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Signatur
                    Algebren
              Erweiterterung
                        Ende




P/T-Netze algebraisch spezifiziert


         Alexander Rein, Helko Glathe




                       01.11.2006




Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                             Algebren
                                       Erweiterterung
                                                 Ende


Inhaltsverzeichnis



       Signatur
   1




       Algebren
   2

         Algebra PT1
         Algebra PT2
         Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2
         Algebra PT3
         Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3


       Erweiterterung
   3

         Erweiterte Signatur
         Algebra zur erweiterten Signatur




                         Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                           Algebren
                                     Erweiterterung
                                               Ende


Unsere Signatur f¨r ein Petrinetz
                 u

   Σ-P/T Netz:
   sorts:        nat
                 Stelle
                 Transition
                 KanteVor
                 KanteNach

                 getKapazit¨t: Stelle → nat
   opns:                    a
                 getGewichtVor: KanteVor → nat
                 getGewichtNach: KanteNach → nat
                 getToken: Stelle → nat
                 targetVor: KanteVor → Transition
                 targetNach: KanteNach → Stelle
                 sourceVor: KanteVor → Stelle
                 sourceNach: KanteNach → Transition




                       Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                             Signatur
                                                           Alg PT2
                                             Algebren
                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                       Erweiterterung
                                                           Alg PT3
                                                 Ende
                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT3

Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1


                                                  s1 k=2




                           f3                                                 f4

                                             e1 w=2


           t2                                                                                       t3

                                                    t1

                  e2                                                                           e3
                                                                         f2
                                 f1




                s2 k=1                                                                         s3 k=1




                         Alexander Rein, Helko Glathe      P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                       Signatur
                                                   Alg PT2
                                       Algebren
                                                   Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                 Erweiterterung
                                                   Alg PT3
                                           Ende
                                                   Homo Alg PT1 → Alg PT3

Sorten




   PT1nat                          =          N
                                              {s1,s2,s3}
   PT1Stelle                       =
                                              {t1,t2,t3}
   PT1Transition                   =
                                              {e1,e2,e3}
   PT1KanteVor                     =
                                              {f1,f2,f3,f4}
   PT1KanteNach                    =




                   Alexander Rein, Helko Glathe    P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                              Signatur
                                                           Alg PT2
                                              Algebren
                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                        Erweiterterung
                                                           Alg PT3
                                                  Ende
                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen


                                                     (
                                                             | x=s1
                                                      2,
   getKapazit¨tPT1 (x)
             a                            =
                                                             | sonst
                                                      1,
                                                     (
                                                             | x=e1
                                                      2,
   getGewichtVorPT1 (x)                   =
                                                             | sonst
                                                      1,

   getGewichtNachPT1 (x)                  =          1
                                                     (
                                                             | x=s1
                                                      2,
   getTokenPT1 (x)                        =
                                                             | sonst
                                                      0,




                          Alexander Rein, Helko Glathe     P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                           Signatur
                                                      Alg PT2
                                           Algebren
                                                      Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                     Erweiterterung
                                                      Alg PT3
                                               Ende
                                                      Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen

                                                  8
                                                          | x=e1
                                                  >t1,
                                                  <
                                                          | x=e2
   targetVorPT1 (x)                    =            t2,
                                                  >
                                                          | x=e3
                                                    t3,
                                                  :

                                                  8
                                                          | x=f1
                                                  >s2,
                                                  <
                                                          | x=f2
   targetNachPT1 (x)                   =            s3,
                                                  >
                                                          | sonst
                                                    s1,
                                                  :

                                                  8
                                                          | x=e1
                                                  >s1,
                                                  <
                                                          | x=e2
   sourceVorPT1 (x)                    =            s2,
                                                  >
                                                          | x=e3
                                                    s3,
                                                  :

                                                  8
                                                          |
                                                  >t1,        x=f1
                                                  >
                                                  >
                                                          |
                                                  <t1,        x=f2
   sourceNachPT1 (x)                   =
                                                          |
                                                  >t2,        x=f3
                                                  >
                                                  >
                                                          |
                                                    t3,       x=f4
                                                  :



                       Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                          Signatur
                                                        Alg PT2
                                          Algebren
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                    Erweiterterung
                                                        Alg PT3
                                              Ende
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT3

Petrinetz zur gesuchten Algebra PT2

                                               g1 k=4




                     i3 w=2                                              i4 w=2

                                          h1 w=4

           u2                                                                                    u3


