3

1. ตัวแปรสุ่ม

2. ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)
คือ ค่าหรือลักษณะต่างๆ ที่สนใจ เช่น การโยนลูกเต๋า 2 ลูก สนใจค่า
สมบูรณ์ของผลต่างของแต้มลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก






















=
)
6
,
6
(
),
5
,
6
(
),
4
,
6
(
),
3
,
6
(
),
2
,
6
(
),
1
,
6
(
)
6
,
5
(
),
5
,
5
(
),
4
,
5
(
),
3
,
5
(
),
2
,
5
(
),
1
,
5
(
)
6
,
4
(
),
5
,
4
(
),
4
,
4
(
),
3
,
4
(
),
2
,
4
(
),
1
,
4
(
)
6
,
3
(
),
5
,
3
(
),
4
,
3
(
),
3
,
3
(
),
2
,
3
(
),
1
,
3
(
)
6
,
2
(
),
5
,
2
(
),
4
,
2
(
),
3
,
2
(
),
2
,
2
(
),
1
,
2
(
)
6
,
1
(
),
5
,
1
(
),
4
,
1
(
),
3
,
1
(
),
2
,
1
(
),
1
,
1
(
S
36
/
2
)
5
(
36
/
4
)
4
(
36
/
6
)
3
(
36
/
8
)
2
(
36
/
10
)
1
(
36
/
6
)
0
(
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P






















=
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
5
3
,
2
,
1
,
0
,
5
,
4
2
,
1
,
0
,
5
,
4
,
3
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
)
(X
P

3. Example 1.
ในการโยนลูกบอล 2 ลูก ลงในกล่อง 4 กล่อง กาหนดให้ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลแต่ละ
ลูกจะลงในกล่องใดๆ มีค่าเท่ากัน จงหาฟังก์ชั่นการแจกแจงความน่าจะเป็นของจานวน
ลูกบอลที่ตกในกล่องที่ 1 ในการโยนแต่ละครั้ง
กาหนดให้ X คือจานวนลูกบอลที่ตกในกล่องที่ 1 ในการโยนแต่ละครั้ง x=(0,1,2)
P คือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะตกในกล่องที่ 1 (p=1/4=0.25)
0625
.
0
)
75
.
0
(
)
25
.
0
(
2
2
)
2
(
3750
.
0
)
75
.
0
(
)
25
.
0
(
1
2
)
1
(
,
5625
.
0
)
75
.
0
(
)
25
.
0
(
0
2
)
0
(
2
2
2
1
2
1
0
2
0
=








=
=
=








=
=
=








=
=
−
−
−
X
P
X
P
X
P

4. Example 1.(ต่อ)
ดังนั้น ฟังก์ชั่นการแจกแจงความน่าจะเป็นของจานวนลูกบอลที่ตกในกล่องที่ 1 ในการ
โยนแต่ละครั้ง คือ
ถ้าจานวนครั้งของการโยนคือ n จะได้ว่า
2
,
1
,
0
;
)
75
.
0
(
)
25
.
0
(
2
)
(
)
( 2
=








=
=
= −
x
x
x
X
P
x
f x
x
n
x
x
n
x
X
P
x
f x
n
x
,...,
2
,
1
,
0
;
)
75
.
0
(
)
25
.
0
(
)
(
)
( =








=
=
= −

5. ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)
สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 กลุ่ม คือ
❖ ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (Discrete Random Variable)
❖ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)

6. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X มีค่าที่เป็นไปได้คือ x1,x2,…,xn
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability mass function)
มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1.
2.
3. 

=
=
=
=


x
x
X
P
x
f
x
X
P
x
f
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
0
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

7. Example 2.
บริษัทผลิตเบาะนั่ง ผลิตรุ่นละ 20 ตัว ถ้าทราบว่าแต่ละรุ่นมีชารุด 3 ตัว บริษัทสุ่มตรวจ
5 ตัวต่อรุ่น กาหนดให้ X คือจานวนเบาะที่ชารุด จงหาฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นของตัว
แปรสุ่ม X เมื่อ X คือจานวนเบาะที่ชารุด (X=0,1,2,3)
4605
.
0
5
20
4
17
1
3
)
1
(
,
3991
.
0
5
20
5
17
0
3
)
0
( =
























=
=
=
























=
= X
P
X
P

8. Example 2.(ต่อ)
0088
.
0
5
20
2
17
3
3
)
3
(
,
1316
.
0
5
20
3
17
2
3
)
2
( =
























=
=
=
























=
= X
P
X
P
3
,
2
,
1
,
0
;
5
20
5
17
3
)
( =
















−








=
=
 x
x
x
x
X
P 

=
=
x
x
X
P 1
)
(

9. Example 3.
กาหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีการแจกแจงความน่าจะเป็นดังตาราง
จงหาค่า C


=
=
x
x
X
P
from 1
)
(
:
X 0 1 2 3
P(X=x) 1/4 1/8 1/2 C
8
/
1
1
2
/
1
8
/
1
4
/
1
=

