2. กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
ค่ำคำดหมำย (Expected Value) คือ ค่ำเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม สัญลักษณ์คือ ใช้แทน
ซึ่งสูตรทั่วไปของค่ำคำดคะเน จำแนกตำมประเภทตัวแปรสุ่ม ดังนี้
กฎทั่วไป ถ้า เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม X
เช่น เป็นต้น
1) ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ f(x)=P(X=x)
2) ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ f(x)
E )
(
)
(x
W
=
)
sin(
,
2
x
X =
=
=
=
x
x
X
P
E )
(
*
=
x
dx
x
f
E )
(
*
4. Example 1.
ถ้ำตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (X) คือขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของชิ้นงำน(นิ้ว) มีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำม
น่ำจะเป็นคือ
จงหำค่ำเฉลี่ยของ X
ค่ำเฉลี่ย = E[x] = µ
1
0
;
)
1
(
12
)
( 2
−
= x
x
x
x
f
dx
x
x
x
dx
x
f
x )
)
1
(
12
(
)
( 2
1
0
−
=
=
− 1
0
5
4
3
1
0
4
3
2
5
4
2
2
12
)
2
(
12
+
−
=
+
−
=
x
x
x
dx
x
x
x
4
.
0
5
1
2
1
3
1
12 =
+
−
=
5. Example 2.
บริษัทผลิตเบำะนั่ง ผลิตรุ่นละ 20 ตัว ถ้ำทรำบว่ำแต่ละรุ่นมีชำรุด 3 ตัว บริษัทสุ่มตรวจ5 ตัวต่อรุ่น
กำหนดให้ X คือจำนวนเบำะที่ชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำง จงหำว่ำโดยเฉลี่ยในกำรตรวจสอบจะพบเบำะ
ชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำงจำนวนเท่ำไร
เมื่อ X คือจำนวนเบำะที่ชำรุด (X=0,1,2,3) และกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น X เป็นดังตำรำง
ดังนั้น โดยเฉลี่ยในกำรตรวจสอบจะพบเบำะชำรุดในกำรสุ่มตัวอย่ำง
E[x] = µ = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
= 0(0.3991)+1(0.4605)+2(0.1316)+3(0.0088)
= 0.7501 ตัว
X 0 1 2 3
P(X=x) 0.3991 0.4605 0.1316 0.0088
=
x
x
X
P
x )
(
*
6. กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
กฎข้อที่ 2 ถ้ำ g(x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม x ใดๆ จะได้
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
กฎข้อที่ 3 E[u(x) ± Ev(x)] = E[u(x)] ± E[v(x)] กฎกำรกระจำย
กฎข้อที่ 4 E[aX±b] = aE[X] ± b ; a, b เป็นค่ำคงที่
x
x
f
x
g )
(
)
(
−
dx
x
f
x
g )
(
)
(
7. Example 3.
จำกโจทย์ตัวอย่ำง 3.3 กำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นตำม
ตำรำง
จงหำ ค่ำเฉลี่ยของ X2 และ X3-1
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[X2] = = 02(1/4)+12(1/8)+22(1/2)+32(1/8) = 3.25
E[X3-1] = = (03-1)(1/4)+(13-1)(1/8)+(23-1)(1/2)+(33-1)(1/8)
= -1/4+0+7/2+26/8 = 52/8 = 6.5
X 0 1 2 3
P(X=x) 1/4 1/8 1/2 1/8
=
x
x
X
P
x )
(
*
2
x
x
f
x
g )
(
)
(
=
−
x
x
X
P
x )
(
*
)
1
( 3
8. Example 4.
ในกำรเจำะชิ้นงำนโลหะ ใช้ในกำรประกอบบำนตู้เย็น พบว่ำ ขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของรูเจำะ(X)
มีฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นสะสมดังนี้
X : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
จงหำ ค่ำเฉลี่ยของ X2
E[g(x)] = X : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[X2] =
−
=
1
1
1
0
)
5
(
5
.
