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When a uniform distribution appears? 一様分を生成する数学的なメカニズム例3個についてのメモ

主観的な感覚ではあるが、“一様分布” は他のよく知られた分布関数のように数式一つで表されないので「数学的」ではなく、何だか「人工的」と思われるかもしれない。しかし、そのような考えを覆すような興味深い例を3例ほど示す。

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When a uniform distribution appears? 一様分を生成する数学的なメカニズム例3個についてのメモ

  1. 1. 一様分布を生成する 数学的なメカニズム例 についてのメモ 2014-08-25 TS 意外な所に一様分布が潜んでいる例を示す。 (主観的な感覚ではあるが、“一様分布” は他のよく知ら れた分布関数のように数式一つで表されないので「数 学的」ではなく、何だか「人工的」と思われるかもしれな い。しかし、そのような考えを覆すような興味深い例を3 例示す。その内、連続一様分布は2例、離散一様分布 は1例である。)
  2. 2. 一様分布が現れる例  連続一様分布が現れる場合: (1) 3次元空間の球の表面の上に一様分布する点を 任意の直線に射影した場合 (2) 2次元ガウス分布する各点の近傍の密度  離散一様分布が現れる場合: (3) 乱数を連続型確率分布から2組n個ずつ生成し、 各組で昇順整列してA1,..,An; B1,..,Bn として、Ak > Bk となるkの個数
  3. 3. (1) 3次元の球面 左の図は3次元空間の 球の表面に3万個の打 点した様子。これらの 点のx座標を取り出す と一様分布になる。 一般にn次元空間の球 の表面上の一様分布 をn-2 次元に射影する と、n-2 次元の球体の 一様分布になる。
  4. 4. (2) 2次元ガウス分布の点に関して 赤の薄さが確率密度の 高さ、丸はその密度に 従って取り出した点を表 す。各点における密度に 関して、ヒストグラムを描 くと、一様分布を示す。 もしも、日本の国土に住 む各人の住む町の人口 密度をヒストグラムにす ると、果たしてどういう形 状になるだろうか?
  5. 5. (3) 2組各々整列して対で大小比較 6個乱数生成して大小順に並べた数列の編成を多数生成する。2編成ずつに分け、片方の編成の 数列は赤い円列の各半径、残りの編成の数列は青い円列の各半径とする。赤の円列と青の円列 を中心を共有しながら縦に並べる。小さい方の円の色で内側も塗りつぶす。 すると、以外と高い確率(7分の2)の確率で同じ色で塗りつぶされた6個の円が並ぶ(上記で30例中 8例)。さらに、赤で塗りつぶされた円の個数は0から6までの整数が同じ確率で出現する。
  6. 6. 補足 いろんな次元の空間の球の表面に一様分布した点を2次元に射影した様子

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