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Dr. Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de
Basisinformationstechnologie I
Wintersemester 2015/16
02. November 2015 – Grundlagen III: Rechnen im Binärsystem
Rechnen im Binärsystem
 Addition von Binärzahlen
 Multiplikation von Binärzahlen
 (Subtraktion von Binärzahlen)
Vorzeichenbehaftete Zahlen
 Zweierkomplementdarstellung
Inhalte der heutigen Sitzung
Kurzwiederholung
Vier Zahlensysteme gegenübergestellt
Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000
Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7 10
Hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Dezimal 9 10 11 12 13 14 15 16
Binär 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
Oktal 11 12 13 14 15 16 17 20
Hexadezimal 9 A B C D E F 10
Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden
Ziffern mit den Zweierpotenzen:
10111 = 1*20 + 1*21 + 1*2² + 0*2³ + 1*24
= 1*1 + 1*2 + 1*4 + 0*8 + 1*16
= 23
Umwandlung Binärsystem  Dezimalsystem
Übungsaufgaben
1011 => welche Zahl im Dezimalsystem?
1 1110 => welche Zahl im Dezimalsystem?
0 0011 => welche Zahl im Dezimalsystem?
Übung: Binärzahl  Dezimalzahl
Übungsaufgaben
1011 => 11
1 1110 => 30
0 0011 => 3
Übung: Binärzahl  Dezimalzahl
Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und
Aufschreiben der Reste in eine Binärzahl umwandeln (das ist
eine Möglichkeit, häufig lässt sich das auch im Kopf lösen).
Beispiel: Die Zahl 76 soll ins Binärsystem
umgewandelt werden
 76 / 2 = 38; Rest 0
 38 / 2 = 19; Rest 0
 19 / 2 = 9; Rest 1
 9 / 2 = 4; Rest 1
 4 / 2 = 2; Rest 0
 2 / 2 = 1; Rest 0
 1 / 2 = 0; Rest 1
Umwandlung DezimalBinärsystem
1 0 0 1 1 0 0
Übungsaufgaben
9 = Welche Binärzahl?
38 = Welche Binärzahl?
57 = Welche Binärzahl?
Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
Übungsaufgaben
9 = 1001
38 = 10 0110
57 = 11 1001
Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
290 = ?
290 / 2 = 145, Rest: 0
145 / 2 = 72, Rest: 1
72 / 2 = 36, Rest: 0
36 / 2 = 18, Rest: 0
18 / 2 = 9, Rest: 0
9 / 2 = 4, Rest: 1
4 / 2 = 2, Rest: 0
2 / 2 = 1, Rest: 0
1 / 2 = 0, Rest: 1
 1 0010 0010
Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
Rechnen im Binärsystem
Additionsregeln
 0 + 0 = 0
 0 + 1 = 1
 1 + 0 = 1
 1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0
 1 + 1 + Übertrag = 1 + Übertrag
 1 + 1 + Übertrag + Übertrag = 1+1+1+1 (4x1)
Rechnen im Binärsystem: Addition
0 0 1 1
+ 0 0 1 1
+ 0 0 0 1
+ 0 1 0 1
=======
1 1
1 1 1
=======
1 1 0 0
Rechnen im Binärsystem: Addition
1101 1000
+ 0011 0111
----------------
0101 1011
+ 0000 1101
----------------
1000 1000
+ 1010 1011
----------------
Übungsaufgaben Addition
1101 1000
+ 0011 0111
----------------
1 0000 1111
0101 1011
+ 0000 1101
----------------
110 1000
1000 1000
+ 1010 1011
----------------
1 0011 0011
Übungsaufgaben Addition
Multiplikation im
Binärsystem
Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts):
Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0:
Nullen notieren.
Beispiel:
47 * 17 = 101111 * 10001
101111* 10001
101111
000000
000000
000000
101111
---------------------
1100011111
Rechnen im Binärsystem: Multiplikation
Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der
linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren.
8 Bit  1 Byte
4 Bit  1 Nibble
Beispiel II:
5 * 7 = 0101 * 0111
0101 * 0111 = ?
=========
0000
0101
0101
0101
11
========
10 0011
Rechnen im Binärsystem: Multiplikation
Berechnen Sie im Binärsystem:
 17 * 3
 23 * 15
 4 * 7
Übungsaufgaben Multiplikation
17*3 = ?