12
0
0
)
(
5
x
x
x
x
x
x
F
1
0
;
)
1
(
25
.
1
)
(
)
( 4
−
=
= x
x
dx
x
dF
x
f
−
dx
x
f
x
g )
(
)
(
2381
.
0
7
3
25
.
1
)]
1
(
25
.
1
[
1
0
7
3
1
0
4
2
=
−
=
−
x
x
dx
x
x
9. Example 5.
จำกตัวอย่ำงที่ 4 และค่ำเฉลี่ยของ 2X-X2+5 และค่ำเฉลี่ยของเส้นรอบวงรูที่เจำะ
ค่ำเฉลี่ยของ 2X-X2+5 = E[2X-X2+5]
= E[2X]-E[X2-5] ; กฎข้อที่ 3
= 2E[X]-E[X2]+5 ; กฎข้อที่ 4
ค่ำเฉลี่ยของเส้นรอบวงของรูที่เจำะ =
4167
.
0
6
2
25
.
1
)]
1
(
25
.
1
[
)
(
1
0
6
2
1
0
4
=
−
=
−
=
x
x
dx
x
x
X
E
2381
.
0
)
( 2
=
X
E
5963
.
5
5
2381
.
0
)
4167
.
0
(
2
5
]
[
]
[
2
]
5
2
[ 2
2
=
+
−
=
+
−
=
+
−
X
E
X
E
X
X
E
]
[
]
2
2
[ X
E
X
E
=
3096
.
1
)
7
22
(
4167
.
0
]
[ =
=
= X
E
10. กฎสำคัญในกำรคำดคะเนทำงคณิตศำสตร์
กฎข้อที่ 5 ให้ g(x,y) เป็นฟังก์ชันร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
E[g(x,y)] = X, Y : เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
E[g(x,y)] = X, Y : เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
กฎข้อที่ 6 ถ้ำตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน จะได้ E[XY] = E[X].E[Y]
เนื่องจำก f(x,y) = g(x).h(y)
ดังนั้น
กฎข้อที่ 7 E[g(x,y) ± h(x,y)] = E[g(x,y)] ± E[h(x,y)]
x y
y
x
f
y
x
g )
,
(
).
,
(
dy
dx
y
x
f
y
x
g
x
y
)
,
(
)
,
(
=
=
=
x y
Y
E
X
E
dy
y
h
y
dx
x
g
x
y
h
y
x
g
x
XY
E ]
[
].
[
)
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
.
]
[
11. Example 6.
จำกบทควำม Performance Comparison … อธิบำยแบบกำรเคลื่อนไหวของ Notebook โดยสมมุติ
ให้ Notebook เคลื่อนที่ตำมแนวแกน X ภำยในเส้นตรง x=1 และเส้นตรง x=y กำหนดให้ (X,Y) แทน
ตำแหน่ง Notebook มีฟังก์ชันกำรแจกแจงวำมน่ำจะเป็นร่วมของ X และ Y คือ
ก) หำค่ำเฉลี่ย XY
ค่าเฉลี่ย XY = E[XY] = E[g(x,y)] ;X,Y ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
....
;
1
0
;
0
8
)
(
Other
y
xy
x
f
=
=
x
y
dxdy
y
x
f
y
x
g )
,
(
)
,
(
9
4
3
8
3
8
)
)
8
(
(
)
8
(
)
,
(
1
0
5
0
1
0
3
2
1
0 0
2
2
1
0 0
1
0 0
=
=
=
=
=
=
dx
x
dx
y
x
dx
dy
y
x
dxdy
xy
xy
dxdy
y
x
f
xy
x
x
x
x
12. Example 6.(ต่อ)
ข) สรุปได้หรือไม่ว่ำ X และ Y เป็นอิสระต่อกัน
ดังนั้นจะเห็นว่า E[XY] ≠ E[X].E[Y]
สรุปว่า ตัวแปรสุ่ม X และ Y ไม่เป็นอิสระต่อกัน
=
=
x
x x
x
xydy
x
f
0
3
1
0
;
4
8
)
(
5
4
5
4
)
4
(
]
[
1
0
5
1
0
3
=
=
=
x
dx
x
x
X
E
−
=
=
1
3
1
0
;
4
4
8
)
(
y
y y
y
y
xydx
y
f
15
8
5
4
3
4
)
4
4
(
]
[
1
0
5
3
1
0
3
=
−
=
−
=
y
y
dy
y
y
y
Y
E
15
8
.
