Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
© Boardworks Ltd 20061 of 58
Түгээмэл хэрэглэгддэг
статистик тархалтууд
© Boardworks Ltd 20062 of 58
Яагаад тархалт чухал байдаг вэ?
1. Ихэнхи юмс үзэгдэл шинж чанарыг хувьд
ойролцоо байдаг.
2. ...
© Boardworks Ltd 20063 of 58
Жишээ нь: Мозамбик улсын Maputo, Cuamba хотын хүн
амын нийгэм эдийн засгийн судалгаа.
Maputo ...
© Boardworks Ltd 20064 of 58
Жишээ: (үргэлжлэл)
1. Боловсролын түвшин ойролцоогоор
хэвийн тархалттай байна гэж үзье. Тэгвэ...
© Boardworks Ltd 20065 of 58
Хэвийн тархалт
© Boardworks Ltd 20066 of 58
Хэвийн тархалт
Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагч нь хязгааргүй олон
эерэг тоон утгатай ч зарим ...
© Boardworks Ltd 20067 of 58
Хэвийн тархалт
Хамгийн түгээмэл ашиглагддаг магадлалт тархалт ~
Хэвийн тархалт
Хэвийн тархалт...
© Boardworks Ltd 20068 of 58
Хэвийн тархалт
Хэвийн тархалтыг тодорхойлох
1. Дундаж = Медиан = Моод
2. Хэвийн тархалтын мур...
© Boardworks Ltd 20069 of 58
Хэвийн тархалт
μ − 3σ μ + σμ − 2σ μ − σ μ μ + 2σ μ + 3σ
Хазайлтын цэг
Нийт талбай= 1
Х ~ таср...
© Boardworks Ltd 200610 of 58
Дундаж ба Хэлбэлзэл
Хэвийн тархалт нь мэдээллийн шинж чанараас
хамаараад өөр байна.
Дундаж :...
© Boardworks Ltd 200611 of 58
Дундаж ба Хэлбэлзэл
Жишээ нь:
1. Аль тархалтын дундаж илүү вэ?
2. Аль тархалт нь илүү хэлбэл...
© Boardworks Ltd 200612 of 58
График ~ Тайлбар
Жишээ нь:
Эмч эмнэлгийн ажиллагсадын ажлын ачааллыг судлаж
үзэхэд 2014 онд ...
© Boardworks Ltd 200613 of 58
Хэвийн тархалт яагаад чухал вэ?
• Олон үзэгдлүүд хэвийнтэй ойролцоогоор
тархсан байдаг. Жишэ...
© Boardworks Ltd 200614 of 58
Хэвийн тархалтыг шинжлэх
14
Графикийн аргууд Тоон аргууд
Дескриптив Навч-ба-үндэс,
box plot,...
© Boardworks Ltd 200615 of 58
Стандарт нормал
тархалт
© Boardworks Ltd 200616 of 58
−3 1−2 −1 0 2 3
z
Стандарт нормал тархалт
Стандарт нормал тархалт: 0 дундажтай 1 дисперстэй
...
© Boardworks Ltd 200617 of 58
Стандарт нормал тархалт
Хэрэв санамсаргүй хуьсагч нь хэвийн тархалттай бол
бүх утгыг z-оноо ...
© Boardworks Ltd 200618 of 58
Стандарт нормал тархалт
Стандарт нормал тархалтыг үнэлэх
1. Тархалтын доод хил 0 байх ба түү...
© Boardworks Ltd 200619 of 58
Жишээ:
• Судалгаанд оролцогчдын дундаж
даралт 80, стандарт хазайлт 12 байсан
гэвэл эдгээр хү...
© Boardworks Ltd 200620 of 58
Стандарт нормаль тархалт
Жишээ:
Z=2.71 үе дэх тархалтыг олох.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 ...
© Boardworks Ltd 200621 of 58
Стандарт нормаль тархалт
Жишээ:
z-оноо −0.25 үе дэх тархалтыг олох
z .09 .08 .07 .06 .05 .04...
© Boardworks Ltd 200622 of 58
Тархалтыг үнэлэх
1. Стандарт нормаль тархалтын муруйн доод магалалыг
тооцох.
a. To find the ...
© Boardworks Ltd 200623 of 58
Магадлалыг тооцох
Finding Areas Under the Standard Normal Curve
b. To find the area to the r...
© Boardworks Ltd 200624 of 58
Finding Areas Under the Standard Normal Curve
c. To find the area between two z-scores, find...
© Boardworks Ltd 200625 of 58
Магадлалыг тооцох
Жишээ:
z = −2.33 дээш байх магадлалыг тооц
Стандарт нормаль тархалтын хүсн...
© Boardworks Ltd 200626 of 58
Магадлалыг тооцох
Жишээ:
Нормаль тархалтын утга нь z = 0.94 дээш
байх магадлалыг тооцох.
Тар...
© Boardworks Ltd 200627 of 58
Магадлалыг тооцох
Жишээ:
Нормаль тархалтын утга z = −1.98 z = 1.07
хооронд байх магадлалыг т...
© Boardworks Ltd 200628 of 58
Хэвийн тархалт:
Магадлал
© Boardworks Ltd 200629 of 58
Магадлал ба Хэвийн тархалт
Нийслэлийн өргөө амаржих газарт төрж буй
хэвийн төрөлтийн давтамж...
© Boardworks Ltd 200630 of 58
Магадлал ба Хэвийн тархалт
Ижил төстэй
P(x < 15) = P(z < 1)
15 доош хэвийн төрөлт тохиолдох ...
© Boardworks Ltd 200631 of 58
Жишээ:
Оюутнуудын статистикийн тестийн дундаж оноо 78
стандарт хазайлт 8. Хэрэв шалгалтын он...
© Boardworks Ltd 200632 of 58
Жишээ:
Хэрэв оюутнуудыг шалгалтын дундаж оноо 78 стандарт
хазайлт нь 8 байдаг гэвэл санамсар...
© Boardworks Ltd 200633 of 58
Жишээ:
Хэрэв оюутны шалгалын дундаж оноо 78 стандарт
хазайлт нь 8 байсан гэвэл 60-с 80 хооро...
© Boardworks Ltd 200634 of 58
Хэвийн тархалт:
Критик утга үнэлэх
© Boardworks Ltd 200635 of 58
Z оноог тооцоолох
Жишээ:
Тархалтын утга нь 0.9973 байх Z оноог ол.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05...
© Boardworks Ltd 200636 of 58
Жишээ:
Бага ангийн сурагчдын цүнхий дундаж жин 1.25 стандарт
хазайл 0.1 бүхий хэвийн тархалт...
© Boardworks Ltd 200637 of 58
Бином тархалт
© Boardworks Ltd 200638 of 58
Бодит амьдрал дээрх ихэнхи юмс үзэгдэлийг статистик
тархалтын тусламжтайгаар загварчилж болд...
© Boardworks Ltd 200639 of 58
Бином тархалт нь дараах нөхцөлтэй байна:
Бином тархалт
Томъёо: X ~ B(n , p).
Туршилтаас гара...
© Boardworks Ltd 200640 of 58
Дараах тохиодолоос аль нь бином тархалтаар
загварчлагдах вэ?
Binomial
Not
binomial
Binomial
...
© Boardworks Ltd 200641 of 58
Дараах мэдээллээс аль нь Бином тархалттай вэ?
Not
binomial
Not
binomial
Binomial
Бином тарха...
© Boardworks Ltd 200642 of 58
Хэрэв X ~ B(n , p), буюу
үүнд q = 1 – p.
