Amortized Analysis

1. ‫پیشرفته‬ ‫های‬ ‫الگوریتم‬
‫تحلیل‬
‫سرشکنی‬
(
Amortized Analysis
)
‫اول‬‫بخش‬
‫مدرس‬
:
‫بهجتی‬‫شهاب‬
‫اسالید‬
1
‫از‬
11

2. ‫مطالب‬ ‫رئوس‬
•
‫مقدمه‬
•
‫تجمعی‬‫ش‬‫و‬‫ر‬
(
Aggregate
)
•
‫ی‬‫حسابدار‬‫ش‬‫و‬‫ر‬
(
Accounting
)
•
‫پتانسیل‬‫ش‬‫و‬‫ر‬
(
Potential
)
•
‫پویا‬‫جداول‬
(
Dynamic tables
)
‫اسالید‬
2
‫از‬
11

3. ‫مقدمه‬
•
‫است‬‫حالت‬‫بدترین‬‫تحلیل‬‫نوعی‬،‫سرشکنی‬‫تحلیل‬
.
•
‫داریم‬‫ا‬‫ر‬ ‫اعمال‬‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫تحلیل‬‫عمل‬‫یک‬‫تحلیل‬‫جای‬‫به‬‫اما‬
.
•
‫داده‬‫ساختمان‬
D
‫است‬‫شده‬‫داده‬‫ن‬‫ا‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫عمل‬‫تعدادی‬‫با‬‫اه‬‫ر‬‫هم‬
.
•
‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫حالت‬‫بدترین‬‫تحلیل‬،‫سرشکنی‬‫تحلیل‬‫از‬‫هدف‬
n
‫است‬‫داده‬‫ساختمان‬‫این‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫عمل‬
.
•
‫است‬‫توالی‬‫این‬‫در‬‫عمل‬‫ن‬‫ا‬‫هزینه‬‫متوسط‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬‫هزینه‬
.
•
‫ب‬‫ن‬‫ا‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫شده‬‫تعریف‬‫عملیات‬‫تباط‬‫ر‬‫ا‬‫و‬‫داده‬‫ساختمان‬‫ساختار‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫دقت‬‫مستلزم‬‫سرشکنی‬‫تحلیل‬‫انجام‬
‫است‬‫یکدیگر‬‫ا‬
.
‫اسالید‬
۳
‫از‬
11

4. ‫تجمعی‬ ‫روش‬
•
‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫مجموع‬‫هزینه‬‫ابتدا‬،‫ش‬‫و‬‫ر‬‫این‬‫در‬
n
‫کنیم‬‫می‬‫محاسبه‬‫حالت‬‫بدترین‬‫در‬‫ا‬‫ر‬‫عمل‬
.
•
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫شده‬‫محاسبه‬‫هزینه‬‫کنیم‬‫می‬‫فرض‬
𝑇(𝑛)
‫باشد‬
.
•
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫و‬‫یکسان‬‫توالی‬‫این‬‫در‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬‫هزینه‬،‫ت‬‫ر‬‫صو‬‫این‬‫در‬
𝑇(𝑛)
𝑛
‫است‬
.
•
‫که‬‫است‬‫این‬‫تحلیل‬‫این‬‫در‬‫توجه‬‫قابل‬‫ته‬‫نک‬
«
‫ساخ‬‫هر‬‫عملیات‬‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫در‬‫عمل‬‫یک‬‫حالت‬‫بدترین‬
ً‫تبا‬‫ر‬‫م‬‫داده‬‫تمان‬
‫افتد‬‫نمی‬‫اتفاق‬
»
.
•
‫شویم‬‫می‬‫شنا‬‫ا‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫این‬‫با‬‫مثال‬‫چند‬‫ائه‬‫ر‬‫ا‬‫با‬‫ادمه‬‫در‬
.
‫اسالید‬
۴
‫از‬
11

