El documento describe la historia y propiedades de los logaritmos. John Napier inventó los logaritmos en el siglo XVI como una forma más sencilla de realizar cálculos aritméticos. Los logaritmos expresan la relación entre dos números en una progresión geométrica y aritmética. Napier reconoció su utilidad para la astronomía y trigonometría y produjo tablas de logaritmos. Los logaritmos se convirtieron en una herramienta matemática importante y ayudaron al desarrollo de la física

1. LOGARITMOS
Napier fue posiblemente el más notable de los matemáticos del siglo XVI, y un
reconocido inventor. Sus esfuerzos por encontrar formas más sencillas para el cálculo
aritmético lo llevaron a crear diferentes artificios, como una especie de ajedrez
aritmético donde los dígitos se movían como torres y alfiles sobre el tablero; y otro
que sobrevive y se conoce como huesos de Napier.
La palabra logaritmo, que asignó a su descubrimiento sobre la relación entre los
números de dos progresiones, viene de las palabras griegas logos: relación y arithmos:
número.
Napier vio tan claramente la utilidad de los logaritmos en la astronomía y la
trigonometría, que decidió dejar sus estudios en álgebra y dedicar el resto de su vida a
producir las tablas necesarias, toda una hazaña ya que en ese momento no se había
inventado la teoría de los exponentes ni el cálculo diferencial.
Los logaritmos en el siglo XVII son parte del corpus matemático y como tal se
encuentran en numerosas obras. No se trató de un simple método de cálculo publicado
en manuales de bolsillo que, siempre complementados con un manual de uso, se
utilizaron sobre el terreno y a bordo de los navíos; también fueron de gran ayuda para
el nacimiento de la física matemática y un apoyo decisivo para el avance de la
astronomía.
La aplicación de los logaritmos a todo cálculo multiplicativo condujo a la construcción
de la “regla deslizante” o “regla de cálculo”, inventada en 1621 por el matemático
inglés William Oughtred (1574 – 1660) y que hasta 1970 fue el símbolo del estudiante
universitario de ingeniería.
A partir del último tercio del siglo XX, la enseñanza de los logaritmos como
instrumento de cálculo ha desaparecido de las escuelas y los productos resultantes de
la invención de Napier se han vuelto piezas de museo. Con el desarrollo de las
calculadoras de bolsillo, las tablas de logaritmos y la regla de cálculo no se usan más.
No obstante, el estudio de las propiedades de la función logarítmica y su inversa, la
función exponencial, permanecerán siempre como una parte importante de la
matemática.
Con el desarrollo de la Teoría de la Información a partir de los trabajos de Claude
Shannon (1916– 2001), los logaritmos han asumido un papel fundamental pues
constituyen una herramienta esencial en el contexto de la tecnología moderna.
La logaritmación es la operación inversa de la potenciación
El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de
una potencia al expresarla como logaritmo:

2. Cómo se lee?
log100 = 2 S e le e lo ga rit mo e n ba s e 10 de c ie n igua l a do s
Se lee logaritmo en base 2 de 8 igual a tres
Lo ga rit m o e n ba s e 10 ó lo ga rit m o de c im a l o lo ga rit m o v ulga r
Cua ndo la ba s e de un lo ga rit mo e s 10, us ua lme nt e s e o mit e e l 10,
e s de c ir, no e s ne c e s a rio e s pe c ific a r la ba s e .
P a ra ha lla r un lo ga rit mo no s pre gunt a mo s :
¿A qué e xpo ne nt e ha y que e le v a r la ba s e pa ra que dé e l
a rgume nt o ?
Eje mplo :
A que e xpo ne nt e de bo e le v a r 10 pa ra que me de 10?
De bo e le v a rlo a la 1 po rque 101 = 10 e nt o nc e s
lo g 10 = 1
A que e xpo ne nt e de bo e le v a r 10 pa ra que me de 100?
De bo e le v a rlo a la 2 po rque 10x10=100 ó 102 = 100, e nt o nc es
log100 = 2
Otros ejemplos
lo g 1000 = 3 po rque 103 = 1000
lo g ( 1/ 10 000) = −4 po rque 10− 4 = 1/ 10 000
log 0.0001= - 4 porque 10− 4 = 0. 0001
El mismo número se puede expresar de varias formas:
2log 8 3
4
4
1 1
10 0.0001
10 10000