Бином тархалт
( ) , , ,...P for 0 1 2n x n x
xX x C...
© Boardworks Ltd 200643 of 58
Бином тархалт
( ) . . .10 4 6
4P 4 0 51 0 49 0 197X C= = × × =a)
b)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
...
© Boardworks Ltd 200644 of 58
40-с дээш насны эмэгтэйчүүдийн дундах чихрийн
шижингийн тархалт 0.25 хувьтай гэвэл санамсарг...
© Boardworks Ltd 200645 of 58
0-5 хүртэлх насны хүүдүүдийн
дундах осол гэмтэлд өртөх
магадлал 0.3) байдаг
Тэгвэл: B(10, 0....
© Boardworks Ltd 200646 of 58
Жишээ: Хүн амын дундах сүрьеэгийн халдвар хүн
тутмын 1 тохиолддог. Хэрэв санамсаргүйгээр 20 ...
© Boardworks Ltd 200647 of 58
Пуассоны тархалт
© Boardworks Ltd 200648 of 58
© Boardworks Ltd 200649 of 58
© Boardworks Ltd 200650 of 58
© Boardworks Ltd 200651 of 58
Жишээ
Хэрэв Баруун Нилийн халуурал сар
тутамд 2 хүнд тохиолддог гэвэл 1000
хүнд 0,1,2,3,4,5,...
© Boardworks Ltd 200652 of 58
© Boardworks Ltd 200653 of 58
© Boardworks Ltd 200654 of 58
© Boardworks Ltd 200655 of 58
1) 15 минутын хугацаанд зөрж өнгөрөх авто
машины тоо.
Could be Poisson
Poisson
Not Poisson
2...
© Boardworks Ltd 200656 of 58
4) 1мл усан дахь бохирдолын хэмжээ.
5) Шалгалтын тестэнд алдаатай хариулах
тохиолдол.
6) Х ө...
© Boardworks Ltd 200657 of 58
X ~ Po(λ), үед
x = 0, 1, 2, 3, …
!
P( = ) =
x
e
X x
x
−λ
λ
Магадлалыг тооцоолох
( )
!
0.85 3...
© Boardworks Ltd 200658 of 58
P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2).
.
.
!
0 85 0
0 85
P( = 0) =
0
e
X
−
×
Тэгвэл,...
© Boardworks Ltd 200659 of 58
a) Дээрх мэдээлэл Пуассоны тархалттай байдаг гэвэл:
(i) 4 дуудлага;
(ii)2-с дээш дуудлага.
Я...
© Boardworks Ltd 200660 of 58
a) X = нэг минутанд ирэх дуудлагын тоо. X ~ Po(1.75).
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X =...
© Boardworks Ltd 200661 of 58
Binomial distributions
Mean and variance of a binomial
Use of binomial tables
The Poisson di...
© Boardworks Ltd 200662 of 58
Tables of probabilities exist for many Poisson distributions.
The tables are cumulative, tha...
© Boardworks Ltd 200663 of 58
If X ~ Po(1.5), P(X = 2) = P(X ≤ 2) – P(X ≤ 1)
= 0.8088 – 0.5578
= 0.251
λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2...
© Boardworks Ltd 200664 of 58
If Y ~ Po(2), P(Y > 1) = P(Y = 2, 3, 4, …)
= 1 – P(Y ≤ 1)
= 1 – 0.4060
= 0.594
λ 0.5 1.0 1.5...
© Boardworks Ltd 200665 of 58
a) Calculate the probability that
i) more than 10 customers will arrive in a 15 minute inter...
© Boardworks Ltd 200666 of 58
a) Let X1 be the random variable for the number of customers
arriving in a 15 minute interva...
© Boardworks Ltd 200667 of 58
b) Let Y be the number of customers arriving in an interval of
length t minutes.
!
0.3 0
0.3...
© Boardworks Ltd 200668 of 58
Binomial distributions
Mean and variance of a binomial
Use of binomial tables
The Poisson di...
© Boardworks Ltd 200669 of 58
Suppose that X ~ Po(λ).
It can be shown that the mean and variance of X are equal:
This resu...
© Boardworks Ltd 200670 of 58
Example: The table below shows the number of goals
scored by each team in matches in the Pre...
© Boardworks Ltd 200671 of 58
Now calculate the variance:
It can be seen that the mean and the variance are
approximately ...
© Boardworks Ltd 200672 of 58
Using a Poisson distribution with the same mean as the data,
calculate the theoretical frequ...
© Boardworks Ltd 200673 of 58
.
.
! !
1 071 0
1 071
P( 0)
0
r
e e
X
r
λ
λ− −
= = =
.
.
.
!
1 071 1
1 071
P( =1) = = 0 3670...
© Boardworks Ltd 200674 of 58
Fitting a Poisson model to data
x P(X = x) Expected frequencies
0 0.3427
1 0.3670
2 0.1965
3...
© Boardworks Ltd 200675 of 58
0.0048
x P(X = x) Expected frequencies
0 0.3427 19.2
1 0.3670 20.6
2 0.1965 11.0
3 0.0702 3....
© Boardworks Ltd 200676 of 58
x f Expected frequencies
0 21 19.2
1 19 20.6
2 10 11.0
3 3 3.9
4 3 1.1
5 or more 0 0.3
We ca...
© Boardworks Ltd 200677 of 58
Binomial distributions
Mean and variance of a binomial
Use of binomial tables
The Poisson di...
© Boardworks Ltd 200678 of 58
Approximating a binomial by a Poisson
© Boardworks Ltd 200679 of 58
The previous activity showed that there are circumstances
when a Poisson distribution provid...
© Boardworks Ltd 200680 of 58
A drug manufacturer has found that 2% of patients taking a
particular drug will experience a...
© Boardworks Ltd 200681 of 58
The exact distribution of X is B(150, 0.02).
!
3 0
3
0
e−
×
Let X represent the number of pa...
© Boardworks Ltd 200682 of 58
Examination-style question:
The probability that a directory enquiry service gives out the
c...
© Boardworks Ltd 200683 of 58
. .10 9
9P( = 9) = 0 975 (1 0 975)X C × × −
Examination-style question
10 10 0
10P( =10) = 0...
© Boardworks Ltd 200684 of 58
Судалгааны явцад анхаарах
зүйлс
1. Судлах зүйл тодорхой эсэх
2. Түүвэр хүн амын төлөөлөх чад...
© Boardworks Ltd 200685 of 58
Судалгаа үндсэн зарчим
85
© Boardworks Ltd 200686 of 58
Түүвэрлэлт холбоотой
алдаа
ТӨЛӨӨЛӨХ ЧАДВАР
Судлагдахууны үр нөлөөг үнэлэхэд түүврийн
хэмжээ ...
© Boardworks Ltd 200687 of 58
Аргачлалын зөрүү
Харьцуулсан (үндэслэл бүхий судалгаа)
судалгааны үед өмнөх судалгааны арга
...
© Boardworks Ltd 200688 of 58
СИСТЕМ АЛДАА
Системтэй алдаа (bias)
1. Судалгааны загварыг сонгох
2. Статистик боловсруулалт...
© Boardworks Ltd 200689 of 58
СИСТЕМ АЛДАА
Сонголтын алдаа (Selection Bias)
– Тохиолдол-хяналтын судалгааны
хувьд: эмнэлэг...
© Boardworks Ltd 200690 of 58
СИСТЕМ АЛДАА
Мэдээллийн алдаа (Information Bias)
– Илрүүлэлтийн алдаа
– Оношлогооны алдаа
– ...