 10001*11
10001
10001
---------
110011 = 51
Übungsaufgaben Multiplikation
23*15 = ?
 10111*1111
10111
10111
10111
10111
---------------
101011001 = 345
Übungsaufgaben Multiplikation
4*7 = ?
 100*111
100
100
100
---------
11100=28
Übungsaufgaben Multiplikation
Subtraktion im Binärsystem
 Subtraktion: Addition einer negativen Zahl
ℤ-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Wie ℤ darstellen?
Möglichkeit I:
MSB (Most Significant Bit,
d.h.: erstes Bit, ganz links)
zur Kennzeichnung
verwenden
 MSB == 0, dann positive Zahl
 MSB == 1, dann negative Zahl
…Probleme?
Binärdarstellung ganzer Zahlen
0000 = +0 1000 = -0
0001 = +1 1001 = -1
0010 = +2 1010 = -2
0011 = +3 1011 = -3
0100 = +4 1100 = -4
0101 = +5 1101 = -5
0110 = +6 1110 = -6
0111 = +7 1111 = -7
Probleme!
 0 zweimal codiert
 Rechnen verkompliziert
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Zweierkomplementdarstellung
Zweierkomplementdarstellung
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0000 = 0 0100 = 4
0001 = 1 0101 = 5
0010 = 2 0110 = 6
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Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1
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Größe Java C++ Wertebereich
8 Bit byte char
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16 Bit short int/short
-215 ... 215-1
oder
-32.768 ... 32.767
32 Bit int int/long
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oder
-2.147.483.648 ... 2.147.483.647
Standardformate für ganze Zahlen
Umwandlung 6 in -6:
 Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110
 Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits
0110  1001
 Schritt II: Addition von 1
1001 + 0001 = 1010
1010 ist die Entsprechung der Dezimalzahl -6 im Binärsystem (unter Verwendung der
Zweierkomplementdarstellung)
Zweierkomplement: Umrechnung
Umwandlung 6 in -6:
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1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4
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1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7
 Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst
größeres Nibble (wg. Wertebereich), das erleichtert
mitunter die Umrechnung…
 Welche Binärzahl (Stichw. Zweierkomplement)
entspricht der Dezimalzahl -15?
 Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?
 Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
Übungsaufgaben Zweierkomplement
15 = 1111
 Auf nächsthöheres Nibble auffüllen:
1111 = 0000 1111
 Einerkomplement bilden:
1111 0000
 Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren:
1111 0000
+ 1
---------------
1111 0001
 -15 = 1111 0001
Übungsaufgaben Zweierkomplement
 Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst
größeres Nibble (wg. Wertebereich)
 Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?
 Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17?
Übungsaufgaben Zweierkomplement
45 = 10 1101
 Auf nächsthöheres Nibble auffüllen:
10 1101 = 0010 1101
 Einerkomplement bilden:
1101 0010
 Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren:
1101 0010
+ 1
---------------
1101 0011
 -45 = 1101 0011
Übungsaufgaben Zweierkomplement
17 = 1 0001
 Auf nächsthöheres Nibble auffüllen:
1 0001 = 0001 0001
 Einerkomplement bilden:
1110 1110
 Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren:
1110 1110
+ 1
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1110 1111
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Basisinformationstechnologie I WiSem 2015 / 2016 | 03_Grundlagen III

  • 1. Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Dr. Jan G. Wieners // jan.wieners@uni-koeln.de Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2015/16 02. November 2015 – Grundlagen III: Rechnen im Binärsystem
  • 2. Rechnen im Binärsystem  Addition von Binärzahlen  Multiplikation von Binärzahlen  (Subtraktion von Binärzahlen) Vorzeichenbehaftete Zahlen  Zweierkomplementdarstellung Inhalte der heutigen Sitzung
  • 3.
  • 4.