5. ‫تجمعی‬ ‫روش‬
:
‫پشته‬ ‫عملیات‬
•
‫پشته‬‫داده‬‫ساختمان‬
S
‫عمل‬‫دو‬‫شامل‬‫که‬‫ا‬‫ر‬‫معمولی‬
push
‫و‬
pop
‫بگیرید‬‫نظر‬‫در‬‫ا‬‫ر‬‫است‬
.
•
‫جدید‬‫عمل‬
multipop
‫کنیم‬‫می‬‫اضافه‬‫پشته‬‫عملیات‬‫به‬‫زیر‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬‫به‬‫ا‬‫ر‬
:
•
‫ای‬‫ر‬‫اج‬‫زمان‬
multipop
‫تبه‬‫ر‬‫م‬‫از‬
Θ(min 𝑠,𝑘 )
‫ن‬‫ا‬‫در‬‫که‬‫است‬
𝑠 = 𝑆
.
•
‫عمل‬‫دو‬‫ای‬‫ر‬‫اج‬‫زمان‬
push
‫و‬
pop
‫کدام‬‫هر‬
𝑂(1)
.
•
‫سئوال‬
:
‫ای‬‫ر‬‫اج‬‫زمان‬
n
‫چیست؟‬‫حالت‬‫بدترین‬‫در‬‫تهی‬‫پشته‬‫یک‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫عمل‬
‫اسالید‬
۵
‫از‬
11

6. ‫تجمعی‬ ‫روش‬
:
‫پشته‬ ‫عملیات‬
(
‫ادامه‬
)...
•
‫شتابزده‬‫تحلیل‬
:
‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫در‬
n
‫عمل‬،‫عمل‬
multipop
‫هزینه‬‫حالت‬‫بدترین‬‫در‬
𝑂(𝑛)
‫دارد‬
.
‫نتیجه‬‫در‬
:
𝑇 n = n × 𝑂 𝑛 = 𝑂(𝑛2)
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬‫هزینه‬‫و‬
𝑇 𝑛
𝑛
= 𝑂(𝑛)
‫است‬
.
•
‫دقیق‬‫تحلیل‬
:
‫است‬‫زیر‬‫کلیدی‬‫ته‬‫نک‬‫پایه‬‫بر‬
:
•
‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫در‬‫چون‬
n
‫ثر‬‫حداک‬‫عمل‬
n
‫تا‬
push
‫ثر‬‫حداک‬‫لذا‬،‫داریم‬
n
‫تا‬
pop
(
‫عمل‬‫شامل‬‫که‬
multipop
‫هم‬
‫شود‬‫می‬
)
‫داریم‬
.
•
‫لذا‬
𝑇(𝑛) ≤ 𝑂(𝑛)
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬‫هزینه‬‫و‬
𝑇 𝑛
𝑛
= 𝑂(1)
‫است‬
.
‫ته‬‫نک‬
:
‫عناصر‬‫تعداد‬
pop
‫عناصر‬‫تعداد‬‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫ثر‬‫حداک‬‫پشته‬‫از‬‫شده‬
push
‫است‬‫پشته‬ ‫داخل‬‫شده‬
.
‫اسالید‬
۶
‫از‬
11

7. ‫تجمعی‬ ‫روش‬
:
‫دودویی‬ ‫شمارنده‬
•
‫ی‬‫دودوی‬‫شمانده‬
𝑘
‫بیتی‬
𝐴 = 0..𝑘 − 1
‫که‬‫بگیرید‬‫نظر‬‫در‬‫ا‬‫ر‬
𝐴[0]
‫و‬
𝐴[𝑘 − 1]
‫کم‬‫تیب‬‫ر‬‫ت‬‫به‬
‫هستند‬‫ن‬‫ا‬‫های‬‫بیت‬‫شترین‬‫ز‬‫باار‬‫و‬‫شترین‬‫ز‬‫ار‬
.
•
‫ایش‬‫ز‬‫اف‬‫عمل‬‫داده‬‫ساختمان‬‫این‬‫ی‬‫و‬‫ر‬
Increment
‫می‬‫تعریف‬‫زیر‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬‫به‬‫ا‬‫ر‬
‫مقدار‬‫به‬‫واحد‬‫یک‬‫بار‬‫هر‬‫که‬‫کنیم‬
‫کند‬‫می‬‫اضافه‬‫نده‬‫ر‬‫شما‬
:
•
‫می‬‫فرض‬
‫است‬‫صفر‬‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫نده‬‫ر‬‫شما‬‫اولیه‬‫مقدار‬‫کنیم‬
.
‫ابطه‬‫ر‬‫از‬‫لحظه‬‫هر‬‫در‬‫نده‬‫ر‬‫شما‬‫مقدار‬
𝑖=0
𝑘−1
𝐴 𝑖 .2𝑖
‫دست‬‫به‬
‫می‬
‫ید‬‫ا‬
.
•
‫می‬
‫از‬‫توالی‬‫یک‬‫در‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬‫هزینه‬‫بدانیم‬‫خواهیم‬
n
‫هزینه‬‫چه‬‫حالت‬‫بدترین‬‫در‬‫ایش‬‫ز‬‫اف‬‫عمل‬
‫دارد؟‬‫ای‬
‫اسالید‬
۷
‫از‬
11