© Boardworks Ltd 200691 of 58
ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛИЙН
НӨЛӨӨ
Судалж буй хүчин зүйл ба өвчний хоорондын бодит
хамаарлыг гажу...
© Boardworks Ltd 200692 of 58
ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ БОЛОХ
НӨХЦӨЛ
1. Тухайн хүчин зүйл судалж буй өвчинтэй
тодорхой хамаарал...
© Boardworks Ltd 200693 of 58
ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ:
ЖИШЭЭ
Судалж буй
хүчин зүйл
Өвчин
Гуравдагч
хүчин зүйл
Жирэмсэн үедээ ...
© Boardworks Ltd 200694 of 58
ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ: ЖИШЭЭ
Тохиолдол Хяналт
Кофе хэрэглэдэггүй 450 400
Кофе хэрэглэдэг 50 1...
© Boardworks Ltd 200695 of 58
ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ:
ЖИШЭЭ
Тамхи татдаггүй Тамхи татдаг
Тохиолдол Хяналт Тохиолдол Хяналт
К...
© Boardworks Ltd 200696 of 58
ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛИЙН
НӨЛӨӨГ ХЯНАХ НЬ
• Төлөвлөлтийн шатанд:
– Санамсаргүй хуваарилалт
– Х...
© Boardworks Ltd 200697 of 58
САНАМСАРГҮЙ ХУВААРИЛАЛТ
(төлөвлөлтийн шат)
1. Бидэнд мэдэгдэж буй болон мэдэгдэхгүй
байгаа б...
© Boardworks Ltd 200698 of 58
ХЯЗГААРЛАЛТ (төлөвлөлтийн шат)
• Тохиолдол хяналтын судалгаа, кохорт
судалгаанд ашигладаг
• ...
© Boardworks Ltd 200699 of 58
ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА
(төлөвлөлтийн шат)
1. Тохиолдол хяналтын судалгаанд илүү
тохиромжтой
2. Гура...
© Boardworks Ltd 2006100 of 58
ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА
• Боловсруулалт хийх нь:
– Ердийн 2 х 2 хүснэгтээс өөр
– a, b, c, d нүднүүд...
© Boardworks Ltd 2006101 of 58
ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА
Бэрхшээлүүд:
– Үнэтэй бөгөөд цаг хугацаа их
зарцуулагдна
– Ижилсүүлэх болом...
© Boardworks Ltd 2006102 of 58
БҮЛЭГЛЭХ АРГА (боловсруулалтын
шат)
• Статистик боловсруулалтыг гуравдагч хүчин
зүйлд өртсө...
© Boardworks Ltd 2006103 of 58
ХАВСАРСАН НӨЛӨӨЛӨЛ
• Гуравдагч хүчин зүйл нь судалж буй хүчин
зүйл ба өвчний хоорондын хама...
© Boardworks Ltd 2006104 of 58
ГАДААД БА ДОТООД ХҮЧИН ТӨГӨЛДӨР
БАЙДАЛ
• Сонгосон Судалгааны Судалгааны
хүн ам хүн ам
дүн
•...
© Boardworks Ltd 2006105 of 58
Асуулт?
© Boardworks Ltd 2006106 of 58
Анхаарал хандуулсан
баярлалаа
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

статистик тархалт

7.079 Aufrufe

Veröffentlicht am

Түгээмэл хэрэглэгддэг статистик тархалтууд

Veröffentlicht in: Daten & Analysen
  • Dating direct: ♥♥♥ http://bit.ly/2u6xbL5 ♥♥♥
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier
  • Dating for everyone is here: ❤❤❤ http://bit.ly/2u6xbL5 ❤❤❤
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier
  • сайн байна уу? багшаа энэ хичээлийг татаж авахаар тавьж болохгүй юм уу
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier

статистик тархалт

  1. 1. © Boardworks Ltd 20061 of 58 Түгээмэл хэрэглэгддэг статистик тархалтууд
  2. 2. © Boardworks Ltd 20062 of 58 Яагаад тархалт чухал байдаг вэ? 1. Ихэнхи юмс үзэгдэл шинж чанарыг хувьд ойролцоо байдаг. 2. Тухайн үзэгдэлийн боломжит магадлал харилцан адилгүй байж болно.
  3. 3. © Boardworks Ltd 20063 of 58 Жишээ нь: Мозамбик улсын Maputo, Cuamba хотын хүн амын нийгэм эдийн засгийн судалгаа. Maputo Cuamba P Literate 1671/1789 (93%) 598/943 (63%) <0.0001 Access to toilet in the home 659/1785 (37%) 5/941 (1%) <0.0001 Access running water in the home 1068/1789 (60%) 67/942 (7%) <0.0001 Hunger in the past 3 months 378/1772 (21%) 343/935 (37%) <0.0001 Poverty 913/1772 (52%) 460/942 (49%) 0.18 Mean age of key informant (years) 32.2 (12.8,1795) 36.0 (14.4,888) <0.0001 Years of education 7.3±2,3 (1796) 3.6±2,0 (943) <0.0001 Number of rocms 2.6±1,0 (1796) 2.4±1,0 (943) <0.0001 Number of people 6.1±2,8 (1788) 5.2±2,5 (943) <0.0001 Crowing (number of people room) 2.6±1,5 (1781) 2.4±1,6 (912) 0.04
  4. 4. © Boardworks Ltd 20064 of 58 Жишээ: (үргэлжлэл) 1. Боловсролын түвшин ойролцоогоор хэвийн тархалттай байна гэж үзье. Тэгвэл Maputo хотын хүн амын дунд 10-с дээш жил боловсрол эзэмшсэн байх магадлалыг (тархалт) тооц. a) P(X>10) = 10-с дээш жил / нийт хүн ам ? Тэгвэл: Хэрхэн тооцох вэ?
  5. 5. © Boardworks Ltd 20065 of 58 Хэвийн тархалт
  6. 6. © Boardworks Ltd 20066 of 58 Хэвийн тархалт Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагч нь хязгааргүй олон эерэг тоон утгатай ч зарим тохиолдолд тодорхой интервал бүхий утгыг авч байдаг. Үүнийг дараах интервалаас харж болно. Нэг өдөрт суралцах хугацаа 0 63 9 1512 18 2421 Нэг өдөрт суралцах боломжит утга нь 0-24 цагийн хооронд байна. Тасралтгүй санамсаргүй хувьсагчын тархалтыг тасралтгүй магадлалт тархалт гэнэ.
  7. 7. © Boardworks Ltd 20067 of 58 Хэвийн тархалт Хамгийн түгээмэл ашиглагддаг магадлалт тархалт ~ Хэвийн тархалт Хэвийн тархалт нь: Х санамсаргүй хувьсагчын тасралтгүй магадлалт тархалтыг хэлнэ. Хэвийн тархалтын муруй ~ Давтамжын полигон Хэвийн тархалтын муруй x
  8. 8. © Boardworks Ltd 20068 of 58 Хэвийн тархалт Хэвийн тархалтыг тодорхойлох 1. Дундаж = Медиан = Моод 2. Хэвийн тархалтын муруй нь хонхон хэлбэртэй, тэгш хэмтэй. 3. Нийт дүрсийн талбай нь 1 тэнцүү. 4. Хэвийн тархалтын муруй нь Х тэнхлэгтэй огтлолцохгүй. 5. Хэвийн тархалт нь μ − σ ба μ + σ (муруйн төв хэсэг), мэдээллийн төв хэсэг оршино. Уг цэгийн хазайлтын цаг гэх бөгөөд мэдээллийн 5% оршино.