  • 6. Vier Zahlensysteme gegenübergestellt Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Binär 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 Oktal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 Hexadezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Dezimal 9 10 11 12 13 14 15 16 Binär 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 Oktal 11 12 13 14 15 16 17 20 Hexadezimal 9 A B C D E F 10
  • 7. Zur Umwandlung: Multiplikation der entsprechenden Ziffern mit den Zweierpotenzen: 10111 = 1*20 + 1*21 + 1*2² + 0*2³ + 1*24 = 1*1 + 1*2 + 1*4 + 0*8 + 1*16 = 23 Umwandlung Binärsystem  Dezimalsystem
  • 8. Übungsaufgaben 1011 => welche Zahl im Dezimalsystem? 1 1110 => welche Zahl im Dezimalsystem? 0 0011 => welche Zahl im Dezimalsystem? Übung: Binärzahl  Dezimalzahl
  • 9. Übungsaufgaben 1011 => 11 1 1110 => 30 0 0011 => 3 Übung: Binärzahl  Dezimalzahl
  • 10. Eine Dezimalzahl lässt sich über die Division durch 2 und Aufschreiben der Reste in eine Binärzahl umwandeln (das ist eine Möglichkeit, häufig lässt sich das auch im Kopf lösen). Beispiel: Die Zahl 76 soll ins Binärsystem umgewandelt werden  76 / 2 = 38; Rest 0  38 / 2 = 19; Rest 0  19 / 2 = 9; Rest 1  9 / 2 = 4; Rest 1  4 / 2 = 2; Rest 0  2 / 2 = 1; Rest 0  1 / 2 = 0; Rest 1 Umwandlung DezimalBinärsystem 1 0 0 1 1 0 0
  • 11. Übungsaufgaben 9 = Welche Binärzahl? 38 = Welche Binärzahl? 57 = Welche Binärzahl? Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
  • 12. Übungsaufgaben 9 = 1001 38 = 10 0110 57 = 11 1001 Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
  • 13. 290 = ? 290 / 2 = 145, Rest: 0 145 / 2 = 72, Rest: 1 72 / 2 = 36, Rest: 0 36 / 2 = 18, Rest: 0 18 / 2 = 9, Rest: 0 9 / 2 = 4, Rest: 1 4 / 2 = 2, Rest: 0 2 / 2 = 1, Rest: 0 1 / 2 = 0, Rest: 1  1 0010 0010 Übung: Dezimalzahl  Binärzahl
  • 15. Additionsregeln  0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  1 + 0 = 1  1 + 1 = 0 mit 1 Übertrag  1 0  1 + 1 + Übertrag = 1 + Übertrag  1 + 1 + Übertrag + Übertrag = 1+1+1+1 (4x1) Rechnen im Binärsystem: Addition
  • 16. 0 0 1 1 + 0 0 1 1 + 0 0 0 1 + 0 1 0 1 ======= 1 1 1 1 1 ======= 1 1 0 0 Rechnen im Binärsystem: Addition
  • 17. 1101 1000 + 0011 0111 ---------------- 0101 1011 + 0000 1101 ---------------- 1000 1000 + 1010 1011 ---------------- Übungsaufgaben Addition
  • 18. 1101 1000 + 0011 0111 ---------------- 1 0000 1111 0101 1011 + 0000 1101 ---------------- 110 1000 1000 1000 + 1010 1011 ---------------- 1 0011 0011 Übungsaufgaben Addition
  • 20. Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren. Beispiel: 47 * 17 = 101111 * 10001 101111* 10001 101111 000000 000000 000000 101111 --------------------- 1100011111 Rechnen im Binärsystem: Multiplikation
  • 21. Bei jeder 1 auf der rechten Seite (von links nach rechts): Vollständige Zahl der linken Seite notieren. Bei jeder 0: Nullen notieren. 8 Bit  1 Byte 4 Bit  1 Nibble Beispiel II: 5 * 7 = 0101 * 0111 0101 * 0111 = ? ========= 0000 0101 0101 0101 11 ======== 10 0011 Rechnen im Binärsystem: Multiplikation
  • 22. Berechnen Sie im Binärsystem:  17 * 3  23 * 15  4 * 7 Übungsaufgaben Multiplikation
  • 23. 17*3 = ?  10001*11 10001 10001 --------- 110011 = 51 Übungsaufgaben Multiplikation
  • 24. 23*15 = ?  10111*1111 10111 10111 10111 10111 --------------- 101011001 = 345 Übungsaufgaben Multiplikation
  • 25. 4*7 = ?  100*111 100 100 100 --------- 11100=28 Übungsaufgaben Multiplikation
  • 26. Subtraktion im Binärsystem  Subtraktion: Addition einer negativen Zahl
  • 27. ℤ-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  • 28. Wie ℤ darstellen? Möglichkeit I: MSB (Most Significant Bit, d.h.: erstes Bit, ganz links) zur Kennzeichnung verwenden  MSB == 0, dann positive Zahl  MSB == 1, dann negative Zahl …Probleme? Binärdarstellung ganzer Zahlen 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
