1. Autor:
Kenny Slater Briceño Marcano
CI: 27. 427. 245

2. Relaciones y grafos
La teoría de grafos (también llamada teoría de las
gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también
llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de
objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de
pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que
pueden ser orientados o no.

3. PRODUCTO CARTECIANO
Es el conjunto de parejas ordenada, en las cuales el
primer elemento pertenece al primer conjunto y el
segundo elemento de la pareja ordenada pertenece al
segundo conjunto.
Si tenemos dos conjuntos no vacíos X e Y, se define el
Producto Cartesiano entre X e Y como el conjunto de
pares ordenados (x,y) formados por x ∈ X e y ∈ Y. Este
conjunto se denotará como X ×Y. Es decir X ×Y = {(x,y) :
x ∈ X, y ∈ Y}.

4. Ejemplo
 Un ejemplo muy importante es el plano cartesiano:
R×R = {(x,y) : x ∈R, y ∈R} , donde R es el conjunto de
los números reales. Gráficamente:

5. RELACION BINARIA
Una relación binaria crisp representa la presencia o
ausencia de asociación, interacción, interconexión,
vinculación o incidencia entre los elementos de dos
conjuntos. Este concepto puede ser generalizado
haciendo posible diversos grados o intensidad de
asociación o interacción entre elementos. En una
relación fuzzy, los grados de asociación pueden ser
representados mediante grados de pertenencia. Una
relación nítida puede considerarse un caso particular de
una borrosa, así como un conjunto nítido lo es de uno
borroso.

6. Representación de relaciones
Cuando un numero se escribe en un sistema posicional,
el peso de cada dígito depende de su posición. Por
ejemplo, en el sistema decimal
371.28 = 3·102 + 7·101 + 1 + 2·10−1 + 8·10−2.
En el sistema binario los pesos de los dígitos son
potencias de 2.

7. Diagrama de flecha
El Diagrama de Flechas es una herramienta de
planeación para determinar el tiempo que puede
tardar un proyecto en completarse. También se le
conoce como Diagrama de red o Diagrama de red de
actividades.
El Diagrama de flechas muestra el orden en que las
actividades de un proyecto se realizarán, así como el
tiempo para que éstas se cumplan, y fijar el tiempo de
conclusión. A
B
C
D
E

8. Propiedades de la reflexión
(reflexiva)
Es reflexiva cuando todo elemento de un conjunto A está
relacionado consigo mismo, esto es, cuando se cumple
que a R a para todo elemento de A. Una característica de
este tipo de relación es que su matriz correspondiente
contiene unos en toda su diagonal principal y los
elementos restantes de la matriz pueden ser unos o
ceros.

9. Relación irreflexiva
Es cuando ningún elemento del conjunto A está
relacionado consigo mismo. En este caso la matriz
deberá contener únicamente ceros en la diagonal. Si la
diagonal de la matriz tiene ceros y unos, la relación
correspondiente no es reflexiva ni irreflexiva.

10. Relación simétrica
Se dice que una relación R:A=B es simétrica cuando y (a,
b) R y (b, a) R. Si (a, b) está en la relación pero (b, a) no,
entonces la relación no es simétrica.

11. Relación antisimétrica
Una relación es antisimétrica cuando uno de los pares
colocados simétricamente no están en la relación, lo cual
significa que (a, b) R o bien (b, a) R. En la diagonal
puede haber ceros o unos, y también puede haber pares
de ceros colocados simétricamente y por lo tanto es una
relación antisimétrica.

12. Relación transitiva
Una relación de A en B tiene la propiedad de ser
transitiva si cuando aRb y bRc entonces existe el par aRc.

13. Relaciones de equivalencia
(cerradura)
 Cerradura reflexiva: En este caso se agrega a la relación
R la relación identidad para obtener una relación que
sea reflexiva.
 Cerradura simétrica: A la relación R se le agrega la
relación inversa R-1 para que la relación resultante
tenga la propiedad de simetría.
 Cerradura transitiva: A la relación R se agrega la matriz
que resulta de multiplicar la relación por ella misma.

14. Clases de equivalencia
 Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto
A. Para cada a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia
de a, al conjunto formado por todos los elementos de A
que estén relacionados con ´el. La notaremos [a], es
decir, [a] ={x ∈ A : xRa}.
 Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto
A. Para cada a ∈ A, llamaremos clase de equivalencia
de a, al conjunto formado por todos los elementos de A
que estén relacionados con ´el. La notaremos [a], es
decir, [a] ={x ∈ A : xRa}.

15. EJEMPLO
Sea A ={a,b,c,d} y R el conjunto R
={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Representar el digrafo de R y calcular las clases de
equivalencia.

16. Funciones inyectivas
A una función inyectiva también se le llama una función
uno a uno (a veces se escribe: f es 1−1). La inyectividad
tiene una interpretación en términos del grafo de la
función.

17. Funciones sobreyectivas
 Es claro que una función f : A → B es sobreyectiva
cuando el rango de f es igual alcontradominio. Esto lo
resaltamos en el próximo recuadro.
 Cuando f(x) = y se dice que y es la imagen de x y
también diremos que x es una preimagen de y. En el
caso que y ∈ rango(f), diremos que y no tiene
preimagen.

18. Funciones Biyectivas
 Una función es biyectiva cuando su dígrafo tiene la
propiedad que a todo elemento del contradominio le
llega una y sólo una flecha, como se indica en el
siguiente diagrama.

19. Conclusión
En este trabajo se observa lo importante que es cada una
de estas relaciones y funciones, es comprender la
naturaleza y el contenido de esas relaciones. Los estudios
clásicos basados en la lógica booleana solo consideran
las alternativas de existencia o no de relación. Lo que se
deja entender es como un proyecto interrelacionadas en
una secuencia lógica, en tal sentido que algunas de ella
no pueden comenzar hasta que otras hayan terminado.

20. bibliografía
 Álgebra y Geometría II. Santillana.
 Birkhoff, G.; Mac Lane, S. (1970). Algebra Moderna.
Vicens-Vives, Barcelona. Zimmermann H. (1991).
 Fuzzy Set Theory and its Applications. Kluwer
Academic Publishers, Boston.

21. Gracias