  9. 9. © Boardworks Ltd 20069 of 58 Хэвийн тархалт μ − 3σ μ + σμ − 2σ μ − σ μ μ + 2σ μ + 3σ Хазайлтын цэг Нийт талбай= 1 Х ~ тасралтгүй тоон хувьсагч µ - дундаж σ – стандарт хазайлт 2 2 ( ) 21 = 2 xμ σ y e σ π - - . = 2.178 = 3.14eπ x
  10. 10. © Boardworks Ltd 200610 of 58 Дундаж ба Хэлбэлзэл Хэвийн тархалт нь мэдээллийн шинж чанараас хамаараад өөр байна. Дундаж : μ = 3.5 Стандарт хазайлт : σ ≈ 1.3 Дундаж : μ = 6 Стандарт хазайлт : σ ≈ 1.9 Дундаж утга нь тэгш хэмийн шугамтэй давхцана Стандарт хазайлт нь мэдээллийн далайцыг илтгэнэ. Хазайлтын цэг Хазайлтын цэг 3 61 542 x 3 61 542 97 11108 x
  11. 11. © Boardworks Ltd 200611 of 58 Дундаж ба Хэлбэлзэл Жишээ нь: 1. Аль тархалтын дундаж илүү вэ? 2. Аль тархалт нь илүү хэлбэлзэлтэй вэ? 31 5 97 11 13 A B x
  12. 12. © Boardworks Ltd 200612 of 58 График ~ Тайлбар Жишээ нь: Эмч эмнэлгийн ажиллагсадын ажлын ачааллыг судлаж үзэхэд 2014 онд дотрын эмч 1 өвчтөнд зарцуулах хугацаа 8 минут байсан бол өмнөх онд хэд байсан бэ? μ = 8 σ ≈ 0.7 6 87 9 10 Хугацаа (минут) x
  13. 13. © Boardworks Ltd 200613 of 58 Хэвийн тархалт яагаад чухал вэ? • Олон үзэгдлүүд хэвийнтэй ойролцоогоор тархсан байдаг. Жишээ нь давсны хэрэглээ, өндөр, артерын даралт г.м • Статистикийн олон аргууд хэвийн тархалтаар тархсан олонлогт зориулагдсан байдаг. –Т тестүүд –ANOVA –Регрессийн шинжилгээ гэх мэт 13
  14. 14. © Boardworks Ltd 200614 of 58 Хэвийн тархалтыг шинжлэх 14 Графикийн аргууд Тоон аргууд Дескриптив Навч-ба-үндэс, box plot, гистограмм Skewness, Kurtosis Онол P-P plot Q-Q plot Kolmogorov- Smirnov test,
  15. 15. © Boardworks Ltd 200615 of 58 Стандарт нормал тархалт
  16. 16. © Boardworks Ltd 200616 of 58 −3 1−2 −1 0 2 3 z Стандарт нормал тархалт Стандарт нормал тархалт: 0 дундажтай 1 дисперстэй хэвийн тархалт Хэвтээ тэнхлэг дагуу z-scores. - -Value Mean = = . Standard deviation xμ z σ
  17. 17. © Boardworks Ltd 200617 of 58 Стандарт нормал тархалт Хэрэв санамсаргүй хуьсагч нь хэвийн тархалттай бол бүх утгыг z-оноо болгон хувиргах ба үр дүн нь стандарт нормал тархалт байна. Z оноонд харгалзах магадлалт тархалтын утгыг Хавсралт В харна. −3 1−2 −1 0 2 3 z
  18. 18. © Boardworks Ltd 200618 of 58 Стандарт нормал тархалт Стандарт нормал тархалтыг үнэлэх 1. Тархалтын доод хил 0 байх ба түүн харгалзах оноо z = −3.49 байна. 2. Тархалтын хувь нэмэгдэхэд z-оноо мөн нэмэгдэнэ. 3. z = 0 үед нийт тархалтын 0.5000 буюу 50% оршино. 4. Tархалтын дээд хил 1 байх ба түүнд харгалзах оноо z = 3.49 байна. z = −3.49 Area is close to 0. z = 0 Area is 0.5000. z = 3.49 Area is close to 1. z −3 1−2 −1 0 2 3
  19. 19. © Boardworks Ltd 200619 of 58 Жишээ: • Судалгаанд оролцогчдын дундаж даралт 80, стандарт хазайлт 12 байсан гэвэл эдгээр хүмүүсийн диастолын даралт нь хөнгөн зэргийн даралт ихсэлт байх магадлалыг тооц. %5.15 155.0 7977.09522.0 )83.0()67.1( )67.183.0Pr( ) 12 80100 12 8090 Pr()10090Pr( =− =Φ−Φ =<< = − << − =<< x xx
  20. 20. © Boardworks Ltd 200620 of 58 Стандарт нормаль тархалт Жишээ: Z=2.71 үе дэх тархалтыг олох. z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 Зүүн алын баганаас харгалзах Z-оноог олно. Мөрийн дагуу 0.01 байхаар сонгоно. Зүүн талт утга z = 2.71 үед 0.9966. Appendix B: Standard Normal Table
  21. 21. © Boardworks Ltd 200621 of 58 Стандарт нормаль тархалт Жишээ: z-оноо −0.25 үе дэх тархалтыг олох z .09 .08 .07 .06 .05 .04 .03 .02 .01 .00 −3.4 .0002 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 −3.3 .0003 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0005 .0005 .0005 Зүүн талын бага дахь утгыг харах Z= −0.2 , Мөрийн дагуу 0.05 байхаар харна. Зүүн талт утгаz = −0.25 is 0.4013 −0.3 .3483 .3520 .3557 .3594 .3632 .3669 .3707 .3745 .3783 .3821 −0.2 .3859 .3897 .3936 .3974 .4013 .4052 .4090 .4129 .4168 .4207 −0.1 .4247 .4286 .4325 .4364 .4404 .4443 .4483 .4522 .4562 .4602 −0.0 .4641 .4681 .4724 .4761 .4801 .4840 .4880 .4920 .4960 .5000 Appendix B: Standard Normal Table
  22. 22. © Boardworks Ltd 200622 of 58 Тархалтыг үнэлэх 1. Стандарт нормаль тархалтын муруйн доод магалалыг тооцох. a. To find the area to the left of z, find the area that corresponds to z in the Standard Normal Table. 1. Use the table to find the area for the z-score. 2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907. 1.230 z
  23. 23. © Boardworks Ltd 200623 of 58 Магадлалыг тооцох Finding Areas Under the Standard Normal Curve b. To find the area to the right of z, use the Standard Normal Table to find the area that corresponds to z. Then subtract the area from 1. 3. Subtract to find the area to the right of z = 1.23: 1 − 0.8907 = 0.1093. 1. Use the table to find the area for the z-score. 2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907. 1.230 z
  24. 24. © Boardworks Ltd 200624 of 58 Finding Areas Under the Standard Normal Curve c. To find the area between two z-scores, find the area corresponding to each z-score in the Standard Normal Table. Then subtract the smaller area from the larger area. Guidelines for Finding Areas 4. Subtract to find the area of the region between the two z- scores: 0.8907 − 0.2266 = 0.6641. 1. Use the table to find the area for the z-score. 3. The area to the left of z = −0.75 is 0.2266. 2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907. 1.230 z −0.75