5
4
9
4
14. Example 7.(ต่อ)
ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = E[5X+9Y+Z-7] = E[5X+9Y+(2-X-Y)-7]
= E[4X+8Y-5] = 4E[X]+8E[Y]-5
เพรำะว่ำ
ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = 4E[X]+8E[Y]-5 = 4(2/5)+8(4/5)-5 = 3 ล้าน
และ
x 0 1 2
P(X=x) 28/45 16/45 1/45
y 0 1 2
P(Y=y) 15/45 24/45 6/45
5
2
45
18
)
(
]
[ =
=
=
=
x
x
X
xP
X
E
5
4
45
36
)
(
]
[ =
=
=
=
y
y
Y
yP
Y
E
=
=
=
=
=
y x
Y
E
X
E
y
Y
x
X
xyP
XY
E
25
8
]
[
]
[
)
,
(
]
[
15. กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร
กฎข้อที่ 8 ควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X =
กฎข้อที่ 9
กฎข้อที่ 10 1) ควำมแปรปรวนของค่ำคงที่มีค่ำ = 0 เช่น V(5) = 0
2) ควำมแปรปรวนของค่ำคงที่คูณตัวแปรสุ่ม
ดังนั้น เมื่อ a, b เป็นค่ำคงที่
(เพรำะ V(b)=0)
2
x
2
2
2
2
2
2
]
[
}
]
[
{
]
[
]
)
[(
)
(
−
=
−
=
−
=
= X
E
X
E
X
E
X
E
X
V
x
2
)
(
2
2
)
(
2
)
( ]
)
(
[
)]
)
(
[(
))
(
( x
g
x
g
x
g x
g
E
x
g
E
x
g
V
−
=
−
=
=
2
2
2
2
)
(
)
( x
ax a
X
V
a
aX
V
=
=
=
)
(
2
b
aX
V
b
ax
=
2
2
2
)
( x
a
X
V
a
=
=
16. Example 8.
จำกตัวอย่ำง 4.4 จงหำควำมแปรปรวนของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X และของพท.ของรูที่เจำะ (mm.)
ควำมแปรปรวนของพื้นที่ของรูที่เจำะ กฎข้อที่ 9
4167
.
0
6
2
25
.
1
]
)
1
(
25
.
1
[
)
(
1
0
6
2
1
0
4
=
−
=
−
=
x
x
dx
x
x
X
E
2381
.
0
7
3
25
.
1
)]
1
(
25
.
1
[
)
(
1
0
7
3
1
0
4
2
2
=
−
=
−
=
x
x
dx
x
x
X
E
and
2
2
2
2
2
2
]
[
}
]
[
{
]
[
]
)
[(
)
(
−
=
−
=
−
=
=
X
E
X
E
X
E
X
E
X
V
x
2
2
0645
.
0
)
4167
.
0
(
2381
.
0 mm
=
−
=
}
]
[
]
[
{
16
1
]
[
16
1
]
4
[ 2
2
4
2
2
2
2
X
E
X
E
X
V
X
V −
=
=
=
2
2
2
1
0
2
4
4
2
0034
.
0
)
05442
.
0
(
16
1
}
)
2381
.
0
(
)]
1
(
25
.