=
+
+
+
=
C
C

10. Example 4.
กาหนดให้
(ก) f(x) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X หรือไม่
(ข) จงหาค่า P(X=4)
(ค) จงหาค่า P(2<X<=6)
(ก) จากตาราง เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X
(ข) P(X=4) = f(4) = 9/25 = 0.36
(ค) P(2<X<=6) = P(X=3)+P(X=4) = f(3)+f(4) = 7/25+9/25 = 16/25 = 0.64


=
x
x
f 1
)
(
X 0 1 2 3 4
f(x) 1/25 3/25 5/25 7/25 9/25
4
,
3
,
2
,
1
,
0
;
25
1
2
)
( =
+
= x
x
x
f

11. Example 5.
กล่องใบหนึ่ง มีลูกบอลสีแดง 3 ลูก น้าเงิน 2 ลูก ม่วง 1 ลูก กติกากาหนดว่า ผู้เล่นต้องหยิบ
ลูกบอล 2 ลูก ทีละลูกแบบไม่ใส่คืน ถ้าหยิบได้สีเดียวกัน ได้ 1000 บาท ถ้าได้แดง+ม่วงได้
200 บาท ได้สีม่วง+น้าเงินจะได้ 500 บาท ถ้าได้แดง+น้าเงิน จะต้องจ่าย 800 บาท
จงหาความน่าจะเป็นของจานวนเงินที่จะได้รับจากเกมส์นี้
กาหนดให้ X คือจานวนเงินที่จะได้รับจากการเล่น (x=-800, 200, 500, 1000)
1) P(X=-800) = prob. ได้สีแดง+น้าเงิน =
15
6
2
6
1
2
1
3
=

























12. Example 5.(ต่อ)
2) P(X=200) = prob. ได้สีแดง+ม่วง =
3) P(X=500) = prob. ได้สีม่วง+น้าเงิน =
4) P(X=1000) = prob. ได้ลูกบอลสีเหมือนกัน =
15
3
2
6
1
1
1
3
=
























15
2
2
6
1
2
1
1
=
























15
4
2
6
2
2
2
6
2
3
=
















+
















X -800 200 500 1000
P(X=x) 6/15 3/15 2/15 4/15

13. ฟังก์ชันแจกแจงความน่าจะเป็นสะสมตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1.
2.
3.
4.
5.     ]
[
)
(
)
(
),
(
)
(
0
),
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
,
0
)
(
);
(
)
(
1
)
(
0
a
X
P
a
F
b
F
b
X
a
P
a
F
b
F
b
X
a
P
x
F
x
F
x
X
P
x
f
F
F
Y
X
y
F
x
F
x
F
i
i
i
i
=
+
−
=


−
=


→
−
−
=
=
=
=

=
−







14. Example 6.
กาหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีการแจกแจงความน่าจะเป็นดังตาราง
จงหาฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสม F(X)
จะได้
X -1 0 0.5 1 2 4
P(X=x) 0.05 0.1 0.3 0.15 0.3 0.1
1
)
4
(
)
4
(
45
.
0
)
5
.
0
(
)
0
(
)
1
(
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
15
.
0
)
0
(
)
1
(
)
0
(
)
0
(
05
.
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
=

=






=
=
+
=
+
−
=
=

=
=
=
+
−
=
=

=
=
−
=
=
−

=
−
X
P
F
X
P
X
P
X
P
X
P
F
X
P
X
P
X
P
F
X
P
X
P
F
X -1 0 0.5 1 2 4
P(X=x) 0.05 0.15 0.45 0.6 0.9 1

15. Example 7.
ในการทดสอบส่งสัญญาณ พบว่ามีข้อพกพร่องในการรับ จากการตรวจสอบพบว่า มีบาง
ช่วงขาดหายไป ถ้ากาหนดให้ข้อบกพร่องในการส่งสัญญาณ 8 บิต มีฟังก์ชันการแจกแจง
สะสมดังนี้
จงหาฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของจานวนข้อบกพร่องในการส่งสัญญาณ 8 บิต
และจงหาค่า P(X<=4), P(X>7), P(X>1) และ P(X<=2)
7
7
3
3
1
1
1
8
.
0
6
.
0
0
)
(













=
x
x
x
x
x
F

16. Example 7.(ต่อ)
จากคุณสมบัติฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม f(xi) = P(X=xi) = F(xi)-F(xi-e), e->0
จะได้ P(X=1) = F(1)-F(1-e) = 0.6-0 = 0.6
P(X=3) = F(3)-F(3-e) = 0.8-0.6 = 0.2
P(X=7) = F(7)-F(7-e) = 1.0-0.8 = 0.2
ดังนั้น P(X<=4) = F(4) = F(3) = 0.8
P(X>7) = 1-P(X<=7) = 1-F(7) =1-1 = 0.0
P(X>1) = 1-P(X<=1) = 1-F(1) =1-0.6 = 0.4
P(X<=2) = F(2) = F(1) = 0.6

17. ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)
ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง X มีค่าที่เป็นไปได้ภายในช่วง (a, b)
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น (Probability density function)
มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1.
2.
3.
4. 