                                                   u1

            h2 w=2                                                                          h3 w=2
                                                                    i2 w=2
                           i1 w=2




                               h4                                   h5
            g2 k=2                                 u4                                        g3 k=2


                                              i5
                     i6                                                           i7


                                    h6                       h7
                          u5                                             u6
                                               g4 k=1



                     Alexander Rein, Helko Glathe       P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                       Signatur
                                                  Alg PT2
                                       Algebren
                                                  Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                 Erweiterterung
                                                  Alg PT3
                                           Ende
                                                  Homo Alg PT1 → Alg PT3

Sorten




   PT2nat                          =          N
                                              {g1,g2,g3,g4}
   PT2Stelle                       =
                                              {u1,u2,u3,u4,u5,u6}
   PT2Transition                   =
                                              {h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7}
   PT2KanteVor                     =
                                              {i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7}
   PT2KanteNach                    =




                   Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                              Signatur
                                                            Alg PT2
                                              Algebren
                                                            Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                        Erweiterterung
                                                            Alg PT3
                                                  Ende
                                                            Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen

                                                     8
                                                              | x=g1
                                                     >4,
                                                     <
                                                              | (x=g2)∨(x=g3)
   getKapazit¨tPT2 (x)
             a                            =            2,
                                                     >
                                                              | sonst
                                                       1,
                                                     :

                                                     8
                                                              | x=h1
                                                     >4,
                                                     <
                                                              | (x=h2)∨(x=h3)
   getGewichtVorPT2 (x)                   =            2,
                                                     >
                                                              | sonst
                                                       1,
                                                     :

                                                     (
                                                              | (x=i1)∨(x=i2)∨(x=i3)∨(x=i4)
                                                      2,
   getGewichtNachPT2 (x)                  =
                                                              | sonst
                                                      1,
                                                     (
                                                              | x=g1
                                                      4,
   getTokenPT2 (x)                        =
                                                              | sonst
                                                      0,




                          Alexander Rein, Helko Glathe      P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                           Signatur
                                                       Alg PT2
                                           Algebren
                                                       Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                     Erweiterterung
                                                       Alg PT3
                                               Ende
                                                       Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen
                                                  8
                                                           |
                                                  >u1,         x=h1
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >u2,         x=h2
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >
                                                  >u3,         x=h3
                                                  >
                                                  <
                                                           |
   targetVorPT2 (x)                    =            u4,        x=h4
                                                  >
                                                           |
                                                  >u4,         x=h5
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >u5,         x=h6
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  :
                                                    u6,        x=h7
                                                  8
                                                           |
                                                  >g 2,        x=i1
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >g 3,        x=i2
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >
                                                  >g 1,        x=i3
                                                  >
                                                  <
                                                           |
   targetNachPT2 (x)                   =            g 1,       x=i4
                                                  >
                                                           |
                                                  >g 4,        x=i5
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >g 2,        x=i6
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  :
                                                    g 3,       x=i7




                       Alexander Rein, Helko Glathe    P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                           Signatur
                                                       Alg PT2
                                           Algebren
                                                       Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                     Erweiterterung
                                                       Alg PT3
                                               Ende
                                                       Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen

                                                  8
                                                           |
                                                  >g 1,        x=h1
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >g 2,        x=h2
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >
                                                  >g 3,        x=h3
                                                  >
                                                  <
                                                           |
   sourceVorPT2 (x)                    =            g 2,       x=h4
                                                  >
                                                           |
                                                  >g 3,        x=h5
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >g 4,        x=h6
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  :
                                                    g 4,       x=h7
                                                  8
                                                           |
                                                  >u1,         x=i1
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >u1,         x=i2
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >
                                                  >u2,         x=i3
                                                  >
                                                  <
                                                           |
   sourceNachPT2 (x)                   =            u3,        x=i4
                                                  >
                                                           |
                                                  >u4,         x=i5
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  >u5,         x=i6
                                                  >
                                                  >
                                                  >
                                                           |
                                                  :
                                                    u6,        x=i7



                       Alexander Rein, Helko Glathe    P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                            Signatur
                                                       Alg PT2
                                            Algebren
                                                       Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                      Erweiterterung
                                                       Alg PT3
                                                Ende
                                                       Homo Alg PT1 → Alg PT3