  • 29. Probleme!  0 zweimal codiert  Rechnen verkompliziert Binärdarstellung ganzer Zahlen 0000 = +0 1000 = -0 0001 = +1 1001 = -1 0010 = +2 1010 = -2 0011 = +3 1011 = -3 0100 = +4 1100 = -4 0101 = +5 1101 = -5 0110 = +6 1110 = -6 0111 = +7 1111 = -7
  • 31. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0000 = 0 0100 = 4 0001 = 1 0101 = 5 0010 = 2 0110 = 6 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1 876543210
  • 32. Zweierkomplementdarstellung -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7 Darstellbarer Zahlenbereich: -2n-1 bis 2n-1-1 876543210
  • 33. Größe Java C++ Wertebereich 8 Bit byte char -27 ... 27-1 oder -128 ... 127 16 Bit short int/short -215 ... 215-1 oder -32.768 ... 32.767 32 Bit int int/long -231 ... 231-1 oder -2.147.483.648 ... 2.147.483.647 Standardformate für ganze Zahlen
  • 34. Umwandlung 6 in -6:  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 0110  1001  Schritt II: Addition von 1 1001 + 0001 = 1010 1010 ist die Entsprechung der Dezimalzahl -6 im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung) Zweierkomplement: Umrechnung
  • 35. Umwandlung 6 in -6:  Schritt 0: Binärdarstellung bilden: 0110  Schritt I: Einerkomplement bilden, d.h. Negation aller Bits 0110  1001  Schritt II: Addition von 1 1001 + 0001 = 1010 1010 ist die Entsprechung der Dezimalzahl -6 im Binärsystem (unter Verwendung der Zweierkomplementdarstellung) Zweierkomplement: Umrechnung 1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4 1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 5 1010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 6 1011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7
  • 36.  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich), das erleichtert mitunter die Umrechnung…  Welche Binärzahl (Stichw. Zweierkomplement) entspricht der Dezimalzahl -15?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17? Übungsaufgaben Zweierkomplement
  • 37. 15 = 1111  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1111 = 0000 1111  Einerkomplement bilden: 1111 0000  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1111 0000 + 1 --------------- 1111 0001  -15 = 1111 0001 Übungsaufgaben Zweierkomplement
  • 38.  Wenn MSB == 1: Auffüllen mit 0 auf nächst größeres Nibble (wg. Wertebereich)  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -45?  Welche Binärzahl entspricht der Dezimalzahl -17? Übungsaufgaben Zweierkomplement
  • 39. 45 = 10 1101  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 10 1101 = 0010 1101  Einerkomplement bilden: 1101 0010  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1101 0010 + 1 --------------- 1101 0011  -45 = 1101 0011 Übungsaufgaben Zweierkomplement
  • 40. 17 = 1 0001  Auf nächsthöheres Nibble auffüllen: 1 0001 = 0001 0001  Einerkomplement bilden: 1110 1110  Zweierkomplement bilden, d.h. 1 addieren: 1110 1110 + 1 --------------- 1110 1111  -17 = 1110 1111 Übungsaufgaben Zweierkomplement
  • 42. /

Hinweis der Redaktion

  1. Um Dezimalzahlen über das Zweierkomplement abzubilden, wird von 0 beginnend aufwärts gezählt, bis die obere Grenze +7 erreicht ist. Anschließend wird an der unteren Grenze -8 fortgefahren und aufwärts gezählt, bis die Zahl -1 erreicht ist. Die Grafik zeigt, wie das für 4 Bit ausschaut. Vorteile: Die Null ist nur einmal codiert. Wir sehen über das führende Bit, dass es sich um eine negative Zahl handelt.
  2. Um Dezimalzahlen über das Zweierkomplement abzubilden, wird von 0 beginnend aufwärts gezählt, bis die obere Grenze +7 erreicht ist. Anschließend wird an der unteren Grenze -8 fortgefahren und aufwärts gezählt, bis die Zahl -1 erreicht ist. Die Grafik zeigt, wie das für 4 Bit ausschaut. Vorteile: Die Null ist nur einmal codiert. Wir sehen über das führende Bit, dass es sich um eine negative Zahl handelt.