckt. DieAusgangsbeziehungen die Ableitung dieser Formeln f303274r sind die Sehnenbeziehungen a = 2 r sina 342200242 b = 2r sin/9 342200242 c=2r siny 342200242 Beweise: a) ha = 2 r sin/? siny; hb = ?; 342200242 hc = ? b) F = 2 r2 sina sin/? siny; 342200242 a c) s = Ar cos cos-j-cos ; a y -y 342200224 303237 6
  • 9. * f-^= ? d) s a = 4 r cos sin j a y sin -y; ?; 342200242 303237 342200224 342200224 -302243- 3422262406= e) ^ = 4 r sin y sin y sin ; -302243- a f) Qa = 4 r sin Y cos 2 cos 2 342200224 342204242 -302243- Qb = ?; Qc=? sin/9 siny g) wa=2r cosJ (0-y) = W303237 ?342200242 Wy = P 1 J_ J_ 23 Zeige: ) F2 = q a ga gb' 342200242 b) 1_ 24. Dreiecksberechnungen Die kann einer eventuell m303266glichen Konstruktion folgen. Eine rein rechnerische L303266sung ergibt sich meist durch Benutzung der r-Formeln von Aufgabe 22. Behandlung Berechnedie fehlenden Seiten und Winkel sowie die Fl303244che des Dreiecks, enn w gegebensind: a) r = 4 cm; a= 65302260 j b) r = 3,5 cm ; /S=54302260 hb = 4,5 cm; c) ha :h = 4 :3 ; y=59302260 = 2<x; = d) c = 5,8 cm; 303237 r = 3,5 cm; r a - 4cm = 303237 32302260 a+ Hinweis: e) a : r = 3 :2 ; Es l303244303237t sich y und damit ha a= = 6cm; 303237 berechnen. y -= 303237 30302260 f) 303237=2cm; 0=62302260 = 49302260; g) 2?= 1dm2; y 58302260 h) = 5 cm;wy a= 302243=65302260; 32,5302260; y = = 4 cm; a= 63,5302260 i) Aa 40302260 k) a 4- b = 9 cm; 0=45302260 a= 45302260 1) c a = 1,5cm; /?=56302260 342200224 80302260 y = 64302260 m)a 4- 6 4- c = 12cm; /? = 303237= a=78302260 46302260 n) c = 6cm; a b = 2cm; a-/3= - 342200224 30302260 o) a = 5cm; p) c = 6cm; q) a :6 = 7 :3 ; y a:b= 60302260; 5:3; g:r=2:5 = cm a-/?=26302260 2,5 302253:/J-3:l; hc r) Beweise Mollweideschen Formeln1) die COS~ 302253-/? . *-303237 a+6 a ~b _ Sm~^~ "5 c C y sin -302243- cosy und benutze eine dieserBeziehungenin Verbindung mit dem Tangenssatzzur Berechnungder Seitec, wenn b = 3,225km; a = 5,575km und y = 48'1 70302260 s) 1961, (Vorpr303274fung Von einem Dreieck ABC ist gegeben: = 10,5cm, = c y gek303274rzt.) 60302260, : a b = 3 8. : a) Berechnedie Seitena und 6, die ha, den Winkel a H303266he und die Entfernung des Inkreismittelpunktes vom Punkt A1 b) Berechnedie des Umkreisbogens zwischenA L303244nge und C, der B nicht enth303244lt! 0 Mollweide, Astronom, 17753422002241825. 7
  • 10. 25.Durch den Mittelpunkt desInkreises esDreiecks d ABC ist zu AB = c die Parallele SieschneidetAC in X und BCin Y. Zeige, gezogen. die z der da303237 f303274r L303244nge Transversalen XY gilt: 2 ~ _ 1. 2 cos342200224-342200224 2 cos2 cos 0 2 <x 342200224 342200224 Berechnesodannz a) c = 6cm;a = = b) c = 5cm;a = /? = f303274r 303237 60302260; 74302260; 59302260. 26.Gegebendas gleichschenklige DreieckABC mit der Grundlinie AB = c und dem Winkel y an der Spitze.Durch den Mittelpunkt der hc wird zur Grundlinie H303266he AB die Parallelegezogen. schneidetden Umkreis des Dreiecks Sie ABC in den Punkten X und Y. Zeige, die s der SehneXY gilt: da303237 f303274r L303244nge + tV302273 sinV/2 Berechnesodann s f303274r a) ein gleichseitiges Dreieck AB = 6 cm! mit b) c = 4 cm; y = 40302260. 27. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel ebensolang wie die a. Au303237erdem ist Winkel BAC = a. Grundlinie a) Berechnedie desTrapezes! Fl303244che b) Zeige, der prozentuale Anteil der an der des Fl303244che -^! da303237 Trapezfl303244che umbeschriebenen Kreises sin3a % 1 welches Trapez nimmt dieser betr303244gt F303274r Prozentsatzseinen Wert an und wie ist dieser ? gr303266303237tm303266glichen gro303237 28.Die Seitenhalbierende im Dreieck Beweise, da303237 f303274r die L303244nge der Seitenhalbierendenc einesDreiecks den Seiten s mit a, b und c gilt: Sc = ^y2a2+ 2&2-c2 Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken f303274r o und b jeweils den Cosinussatz an und addiere beide Gleichungen! 