Allgemein




   Definition
   Homomorphismus h: PT1 → PT2
   h=(hs :PT1s → PT2s )s S mit hs (fPT1 (x))=fPT2 (hs (x))
   Definition ist vereinfacht und gilt nur f¨r einelementige Operationen!
                                           u




                        Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                                             Signatur
                                                                           Alg PT2
                                                             Algebren
                                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                                       Erweiterterung
                                                                           Alg PT3
                                                                 Ende
                                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT3

Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2



                              s1 k=2



                                                                                                              g1 k=4


                 f3                                    f4

                           e1 w=2
                                                                                       i3 w=2                                     i4 w=2
   t2                                                                 t3
                                                                                                           h1 w=4

                                t1
                                                                             u2                                                                      u3
          e2                                                     e3
                                                  f2
                      f1                                                                                           u1

                                                                              h2 w=2                                                            h3 w=2
                                                                                                                             i2 w=2
                                                                                            i1 w=2

        s2 k=1                                                  s3 k=1


                                                                                                 h4                          h5
                                                                              g2 k=2                               u4                            g3 k=2


                                                                                                              i5
                                                                                       i6                                                  i7


                                                                                                      h6                h7
                                                                                            u5                                    u6
                                                                                                              g4 k=1




                                       Alexander Rein, Helko Glathe        P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                             Signatur
                                                        Alg PT2
                                             Algebren
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                       Erweiterterung
                                                        Alg PT3
                                                 Ende
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT3

Konkret

   hnat (x)          =       x∗2
                             8
                                        | x=s1
                             >g 1,
                             <
                                        | x=s2
   hStelle (x)       =         g 2,
                             >
                                        | x=s3
                               g 3,
                             :

                             8
                                        | x=t1
                             >u1,
                             <
                                        | x=t2
   hTransition (x)   =         u2,
                             >
                                        | x=t3
                               u3,
                             :

                             8
                                        | x=e1
                             >h1,
                             <
                                        | x=e2
   hKanteVor (x)     =         h2,
                             >
                                        | x=e3
                               h3,
                             :

                             8
                                        |
                             >i1,           x=f1
                             >
                             >
                                        |
                             <i2,           x=f2
   hKanteNach (x)    =
                                        |
                             >i3,           x=f3
                             >
                             >
                                        |
                               i4,          x=f4
                             :


                         Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                                       Signatur
                                                                        Alg PT2
                                                       Algebren
                                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                                 Erweiterterung
                                                                        Alg PT3
                                                           Ende
                                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT3

Beweisansatz von h


   Beweis.
   sourceVor: KanteVor → Stelle
   hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) , x                                 KanteVorPT1
       x     sourceVorPT1 (x)       hStelle (sourceVorPT1 (x))              sourceVorPT2 (hKanteVor (x))        hKanteVor (x)     x
       e1           s1                           g1                 =                   g1                           h1          e1
       e2           s2                           g2                 =                   g2                           h2          e2
       e3           s3                           g3                 =                   g3                           h3          e3


   Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach!
           u

   hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT2 (hStelle (x)) , x
                   a                      a                                                       StellePT1
      x      getKapazit¨tPT1 (x)
                       a               hnat (getKapazit¨tPT1 (x))
                                                       a                        getKapazit¨tPT2 (hStelle (x))
                                                                                          a                        hStelle (x)    x
      s1              2                            4                    =                    4                         g1         s1
                                                                                                                    g2 ∨ g3
     sonst            1                            2                    =                    2                                   sonst


   Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken!
           u


   Homomorphismus ist injektiv, aber nicht surjektiv!


                                   Alexander Rein, Helko Glathe         P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                        Signatur
                                                        Alg PT2
                                        Algebren
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                  Erweiterterung
                                                        Alg PT3
                                            Ende
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT3

Petrinetz zur gesuchten Algebra PT3


                         g1 k=2




                                                        i2

                    h1 w=2

                                                                              u2

                           u1

                                                                         h2
                                                   i1




                                                                        g2 k=1




                   Alexander Rein, Helko Glathe         P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                       Signatur
                                                  Alg PT2
                                       Algebren
                                                  Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                 Erweiterterung
                                                  Alg PT3
                                           Ende
                                                  Homo Alg PT1 → Alg PT3

Sorten




   PT3nat                          =          N
                                              {g1,g2}
   PT3Stelle                       =
                                              {u1,u2}
   PT3Transition                   =
                                              {h1,h2}
   PT3KanteVor                     =
                                              {i1,i2}
   PT3KanteNach                    =