8. ‫تجمعی‬ ‫روش‬
:
‫دودویی‬ ‫شمارنده‬
(
‫ادامه‬
)...
•
‫حالت‬،‫مثال‬‫عنوان‬‫به‬
𝑘 = 8,𝑛 = 16
‫بگیرید‬‫نظر‬‫در‬‫زیر‬‫شکل‬‫مطابق‬‫ا‬‫ر‬
:
•
‫بیت‬
𝐴[𝑖]
‫هر‬
𝑛
2𝑖
‫تغییر‬ ‫تبه‬‫ر‬‫م‬
‫می‬
‫کند‬
(
‫فلیپ‬
.)
•
‫مجموع‬‫با‬‫متناسب‬ ‫ا‬‫ر‬‫اج‬‫زمان‬
‫است‬ ‫ها‬‫بیت‬ ‫تغییر‬‫تعداد‬
.
•
‫دست‬‫به‬‫زیر‬‫ابطه‬‫ر‬‫از‬‫مقدار‬‫این‬
‫می‬
‫ید‬‫ا‬
:
𝑇 𝑛 =
𝑖=0
𝑘−1
𝑛
2𝑖
< n
𝑖=0
∞
1
2𝑖
= 2𝑛 = 𝑂 𝑛
•
‫هزینه‬‫نتیجه‬‫در‬
‫ی‬‫تبه‬‫ر‬‫م‬‫از‬‫ایش‬‫ز‬‫اف‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬ ‫ی‬
𝑇 𝑛
𝑛
= 𝑂(1)
‫است‬
.
‫اسالید‬
۸
‫از‬
11

9. ‫حسابداری‬ ‫روش‬
•
‫هزینه‬‫مختلف‬‫اعمال‬‫به‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫این‬‫در‬
‫می‬‫نسبت‬‫ژ‬‫شار‬ ‫عنوان‬‫به‬‫متفاوتی‬‫سرشکن‬‫های‬
‫دهیم‬
.
–
‫و‬‫است‬ ‫ن‬‫ا‬‫واقعی‬ ‫هزینه‬‫از‬ ‫بیش‬‫اعمال‬‫از‬‫برخی‬‫ژ‬‫شار‬
–
‫است‬‫ن‬‫ا‬‫واقعی‬ ‫هزینه‬‫از‬‫ر‬‫کمت‬‫اعمال‬‫از‬‫برخی‬‫ژ‬‫شار‬
.
•
‫است‬‫عمل‬‫ن‬‫ا‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫شده‬‫ژ‬‫شار‬‫هزینه‬‫ان‬‫ز‬‫می‬‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫عمل‬‫هر‬‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬
.
•
‫ع‬‫به‬‫داده‬‫ساختمان‬‫اشیاء‬‫برخی‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫هزینه‬‫اد‬‫ز‬‫ما‬،‫است‬‫واقعی‬‫هزینه‬‫از‬‫بیش‬‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬‫که‬‫زمانی‬
‫یا‬‫اعتبار‬‫نوان‬
‫شود‬‫می‬‫ذخیره‬‫موجودی‬
.
•
‫پرداخت‬‫شده‬‫ذخیره‬‫اعتبار‬‫از‬‫ن‬‫ا‬‫التفاوت‬‫مابه‬،‫است‬‫واقعی‬‫هزینه‬‫از‬‫کمتر‬‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬‫که‬‫زمانی‬
‫گردد‬‫می‬
.
•
‫تجمیعی‬‫ش‬‫و‬‫ر‬ ‫با‬‫ی‬‫حسابدار‬‫ش‬‫و‬‫ر‬ ‫تفاوت‬
:
–
‫هستند‬‫مختلف‬ ‫سرشکن‬ ‫ی‬‫هزینه‬‫ای‬‫ر‬‫دا‬‫مختلف‬ ‫اعمال‬،‫ی‬‫حسابدار‬‫روش‬ ‫در‬
.
–
‫است‬ ‫یکسان‬ ‫هم‬‫با‬ ‫اعمال‬ ‫تمامی‬ ‫سرشکن‬ ‫ی‬‫هزینه‬،‫تجمیعی‬‫روش‬ ‫در‬
.
•
‫ی‬‫حسابدار‬‫ش‬‫و‬‫ر‬‫در‬‫موجودی‬‫شرط‬
:
‫باشد‬‫نامنفی‬‫همواره‬ ‫باید‬‫اعتبار‬‫یا‬‫موجودی‬‫ان‬‫ز‬‫می‬
.
•
‫شود‬‫می‬‫بیان‬‫زیر‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬‫به‬‫موجودی‬‫شرط‬
:
𝑖=1
𝑛
𝑐𝑖 −
𝑖=1
𝑛
𝑐𝑖 ≥ 0
‫اسالید‬
۹
‫از‬
11

