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ポアソン分布の式を忘れない方法 及び 二項分布との関係 How to avoid forgetting the formula of the probability mass functoin of the Poisson distribution

ポアソン分布についてもっと知りたい人向け。

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ポアソン分布の式を忘れない方法 及び 二項分布との関係 How to avoid forgetting the formula of the probability mass functoin of the Poisson distribution

  1. 1. ポアソン分布の式を 忘れない方法 及び二項分布との関係 2014-07-25 下野寿之 数式には馴染んでるけど、確率分布は 覚え切れない人向けの資料です。
  2. 2. ポアソン分布とは よく教科書にある例: プロイセン陸軍で1875年から1894年の間に 年間で馬に蹴られて死亡した兵士数」の例: → パラメータ0.61のポアソン分布によく従う。 教科書的な定義 : バラメータ n と p=λ/n の二項分布の n→+∞ の極限分布が パラメータ λ のポアソン分布になる。(ポアソンの極限分布 1837年) ポアソン分布の密度関数の式 : λk e-λ / k! 平均も分散も λ に等しい。 ← この事実は、日常生活上も広く実用的に応用できる。 期待値λ個の現象は、実際の観測をすると λから “平均的” に √ λ 個揺らぐ。 ( √ は平方根のルート ) 100個なら10個揺らぐし、1万回なら100個揺らぐ。 — このページは Wikipedia からたくさん引用しています。 l
  3. 3. ポアソン分布の確率密度の式を 忘れない方法 : λk e-λ / k! ← 大事なのに、意外と覚えにくい. .. 日常生活で年に10回くらい応用できる場面があるのに.. (!?) ということで、簡単に自然に思い出せる方法 : 「テイラー展開」 (ちょっと昔の高校数学) を使う。 eλ = 1 + λ + λ2/2! + λ3/3! + λ4/4! + λ5/5! + … 両辺を eλ で割る。 1 = e-λ + λe-λ + λ2e-λ/2! + λ3e-λ/3! + … 右辺の各項を 0, 1, 2, 3,.. と番号付けしたときの 番号 k の所が求めたい確率に等しい! —主たる話は以上! ..
  4. 4. 補足 : 二項分布をポアソン分布で表す λ ← np と代入するとして、パラメータnとpの二項分布に対して nCk pk (1-p)n-k = { λk e-λ / k! } × { (n-λ)(n-k) e-(n-λ) / (n-k)! } × n!(e/n)n つまり、k のみをいろいろ動かして値を比で比較したいとき、定数倍を消去して nCk pk (1-p)n-k ∝ { λk e-λ / k! } × { (n-λ)(n-k) e-(n-λ) / (n-k)! } すなわち、二項分布(n,p) の密度関数は、 (1) λ←np のポアソン分布の密度関数 (2) λ←n(1-p) のポアソン分布の 密度関数のグラフを x=n/2の直線で鏡映して 作られる関数 積を定数倍したものになる(右図参照)。 この考え方はカイ2乗検定の導出にも 使える(多分)。
  5. 5. (参考) 前ページのグラフを生成するRコード plot(-2:12,dbinom((-2:12),10,.7),type="b", lty=2, ylim=c(0,0.4),cex=1.5,lwd=2,xlab="",ylab="", main="How a binom dist. is derived from two Poisson dist. through multiplication") points ( -2:12, dpois(-2:12,7) , type="b", lty=2, col="blue1", pch=16) points ( 12:-2, dpois(-2:12,3) , type="b", lty=2, col="red2", pch=16) abline(v=c(0,5,10),lty=c(3,2,3),lwd=c(1,1.5,1),col=c(1,"red2",1)) legend(x=-2, y=0.41, legend=c("Binom( 10 , 0.7 )","Poisson(7)","Poisson(3) mirror reflected by x=5") , bg="white", col=c("black","blue","red"),pch=c(1,16,16),lwd=c(1.5,1,1),lty=2) — 前ページで「多分」と書いたのは、著者が5年前に見つけたと思ったのだが、 今この文書を作成中にその方法をよく思い出せないので、自信が無いため。 — ここに書いた話は 10年位前に著者が自分で気が付いたことを、いろいろな人にしゃべってきて 誰も知らないので、とりあえず書きまとめておくことで、今後の説明の手間を軽減するために作った。 ただし、二項分布をポアソン分布の積で表す話は、そのような話をある人から聞いて、自分で再構成した ものである。参考文献があれば、是非知りたい。

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