                   Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                              Signatur
                                                           Alg PT2
                                              Algebren
                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                        Erweiterterung
                                                           Alg PT3
                                                  Ende
                                                           Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen


                                                     (
                                                             | x=g1
                                                      2,
   getKapazit¨tPT3 (x)
             a                            =
                                                             | x=g2
                                                      1,
                                                     (
                                                             | x=h1
                                                      2,
   getGewichtVorPT3 (x)                   =
                                                             | x=h2
                                                      1,

   getGewichtNachPT3 (x)                  =          1
                                                     (
                                                             | x=g1
                                                      2,
   getTokenPT3 (x)                        =
                                                             | sonst
                                                      0,




                          Alexander Rein, Helko Glathe     P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                           Signatur
                                                      Alg PT2
                                           Algebren
                                                      Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                     Erweiterterung
                                                      Alg PT3
                                               Ende
                                                      Homo Alg PT1 → Alg PT3

Operationen



                                                  (
                                                          | x=h1
                                                   u1,
   targetVorPT3 (x)                    =
                                                          | x=h2
                                                   u2,
                                                  (
                                                          | x=i1
                                                   g 2,
   targetNachPT3 (x)                   =
                                                          | x=i2
                                                   g 1,
                                                  (
                                                          | x=h1
                                                   g 1,
   sourceVorPT3 (x)                    =
                                                          | x=h2
                                                   g 2,
                                                  (
                                                          | x=i1
                                                   u1,
   sourceNachPT3 (x)                   =
                                                          | x=i2
                                                   u2,




                       Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                                    Signatur
                                                                         Alg PT2
                                                    Algebren
                                                                         Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                              Erweiterterung
                                                                         Alg PT3
                                                        Ende
                                                                         Homo Alg PT1 → Alg PT3

Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3




                                   s1 k=2
                                                                                           g1 k=2




                      f3                              f4
                                                                                                              i2
                                e1 w=2
                                                                                        h1 w=2
        t2                                                          t3
                                                                                                                        u2
                                     t1
                                                                                             u1
               e2                                              e3
                                                 f2
                           f1
                                                                                                                   h2
                                                                                                         i1



             s2 k=1                                            s3 k=1

                                                                                                                   g2 k=1




                                Alexander Rein, Helko Glathe             P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                             Signatur
                                                        Alg PT2
                                             Algebren
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                       Erweiterterung
                                                        Alg PT3
                                                 Ende
                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT3

Konkret



   hnat (x)          =       x
                             (
                                        | x=s1
                              g 1,
   hStelle (x)       =
                                        | sonst
                              g 2,
                             (
                                        | x=t1
                              u1,
   hTransition (x)   =
                                        | sonst
                              u2,
                             (
                                        | x=e1
                              h1,
   hKanteVor (x)     =
                                        | sonst
                              h2,
                             (
                                       | (x=f1)∨(x=f2)
                              i1,
   hKanteNach (x)    =
                                       | sonst
                              i2,




                         Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Alg PT1
                                                       Signatur
                                                                        Alg PT2
                                                       Algebren
                                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT2
                                                 Erweiterterung
                                                                        Alg PT3
                                                           Ende
                                                                        Homo Alg PT1 → Alg PT3

Beweisansatz von h

   Beweis.
   sourceVor: KanteVor → Stelle
   hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) , x                                 KanteVorPT1
       x     sourceVorPT1 (x)       hStelle (sourceVorPT1 (x))              sourceVorPT3 (hKanteVor (x))        hKanteVor (x)     x
       e1           s1                           g1                 =                   g1                           h1          e1
       e2           s2                           g2                 =                   g2                           h2          e2
       e3           s3                           g2                 =                   g2                           h2          e3


   Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach!
           u

   hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT3 (hStelle (x)) , x
                   a                      a                                                       StellePT1
      x      getKapazit¨tPT1 (x)
                       a               hnat (getKapazit¨tPT1 (x))
                                                       a                        getKapazit¨tPT3 (hStelle (x))
                                                                                          a                        hStelle (x)    x
      s1              2                            2                    =                    2                        g1          s1
     sonst            1                            1                    =                    1                        g2         sonst


   Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken!
           u


   Homomorphismus ist surjektiv aber nicht injektiv! Jedoch bewahrt dieser
   Homomorphismus NICHT das Schaltverhalten!

