2. 2
2
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
สาหรับตัวอย่าง (Sample)
N
X
N
i
i
=
= 1
N
X
N
i
i
=
−
= 1
2
2
)
(
N
X
N
i
i
=
−
= 1
2
)
(
การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
สาหรับประชากร (Population)
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
n
X
X
n
i
i
=
= 1
1
)
(
1
2
2
−
−
=
=
n
X
X
S
n
i
i
1
)
(
1
2
−
−
=
=
n
X
X
S
n
i
i
4. 4
4
มัธยฐาน (Median)
ฐานนิยม (Mode)
พิสัย (Range)
การประมาณค่าพารามิเตอร์ (Parameter Estimation)
การวัดการกระจายของตัวอย่าง
ถ้า x1, x2, x3,…., xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ที่เรียงลาดับจากมากไปหาน้อย
min
x
x
R Max −
=
]
[
2
1
~
~
1
2
2
2
1
+
+
+
=
=
n
n
n
x
x
x
x
x ถ้า n เป็นเลขคี่
ถ้า n เป็นเลขคู่
5. 5
5
การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution)
ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn ค่าคงที่ c1, c2, …, cn
และ Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn
ถ้ากาหนดให้ ตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน
( )
+
+
+
=
=
j
i
j
i
j
i
n
n
n
n
X
X
Cov
c
c
X
V
c
X
V
c
X
V
c
Y
V
X
E
c
X
E
c
X
E
c
Y
E
)
,
(
2
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
1
2
1 n
n X
V
c
X
V
c
X
V
c
Y
V +
+
+
=
ถ้ากาหนดให้ จะได้ว่า ดังนั้น
( )
=
+
+
+
= i
n
X
E
n
X
X
X
X
....
2
1 ( )
=
X
E
6. 6
6
การแจกแจงของกลุ่มตัวอย่าง(Sampling Distribution)
( ) 2
=
i
X
V
ถ้าตัวแปรสุ่ม X1, X2,…, Xn เป็นอิสระต่อกัน ด้วยค่า ดังนั้น
นั่นคือ ถ้ากาหนดให้ X1, X2,…, Xn มีการแจกแจงแบบปกติและเป็นอิสระต่อกัน
Y = c1X1± c2X2 ± … ± cnXn ก็จะเป็นตัวแปรสุ่มปกติเช่นเดียวกัน
และ จะได้ว่า
( ) n
X
V
2
=
( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
...
)
(
...
n
n
n
n
c
c
c
Y
V
c
c
c
Y
E
+
+
+
=
=
n
X
X
X
X n
+
+
+
=
....
2
1 ( )
2
2
)
(
=
=
=
=
X
X
X
V
X
E
7. 7
7
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด
2
ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวน
จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน [N(0,1)]
โดยที่
ดังนั้น เมื่อ เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ
n
x
z
−
=
x
n
n
X
X
X
=
=
=
2
2
9. 9
9
การแจกแจงของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 2 ชุด
2
2
2
1
สมมุติให้ประชากร 2 กลุ่ม มีค่าเฉลี่ย และ และมีความแปรปรวน และ
และถ้า และ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างกลุ่มที่ 1 และ 2 ตามลาดับ ซึ่งอิสระต่อกัน
และมีจานวนตัวอย่าง n1 และ n2 จากประชากรทั้งหมด ดังนั้น การแจกแจงความน่าจะเป็น
ของผลต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง สามารถประมาณได้จาก
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 )
(
)
(
n
n
x
x
z
+
−
−
−
=
2
1
2
1 x
x
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
+
=
+
=
−
=
−
−
−
10. Example 2.
โรงงาน A ผลิตหลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.5 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.9 ปี โรงงาน B ผลิต
หลอดภาพที่มีอายุใช้งานเฉลี่ย 6.0 ปี และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 ปี จงหาความน่าจะเป็นตัวอย่าง
สุ่มของหลอดภาพขนาด 36 หลอด ซึ่งผลิตใน A จะมีอายุใช้งานเฉลี่ยมากกว่าหลอดของโรงงาน B ซึ่ง
สุ่มออกมา 49 หลอด อย่างน้อย 1 ปี
จากโจทย์พบว่า
(จากตารางปกติมาตรฐาน หรือ z-test)
49
,
8
.
0
,
0
.
6
,
36
,
9
.
0
,
5
.
6 =
=
=
=
=
= B
B
B
A
A
A n
n
9956
.
0
1
]
646
.
2
[
1
]
646
.
2
[
]
1
[ −
=
−
=
=
−
z
P
z
P
x
x
P B
A
0044
.
0
=
646
.
2
189
.
0
5
.
0
0
.