1
[
{
16
1
mm
dx
x
x
=
=
−
−
=
17. กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร
กฎข้อที่ 11 ควำมแปรปรวนร่วม ของตัวแปรสุ่ม X และ Y คือ
- ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม > 0 X และ Y เปลี่ยนแปลงในทิศทำงเดียวกัน
- ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม < 0 X และ Y เปลี่ยนแปลงในทิศทำงตรงข้ำม
- ถ้ำ ค่ำควำมแปรปรวนร่วม = 0 X และ Y เป็นอิสระต่อกัน
กฎข้อที่ 12 ค่ำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน
xy
]
[
*
]
[
]
[
)]
)(
[(
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
Y
X
E
Y
X
Cov y
x
xy −
=
−
−
=
=
2
2
2
]
[
.
.
−
=
=
= X
E
D
S
18. กฎสำคัญเกี่ยวกับควำมแปรปรวนของประชำกร
กฎข้อที่ 13 ควำมแปรปรวนของผลบวกหรือผลต่ำง ของส่วนประกอบเชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม X
และ Y คือ V(aX ± bY)
ถ้ำ X และ Y เป็นอิสระต่อกัน จะได้ว่ำ
เนื่องจำก
ถ้ำ X, Y เป็นอิสระต่อกัน
)
,
(
2
)
(
)
(
)
( 2
2
2
Y
X
abCov
Y
V
b
X
V
a
bY
aX
V bY
aX
=
=
)
(
)
(
)
( 2
2
2
Y
V
b
X
V
a
bY
aX
V
bY
aX
=
=
0
]
[
]
[
]
[
)
,
( =
−
= Y
E
X
E
XY
E
y
x
Cov
19. Example 9.
จำกตัวอย่ำงที่ 4.6 จงหำค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
ค่ำเฉลี่ย XY = E[XY] = 4/9
ค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
จะเห็นว่า ค่ำควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y มีค่ำมำกกว่ำ 0
แสดงว่ำ X และ Y เปลี่ยนแปลงไปในทำงเดียวกัน (X เพิ่ม Y เพิ่ม)
5
4
5
4
)
4
(
]
[
1
0
5
1
0
3
=
=
=
x
dx
x
x
X
E
15
8
5
4
3
4
)
4
4
(
]
[
1
0
5
3
1
0
3
=
−
=
−
=
y
y
dy
y
y
y
Y
E
]
[
*
]
[
]
[
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
Y
X
Cov −
=
01778
.
0
225
4
225
96
100
)
15
8
(
5
4
9
4
=
=
−
=
−
=
20. Example 10.
จำกตัวอย่ำงที่ 4.7 จงหำควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิในแต่ละปี ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม
X และ Y เมื่อ X คือจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุน Y คือจำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุน
และจงหำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนของจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่สุ่มได้
จำกตัวอย่ำง 4.7 ค่ำคำดหมำยของกำไรสุทธิ = 4E[X]+8E[Y]-5 = 3 ล้านบาท
ดังนั้น ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y =
ควำมแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y < 0 แสดงว่ำ จำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรรที่เลือกลงทุนมีจำนวนเพิ่มขึ้น
ส่วนจำนวนโครงกำรเขื่อนที่เลือกลงทุนจะลดลง (X เพิ่ม Y ลดลง)
5
2
45
18
)
(
]
[ =
=
=
=
x
x
X
xP
X
E
5
4
45
36
)
(
]
[ =
=
=
=
y
y
Y
yP
Y
E
=
=
=
=
y x
y
Y
x
X
xyP
XY
E
45
8
)
,
(
]
[
]
[
*
]
[
]
[
)
,
( Y
E
X
E
XY
E
y
x
Cov −
=
)
0
(
225
32
225
72
40
)
5
4
(
5
2
45
8
−
=
−
=
−
=
21. Example 10.(ต่อ)
ควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิแต่ละปี = V[4X+8Y-5] = V[4X+8Y]
= 16V[X]+64V[Y]+2(4)(8)Cov(X,Y)
เพรำะว่ำ
ควำมแปรปรวนของกำไรสุทธิแต่ละปี = 16V[X]+64V[Y]+2(4)(8)Cov(X,Y)
ส่วน SD.ของจำนวนโครงกำรบ้ำนจัดสรร
x 0 1 2
P(X=x) 28/45 16/45 1/45
y 0 1 2
P(Y=y) 15/45 24/45 6/45
45
20
45
4
16
)
(
]
[ 2
2
=
+
=
=
=
x
x
X
P
x
X
E
45
48
45
24
24
)
(
]
[ 2
2
=
+
=
=
=
y
y
Y
P
y
Y
E
53
.