                                   Alexander Rein, Helko Glathe         P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                         Algebren   Erw. Signatur
                                   Erweiterterung   Erw. Alg
                                             Ende


Suche nach einer Signatur, die auch das Schalten erm¨glicht
                                                    o

   Σ-P/T Netz Enhanced:
   sorts:     nat
              Stelle
              Transition
              KanteVor
              KanteNach
              Markierung

              getKapazit¨t: Stelle → nat
   opns:                 a
              getGewichtVor: KanteVor → nat
              getGewichtNach: KanteNach → nat
              getToken: Stelle Markierung → nat
              targetVor: KanteVor → Transition
              targetNach: KanteNach → Stelle
              sourceVor: KanteVor → Stelle
              sourceNach: KanteNach → Transition
              schalte: Transition Markierung → Markierung
              iniMarkierung: → Markierung



                     Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                            Algebren     Erw. Signatur
                                      Erweiterterung     Erw. Alg
                                                Ende


Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1Enhanced


                                                 1 k=2




                          f3                                                  f4

                                            e1 w=2


           t2                                                                                     t3

                                                   t1

                 e2                                                                          e3
                                                                         f2
                                f1




                2 k=1                                                                        3 k=1




                        Alexander Rein, Helko Glathe     P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                           Algebren   Erw. Signatur
                                     Erweiterterung   Erw. Alg
                                               Ende


Sorten




   PT1Enhancednat                      =          N
                                                  {1,2,3} ⊆ N
   PT1EnhancedStelle                   =
                                                  {t1,t2,t3}
   PT1EnhancedTransition               =
                                                  {e1,e2,e3}
   PT1EnhancedKanteVor                 =
                                                  {f1,f2,f3,f4}
   PT1EnhancedKanteNach                =
                                                  (N ◦ N ◦ N) Wort der L¨nge 3!
   PT1EnhancedMarkierung               =                                a




                       Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                             Algebren     Erw. Signatur
                                       Erweiterterung     Erw. Alg
                                                 Ende


Operationen



                                                    (
                                                            | x=s1
                                                     2,
   getKapazit¨tPT1Enhanced (x)
             a                           =
                                                            | sonst
                                                     1,
                                                    (
                                                            | x=e1
                                                     2,
   getGewichtVorPT1Enhanced (x)          =
                                                            | sonst
                                                     1,

   getGewichtNachPT1Enhanced (x)         =          1

   getTokenPT1Enhanced (s,m)             =          ms (Buchstabe s des Wortes m)




                         Alexander Rein, Helko Glathe     P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                             Algebren   Erw. Signatur
                                       Erweiterterung   Erw. Alg
                                                 Ende


Operationen

                                                    8
                                                            | x=e1
                                                    >t1,
                                                    <
                                                            | x=e2
   targetVorPT1Enhanced (x)              =            t2,
                                                    >
                                                            | x=e3
                                                      t3,
                                                    :

                                                    8
                                                            | x=f1
                                                    >s2,
                                                    <
                                                            | x=f2
   targetNachPT1Enhanced (x)             =            s3,
                                                    >
                                                            | sonst
                                                      s1,
                                                    :

                                                    8
                                                            | x=e1
                                                    >s1,
                                                    <
                                                            | x=e2
   sourceVorPT1Enhanced (x)              =            s2,
                                                    >
                                                            | x=e3
                                                      s3,
                                                    :

                                                    8
                                                            |
                                                    >t1,        x=f1
                                                    >
                                                    >
                                                            |
                                                    <t1,        x=f2
   sourceNachPT1Enhanced (x)             =
                                                            |
                                                    >t2,        x=f3
                                                    >
                                                    >
                                                            |
                                                      t3,       x=f4
                                                    :



                         Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                            Algebren   Erw. Signatur
                                      Erweiterterung   Erw. Alg
                                                Ende


Operationen


   iniMarkierungPT1Enhanced =           200
                                        8
                                        >(m1 − 2, m2 + 1, m3 + 1),                | (t = t1) ∧ (m1 = 2)∧
                                        >
                                                                                  | (m2 = 0) ∧ (m3 = 0)
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >(m1 + 1, m2 − 1, m3 ),                   | (t = t2) ∧ (m2 = 1)∧
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                                                                  | (m1 < 2)
                                        <
   schaltePT1Enhanced (t,m) =
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >(m1 + 1, m2 , m3 − 1),                   | (t = t3) ∧ (m3 = 1)∧
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                                                                  | (m1 < 2)
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                        >
                                                                                  | sonst
                                        :
                                          m,

   Anmerkung: Man kann evtl. nicht feststellen, ob t geschaltet hat oder nicht!