  25. 25. © Boardworks Ltd 200625 of 58 Магадлалыг тооцох Жишээ: z = −2.33 дээш байх магадлалыг тооц Стандарт нормаль тархалтын хүснэгтээс харвал 0.0099 байна. Тархалтын муруйг байгуулах ! −2.33 0 z
  26. 26. © Boardworks Ltd 200626 of 58 Магадлалыг тооцох Жишээ: Нормаль тархалтын утга нь z = 0.94 дээш байх магадлалыг тооцох. Тархалтын муруйг байгуулах 0.8264 1 − 0.8264 = 0.1736 0.940 z
  27. 27. © Boardworks Ltd 200627 of 58 Магадлалыг тооцох Жишээ: Нормаль тархалтын утга z = −1.98 z = 1.07 хооронд байх магадлалыг тооцох. Тархалтын муруйг байгуулах 0.8577 − 0.0239 = 0.8338 0.8577 0.0239 1.070 z −1.98
  28. 28. © Boardworks Ltd 200628 of 58 Хэвийн тархалт: Магадлал
  29. 29. © Boardworks Ltd 200629 of 58 Магадлал ба Хэвийн тархалт Нийслэлийн өргөө амаржих газарт төрж буй хэвийн төрөлтийн давтамж нь хэвийн тархалттай байдаг гэвэл хоногт 15 доош хэвийн төрөлт тохиолдох магадлалыг ол. P(x < 15) μ = 10 σ = 5 15μ =10 x
  30. 30. © Boardworks Ltd 200630 of 58 Магадлал ба Хэвийн тархалт Ижил төстэй P(x < 15) = P(z < 1) 15 доош хэвийн төрөлт тохиолдох магадлал = 0.8413 15μ =10 P(x < 15) μ = 10 σ = 5 Хэвийн тархалт x 1μ =0 μ = 0 σ = 1 Стандарт нормал тархалт z P(z < 1)
  31. 31. © Boardworks Ltd 200631 of 58 Жишээ: Оюутнуудын статистикийн тестийн дундаж оноо 78 стандарт хазайлт 8. Хэрэв шалгалтын оноо хэвийн тархалттай байдаг гэвэл шалгалтанд 90 доош оноо авах магадлалыг ол. Магадлал ба Хэвийн тархалт P(x < 90) = P(z <1.5) = 0.9332 - = 90-78 = 8 xμ z σ = 1.5 μ =0 z ?1.5 90μ =78 P(x < 90) μ = 78 σ = 8 x
  32. 32. © Boardworks Ltd 200632 of 58 Жишээ: Хэрэв оюутнуудыг шалгалтын дундаж оноо 78 стандарт хазайлт нь 8 байдаг гэвэл санамсаргүй нэг оюутан сонгоход 85 дээш оноо авсан байх магадлал хэд байх вэ? (шалгалтын оноо хэвийн тархалттай) Магадлал ба Хэвийн тархалт P(x > 85) = P(z > 0.88) = 1 − P(z < 0.88) = 1 − 0.8106 = 0.1894 85-78 = = 8 x -μ z σ ≈= 0.875 0.88 μ =0 z ?0.88 85μ =78 P(x > 85) μ = 78 σ = 8 x
  33. 33. © Boardworks Ltd 200633 of 58 Жишээ: Хэрэв оюутны шалгалын дундаж оноо 78 стандарт хазайлт нь 8 байсан гэвэл 60-с 80 хооронд үнэлгээ авсан байх магадлал хэд байх вэ? (шалгадтыг оноо хэвийн тахалттай) Магадлал ба Хэвийн тархалт P(60 < x < 80) = P(−2.25 < z < 0.25) = P(z < 0.25) − P(z < −2.25) - - 1 60 78 = = 8 xμ z σ -= 2.25 2 - - = 80 78 = 8 xμ z σ = 0.25 μ =0 z ?? 0.25−2.25 = 0.5987 − 0.0122 = 0.5865 60 80μ =78 P(60 < x < 80) μ = 78 σ = 8 x
  34. 34. © Boardworks Ltd 200634 of 58 Хэвийн тархалт: Критик утга үнэлэх
  35. 35. © Boardworks Ltd 200635 of 58 Z оноог тооцоолох Жишээ: Тархалтын утга нь 0.9973 байх Z оноог ол. z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 1. Стандарт тархалтын хүснэгтээс тархалтын утгыг олно. 2. Багана болон мөрийн дагуу критик утгыг харна. z-оноо 2.78. Appendix B: Standard Normal Table 2.7 .08
  36. 36. © Boardworks Ltd 200636 of 58 Жишээ: Бага ангийн сурагчдын цүнхий дундаж жин 1.25 стандарт хазайл 0.1 бүхий хэвийн тархалттай байдаг. Нийт сурагчдын 8 хүртэлх хувь нь хэдэн кг жин байх вэ? =xμ+ zσ? 0 z 8% P(z < ?) = 0.08 P(z < −1.41) = 0.08 −1.41 1.25 x ? 1.25 ( 1.41)0.1= + − = 1.11 1.11
  37. 37. © Boardworks Ltd 200637 of 58 Бином тархалт
  38. 38. © Boardworks Ltd 200638 of 58 Бодит амьдрал дээрх ихэнхи юмс үзэгдэлийг статистик тархалтын тусламжтайгаар загварчилж болдог. Үүнд: Статистик тархалтын хэрэглээ Нийт насанд хүрэгчдийн дунд 120-с дээш IQ-тэй хүн амын эзлэх хувийг тооц? Стастистик мэдээллээс харахад мотоциклтой холбоотой осол гэмтэл 2 өдөр дундажаар 1 удаа тохиолддог байна. Тэгвэл 7 хоногт хэдэн удаа тохиолдох вэ? Нийт хүн амын 12% нь зүүн гартай байдаг. Нэг ангийн 30 оюутанаас 6 нь зүүн гартай байх магадлал хэд байх вэ?
  39. 39. © Boardworks Ltd 200639 of 58 Бином тархалт нь дараах нөхцөлтэй байна: Бином тархалт Томъёо: X ~ B(n , p). Туршилтаас гарах үр дүн тоологдом (n) Туршилтаас гарах үр дүн бие биеэсээ үл хамаарах 2 эсрэг утга бүхий үр дүн Туршилт бүр дэх үр дүнгийн магадлал тогтмол (p) n ба p параметр
  40. 40. © Boardworks Ltd 200640 of 58 Дараах тохиодолоос аль нь бином тархалтаар загварчлагдах вэ? Binomial Not binomial Binomial Бином тархалт Жон шалгалтын явцад 40 асуултаас санамсаргүйгээр сонгох ба асуултанд буруу хариулах магадлал. А цүнхэд 6 цэнхэр 8 ногоон бөмбөлөг байсан бол санамсаргүйгээр 5 бөмбөлөг сонгоход бүгд цэнхэр байх магадлал. Цүхнэд 6 цэнхэр 8 ногоох бөмбөлөг байсан. Санамсаргүйгээр 5 бөмбөлөг сонгоход цэнхэр өнгийн бөмбөлөг гарах магадлал Үр дүн үл хамаарах биш 1 2 3
  41. 41. © Boardworks Ltd 200641 of 58 Дараах мэдээллээс аль нь Бином тархалттай вэ? Not binomial Not binomial Binomial Бином тархалт Шоог 6 буух хүртэл орхижээ. Хэдэн удаа орхиход 6 буух вэ? А зам дээрх хурд хэтрүүлэн явж буй жолоочын тоо. Жош 10 хүүхэдтэй. Охинтой байх магадлал. 1 2 3 Туршилтын тоо тодорхой бус Туршилтын тоо тодорхой биш
  42. 42. © Boardworks Ltd 200642 of 58 Хэрэв X ~ B(n , p), буюу үүнд q = 1 – p. Бином тархалт ( ) , , ,...P for 0 1 2n x n x xX x C p q x n− = = = ( ) . . .12 1 11 1P 1 0 4 0 6 0 01741X C= = × × = ( ) . . .12 3 9 3P 3 0 4 0 6 0 142X C= = × × = Number of possible sequences Probability of x successes Probability of n – x failures ( ) . . . .12 0 12 12 0P 0 0 4 0 6 0 6 0 00218X C= = × × = = P(X > 1) = 0.980 a) b) P(X > 1) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1). Жишээ: X ~ B(12, 0.4). a) P(X = 3) b) P(X > 1).