=


=
=
=



b
a
x
dx
x
f
b
x
a
P
dx
x
f
x
X
P
x
f
)
(
)
(
1
)
(
0
)
(
1
)
(
0

18. Example 8.
จงพิสูจน์ว่า เป็นฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง Y
จากคุณสมบัติข้อ 3 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
ดังนั้น h(y) คือ ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง Y


=
x
dx
x
f 1
)
(
1
0
;
)
1
(
12
)
( 2


−
= y
y
y
y
h
dy
y
y
y
dy
y
y
dy
y
h
y


 +
−
=
−
=


1
0
2
1
0
2
)
2
1
(
12
)
1
(
12
)
(
 1
3
8
6
3
8
6
(
1
0
4
3
2
=
+
−
=
+
−
= y
y
y

19. Example 9.
เครื่องบิน F-77 ไปทิ้งระเบิดสนามบิน โดยประสิทธิภาพการทาลายขึ้นอยู่กับระยะทาง
เหนือเป้าหมาย ถ้า F-77 ทิ้งระเบิดลูกใหญ่ในรัศมี 50 m. หรือทิ้งลูกเล็กในรัศมี 20 m.
เหนือเป้าหมาย จะทาให้ระเบิดใช้การไม่ได้ ถ้า X คือระยะทางในแนวตั้งฉากจาก F-22
กับสนามบิน โดยที่
ก) จงหาความน่าจะเป็นที่ F-77 ทิ้งระเบิดลูกเล็กแล้วใช้การไม่ได้
ข) ถ้า F-77 บรรทุกลูกใหญ่ 2 ลูก เล็ก 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่การสัญจรทาง
อากาศของสนามบินหยุดชะงักลง
100
0
;
5000
100
)
( 

−
= x
x
x
f

20. Example 9.(ต่อ)
ก) ความน่าจะเป็นที่ F-77 ทิ้งระเบิดลูกเล็กแล้วใช้การไม่ได้
ข) ความน่าจะเป็นที่การสัญจรทางอากาศของสนามบินหยุดชะงักลง
= prob.ที่ระเบิดอย่างน้อย 1 ลูกตกในรัศมีทาลายเป้าหมาย
= 1- prob.ที่ระเบิดทุกลูกตกนอกรัศมีทาลายเป้าหมาย
36
.
0
04
.
0
4
.
0
10000
20
50
20
10000
50
5000
100
)
20
(
2
20
0
2
20
0
=
−
=
−
=







−
=
−
=

= 
x
x
dx
x
X
P

21. Example 9.(ต่อ)
ความน่าจะเป็นที่ F-77 ทิ้งระเบิดลูกใหญ่แล้วใช้การไม่ได้
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่การสัญจรทางอากาศของสนามบินหยุดชะงักลง
= 1- P(ระเบิดลูกใหญ่และเล็กทั้งหมดตกนอกรัศมีทาลาย)
= 1- (1-0.36)2 (1-0.75)2
= 1- 0.0256 = 0.9744
75
.
0
25
.
0
1
10000
50
50
50
10000
50
5000
100
)
50
(
2
50
0
2
50
0
=
−
=
−
=







−
=
−
=

= 
x
x
dx
x
X
P

22. Example 10.
ถ้าความหนาของการเคลือบเวเฟอร์บนแผ่นวงจรรวม เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง มีหน่วยเป็น
ไมโครเมตร (um) และมีค่าฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ดังนี้
f(x) = kx ; 0.205< x <0.215
ก) จงหาค่า k
ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ความหนามีค่าน้อยกว่า 0.2125 um.
ค) ค่าความหนาควรมีค่าเท่าใด จึงทาให้มีโอกาส 10% ที่ค่าความหนาที่วัดได้มีค่าต่า
กว่าค่านี้

23. Example 10.(ต่อ)
ก) หาค่า k
ข) หาความน่าจะเป็นที่ความหนามีค่าน้อยกว่า 0.2125 um.
ค) หาค่าความหนาที่ทาให้มีโอกาส 10% ที่ค่าความหนาที่วัดได้มีค่าต่ากว่าค่านี้

 =
=
=

215
.
0
205
.
0
1
1
)
( kxdx
dx
x
f
x
1905
.
476
)
0021
.
0
(
2
205
.
0
2
215
.
0 2
2
=

=








−
= k
k
k
7476
.
0
)
00157
.
0
(
1905
.
476
2
)
2125
.
0
(
2125
.
0
205
.
0
2125
.
0
205
.
0
2
=
=







=
=
 
x
k
kxdx
X
P








−
=







=
=
  0210125
.
0
2
2
)
(
2
205
.
0
205
.
0
2
b
k
x
k
kxdx
b
X
P
b
k
20602
.
0
)
021010125
.
0
2
(
1905
.
476
1
.
0
2
=

−
= b
b

24. ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นสะสม
1.
2.
3.
4.
5.   )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
,
0
)
(
);
(
)
(
1
)
(
0
a
F
b
F
dx
x
f
b
X
a
P
dx
x
dF
x
f
F
F
Y
X
y
F
x
F
x
F
b
a
i
−
=
=


=
=
+
=
−





ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (Continuous Random Variable)