1
)
(
)
(
2
2
=
−
=
+
−
−
−
=
B
B
A
A
B
A
B
A
n
n
x
x
z
11. 11
11
การแจกแจงค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 1 ชุด
)
1
(
2
p
np −
=
ถ้าสุ่มตัวอย่างขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย
และความแปรปรวน การแจกแจงของอัตราส่วนของความสาเร็จของตัวอย่าง 1 ชุด
หรือ จะสามารถประมาณได้จาก
กรณีกาหนดเป็นค่าสัดส่วน
กรณีกาหนดเป็นจานวนครั้งความสาเร็จ
)
1
(
)
1
(
)
ˆ
(
)
1
(
ˆ
p
np
np
x
p
np
p
p
n
n
p
p
p
p
z
−
−
=
−
−
=
−
−
=
np
=
p̂
12. Example 3.
ตัวอย่างสุ่มของเด็กเกิดใหม่ 100 คน จงหาความน่าจะเป็นของเด็กเกิดใหม่ที่จะเป็นชาย ตั้งแต่ 53-62%
ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเป็นหญิงและชายที่ค่าเท่ากัน
จากโจทย์พบว่า ความน่าจะเป็นของเด็กเกิดเป็นชาย p=0.5, n = 100
05
.
0
)
1
(
,
5
.
0 ˆ
ˆ =
−
=
=
n
p
p
p
p
−
−
=
05
.
0
5
.
0
62
.
0
05
.
0
5
.
0
53
.
0
]
62
.
0
ˆ
53
.
0
[ Z
P
p
P
2664
.
0
7254
.
0
9918
.
0 =
−
=
)
6
.
0
(
)
4
.
2
(
4
.
2
6
.
0
−
=
= Z
P
Z
P
Z
P
13. 13
13
การแจกแจงของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด
)
1
(
)
1
( 2
2
2
2
2
1
1
1
2
1 p
p
n
p
p
n −
=
−
=
ถ้าสุ่มตัวอย่าง 2 ชุด n1 และ n2 ที่อิสระต่อกันจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินาม ซึ่งมีค่าเฉลี่ย
และ และมีความแปรปรวน และ
ตามลาดับ การแจกแจงความน่าจะเป็นของผลต่างของค่าสัดส่วนของตัวอย่าง 2 ชุด หรือ
สามารถประมาณได้จาก
โดยที่
(ค่า n1 และ n2 ควรมีค่าอย่างน้อย 30 ขึ้นไป)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
(
)
ˆ
ˆ
(
n
p
p
n
p
p
p
p
p
p
z
−
+
−
−
−
−
=
2
2
1
1 np
np =
=
2
1 p
p −
2
2
2
1
1
1
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
ˆ
)
1
(
)
1
(
2
1
2
1
n
p
p
n
p
p
p
p
p
p
p
p
−
+
−
=
−
=
−
−
14. Example 4.
สุ่มตัวอย่างมา 2 ชุด จากผู้มีสิทธิเลือกตั้งชุดละ 200 คน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของอัตราส่วนที่
ออกเสียงให้กับผู้สมัครคนหนึ่งมากกว่า 10 % ถ้าผลการลงคะแนนในเขตนี้ปรากฏว่า ผู้สมัครคนนี้ได้รับ
คะแนนเสียง 65%
จากโจทย์พบว่า p1= p2 =0.65
)
200
)
35
.
0
(
65
.
0
200
)
35
.
0
(
65
.
0
0
1
.
0
(
]
1
.
0
ˆ
ˆ
[ 2
1
+
−
=
−
Z
P
p
p
P
0366
.
0
)
0183
.
0
(
2
)
0964
.
2
(
2 =
=
−
= Z
P
)
0964
.
2
(
)
0964
.
2
(
)
0964
.
2
( −
+
=
= Z
P
Z
P
Z
P
15. 15
15
การแจกแจงของค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง 1 ชุด (กรณีไม่ทราบความแปรปรวน)
ถ้า x1, x2,…, xn เป็นตัวอย่างสุ่มขนาด n ซึ่งมีค่าเฉลี่ย แต่ไม่ทราบความแปรปรวนว่าเป็นเท่าไหร่
จะสามารถประมาณได้จากการแจกแจงได้จาก กรณี n มากกว่า 30
แต่หาก n มีค่าน้อยกว่า 30
จะใช้ค่าสถิติของการแจกแจงแบบ t
การหาค่า t สามารถใช้การเปิดตารางได้ โดยหาค่าจาก ตาราง t [ ] โดยที่ คือพื้นที่ภายใต้
เส้นโค้ง ส่วน คือ องศาเสรี (degree of freedom)
n
s
x
z
−
=
n
s
x
n
S
n
n
x
z
t
−
=
−
−
−
=
=
1
/
)
1
(
/
2
2
2
,
t
1
−
= n