  43. 43. © Boardworks Ltd 200643 of 58 Бином тархалт ( ) . . .10 4 6 4P 4 0 51 0 49 0 197X C= = × × =a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . . . . . . . 10 8 2 10 9 10 8 9 P 8 P 8 P 9 P 10 0 51 0 49 0 51 0 49 0 51 0 04945 0 01144 0 0011 0 21 9 06 X X X X C C ≥ = = + = + = = × × + × × + = + + = Жишээ: Хэрэв эрэгтэй хүүхэд төрөх магадлал 0.51 байдаг. Тэгвэл 10 хүүхэдтэй айлд: a) 4 хүүхэд нь эрэгтэй байх; b) Доод тал нь 8 эрэгтэй хүүхэдтэй байх .
  44. 44. © Boardworks Ltd 200644 of 58 40-с дээш насны эмэгтэйчүүдийн дундах чихрийн шижингийн тархалт 0.25 хувьтай гэвэл санамсаргүйгээр 16 хүн сонгоход хэдэн хүн илрэх вэ? Жишээ: Хэрэв X ~ B[16, 0.25], үед E[X] = 16 × 0.25 = 4 ба Var[X] = 16 × 025 × 0.75 = 3 Х санамсаргүй хувьсагч бином тархалттай болX ~ B(n, p), E[X] = np Ба Var[X] = np(1 – p) = npq. Бином тархалтын дундаж ба хэлбэлзэл E[X] засварлагдсан дундаж буюу хазайлтгүй үнэлгээ.
  45. 45. © Boardworks Ltd 200645 of 58 0-5 хүртэлх насны хүүдүүдийн дундах осол гэмтэлд өртөх магадлал 0.3) байдаг Тэгвэл: B(10, 0.3) Магадлалын утга өсөн нэмэгдэх байна P(X ≤ x). Бином тархалтын магадлалын хүснэгт x P(X ≤ x) 0 0.0824 1 0.3294 2 0.6471 3 0.8740 4 0.9712 5 0.9962 6 0.9998 7 1.0000 P(X ≤ 5) = 0.9962 P(X = 4) = P(X ≤ 4) – P(X ≤ 3) = 0.9712 – 0.8740 = 0.0972 P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0.6471 = 0.3529
  46. 46. © Boardworks Ltd 200646 of 58 Жишээ: Хүн амын дундах сүрьеэгийн халдвар хүн тутмын 1 тохиолддог. Хэрэв санамсаргүйгээр 20 хүн сонгоход халдвартай байх магадлалыг тооц. a)Халдавртай 3 тохиолдол илрэх; b) 6 буюу түүнээс дээш халдвар илрэх Бином тархалтыгн хүснэгт ашиглах: B(20, 0.25) a) P(X = 3) = P(X ≤ 3) – P(X ≤ 2) = 0.2252 – 0.0913 = 0.1339 b) P(X ≥ 6) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 – 0.6172 = 0.3828 Бином тархалтын магадлал x P(X ≤ x) 0 0.0032 1 0.0243 2 0.0913 3 0.2252 4 0.4148 5 0.6172 6 0.7858 … …
  47. 47. © Boardworks Ltd 200647 of 58 Пуассоны тархалт
  48. 48. © Boardworks Ltd 200648 of 58
  49. 49. © Boardworks Ltd 200649 of 58
  50. 50. © Boardworks Ltd 200650 of 58
  51. 51. © Boardworks Ltd 200651 of 58 Жишээ Хэрэв Баруун Нилийн халуурал сар тутамд 2 хүнд тохиолддог гэвэл 1000 хүнд 0,1,2,3,4,5,6 тохиолдол илрэх магадлалыг тооц
  52. 52. © Boardworks Ltd 200652 of 58
  53. 53. © Boardworks Ltd 200653 of 58
  54. 54. © Boardworks Ltd 200654 of 58
  55. 55. © Boardworks Ltd 200655 of 58 1) 15 минутын хугацаанд зөрж өнгөрөх авто машины тоо. Could be Poisson Poisson Not Poisson 2) Минутанд алдагдах цацраг идэвхит бодисын хэмжээ. 3) Нэг өдөр эмнэлгээс гарах хог хаягдалын хэмжээ. Пуассоны тархалт
  56. 56. © Boardworks Ltd 200656 of 58 4) 1мл усан дахь бохирдолын хэмжээ. 5) Шалгалтын тестэнд алдаатай хариулах тохиолдол. 6) Х өдөрт гарах зам тээврийн ослын тоо. Could be Poisson Could be Poisson Not Poisson Пуассоны тархалт
  57. 57. © Boardworks Ltd 200657 of 58 X ~ Po(λ), үед x = 0, 1, 2, 3, … ! P( = ) = x e X x x −λ λ Магадлалыг тооцоолох ( ) ! 0.85 3 0.85 P = 3 = 3 e X − × = 0.0437 Чихрийн шижинтэй хүмүүсийн хувьд 100 хүн тутмын 85 нь олдмолоор тохиолдсон байдаг бол Тэгвэл X ~ Po(0.85). байх P(X = 3).
  58. 58. © Boardworks Ltd 200658 of 58 P(X > 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2). . . ! 0 85 0 0 85 P( = 0) = 0 e X − × Тэгвэл, P(X > 2) = 1 – 0.9451 = 0.0549 = 0.4274 . . ! 0 85 1 0 85 P( =1) = 1 e X − × = 0.3633 Магадлалыг тооцоолох . . ! 0 85 2 0 85 P( = 2) = 2 e X − × = 0.1544 X ~ Po(0.85). үед P(X > 2).