29.Die Winkelhalbierende im Dreieck a) Beweise it Hilfe des Sinussatzes, eine Dreiecksseite der Halbierenden m von da303237 des Gegenwinkelsim der anliegendenSeitengeteilt wird! Verh303244ltnis b) Berechnedie Teilabschnittem und n aus den SeitendesDreiecks 1 c) Zeige, die der Winkelhalbierenden wY gilt: da303237 f303274r L303244nge wY = b (a 4- b 4- c) (a 4- b c) - Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken o und b jeweils den Cosinussatz an und f303274r eliminiere das Glied mit wy durch Addition der beiden Gleichungen nach vorhergehender o! ' Multiplikation d) Beweise ie Formel d mit b bzw. wv = a Y , lab cos-^- +br y 2 _ Anleitung: Setze f303274r m und n jeweils den Cosinussatz an und beachte, da303237 wegen m:n= b:a die Beziehung o2 m2 = b2 n2 besteht! 8
  • 11. e) Auf dem einen Schenkeleines 60302260-Winkels wird die StreckeSA = 6 cm, auf seiner Winkelhalbierenden die Strecke = 4 cm abgetragen.AB schneidetden SB freien Schenkeln C.Zeige, SC = (2 + 3 y3~)! i da303237 f303244 30.Das Sehnenviereck a) Zeige, da303237 f303274r die Diagonale e = AC einesSehnenvierecks gilt: 2_ (ad + bc) (ac+ bd) ab + cd Anleitung: Setze f303274r die Diagonale e zweimal den Cosinussatz an und eliminiere 303237 b) Berechne die Winkel einesSehnenvierecksaus den vier Seiten a = 104 mm; b = 56mm; c = 49mm; d = 39mm I c) Beweise Satz des den Ptolem303244us: Im Sehnenviereck ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke aus je%wei Gegenseiten. d) Zeige, da303237 f303274r die Fl303244che des Sehnenvierecks gilt: F -V(7^i = 302273)(302253- -&)(302273- -c)(302253- -<*) wobei 2s=a+b+c+dy und berechne 2? f303274r a = 60mm ; b = 33mm; c= 25mm; d = 16 mm. Anleitung: Wende auf die Diagonale e wieder zweimal den Cosinussatz an und eliminiere diesmal el Welcher Ausdruck ergibt sich cos/9? etzesodann die S desVierecks additiv aus f303274r Fl303244che zweier Teildreiecke zusammen und beachte, den sin/9 Fl303244chen = y'l - cos2/? = |/(i+cosjS)(l-cos/5) da303237 31. Das H303266henfu303237punktdreieck DieSeiten eines Dreiecks BC sind a, 6,c,seine Winkel a, A 303237t yt seine Fl303244che F.A B C seien die Fu303237punkte der H303266hen hat hf302273 hc (Abb. 7). a) Berechne jede SeitedesDreiecks BC die A f303274r beidenAbschnitte, in diesiedurch den H303266hen- zerlegt wird 1 fu303237punkt b) Zeige, jedes der DreieckeAC'B BC'A da303237 CA'B'zum DreieckABC ist! 303244hnlich A C c) Berechne Winkel und Seiten des H303266henfu303237- Abb. 303237 punktdreiecksund den Satz: best303244tige Die Dreiecks die Winkelhalbierenden seines sind H303266hen eines d) Zeige, die F'desH303266henfu303237punktdreiecks gilt: da303237 f303274r Fl303244che H303266henfu303237punktdreiecks. F' = 2 F cosacos/S cosy 32.Auf dem einen Schenkel esWinkels a mit dem ScheitelS wird die Strecke = s d SA abgetragen. Derandere Schenkel ird vom Kreis um S mit dem Radius SA in B w und vom Halbkreis SA als Durchmesser C geschnitten.Es entsteht einevon in 303274ber der StreckeCBund den beidenBogenAB und AC begrenzte Figur. klauenf303266rmige Zeige, den Umfang u und die da303237 f303274r / dieserFigur gilt: Fl303244che u = s (2 arca cosa +1) / = 82 (2 arca sin 2a) 342200224 342200224 342200224 o Berechneu und / speziell s = 6cm und a = f303274r 70302260! 9