                        Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert
Signatur
                                        Algebren
                                  Erweiterterung
                                            Ende




Wir bedanken uns f¨r Eure Aufmerksamkeit.
                  u




                    Alexander Rein, Helko Glathe   P/T-Netze algebraisch spezifiziert

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Einführung in citavi 3
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Algebraic Specification Of Pt Nets

  • 1. Signatur Algebren Erweiterterung Ende P/T-Netze algebraisch spezifiziert Alexander Rein, Helko Glathe 01.11.2006 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 2. Signatur Algebren Erweiterterung Ende Inhaltsverzeichnis Signatur 1 Algebren 2 Algebra PT1 Algebra PT2 Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2 Algebra PT3 Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3 Erweiterterung 3 Erweiterte Signatur Algebra zur erweiterten Signatur Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 3. Signatur Algebren Erweiterterung Ende Unsere Signatur f¨r ein Petrinetz u Σ-P/T Netz: sorts: nat Stelle Transition KanteVor KanteNach getKapazit¨t: Stelle → nat opns: a getGewichtVor: KanteVor → nat getGewichtNach: KanteNach → nat getToken: Stelle → nat targetVor: KanteVor → Transition targetNach: KanteNach → Stelle sourceVor: KanteVor → Stelle sourceNach: KanteNach → Transition Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 4. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1 s1 k=2 f3 f4 e1 w=2 t2 t3 t1 e2 e3 f2 f1 s2 k=1 s3 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 5. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Sorten PT1nat = N {s1,s2,s3} PT1Stelle = {t1,t2,t3} PT1Transition = {e1,e2,e3} PT1KanteVor = {f1,f2,f3,f4} PT1KanteNach = Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 6. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen ( | x=s1 2, getKapazit¨tPT1 (x) a = | sonst 1, ( | x=e1 2, getGewichtVorPT1 (x) = | sonst 1, getGewichtNachPT1 (x) = 1 ( | x=s1 2, getTokenPT1 (x) = | sonst 0, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 7. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | x=e1 >t1, < | x=e2 targetVorPT1 (x) = t2, > | x=e3 t3, : 8 | x=f1 >s2, < | x=f2 targetNachPT1 (x) = s3, > | sonst s1, : 8 | x=e1 >s1, < | x=e2 sourceVorPT1 (x) = s2, > | x=e3 s3, : 8 | >t1, x=f1 > > | <t1, x=f2 sourceNachPT1 (x) = | >t2, x=f3 > > | t3, x=f4 : Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 8. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Petrinetz zur gesuchten Algebra PT2 g1 k=4 i3 w=2 i4 w=2 h1 w=4 u2 u3 u1 h2 w=2 h3 w=2 i2 w=2 i1 w=2 h4 h5 g2 k=2 u4 g3 k=2 i5 i6 i7 h6 h7 u5 u6 g4 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 9. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Sorten PT2nat = N {g1,g2,g3,g4} PT2Stelle = {u1,u2,u3,u4,u5,u6} PT2Transition = {h1,h2,h3,h4,h5,h6,h7} PT2KanteVor = {i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7} PT2KanteNach = Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 10. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | x=g1 >4, < | (x=g2)∨(x=g3) getKapazit¨tPT2 (x) a = 2, > | sonst 1, : 8 | x=h1 >4, < | (x=h2)∨(x=h3) getGewichtVorPT2 (x) = 2, > | sonst 1, : ( | (x=i1)∨(x=i2)∨(x=i3)∨(x=i4) 2, getGewichtNachPT2 (x) = | sonst 1, ( | x=g1 4, getTokenPT2 (x) = | sonst 0, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 11. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | >u1, x=h1 > > | >u2, x=h2 > > > | > >u3, x=h3 > < | targetVorPT2 (x) = u4, x=h4 > | >u4, x=h5 > > > > | >u5, x=h6 > > > | : u6, x=h7 8 | >g 2, x=i1 > > | >g 3, x=i2 > > > | > >g 1, x=i3 > < | targetNachPT2 (x) = g 1, x=i4 > | >g 4, x=i5 > > > > | >g 2, x=i6 > > > | : g 3, x=i7 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 12. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen 8 | >g 1, x=h1 > > | >g 2, x=h2 > > > | > >g 3, x=h3 > < | sourceVorPT2 (x) = g 2, x=h4 > | >g 3, x=h5 > > > > | >g 4, x=h6 > > > | : g 4, x=h7 8 | >u1, x=i1 > > | >u1, x=i2 > > > | > >u2, x=i3 > < | sourceNachPT2 (x) = u3, x=i4 > | >u4, x=i5 > > > > | >u5, x=i6 > > > | : u6, x=i7 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 13. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Allgemein Definition Homomorphismus h: PT1 → PT2 h=(hs :PT1s → PT2s )s S mit hs (fPT1 (x))=fPT2 (hs (x)) Definition ist vereinfacht und gilt nur f¨r einelementige Operationen! u Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 14. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT2 s1 k=2 g1 k=4 f3 f4 e1 w=2 i3 w=2 i4 w=2 t2 t3 h1 w=4 t1 u2 u3 e2 e3 f2 f1 u1 h2 w=2 h3 w=2 i2 w=2 i1 w=2 s2 k=1 s3 k=1 h4 h5 g2 k=2 u4 g3 k=2 i5 i6 i7 h6 h7 u5 u6 g4 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 15. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Konkret hnat (x) = x∗2 8 | x=s1 >g 1, < | x=s2 hStelle (x) = g 2, > | x=s3 g 3, : 8 | x=t1 >u1, < | x=t2 hTransition (x) = u2, > | x=t3 u3, : 8 | x=e1 >h1, < | x=e2 hKanteVor (x) = h2, > | x=e3 h3, : 8 | >i1, x=f1 > > | <i2, x=f2 hKanteNach (x) = | >i3, x=f3 > > | i4, x=f4 : Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 16. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Beweisansatz von h Beweis. sourceVor: KanteVor → Stelle hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) , x KanteVorPT1 x sourceVorPT1 (x) hStelle (sourceVorPT1 (x)) sourceVorPT2 (hKanteVor (x)) hKanteVor (x) x e1 s1 g1 = g1 h1 e1 e2 s2 g2 = g2 h2 e2 e3 s3 g3 = g3 h3 e3 Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach! u hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT2 (hStelle (x)) , x a a StellePT1 x getKapazit¨tPT1 (x) a hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) a getKapazit¨tPT2 (hStelle (x)) a hStelle (x) x s1 2 4 = 4 g1 s1 g2 ∨ g3 sonst 1 2 = 2 sonst Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken! u Homomorphismus ist injektiv, aber nicht surjektiv! Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 17. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Petrinetz zur gesuchten Algebra PT3 g1 k=2 i2 h1 w=2 u2 u1 h2 i1 g2 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 18. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Sorten PT3nat = N {g1,g2} PT3Stelle = {u1,u2} PT3Transition = {h1,h2} PT3KanteVor = {i1,i2} PT3KanteNach = Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 19. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen ( | x=g1 2, getKapazit¨tPT3 (x) a = | x=g2 1, ( | x=h1 2, getGewichtVorPT3 (x) = | x=h2 1, getGewichtNachPT3 (x) = 1 ( | x=g1 2, getTokenPT3 (x) = | sonst 0, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 20. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Operationen ( | x=h1 u1, targetVorPT3 (x) = | x=h2 u2, ( | x=i1 g 2, targetNachPT3 (x) = | x=i2 g 1, ( | x=h1 g 1, sourceVorPT3 (x) = | x=h2 g 2, ( | x=i1 u1, sourceNachPT3 (x) = | x=i2 u2, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 21. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Suche nach Homomorphismus Algebra PT1 → Algebra PT3 s1 k=2 g1 k=2 f3 f4 i2 e1 w=2 h1 w=2 t2 t3 u2 t1 u1 e2 e3 f2 f1 h2 i1 s2 k=1 s3 k=1 g2 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 22. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Konkret hnat (x) = x ( | x=s1 g 1, hStelle (x) = | sonst g 2, ( | x=t1 u1, hTransition (x) = | sonst u2, ( | x=e1 h1, hKanteVor (x) = | sonst h2, ( | (x=f1)∨(x=f2) i1, hKanteNach (x) = | sonst i2, Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 23. Alg PT1 Signatur Alg PT2 Algebren Homo Alg PT1 → Alg PT2 Erweiterterung Alg PT3 Ende Homo Alg PT1 → Alg PT3 Beweisansatz von h Beweis. sourceVor: KanteVor → Stelle hStelle (sourceVorPT1 (x)) = sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) , x KanteVorPT1 x sourceVorPT1 (x) hStelle (sourceVorPT1 (x)) sourceVorPT3 (hKanteVor (x)) hKanteVor (x) x e1 s1 g1 = g1 h1 e1 e2 s2 g2 = g2 h2 e2 e3 s3 g2 = g2 h2 e3 Analog f¨r sourceNach, targetVor, targetNach! u hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) = getKapazit¨tPT3 (hStelle (x)) , x a a StellePT1 x getKapazit¨tPT1 (x) a hnat (getKapazit¨tPT1 (x)) a getKapazit¨tPT3 (hStelle (x)) a hStelle (x) x s1 2 2 = 2 g1 s1 sonst 1 1 = 1 g2 sonst Analog f¨r getGewichtVor, getGewichtNach und getToken! u Homomorphismus ist surjektiv aber nicht injektiv! Jedoch bewahrt dieser Homomorphismus NICHT das Schaltverhalten! Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 24. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Suche nach einer Signatur, die auch das Schalten erm¨glicht o Σ-P/T Netz Enhanced: sorts: nat Stelle Transition KanteVor KanteNach Markierung getKapazit¨t: Stelle → nat opns: a getGewichtVor: KanteVor → nat getGewichtNach: KanteNach → nat getToken: Stelle Markierung → nat targetVor: KanteVor → Transition targetNach: KanteNach → Stelle sourceVor: KanteVor → Stelle sourceNach: KanteNach → Transition schalte: Transition Markierung → Markierung iniMarkierung: → Markierung Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 25. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Petrinetz zur gesuchten Algebra PT1Enhanced 1 k=2 f3 f4 e1 w=2 t2 t3 t1 e2 e3 f2 f1 2 k=1 3 k=1 Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 26. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Sorten PT1Enhancednat = N {1,2,3} ⊆ N PT1EnhancedStelle = {t1,t2,t3} PT1EnhancedTransition = {e1,e2,e3} PT1EnhancedKanteVor = {f1,f2,f3,f4} PT1EnhancedKanteNach = (N ◦ N ◦ N) Wort der L¨nge 3! PT1EnhancedMarkierung = a Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 27. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Operationen ( | x=s1 2, getKapazit¨tPT1Enhanced (x) a = | sonst 1, ( | x=e1 2, getGewichtVorPT1Enhanced (x) = | sonst 1, getGewichtNachPT1Enhanced (x) = 1 getTokenPT1Enhanced (s,m) = ms (Buchstabe s des Wortes m) Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 28. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Operationen 8 | x=e1 >t1, < | x=e2 targetVorPT1Enhanced (x) = t2, > | x=e3 t3, : 8 | x=f1 >s2, < | x=f2 targetNachPT1Enhanced (x) = s3, > | sonst s1, : 8 | x=e1 >s1, < | x=e2 sourceVorPT1Enhanced (x) = s2, > | x=e3 s3, : 8 | >t1, x=f1 > > | <t1, x=f2 sourceNachPT1Enhanced (x) = | >t2, x=f3 > > | t3, x=f4 : Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 29. Signatur Algebren Erw. Signatur Erweiterterung Erw. Alg Ende Operationen iniMarkierungPT1Enhanced = 200 8 >(m1 − 2, m2 + 1, m3 + 1), | (t = t1) ∧ (m1 = 2)∧ > | (m2 = 0) ∧ (m3 = 0) > > > > > > > > > > >(m1 + 1, m2 − 1, m3 ), | (t = t2) ∧ (m2 = 1)∧ > > > > | (m1 < 2) < schaltePT1Enhanced (t,m) = > > > >(m1 + 1, m2 , m3 − 1), | (t = t3) ∧ (m3 = 1)∧ > > > > | (m1 < 2) > > > > > > > > > | sonst : m, Anmerkung: Man kann evtl. nicht feststellen, ob t geschaltet hat oder nicht! Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert
  • 30. Signatur Algebren Erweiterterung Ende Wir bedanken uns f¨r Eure Aufmerksamkeit. u Alexander Rein, Helko Glathe P/T-Netze algebraisch spezifiziert