−

=
=
x
x x
X
P
dt
t
f
x
F )
(
)
(
)
(

25. Example 11.
กาหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ซึ่งมีการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนี้
f(x) = 2 sin(x) ; 0< x <¶/3
จงหาฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นสะสม F(x)
I. เมื่อ x<0; F(x) = F(-∞) = 0
II. เมื่อ 0<x<¶/3;
III. เมื่อ x>¶/3; F(x) = F(+∞) = 1
ดังนั้น
)
cos(
2
2
)]
cos(
2
[
)
sin(
2
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
x
t
dt
t
dt
t
f
dx
x
f
x
F
x
x
x
−
=
−
=
=
+
= 


−
3
/
3
/
0
0
1
)
cos(
2
2
0
)
(











−
=
x
x
x
x
x
F

26. ในการทดลองเก็บข้อมูลตัวแปรสุ่ม x เมื่อต้องการทราบการแจกแจงว่ามี
ลักษณะใดต้องเก็บข้อมูลให้ได้เพียงพอ ส่วนใหญ่จะใช้
1. แผนภูมิก้านและใบ เพื่อดูลักษณะการแจกแจง
ดูความผิดปกติข้อมูล
2. คานวณค่าสถิติต่างๆ เช่น ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน เป็นต้น
การแจกแจงที่ได้จากการทดลอง (Empirical Distribution)

27. Example 12.
สุ่มตัวอย่างขนาด n=40 จากนักเรียนอนุบาลแห่งหนึ่งได้ค่าส่วนสูงดังนี้
58 63 51 72 79 69 78 83 91 59 64 68 65 73 70 52 72 75 86 85
92 87 81 83 65 68 76 64 74 76 67 60 88 81 63 64 82 62 92 63
แผนภูมิก้านใบ สร้างได้ดังนี้ ความถี่สะสม
5 : 1,2,8,9 4
6 : 0,2,3,3,4,4,4,5,5,7,7,8,8,9 18 จะเห็นว่าข้อมูลค่อนข้างสมมาตร ไม่มีสูง/ต่ากว่าปกติ
7 : 0,2,2,3,4,5,6,6,8,9 28 ค่าพิสัย = 92-51 = 41
8 : 1,1,2,3,5,6,7,8 37 มัธยฐาน = 72
9 : 1,2,2 40 Q ที่ 1 = 64

28. สนใจเหตุการณ์หรือผลลัพธ์ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปพร้อมกัน หรือ
สนใจตัวแปรสุ่มมากกว่า 1 ตัวขึ้นไป พร้อมกัน เช่น
X : สนใจค่าสมบูรณ์ของผลต่างของลูกเต๋าจากการโยน 2 ลูก
Y : สนใจผลรวมของแต้มจากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก
ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของ X,Y แทนด้วย f(x,y)
การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม

29. การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
เกิดจากการสนใจเหตุการณ์ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปพร้อมกัน โดยตัวแปร
สุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. f(x,y)>0 สาหรับทุกค่าของ (x,y)
2. ทุกค่า (x,y)
3.
4.
5. 
 

 

 

 
=
=


=


=
=
=
=
x
X y
Y
A
x A
y
x y
y
x
f
y
x
F
y
Y
x
X
P
y
x
f
A
y
x
P
y
x
f
y
Y
x
X
P
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(

30. Example 13.
กาหนดให้ X : ค่าสมบูรณ์ของผลต่างแต้มจากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก
Y : ผลรวมแต้มจากการโยนลูกเต๋า 2 ลูก
จงหาการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y
แต้มโยน แต้มที่ได้จากการโยนลูกเต๋าลูกแรก
เต๋าลูกที่2 1 2 3 4 5 6
1 0,2 1,3 2,4 3,5 4,6 5,7
2 1,3 0,4 1,5 2,6 3,7 4,8
3 2,4 1,5 0,6 1,7 2,8 3,9
4 3,5 2,6 1,7 0,8 1,9 2,10
5 4,6 3,7 2,8 1,9 0,10 1,11
6 5,7 4,8 3,9 2,10 1,11 0,12

31. Example 13.(ต่อ)
ตารางการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นดังนี้
Y
X
0 1 2 3 4 5
2 1/36 - - - - -
3 - 2/36 - - - -
4 1/36 - 2/36 - - -
5 - 2/36 - 2/36 - -
6 1/36 - 2/36 - 2/36 -
7 - 2/36 - 2/36 - 2/36
8 1/36 - 2/36 - 2/36 -
9 - 2/36 - 2/36 - -
10 1/36 - 2/36 - - -
11 - 2/36 - - - -
12 1/36 - - - - -

32. Example 14.
ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y มีการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม ดังนี้
ก) หาค่า a จาก
ข) หา P(X≤2,Y≥2)
Y
X
1 2 3
1 1/12 0 0
2 0 1/9 1/6
4 1/18 1/4 a

 
=
x y
y
x
f 1
)
,
(
1
)
4
,
3
(
)
4
,
2
(
...
)
1
,
2
(
)
1
,
1
( =
=
=
+
=
=
+
+
=
=
+
=
= Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
1
180
45
10
30
20
15
4
1
18
1
6
1
9
1
0
0
0
12
1
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+ a
a
3
1
1
3
2
180
120
=

=
+
=
+ a
a
a
4167
.
0
12
5
180
45
10
20
4
1
18
1
9
1
0
)
4
,
2
(
)
4
,
1
(
)
2
,
2
(
)
2
,
1
(
=
=
+
+
=
+
+
+
=
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
= Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P