0
15
8
225
64
]
[ 2
2
2
=
=
=
−
=
=
X
E
225
64
]}
[
{
]
[
]
[ 2
2
=
−
= X
E
X
E
X
V
75
32
]}
[
{
]
[
]
[ 2
2
=
−
= Y
E
Y
E
Y
V
96
.
40
25
024
,
1
)
225
32
(
64
)
75
32
(
64
)
225
64
(
16 =
=
−
+
+
=
22. กำรหำมัธยฐำน
ค่ำมัธยฐำน (Median) =
เมื่อ ; X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
; X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
X
~
−
=
X
dx
x
f
~
5
.
0
)
(
5
.
0
)
(
~
=
=
−
X
x
X
P
23. Example 11.
ถ้ำเวลำที่ใช้ในกำรปล่อยอนุภำคแอลฟำ (X มีหน่วยเป็นวินำที) ของสำรกัมมันตรังสีชนิดหนึ่ง มีฟังก์ชัน
กำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็นคือ
หำค่ำมัธยฐำน
;X,Y ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
0
;
1
.
0
)
( 1
.
0
= −
x
e
x
f x
5
.
0
)
(
~
=
−
dx
x
f
X
5
.
0
1
10
1 ~
1
.
0
~
0
10
=
−
=
= −
−
X
X x
e
dx
e
5
.
0
ln
~
1
.
0 =
− X
.
931
.
6
~
S
X =
24. Chebyshev’s Theorem
ถ้ำ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีกำรแจกแจงสมมำตร ซึ่งรู้ค่ำเฉลี่ย และควำมแปรปรวน
แต่ไม่ทรำบฟังก์ชันกำรแจกแจงควำมน่ำจะเป็น สำหรับเลขบวก k ใดๆ จะสำมำรถประมำณ
ค่ำควำมน่ำจะเป็นได้จำก
นั่นคือ
2
1
1
]
|
[|
k
k
x
P −
−
2
1
1
]
[
k
k
x
k
P −
+
−
25. Example 12.
ค่ำใช้จ่ำยต่อวันในกำรใช้เครื่องมือชนิดหนึ่ง เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและมีกำรแจกแจงแบบสมมำตร
โดยมีค่ำเฉลี่ย = 18 ดอลลำร์ และมีควำมแปรปรวน = 25 อยำกทรำบว่ำบ่อยแค่ไหนที่จะพบว่ำ
ค่ำใช้จ่ำยมีค่ำมำกกว่ำ 28 ดอลลำร์
นั่นคือ
เนื่องจำก X มีกำรแจกแจงสมมำตร
ดังนั้น โอกำสที่จะพบว่ำค่ำใช้จ่ำยต่อวันมำกกว่ำ 28 ดอลลำร์ มีค่ำไม่เกิน 12.5%
2
1
1
]
|
[|
k
k
x
P −
−
2
10
18
)
5
(
2
18
28 +
=
+
=
+
= 2
=
k
4
1
1
]
2
2
[ −
+
−
x
P
25
.
0
]
2
[
]
2
[
+
+
−
x
P
x
P
25
.
0
]
2
[
2
+
x
P
125
.
0
]
28
[
x
P