  59. 59. © Boardworks Ltd 200659 of 58 a) Дээрх мэдээлэл Пуассоны тархалттай байдаг гэвэл: (i) 4 дуудлага; (ii)2-с дээш дуудлага. Яаралтай түргэн тусламжын төвд 1 минутанд дундажаар 1.75 дуудлага ирдэг байнабайдаг. Магадлалыг тооцоолох
  60. 60. © Boardworks Ltd 200660 of 58 a) X = нэг минутанд ирэх дуудлагын тоо. X ~ Po(1.75). P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) Магадлалыг тооцоолох . . ! 1 75 4 1 75 P( = 4) = 4 e X − × . . ( ) ! 1 75 0 1 75 P 0 0 e X − × = = Тэгвэл, P(X ≤ 2) = 0.744 = 0.0679 = 0.1738 . . ( ) ! 1 75 1 1 75 P 1 1 e X − × = = = 0.3041 . . ( ) ! 1 75 2 1 75 P 2 2 e X − × = = = 0.2661
  61. 61. © Boardworks Ltd 200661 of 58 Binomial distributions Mean and variance of a binomial Use of binomial tables The Poisson distribution Poisson tables Mean and variance Approximating a binomial by a Poisson Contents © Boardworks Ltd 200661 of 58 Poisson tables
  62. 62. © Boardworks Ltd 200662 of 58 Tables of probabilities exist for many Poisson distributions. The tables are cumulative, that is they give P(X ≤ x). Пуассон тархалт λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x = 0 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 x = 1 0.9098 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 x = 2 0.9856 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 x = 3 0.9982 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 x = 4 0.9998 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 x = 5 1.0000 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 x = 6 1.0000 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 If X ~ Po(1.5), P(X ≤ 4) = 0.9814
  63. 63. © Boardworks Ltd 200663 of 58 If X ~ Po(1.5), P(X = 2) = P(X ≤ 2) – P(X ≤ 1) = 0.8088 – 0.5578 = 0.251 λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x = 0 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 x = 1 0.9098 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 x = 2 0.9856 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 x = 3 0.9982 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 x = 4 0.9998 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 x = 5 1.0000 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 x = 6 1.0000 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 Poisson tables
  64. 64. © Boardworks Ltd 200664 of 58 If Y ~ Po(2), P(Y > 1) = P(Y = 2, 3, 4, …) = 1 – P(Y ≤ 1) = 1 – 0.4060 = 0.594 λ 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x = 0 0.6065 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 x = 1 0.9098 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 x = 2 0.9856 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 x = 3 0.9982 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 x = 4 0.9998 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 x = 5 1.0000 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 x = 6 1.0000 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 Poisson tables
  65. 65. © Boardworks Ltd 200665 of 58 a) Calculate the probability that i) more than 10 customers will arrive in a 15 minute interval; ii) exactly 2 customers will arrive in a 1 minute interval. b) Find the time interval such that the probability of no customers arriving during that interval is 0.2. Examination-style question A corner shop has on average 18 customers per hour. Assume that a Poisson distribution is appropriate. Examination-style question
  66. 66. © Boardworks Ltd 200666 of 58 a) Let X1 be the random variable for the number of customers arriving in a 15 minute interval. X1 ~ Po(18 ÷ 4), so X1 ~ Po(4.5). P(X1 > 10) = 1 – P(X1 ≤ 10) = 1 – 0.9933 (using tables) = 0.0067 = 0.9964 – 0.9631 (from tables) Let X2 be the random variable for the number of customers arriving in a 1 minute interval. X2 ~ Po(18 ÷ 60), so X2 ~ Po(0.3). P(X2 = 2) = P(X2 ≤ 2) – P(X2 ≤ 1) = 0.0333 Examination-style question
  67. 67. © Boardworks Ltd 200667 of 58 b) Let Y be the number of customers arriving in an interval of length t minutes. ! 0.3 0 0.3(0.3 ) = 0 t te t e − − 0.3 = 0.2t e− Then Y ~ Po(18t ÷ 60), so Y ~ Po(0.3t). From the question, P(Y = 0) = 0.2 We can find P(Y = 0) in terms of t: P(Y = 0) = Examination-style question t−0.3 =ln0.2 t − ln0.2 = 0.3 = 5.36 minutes
  68. 68. © Boardworks Ltd 200668 of 58 Binomial distributions Mean and variance of a binomial Use of binomial tables The Poisson distribution Poisson tables Mean and variance Approximating a binomial by a Poisson Contents © Boardworks Ltd 200668 of 58 Mean and variance
  69. 69. © Boardworks Ltd 200669 of 58 Suppose that X ~ Po(λ). It can be shown that the mean and variance of X are equal: This result provides us with a useful, informal way to test whether a variable could be modelled by a Poisson distribution. E(X) = Var(X) = λ Mean and variance
  70. 70. © Boardworks Ltd 200670 of 58 Example: The table below shows the number of goals scored by each team in matches in the Premiership during the period from August 21st to September 12th 2005. Mean and variance r 0 1 2 3 4 5 or more Frequency, f 21 19 10 3 3 0 Calculate the values of the mean and variance of this data. Discuss whether these values support the use of a Poisson distribution as a model for the data.
  71. 71. © Boardworks Ltd 200671 of 58 Now calculate the variance: It can be seen that the mean and the variance are approximately equal, suggesting that a Poisson distribution might be a suitable model for this data. Mean and variance 2 2 2 2 =(0 ×21)+(1 ×19)+...+(4 ×3) =134x f∑ 2 221 134 60 Variance = n 56 56 x f x   − = − ÷   ∑ The mean of the data is: = 1.245 (4 s.f.) (0×21)+(1×19)+(2×10)+(3×3)+(4×3) 60 = = =1.071 56 56 x
  72. 72. © Boardworks Ltd 200672 of 58 Using a Poisson distribution with the same mean as the data, calculate the theoretical frequencies for 0, 1, 2, 3, 4, or at least 5 goals in a match. Fitting a Poisson model to data r 0 1 2 3 4 5 or more Frequency, f 21 19 10 3 3 0 It is possible to fit a Poisson model to a set of data. The table below shows the number of goals scored by each team in matches in the Premiership during the period from August 21st to September 12th 2005.
  73. 73. © Boardworks Ltd 200673 of 58 . . ! ! 1 071 0 1 071 P( 0) 0 r e e X r λ λ− − = = = . . . ! 1 071 1 1 071 P( =1) = = 0 3670 (4 s.f.) 1 e X − . . . ! 1 071 2 1 071 P( = 2) = 0 1965 (4 s.f.) 2 e X − = Let X represent the number of goals scored by a team in a Premiership match. The mean of the data was 1.071 goals per match. We therefore adopt a Po(1.071) distribution to model X. If X is the random variable for the number of goals scored: = 0.3427 (4 s.f.) etc… Fitting a Poisson model to data
  74. 74. © Boardworks Ltd 200674 of 58 Fitting a Poisson model to data x P(X = x) Expected frequencies 0 0.3427 1 0.3670 2 0.1965 3 0.0702 4 0.0188 5 or more 0.0048 P(X ≥ x) is found by subtracting the sum of the other probabilities from 1.
  75. 75. © Boardworks Ltd 200675 of 58 0.0048 x P(X = x) Expected frequencies 0 0.3427 19.2 1 0.3670 20.6 2 0.1965 11.0 3 0.0702 3.9 4 0.0188 1.1 5 or more 0.3 Fitting a Poisson model to data The expected frequencies can be found by multiplying the probabilities by the total frequency, i.e. 56.
  76. 76. © Boardworks Ltd 200676 of 58 x f Expected frequencies 0 21 19.2 1 19 20.6 2 10 11.0 3 3 3.9 4 3 1.1 5 or more 0 0.3 We can see that these expected frequencies are quite close to the frequencies that were actually observed, which suggests that the Poisson distribution appears to be a reasonable model for the data. Fitting a Poisson model to data
  77. 77. © Boardworks Ltd 200677 of 58 Binomial distributions Mean and variance of a binomial Use of binomial tables The Poisson distribution Poisson tables Mean and variance Approximating a binomial by a Poisson Contents © Boardworks Ltd 200677 of 58 Approximating a binomial by a Poisson
  78. 78. © Boardworks Ltd 200678 of 58 Approximating a binomial by a Poisson
  79. 79. © Boardworks Ltd 200679 of 58 The previous activity showed that there are circumstances when a Poisson distribution provides a good approximation to a binomial distribution. If X ~ B(n, p), then X can reasonably be approximated by a Poisson distribution with mean np if Two frequently used rules of thumb are n is large, and p is small. n > 50 and np < 5, or n > 50 and p < 0.1. Approximating a binomial by a Poisson Note: It is sometimes convenient to approximate a binomial with a Poisson distribution because it is slightly easier to calculate probabilities using a Poisson distribution.
