![計算論的学習理論の歴史
• 極限における同定
– 訓練データが無限個与えられた場合に学習可能なクラス (文法)
を議論
• PAC学習
– 仮説集合𝐻の学習問題において，危険率𝛿で汎化誤差𝜖の予測
器を学習するために必要な訓練データ数の下界を求める枠組み
• [証明が入ります]
• VC理論
– PAC学習の枠組みを無限の仮説集合へ拡張
– マージン最大化により汎化誤差が抑えられることを証明 [ゴール]
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- 1. 計算論的学習理論入門 PAC学習とかVC次元とか Last update: 2013-06-23 Since: 2011-04-23 Yoshihiko Suhara 1 v.0.1
- 2. 計算論的学習理論の歴史 • 極限における同定 – 訓練データが無限個与えられた場合に学習可能なクラス (文法) を議論 • PAC学習 – 仮説集合𝐻の学習問題において，危険率𝛿で汎化誤差𝜖の予測 器を学習するために必要な訓練データ数の下界を求める枠組み • [証明が入ります] • VC理論 – PAC学習の枠組みを無限の仮説集合へ拡張 – マージン最大化により汎化誤差が抑えられることを証明 [ゴール] 2
- 3. 極限における同定 3
- 4. 極限における同定 • 主に文法学習を対象 • 帰納推論の成功基準 [Gold 67] – 無限の事例が与えられる (完全提示) 場合に完全学習可能な文法ク ラスを議論する研究分野 – 無限個だったら汎化する必要ないのでは? • 多項式時間など，収束の速さも同時に議論 • 文法の場合は全データを有限時間内に完全網羅することは不可能 • 正例と負例が十分にないと学習可能なクラスは少ない [Gold 67] • 発展分野: 正例からの学習 – 負例がない場合の学習理論 – 負例がなくてもけっこう学習可能らしい 4
- 5. PACモデル 5
- 6. PACモデル [Valiant 84] • 確率的近似学習 – PAC; Probably Approximately Correct (確率的に大体正 しい) – 仮説集合が有限における学習可能性を扱う枠組み • 極限における学習においては完全学習 (汎化誤 差0) を対象にしていた • モチベーション: まぁまぁ良い学習をするためにど の程度学習データが必要かという枠組みで議論 がしたい 6(*) 余談だがPAC学習という名前をつけたのはValiant本人ではなくDana Angluin [Angluin 87]
- 7. 補足: 仮説集合とは? • 既に機械学習に対する理解があるのであれば，仮説 ≒分類モデルと理解すればよい • 特徴空間と学習アルゴリズムによって仮説集合が決定 – 例) カープ判別問題 • 2次元のバイナリ特徴に対する決定木の場合，モデルの候補 (仮説 集合) は24 = 16通り存在 7 セリーグか? (𝒙 𝟏) チームカ ラーは赤 か? (𝒙 𝟐) カープか True True YES True False NO False True NO False False NO False True FalseTrue ○× × × 𝑥1 𝑥2 +- 仮説の一例
- 8. PAC学習の考え方 • PAC学習の考え方 – データは同じ分布から独立に取得されるものとする • 分布の形は仮定していない (distribution free) • ここがBayes的な方法と異なる – 汎化誤差が𝜖より大きい，かつ，ℓ個の訓練データ に無矛盾な仮説を選択してしまう確率を𝛿以下に抑 えたい • 𝛿は仮説検定における危険率と同じと考えればよい 8
- 9. 定理 • 定理 – 仮説集合𝐻において危険率𝛿以下で汎化誤差が 高々𝜖の仮説を学習するために必要な訓練デー タは 1 𝜖 log 𝐻 𝛿 以上．すなわち， 1 𝜖 log 𝐻 𝛿 ≤ ℓ 9 仮説集合が決まれば，危険率𝛿と汎化誤差𝜖に対して必要な訓練データ数を評価できる 同様に，他を固定すれば汎化誤差や危険率の上界値を求めることができる 嬉しさのポイント
- 10. 証明 (1/2) • (1) 汎化誤差が𝜖より大きい場合，ℓ個の訓練データに対して全正解する 確率は高々 1 − 𝜖 ℓ – ※ 誤差𝜖のときの確率で抑える • (2) 𝐻 個の仮説集合のうち全ての仮説の汎化誤差が𝜖より大きい場合， 訓練データに対して全正解する確率は高々 |𝐻| 1 − 𝜖 ℓ – 和事象の不等式 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ≤ 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)を利用 • (3) 1 + 𝑎 𝑥 𝑥 < exp 𝑎 より，𝑥 = ℓ，𝑎 = −𝜖ℓとすると， 𝐻 1 − 𝜖 ℓ ≤ 𝐻 exp(−𝜖ℓ) • 右辺の確率が危険率𝛿以下であればよい 10
- 11. 証明 (2/2) • 前頁の結果より， 𝐻 exp(−𝜖ℓ) ≤ 𝛿 • 両辺の対数を取ると log |𝐻| − 𝜖ℓ ≤ log 𝛿 • 式を整理すると log |𝐻| − log 𝛿 ≤ 𝜖ℓ 1 𝜖 log 𝐻 𝛿 ≤ ℓ • よって，仮説集合𝐻において危険率𝛿以下で汎化誤差が高々𝜖の仮説を 学習するために必要な訓練データは 1 𝜖 log 𝐻 𝛿 以上 – 𝐻「大」→ℓ「大」 – 𝜖「小」→ ℓ「大」 – 𝜎「小」→ℓ「大」 11