10. ‫حسابداری‬ ‫روش‬
:
‫پشته‬
•
‫عمل‬‫هر‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬
push
‫هزینه‬
2 = 𝑂(1)
‫گیریم‬‫می‬‫نظر‬‫در‬‫واحد‬
.
‫ن‬‫ا‬‫ی‬‫و‬‫ر‬‫واحد‬‫یک‬‫و‬‫عنصر‬‫درج‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫واحد‬‫یک‬
‫که‬‫زمانی‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬
pop
‫شود‬‫می‬‫ذخیره‬،‫شود‬‫می‬
.
•
‫اعمال‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬
pop
‫و‬
multipop
‫گیریم‬‫می‬‫نظر‬‫در‬‫صفر‬‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬
.
•
‫اعمال‬‫واقعی‬‫ی‬‫هزینه‬
push
‫و‬
pop
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬
1 = 𝑂(1)
‫است‬‫واحد‬
.
•
‫واقعی‬‫هزینه‬
multipop
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬
𝑘′
= min(𝑠,𝑘)
‫که‬‫است‬
s
‫است‬‫پشته‬‫داخل‬‫عناصر‬‫تعداد‬
.
•
‫شامل‬‫توالی‬‫یک‬‫سرشکن‬‫هزینه‬‫مجموع‬‫ت‬‫ر‬‫صو‬‫این‬‫در‬
n
‫اعمال‬‫تعداد‬‫با‬‫متناسب‬‫عمل‬
push
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫ثر‬‫حداک‬‫که‬‫بوده‬
n
‫است‬
.
‫لذا‬
𝑇 𝑛 ≤ 𝑛 × 2 = 2𝑛 = 𝑂 𝑛
.
•
‫موجودی‬‫شرط‬
:
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫پشته‬‫موجودی‬
‫تعداد‬
‫است‬‫نامنفی‬‫همواره‬‫که‬‫بوده‬‫پشته‬‫داخل‬‫عناصر‬
.
‫اسالید‬
۱۰
‫از‬
11

11. ‫حسابداری‬ ‫روش‬
:
‫دودویی‬ ‫شمارنده‬
•
‫عمل‬‫هر‬
increment
‫است‬‫کردن‬‫صفر‬‫و‬‫کردن‬‫یک‬‫ای‬‫پایه‬‫عمل‬‫دو‬‫شامل‬
.
•
‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬‫بیت‬‫یک‬‫عمل‬‫هر‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬
2 = 𝑂(1)
‫گیریم‬‫می‬‫نظر‬‫در‬‫واحد‬
:
–
‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫واحد‬‫یک‬
‫کردن‬‫یک‬
‫بیت‬‫ن‬‫ا‬
–
‫ای‬‫ر‬‫ب‬‫واحد‬‫یک‬
‫کردن‬‫صفر‬
‫بیت‬‫ان‬
•
‫گیریم‬‫می‬‫نظر‬‫در‬‫صفر‬‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬‫کردن‬‫صفر‬‫ای‬‫ر‬‫ب‬
.
•
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫کردن‬‫صفر‬‫یا‬‫کردن‬‫یک‬‫عمل‬‫هر‬‫واقعی‬‫ی‬‫هزینه‬
1 = 𝑂(1)
‫است‬
.
•
‫شامل‬‫توالی‬‫یک‬‫در‬
n
‫عمل‬
increment
‫ثر‬‫حداک‬،
2𝑛
‫داریم‬‫بیت‬‫تغییر‬
.
•
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫کل‬‫سرشکن‬‫ی‬‫هزینه‬‫لذا‬
𝑇 𝑛 = 2𝑛 × 𝑂 1 = 𝑂 𝑛
‫است‬
.
•
‫موجودی‬‫شرط‬
:
‫ابر‬‫ر‬‫ب‬‫نده‬‫ر‬‫شما‬‫موجودی‬
‫تعداد‬
1
‫است‬‫نامنفی‬‫همواره‬‫که‬‫بوده‬‫نده‬‫ر‬‫شما‬‫های‬
.
‫اسالید‬
۱۱
‫از‬
11