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Introduction to Topological Data Analysis
- 3. 登場人物
: 単体法おじさん
: 僕(画像は llvm)
F
F 講義やらない??
お題とかあるんでしょうか??
はあ…
一応タイトルは，Deep Learning
の紹介ということにしてあるけど
F
F でも，好きなこと話していいよ．
Topological Data Analysis でも
A∞ とか離散 morse 理論の話になっ
てもいいですか?? (; ･`д･´)
F えっ，そういう話なの？？
まぁ，いいんじゃない
- 10. Topological data analysis #とは
• もともとは Edelsbrunner/Letscher/Zomordian が
画像認識を行うために Persistent Homology を考
えた(*)
• 与えられたデータの位相(幾何)的な不変量を用
いることで，データの次元削減/noise の除去など
を行う→例えば機械学習の前処理として使える
* Edelsbrunner, Herbert, David Letscher, and Afra Zomorodian. "Topological
persistence and simplification." Discrete and Computational Geometry 28.4
(2002): 511-533.
- 11. Topological data analysis #とは
• スペクトル系列と関連
スペクトル系列はいいぞぉ！！ (*´д｀*)ﾊｧﾊｧ
Basu, Saugata, and Laxmi Parida. “Spectral Sequences, Exact Couples and Persistent Homology
of filtrations.” arXiv preprint arXiv:1308.0801 (2013). より
- 12. Topological data analysis #とは
• 主な応用分野は以下
1. 画像認識
2. Manifold learning
3. 遺伝子情報解析
4. 高分子構造の解析
5. 音楽データの解析
6. Network(social/脳のneuron) の解析
7. Sensor network 問題
etcetc…
- 13. Persistent Homology
定義(point cloud)
𝑋 ⊂ 𝑅 𝑛
：有限集合を point cloud という
定義(Vietoris Rips)
𝑟 > 0, 𝑋 = 𝑥 𝜆 𝜆∈Λ: 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑙𝑜𝑢𝑑 に対し，
𝐶 𝑛
𝑟
𝑋 = 𝜆0
⋯ 𝜆 𝑛
𝑥 𝜆 𝑖 − 𝑥 𝜆 𝑗 ≤ 2𝑟
𝑉 𝑟
𝑋 : 𝐶 𝑛
𝑟
(𝑛 = 0, … ) で生成される自由加群
- 14. Persistent Homology
Point cloud 𝑋 : given
半径の列 0 = 𝑟0 < ⋯ < 𝑟𝑛をとると、次の
Vietoris Rips 複体の列
𝑉 𝑟0 ⊂ 𝑉 𝑟1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑉 𝑟 𝑛
が得られる → homology の列が誘導される
𝐻 𝑝 𝑉 𝑟0 → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟1 → ⋯ → 𝐻 𝑝 𝑉 𝑟 𝑛
- 17. Persistence Diagram
𝑏 𝑝
𝑖,𝑗
= 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐻 𝑝
𝑖,𝑗
: betti number
𝜇 𝑝
𝑖,𝑗
:𝑉 𝑟 𝑖 で現れて,𝑉 𝑟 𝑗 で消えるホモロジークラス
全体の rank とする i.e.
𝜇 𝑝
𝑖,𝑗
= 𝑏 𝑝
𝑖,𝑗−1
− 𝑏 𝑝
𝑖,𝑗
− 𝑏 𝑝
𝑖−1,𝑗−1
− 𝑏 𝑝
𝑖−1,𝑗
Persistence Diagram:
𝑟 𝑖
, 𝑟 𝑗
∈ ℝ2
に重複度 𝜇 𝑝
𝑖,𝑗
を持たせて書いた
もの
- 19. 計算方法(体係数の時)
次の operator 𝑥: ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖
∗
→ ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖
∗
を
𝑉𝑟 𝑖
∗
→ 𝑉𝑟 𝑖+1
∗
: inclusion の拡張で与える
考える係数体を 𝐾 としたとき、
Boundary 𝜕: ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖
𝑛
→ ⨁𝑖 𝑉𝑟 𝑖
𝑛
を多項式環 𝐾 𝑥
module の準同型として考える。
この(多項式環係数)行列の smith-normal form
を用いる
- 20. 補足: smith normal form
PID 𝑅 係数の 𝑛 × 𝑚 行列 𝑋 ∈ 𝑀 𝑛, 𝑚, 𝑅 の
smith-normal form とは
正則行列 𝑆 ∈ 𝐺𝐿 𝑛, 𝑅 , 𝑇 ∈ 𝐺𝐿 𝑚, 𝑅 を用いて
𝑆𝑋𝑇 =
𝐴 0
0 0
𝑤/ 𝐴 =
𝑎1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝑎 𝑟
, 𝑎𝑖|𝑎𝑖+1
- 21. 計算方法
上の algorithm + 行列の reduction を用いることで、
計算量を抑えている。
一般の環係数に対して、最悪計算量はΟ 𝑛3
Milosavljevic 等は体係数の Persistent Homology
を行列積 order Ο 𝑛 𝜔
で計算をしている(*)
現状 𝜔 ≈ 2.3727 が知られている
* Milosavljević, Nikola, Dmitriy Morozov, and Primoz Skraba. "Zigzag
persistent homology in matrix multiplication time." Proceedings of the
twenty-seventh Annual Symposium on Computational Geometry. ACM, 2011.