33. Example 15.
บริษัทติดตั้งเครื่องปรับอากาศ เข้าร่วมประมูลงานโรงงาน 10 แห่ง โดยโครงการที่ยื่นประมูลแบ่งตามประเภทของโรงงาน
เป็น 3 กลุ่ม คือ สิ่งทอ ปิโตรเคมี และผลิตชิ้นส่วนรถยนต์ จานวน 3, 2 และ 5 ตามลาดับ สมมุติว่าได้รับพิจารณาเลือกเพียง
2 โครงการอย่างสุ่ม
ก) หาฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X และ Y เมื่อ X คือจานวนโครงการที่ยื่นต่อกลุ่มสิ่งทอที่ได้รับเลือก
Y คือจานวนโครงการที่ยื่นต่อกลุ่มปิโตรเคมีที่ได้รับเลือก
เนื่องจากโครงการได้รับคัดเลือกเพียง 2 โครงการแบบสุ่ม x=0,1,2 ; y=0,1,2 และ 0≤x+y≤2
ดังนั้น
45
10
2
10
0
2
5
0
2
0
3
)
0
,
0
( =
















−
















=
=
= Y
X
P
45
15
2
10
1
2
5
0
2
1
3
)
0
,
1
( =
















−
















=
=
= Y
X
P
45
3
2
10
2
2
5
0
2
2
3
)
0
,
2
( =
















−
















=
=
= Y
X
P 45
10
2
10
1
2
5
1
2
0
3
)
1
,
0
( =
















−
















=
=
= Y
X
P
45
1
2
10
2
2
5
2
2
0
3
)
2
,
0
( =
















−
















=
=
= Y
X
P
45
6
2
10
2
2
5
1
2
1
3
)
1
,
1
( =
















−
















=
=
= Y
X
P
2
0
2
,
1
,
0
2
,
1
,
0
;
2
10
)
(
2
5
2
3
)
,
(

+

=
=
















+
−
















=
=
=
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
x
X
P

34. Example 15.(ต่อ)
ข) หาค่าความน่าจะเป็นที่โรงงานกลุ่มสิ่งทอและกลุ่มปิโตรเคมีที่ได้รับเลือกไม่เกินกลุ่มละ 1 โรงงาน
45
41
)
1
),
1
(
)
0
),
1
(
)
1
),
0
(
)
0
),
0
(
)
,
(
)
,
(
)
1
,
1
(
=
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
=
=
=


= 
 
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
Y
X
P
y
x
f
y
x
F
Y
X
P
x
X y
Y

35. การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
เกิดจากการสนใจเหตุการณ์ตั้งแต่ 2 เหตุการณ์ขึ้นไปพร้อมกัน โดยตัวแปร
สุ่มแบบต่อเนื่อง มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. f(x,y)>0 สาหรับทุกค่าของ (x,y)
2.
3.
4.
5.









=
=


=

=
=
=
=
y
Y
x
X
A
y
x
y
x
dxdy
y
x
f
y
x
F
y
Y
x
X
P
dxdy
y
x
f
A
y
x
P
y
Y
x
X
P
dxdy
y
x
f
,
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
)
,
(
0
)
,
(
1
)
,
(

36. Example 16.
ถ้า X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมคือ
f(x,y) = k(x2+y2) ; 0<x<2, 1<y<4
= 0 เมื่อ x และ y เป็นค่าอื่นๆ
ก) จงหาค่า k
1
)
(
)
,
(
4
1
2
0
2
2
=
+
=



dxdy
y
x
k
dxdy
y
x
f
y
x

dy
y
k
dy
xy
x
k 
 +
=
+
=
4
1
2
4
1
2
0
2
3
)
2
3
8
(
)]
3
(
1
50
)]
3
2
3
8
( 4
1
3
=
=
+
= k
y
y
k
02
.
0
50
1
=
=
k

37. Example 16.(ต่อ)
ข) จงหาค่าของ P(0<x<1, 0<y≤2) ค) จงหาค่าของ P(x+y≤2)
0533
.
0
150
8
)
3
2
10
(
50
1
)]
3
3
(
50
1
)
3
1
(
50
1
)]
3
(
50
1
)
(
50
1
2
1
3
2
1
2
2
1
1
0
2
3
2
1
1
0
2
2
=
=
−
=
+
=
+
=
+
=
+
=



y
y
dy
y
dy
xy
x
dxdy
y
x
)
2
1
,
1
0
(
)
2
0
,
1
0
( 



=



 y
x
P
y
x
P
02
.
0
50
1
)
4
)
1
16
(
3
)
1
8
(
2
12
1
(
50
1
)]
4
3
2
3
4
1
2
6
8
(
50
1
)
2
(
3
)
6
12
8
(
(
50
1
)]
3
(
50
1
)
(
50
1
2
1
4
3
4
3
2
2
1
3
2
3
2
2
1
2
0
2
3
2
1
2
0
2
2
=
=
−
−
−
+
=
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
+
=
+
=