- 12. 補足: 1 + 𝑎 𝑥 𝑥 < exp 𝑎 の証明 • exp(𝑧)のマクローリン展開を行う exp 𝑧 = 1 + 𝑧 + 𝑧2 2! + 𝑧3 3! + ⋯ • 𝑧 𝑖 𝑖! > 𝑧 𝑖+1 (𝑖+1)! より，𝑧 ≠ 0の際， exp 𝑧 > 1 + 𝑧 • 𝑧 = 𝑎 𝑥 とおく exp 𝑎 𝑥 > 1 + 𝑎 𝑥 • 𝑎 𝑥 ≥ −1 𝑎 𝑥 ≠ 0 の際，両辺共に非負，両辺を𝑥乗すると – 注: 𝑎 𝑥 = −𝜖 0 < 𝜖 ≤ 1 とおいて利用するのでこれでよい exp 𝑎 > 1 + 𝑎 𝑥 𝑥 12
- 13. 簡単な例 • 先述のカープ判別問題 – 仮説集合の大きさは16 – 危険率 𝛿 = 0.01，汎化誤差 𝜖 = 0.1とすると， 1 0.1 log 8 0.01 = 32.04 < 33 – 33個の訓練データが必要 • そんないらんがな 13 定理の証明からわかるとおり，ひじょーに安全サイドに倒した 汎化誤差の評価をしているため，実用面から考えると え??? な値になってしまう
- 14. その他の話題 • 多項式PAC学習 • Bayes-PAC学習 • など 14
- 15. VC理論 15
- 16. Vladimir Vapnik 神 • 統計論的学習理論，VC理論の教祖，SVMの産みの親 – VC = Vapnik-Cherbonenkis • AT&T Labs → NEC Lab. America ご尊顔 聖典
- 18. PACモデルの問題点 • 従来のPACモデルでは有限の仮説集合しか扱う ことができなかった • 我々が普段使う手法の仮説集合は無限集合 – 例) N次元実数空間における線形識別モデルの仮説 は無限個 • このままでは無限集合であるような学習手法に ついてPAC学習の枠組みで汎化性能を評価でき ない 18
- 20. VC次元の直感的な理解 • 仮説集合のVC次元 = 仮説集合に含まれる仮説 が細分 (shatter) できる点の数 – shatter とは，任意の2クラスに分類できること 20 直線によって任意の3点をshatterできる 直線では4点をshatterできない これより，2次元特徴空間における線形識別器のVC次元は3次元
- 21. VC次元に基づく汎化誤差の評価 • 以下の定理が成立 – 汎化誤差𝜖，危険率𝛿，データ数ℓ，VC次元𝑑 とする 𝜖 ≤ 2 ℓ 𝑑 log 2𝑒ℓ 𝑑 + log 2 𝛿 – 仮説集合の大きさ𝐻がVC次元𝑑に変わっただけで PAC学習と同じノリ 21 無限の仮説集合に対してもPAC学習と 同じ考え方が適用可能になった
- 22. 線形識別モデルのVC次元は? • N次元特徴空間の線形識別モデルのVC次元 はN+1 • あれ? 次元が増えるとVC次元も増えてしまう – 理論的に保証される汎化性能が途端に悪くなっ てしまう • 全然うれしくない! – でも経験的にはそんなことはない! どうすればい いの? 22
- 23. 便利！ただ問題 • 特徴次元が増加するとVC次元も増加 • 次元の呪いを克服していない • カーネル利用により，高次元空間での線形識 別学習は，やはりVC次元も高次元になってし まうのだろうか．．． 23
- 24. 次元の呪いよさらば • 汎化誤差に対して以下の定理が成り立つ 𝜖 ≤ 2 ℓ 64𝑅2 𝛾2 log 𝑒ℓ𝛾 4𝑅 log 128ℓ𝑅2 𝛾2 + log 4 𝛿 – ただし，ℓ > 2 𝜖 , 64R2 𝛾2 < ℓ とする • 式の中からVC次元が消え，マージンの大きさ𝛾とデー タ点を含む超球の半径𝑅で汎化誤差を抑えている – i.e., VC次元をマージンサイズと超球の半径で表現 – 次元の呪いよサヨウナラ! 24 ※ 天下り的ですみません
- 25. マージン最大化がうれしい理由 • マージン最大化により，実行VC次元の大きさ を抑えていると解釈できる • 言い換えると – マージンサイズによって仮説空間の複雑さをおさ えることが可能になり， – より少ない訓練データでよりよい汎化性能を得る ことができる 25 ※ 個人解釈が入っているので誤りのおそれがあります
- 26. まとめ • 計算論的学習理論の歴史 • 極限における同定 • PACモデル – PACモデルのうれしさ – 定理の証明 • VC理論 – VC理論のうれしさ – VC次元 – マージン最大化のモチベーション 26
- 27. References • [Gold 67] E. M. Gold, “Language identification in the limit”, Information and Control, 10, pp.447-474, 1967. • [Valiant 84] L. G. Valiant, “A theory of the learnable”, Communications of the Association for Computing Machinery, 27, pp.1134-1142, 1984. • [Angluin 87] D. Angluin, “Learning regular sets from queries and counter- examples”, Information and Computaion, 75, pp.87-106, 1987. 27
- 28. 参考文献 • 榊原康文, 小林聡, 横森貴. 計算論的学習. 培風館 (2001). • Philip D. Laird(著), 横森貴(訳). 例からの学習ー計算論的学 習理論ー. オーム社 (1992). • Nello Cristianini, John Shawe-Taylor(著), 大北剛(訳), サポート ベクターマシン入門, 共立出版 (2005). 28
- 29. おしまい 29