- 22. 離散 Morse 理論
• 離散 morse 理論を用いて、単体複体を小さく
することで計算量を抑えることを考える
• 離散モース理論：
単体複体 𝐾 上の関数 𝑓 が morse
⇔ 任意の単体 𝛼 𝑝
に対し
⋕ 𝛼 < 𝛽 𝑝+1
𝑓 𝛽 ≤ 𝑓 𝛼 ≤ 1
⋕ 𝛾 𝑝−1
< 𝛼 𝑓 𝛼 ≤ 𝑓 𝛾 ≤ 1
- 23. 離散 Morse 理論
単体複体 𝐾 の単体 𝜎 がmorse 関数 𝑓 の臨界
点(critical point)
⇔
⋕ 𝛼 < 𝛽 𝑝+1
𝑓 𝛽 ≤ 𝑓 𝛼 = 0
⋕ 𝛾 𝑝−1
< 𝛼 𝑓 𝛼 ≤ 𝑓 𝛾 = 0
類似：
多様体に対する morse 理論では morse 関数の
臨界点に応じて、多様体の cell 分解を行った…
- 24. 離散 Morse 理論
定理(基本定理)
単体複体 𝐾 上にモース関数 𝑓 が存在
⇒ 𝑓 の p-次の臨界点に対応した p-次のセルを持つ CW
複体と homotopy 同値になる ∎
𝑀𝑓: 𝑓 の臨界点から生成される自由加群
以下が分かる
∃ 𝜕: 𝑀𝑓 → 𝑀𝑓
で 𝑀𝑓 はchain 複体。これを morse 複体という
これは homology を保っている。
- 25. 離散 Morse 理論
• 𝑅𝑃2
の homology の計算例
𝑅𝑃2
上の morse 関数を以下の図で与える。
2
3
1
1 23
t
e
e
- 26. 離散 Morse 理論(例)
• これの morse complex は次で与えられる
ℤ
×2
ℤ →
0
ℤ → 0
これより、
𝐻0 𝑅𝑃2
, ℤ = ℤ
𝐻1 𝑅𝑃2
, ℤ = ℤ 2ℤ
𝐻2 𝑅𝑃2
, ℤ = 0
- 27. 離散 Morse 理論(Filtered ver.)
• Mischaikow, Konstantin, Nanda は離散モース
理論(Morse complex) の理論を filtered
complex に拡張し,Persistent Homology の計
算の効率化を行った(*)
• filtration に適合した morse complex は元の
複体と同じ Persistence Diagram を与える
(*) Mischaikow, Konstantin, and Vidit Nanda. "Morse theory for filtrations and
efficient computation of persistent homology." Discrete & Computational
Geometry 50.2 (2013): 330-353.
- 28. 離散 Morse 理論(Filtered ver.)
以上の方法計算量に使う値を定義する
𝑛: cell の個数(input size)
𝑝 = max
𝛼∈𝐾
# 𝛽 ∈ 𝐾 𝛼 < 𝛽
𝑚𝑖: i-次元のセルの個数
𝑚: morse complex のセルの個数(output)
i.e. 𝑚 = 𝑚𝑖
𝑚 = 𝑚𝑖
2
- 29. 離散 Morse 理論(Filtered ver.)
一般の体係数に対しては、filtered morse 理論
を用いた際の計算量は
Ο 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑚 + 𝑚3
また、体係数では
Ο 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑚 + 𝑚 𝜔
に削減できる。
詳細：略(´;ω;｀)
- 30. 社会での実用例
• Fujitsu が TDA を利用したサービスをリリース
時系列データを高精度に分析する新たなDeep Learning技術を開発
• Carlsson 先生が co-founder を務める Ayasdi
社