 
−
−
y
y
y
y
y
y
dy
y
y
y
y
y
dy
xy
x
dxdy
y
x
y
y

38. Example 17.
ถ้า X1และ X2 เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วม คือ
f(x1,x2) = x1+x2 ; 0≤x1≤1, 0≤x2≤b
= 0 ; อื่นๆ
หาค่า b
ถ้า f(x1,x2) เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X1และ X2

 +
=
=


b
y
x
dx
dx
x
x
dx
dx
x
x
f
0
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1 )
(
1
)
,
(
2
0
2
2
0
1
0
2
1
2
1
2
1
)]
2
( dx
x
dx
x
x
x
b
b

 +
=
+
=
1
1
2
2
2
2
2
0
2
2
2
=

=
+
=







+
= b
b
b
x
x
b

39. Example 18.
โรงงานผลิตแจกันทรงกระบอกจิ๋ว ซึ่งมีความหนาและขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
ถ้า X คือความหนาและ Y เส้นผ่านศูนย์กลาง และมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของ X และ Y ดังนี้
f(x,y) = 1/6(x+y) ; 1≤x≤2, 4≤y≤5
= 0 ; ที่อื่นๆ
ก) หาค่าความน่าจะเป็นที่สุ่มกระบอกจิ๋วใบหนึ่ง แล้วพบว่ามีความหนา 1.0–1.5mm. Ø ทื่ 4.5–5mm.
P(1.0≤X≤1.5,4.5 ≤Y≤5)
4
1
48
19
12
12
6
)
(
6
1
5
.
1
1
5
5
.
4
5
.
1
1
2
5
.
1
1
5
5
.
4
=






+
=







+
=
+
=


 
dx
x
dx
y
xy
dydx
y
x

40. Example 18.(ต่อ)
ข) ถ้าสุ่มตรวจแจกัน 20 ใบ จงหาจานวนแจกันที่มีความหนาไม่ต่ากว่า 1.5 mm.
สนใจ ความหนาของแจกันเท่านั้น ดังนั้นจึงต้องหาฟังก์ชันการแจกแจงมาร์จินัลของความหนาก่อน
Prob.ที่ความหนาไม่ต่ากว่า 1.5 mm. = P(X≥1.5)
ถ้าสุ่มตรวจ 20 ใบ จานวนแจกันที่ความหนาไม่ต่ากว่า 1.5 mm.
ใบ (ปัดเศษขึ้น)
2
1
;
)
2
9
(
6
1
)
(
6
1
)
,
(
)
(
5
4


+
=
+
=
=  

x
x
dy
y
x
dy
y
x
f
x
g
y
5208
.
0
)
75
.
6
9
125
.
1
2
(
6
1
2
9
2
6
1
)
2
9
(
6
1
)
5
.
1
(
2
5
.
1
2
2
5
.
1
=
−
+
−
=







+
=
+
=
 
x
x
dx
x
X
P
11
416
.
10
)
5203
.
0
(
20 
=
=

41. Example 19.
บริษัทติดตั้งเครื่องปรับอากาศ เข้าร่วมประมูลงานโรงงาน 10 แห่ง โดยโครงการที่ยื่นประมูลแบ่งตามประเภทของโรงงาน
เป็น 3 กลุ่ม คือ สิ่งทอ ปิโตรเคมี และผลิตชิ้นส่วนรถยนต์ จานวน 3, 2 และ 5 ตามลาดับ สมมุติว่าได้รับพิจารณาเลือกเพียง
2 โครงการ กาหนดให้ X คือจานวนโครงการที่ยื่นต่อกลุ่มสิ่งทอที่ได้รับเลือก Y คือจานวนโครงการที่ยื่นต่อกลุ่มปิโตรเคมีที่
ได้รับเลือก และมีตารางการกระจายความน่าจะเป็นดังนี้
ก) หาการแจกแจงมาร์จินัล ของตัวแปรสุ่ม X และ Y
การแจกแจงมาร์จินัลของ x การแจกแจงมาร์จินัลของ y
ข) ความน่าจะเป็นที่โครงการได้รับเลือก มาจากกลุ่มสิ่งทออย่างน้อย 1 โครงการ
Y
X
0 1 2
0 10/45 15/45 3/45
1 10/45 6/45 -
2 1/45 - -
g(x) 21/45 21/45 3/45
5333
.
0
45
/
24
)
2
(
)
1
(
)
1
( =
=
=
+
=
=
 X
P
X
P
X
P
x 0 1 2
g(x) 21/45 21/45 3/45
y 0 1 2
h(y) 28/45 16/45 1/45

42. การแจกแจงมาร์จินัล (Marginal Distribution)
กรณีทราบฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y (f(x,y))
แต่สนใจเฉพาะตัวแปรสุ่ม X หรือ Y สามารถคานวณได้จาก
1. ; X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
; X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
2. ; X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
; X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง


=
y
y
x
f
x
g )
,
(
)
(


=
x
y
x
f
y
h )
,
(
)
(


=
y
dy
y
x
f )
,
(


=
x
dx
y
x
f )
,
(

43. การแจกแจงมาร์จินัล (Marginal Distribution)
กรณีทราบฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X ,Y,Z (f(x,y,z))
แต่สนใจเฉพาะตัวแปรสุ่ม Y สามารถคานวณได้จาก
; X ,Yและ Z เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
; X ,Y และ Z เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