  

3. P a ra ha lla r e l lo ga rit mo no s pre gunt a mo s :
¿A que _____________ ha y que e le v a r la _______________ pa ra
que dé e l ____________________?
Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de
expresar la potenciación, como en este ejemplo:
Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2
Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se
puede expresar como potencia.
Ejemplos:
El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la
potencia (4): 22 = 4
El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la
potencia (1): 20 = 1
(Logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el exponente al que hay
que elevar 2 para que nos de 8 
Ejercicios
log 100 = porque___________________________
log 1000 = porque____________________________
2log 8 3
3
2 8

4. log 10000 = porque_____________________________
log 1000000 = porque_____________________________
log
1
10
= porque_____________________________
log
1
100
= porque_____________________________
log
1
1000
= porque_____________________________
log
1
10000
=
log 0.00001= porque_____________________________
log 0.0001= porque_____________________________
log 0.001=
log 0.01= porque_____________________________
log 0.1= porque_____________________________
Ten en cuenta lo siguiente:
1. No existe el logaritmo de un número con base negativa.
2 .No existe el logaritmo de un número negativo.
3. No existe el logaritmo de cero.
Ejercitemos:
log−2 8 =
log−3 16 =
log2 −125 =
log3 −16 =
log2 −4 =
log2 0 =
log5 0 =
Propiedades generales de los logaritmos
1. El logaritmo de uno “1” es cero “0” en cualquier base. Porque cualquier
número elevado a la cero “0” es igual a _____

5. Ejercitemos
log 1 =
log2 1 =
log3 1 =
log25 1 =
2. El logaritmo de “a” en base “a” es uno “1”. Porque cualquier número
elevado a la uno”1” da como resultado___________________________
Practiquemos:
log5 5 =
log2 2 =
log10 10 =
log10 =
3. Logaritmo de un Producto
El logaritmo de un producto de igual base es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
Ot ra f o rma e s mult iplic a ndo e l pa ré nt e s is c o mo prime r pa s o :
log2 32 = 5 porque 25 = 32
4. Logaritmo de un Cociente
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo dividendo
menos el logaritmo del divisor.
Eje mplo
5. Logaritmo de una Potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo de la base.

6. 6. Logaritmo de una Raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad
subradical dividido entre el índice de la raíz.
Eje mplo
Cómo hallar un logaritmo?
Ha y do s f o rma s de ha lla r un lo ga rit mo :
1. Explo ra r la s po t e nc ia s de la ba s e
Eje mplo :
𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓 =
51=5
52=25
53=125
Entonces
log5 125 = 3 porque 5 elevado a la 3 es 125
La s e gunda f o rma e s :
De s c o mpo ne r e n f a c t ore s primo s e l a rgume nt o
Eje mplo :
log5 125 =
125 5
25 5
5 5
1
Como nos preguntan base 5 y la descomposición da en números 5,
Por lo tanto 53
=125 entonces
log5 125 = 3 porque ___________________________________
Otro caso es el siguiente:
log4 1024 =

7. Como 1024 termina en par entonces es divisible por 2
1024 2
512 2
256 2
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Cuatro elevado a qué exponente da 1024?
Como nos preguntan en base 4, tomamos parejitas de 2 y asi resultan 5 parejitas,
Entonces 45
=1024, por lo tanto log4 1024 = 5
También puede ocurrir lo siguiente:
log6 1296 =
Como 1296 termina en par entonces es divisible por 2
1296 2
648 2
324 2
162 2
81 3
27 3
9 3
3 3
1
Seis elevado a qué exponente da 1296?
Formamos grupos de tal forma que obtengamos siempre el seis y nos dan cuatro
parejas, Entonces 64
=1296, por lo tanto log6 1296 = 4
Hallar el logaritmo por descomposición en factores primos
log2 64 =
log3 81 =
log4 16 =