 
=
x z
z
y
x
f
y
h )
,
,
(
)
(



=
z
x
dxdz
z
y
x
f )
,
,
(

44. การแจกแจงมาร์จินัล (Marginal Distribution)
การแจกแจงมาร์จินัล ยังมีคุณสมบัติฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปร
สุ่ม เช่น กรณีทราบความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y คือ g(x)
และ h(y) ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้


=
y
dy
y
x
f )
,
(
1
)
(
)
(
)
,
( =
=
= 

 

  x
y
x y
x
g
y
h
y
x
f
1
)
(
)
(
)
,
( 

 



=
=
=
x
y
y
x
dx
x
g
dy
y
h
dydx
y
x
f

45. Example 20.
ถ้า X1และ X2 เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง และมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วม คือ
f(x1,x2) = x1+ x2 ; 0≤x1≤1, 0≤x2≤1
= 0 ; อื่นๆ
จงหาการแจกแจงมาร์จินัลของตัวแปรสุ่ม X1และ X2
ในทานองเดียวกัน
1
0
;
2
1
2
)
,
(
)
( 1
1
1
0
2
2
2
1
2
1
0
2
1
1 

+
=







+
=
=  x
x
x
x
x
dx
x
x
f
x
g
02
.
0
50
1
=
=
k
1
0
;
2
1
2
)
,
(
)
( 2
2
1
0
2
1
2
1
1
1
0
2
1
2 

+
=







+
=
=  x
x
x
x
x
dx
x
x
f
x
h

46. การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability)
การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข เป็นการสนใจโอกาสที่จะเกิดผลลัพธ์ของตัวแปรสุ่มหนึ่ง
หรือกลุ่มหนึ่ง เมื่อรู้ว่าตัวแปรอีกตัวหนึ่งหรืออีหกลุ่มหนึ่งเกิดขึ้นแล้ว
กรณีตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
เป็นฟังก์ชันของ Y เมื่อทราบ X
เป็นฟังก์ชันของ X เมื่อทราบ y
)
(
]
,
[
]
|
[
)
(
]
,
[
]
|
[
y
Y
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
x
X
P
x
X
y
Y
P
x
X
y
Y
P
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

47. การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (Conditional Probability)
กรณีตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
เมื่อ g(x)>0 และเป็นฟังก์ชันของ Y เมื่อทราบ X
เมื่อ g(x)>0 และ เป็นฟังก์ชันของ X เมื่อทราบ y
)
(
)
,
(
)
|
(
)
(
)
,
(
)
|
(
y
h
y
x
f
y
x
f
x
g
y
x
f
x
y
f
=
=

48. Example 21.
ถ้าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง X และ Y มีการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมดังนี้
ก) หาการแจกแจงมาร์จินัล ของ X และ Y
การแจกแจงมาร์จินัลของ x
ทานองเดียวกันการแจกแจงของ y
ข) หา P(X=2|Y=1)
Y
X
1 2 3 h(y)
1 1/12 1/6 0 1/4
2 0 1/9 1/5 14/45
3 1/18 1/4 2/15 79/180
g(x) 5/36 19/36 1/3
)
(
)
,
(
]
|
[
y
Y
P
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
=
=
=
=
=
=

x 0 1 2
P(X=x) 5/36 19/36 1/3
y 0 1 2
P(Y=y) 1/4 14/45 79/180


=
=
=
=
=
y
y
Y
x
X
P
x
X
P
x
g )
,
(
)
(
)
(
3
1
15
2
5
1
0
)
,
3
(
)
3
(
36
19
4
1
9
1
6
1
)
,
2
(
)
2
(
36
5
18
1
0
12
1
)
,
1
(
)
1
(
=
+
+
=
=
=
=
=
=
+
+
=
=
=
=
=
=
+
+
=
=
=
=
=






y
y
y
y
Y
X
P
X
P
y
Y
X
P
X
P
y
Y
X
P
X
P
3
2
4
/
1
6
/
1
)
1
(
)
1
,
2
(
)
1
|
2
( =
=
=
=
=
=
=
=
Y
P
Y
X
P
Y
X
P

49. Example 21.(ต่อ)
ค) หา g(X | y=1) หา h(X=2| Y=y)
x 1 2 3
P(X=x|Y=1) 1/3 2/3 0
)
1
(
)
1
,
(
=
=
=
=
Y
P
Y
x
X
P
0
4
/
1
0
)
1
(
)
1
,
3
(
)
1
|
3
(
3
2
4
/
1
6
/
1
)
1
|
2
(
3
1
4
/
1
12
/
1
)
1
|
1
(
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Y
P
Y
X
P
Y
X
g
Y
X
g
Y
X
g
y 1 2 3
P(X=2|Y=y) 6/19 4/19 9/19
)
2
(
)
,
2
(
)
2
|
(
=
=
=
=
=
X
P
y
Y
X
P
X
Y
h
19
9
36
/
19
4
/
1
)
2
(
)
3
,
2
(
)
2
|
3
(
19
4
36
/
19
9
/
1
)
2
(
)
2
,
2
(
)
2
|
2
(
19
6
36
/
19
6
/
1
)
2
(
)
1
,
2
(
)
2
|
1
(
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
X
P
Y
X
P
X
Y
g
X
P
Y
X
P
X
Y
g
X
P
Y
X
P
X
Y
h

50. Example 22.
ถ้า X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง มี f(x|y) เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ X
เมื่อทราบค่า Y=y f(x|y) = k(1-x)/(1-y2) ; 0<y<x<1
= 0 ; อื่นๆ
ก) จงหาค่า k เนื่องจาก g(x|y) เป็นฟังก์ชันการแจกแจงของ X เมื่อทราบค่า Y
)
1
(
)
1
(
2
y
y
k
−
+
=

1
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
|
(
1
2
1
2
2
1
=






−
−
=
−
−

= 

y
y
y
x
x
y
k
dx
y
x
k
dx
y
x
g

1
)
1
(
)
1
(
2
2
2
1
)
1
(
2
2
2
2
=
−
−
=






+
−
−
= y
y
k
y
y
y
k

51. Example 22.(ต่อ)
ข) ถ้า h(y) เป็นการแจกแจงมาร์จินัลของ Y กาหนดโดย h(y)=12y(1-y)2 ; 0<y<1
จงหาฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมค่าของ X และ Y
)
(
*
)
|
(
)
,
(
0
)
(
;
)
(
)
,
(
)
|
(
y
h
y
x
g
y
x
f
y
h
y
h
y
x
f
y
x
g
=


=

1
0
;
)
1
(
24
)
1
(
12
*
1
)
1
(
*
)
1
(
)
1
(
2 2
2



−
=
−
−
−
−
+
=
x
y
x
y
y
y
y
x
y
y

52. Example 23.
จากโจทย์โรงงานผลิตแจกันทรงกระบอกจิ๋ว จงหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของขนาดเส้นผ่าน
ศูนย์กลาง (Y) เมื่อทราบความหนา(X=x) และความน่าจะเป็นของขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง (Y) ไม่เกิน
4.8 mm. เมื่อทราบความหนาเท่ากับ 1.2 mm.
จากตัวอย่างเดิม จะได้
ความน่าจะเป็นของØ (Y) ไม่เกิน 4.8 mm. เมื่อทราบความหนาเท่ากับ 1.2 mm
5
4
,
2
1
;
)
(
6
1
)
,
( 



+
= y
x
y
x
y
x
f
2
1
;
)
2
9
(
6
1
)
( 

+
= x
x
x
g
5
4
,
2
1
;
5
.
4
)
(
)
(
)
,
(
)
|
( 



+
+
=
= y
x
x
y
x
x
g
y
x
f
x
y
f
786
.
0
2
2
.
1
7
.
5
1
)
5
.
4
2
.
1
(
)
2
.
1
(
)
2
.
1
|
(
)
2
.
1
|
8
.
4
(
8
.
4
4
2
8
.
4
4
8
.
4
4
=







+
=
+
+
=
=
=
=

= 

y
y
dy
y
dy
x
y
f
x
Y
P

53. ตัวแปรสุ่มอิสระต่อกัน
ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอสระต่อกัน ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x|y)
จะไม่ขึ้นกับ y และ f(y|x) ก็จะไม่ขึ้นกับ x
เนื่องจากตัวแปรสุ่ม X และ y จะเป็นอิสระต่อกัน ก็ต่อเมื่อ
)
(
)
(
)
,
(
)
|
(
)
(
)
(
)
,
(
)
|
(
y
h
x
g
y
x
f
x
y
f
x
g
y
h
y
x
f
y
x
f
=
=
=
=
)
(
*
)
(
)
,
( y
h
x
g
y
x
f =

54. Example 24.
จากโจทย์โรงงานผลิตแจกันทรงกระบอกจิ๋ว ตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกันหรือไม่
จากตัวอย่างเดิม จะได้
และ
# f(x,y) ≠ g(x)*h(y) ดังนั้น ตัวแปรสุ่ม X และ Y จึงไม่เป็นอิสระต่อกัน
5
4
,
2
1
;
)
(
6
1
)
,
( 



+
= y
x
y
x
y
x
f
2
1
;
)
2
9
(
6
1
)
( 

+
= x
x
x
g
2
1
;
)
(
6
1
)
,
(
)
(
2
1


+
=
=  

x
dx
y
x
dx
y
x
f
y
h
x
5
4
;
)
2
3
(
6
1


+
= x
y

55. สรุปเปรียบเทียบสูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับตัวแปรสุ่ม
เหตุการณ์ ตัวแปรสุ่ม
)
( B
A
P 
)
(
),
( B
P
A
P
)
,
(
)
,
( y
x
f
y
Y
x
X
P =
=
=
)
(
*
)
( y
h
x
g
0
)
(
;
)
(
)
(
)
|
( 
= B
P
B
P
B
A
P
B
A
P

)
(
)
,
(
)
|
(
y
h
y
x
f
y
x
f =
)
(
*
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P =

)
(
)
|
( A
P
B
A
P =
)
(
*
)
(
)
,
(
)
,
( y
h
x
g
y
x
f
y
Y
x
X
P =
=
=
=
)
(
)
|
( x
g
y
x
f =