  80. 80. © Boardworks Ltd 200680 of 58 A drug manufacturer has found that 2% of patients taking a particular drug will experience a particular side-effect. A hospital consultant prescribes the drug to 150 of her patients. Using a suitable approximation calculate the probability that: a) None of her patients suffer from the side-effects. b) No more than 5 suffer from the side-effects. Approximating a binomial by a Poisson
  81. 81. © Boardworks Ltd 200681 of 58 The exact distribution of X is B(150, 0.02). ! 3 0 3 0 e− × Let X represent the number of patients experiencing these side-effects. Since n is large and p is small, X ≈ Po(150 × 0.02) So, X ≈ Po(3). a) P(X = 0) = = 0.0498 (3 s.f.) b) P(X ≤ 5) = 0.9161 (directly from tables). Approximating a binomial by a Poisson
  82. 82. © Boardworks Ltd 200682 of 58 Examination-style question: The probability that a directory enquiry service gives out the correct phone number has been estimated to be 0.975. a) Sabah requires 10 phone numbers. Find the probability that the service gives her at least 9 correct numbers. b) A large organisation requests 140 phone numbers. Find the probability that more than 135 of them are given out correctly. Examination-style question
  83. 83. © Boardworks Ltd 200683 of 58 . .10 9 9P( = 9) = 0 975 (1 0 975)X C × × − Examination-style question 10 10 0 10P( =10) = 0.975 (1 0.975)X C × × − So, P(X ≥ 9) = 0.1991 + 0.7763 .= 0 1991 = 0.7763 = 0.9754 a) Let X be the random variable for the number of correct phone numbers given to Sabah. Then X ~ B(10, 0.975). P(X ≥ 9) = P(X = 9) + P(X = 10).
  84. 84. © Boardworks Ltd 200684 of 58 Судалгааны явцад анхаарах зүйлс 1. Судлах зүйл тодорхой эсэх 2. Түүвэр хүн амын төлөөлөх чадвар 3. Мэдээ материал цуглуулах арга зөв эсэх 4. Мэдээллийг үнэлэх арга зам байгаа эсэх 5. Дата шивэлт зөв эсэх 6. Тайлан бичилт 84
  85. 85. © Boardworks Ltd 200685 of 58 Судалгаа үндсэн зарчим 85
  86. 86. © Boardworks Ltd 200686 of 58 Түүвэрлэлт холбоотой алдаа ТӨЛӨӨЛӨХ ЧАДВАР Судлагдахууны үр нөлөөг үнэлэхэд түүврийн хэмжээ хүрч байгаа эсэх Шалгах арга: Урьдчилсан судалгаа (Pilot study) явуулах
  87. 87. © Boardworks Ltd 200687 of 58 Аргачлалын зөрүү Харьцуулсан (үндэслэл бүхий судалгаа) судалгааны үед өмнөх судалгааны арга загвар өөр байх. Үүнд: – Мэдээллийг үнэлэх арга өөр – Стандарт, дүрэм журманд өөрчлөлт орох – Түүврийн тоо хангалтгүй байх
  88. 88. © Boardworks Ltd 200688 of 58 СИСТЕМ АЛДАА Системтэй алдаа (bias) 1. Судалгааны загварыг сонгох 2. Статистик боловсруулалтын явцад 3. Хүчин зүйл ба өвчний хоорондын хамааарлыг гажуудуулж, буруу тодорхойлоход хүргэдэг алдаа.
  89. 89. © Boardworks Ltd 200689 of 58 СИСТЕМ АЛДАА Сонголтын алдаа (Selection Bias) – Тохиолдол-хяналтын судалгааны хувьд: эмнэлэгт хэвтэж буй өвчтөнүүдийг хяналтын бүлэгт сонгон оруулах – Кохорт судалгааны хувьд: сайн дураар оролцогсод
  90. 90. © Boardworks Ltd 200690 of 58 СИСТЕМ АЛДАА Мэдээллийн алдаа (Information Bias) – Илрүүлэлтийн алдаа – Оношлогооны алдаа – Эргэн санах алдаа – Ангилалын алдаа
  91. 91. © Boardworks Ltd 200691 of 58 ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛИЙН НӨЛӨӨ Судалж буй хүчин зүйл ба өвчний хоорондын бодит хамаарлыг гажуудуулах нөлөө бүхий гуравдагч хүчин зүйл (confounding) Шалтгааны хамаарал Хүчин зүйл Өвчин Гуравдагч хүчин зүйл
  92. 92. © Boardworks Ltd 200692 of 58 ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ БОЛОХ НӨХЦӨЛ 1. Тухайн хүчин зүйл судалж буй өвчинтэй тодорхой хамааралтай (өөр нэг шалтгаан нь ч байж болно) 1. Судалж буй хүчин зүйлтэй тодорхой хэмжээгээр холбоотой боловч түүнээс шууд шалтгаалахгүй
  93. 93. © Boardworks Ltd 200693 of 58 ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ: ЖИШЭЭ Судалж буй хүчин зүйл Өвчин Гуравдагч хүчин зүйл Жирэмсэн үедээ кофе ихээр уух Бага жинтэй хүүхэд төрүүлэх Тамхи Эстероген орлуулах Хөхний хавдар Нас Хар тугалга Оюуны хомсдол Эмзэг бүлэг Агаарын бохирдол Уушгины хавдар Тамхи
  94. 94. © Boardworks Ltd 200694 of 58 ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ: ЖИШЭЭ Тохиолдол Хяналт Кофе хэрэглэдэггүй 450 400 Кофе хэрэглэдэг 50 100
  95. 95. © Boardworks Ltd 200695 of 58 ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛ: ЖИШЭЭ Тамхи татдаггүй Тамхи татдаг Тохиолдол Хяналт Тохиолдол Хяналт Кофе хэрэглэдэггүй 75 150 375 230 Кофе хэрэглэдэг 25 80 25 20
  96. 96. © Boardworks Ltd 200696 of 58 ГУРАВДАГЧ ХҮЧИН ЗҮЙЛИЙН НӨЛӨӨГ ХЯНАХ НЬ • Төлөвлөлтийн шатанд: – Санамсаргүй хуваарилалт – Хязгаарлалт – Ижилсүүлэх • Боловсруулалтын шатанд – Бүлэглэн боловсруулалт хийх – Тохируулга хийх – Олон хүчин зүйлийн анализ (multivariate)
  97. 97. © Boardworks Ltd 200697 of 58 САНАМСАРГҮЙ ХУВААРИЛАЛТ (төлөвлөлтийн шат) 1. Бидэнд мэдэгдэж буй болон мэдэгдэхгүй байгаа бүх хүчин зүйлийн хувьд судалгааны бүлгүүд хоорондоо төстэй болно 2. Гэвч зөвхөн туршилтын судалгаанд ашиглах боломжтой
  98. 98. © Boardworks Ltd 200698 of 58 ХЯЗГААРЛАЛТ (төлөвлөлтийн шат) • Тохиолдол хяналтын судалгаа, кохорт судалгаанд ашигладаг • Судалгаанд орсон бүх хүн тухайн хүчин зүйлийн нөлөөний хувьд ижил байх (дан тамхи татдаггүй хүмүүс гм) • Бэрхшээл: – Судалгаанд хамрагдах хүний тоо цөөрнө – Үр дүнг нийт хүн амд хамаатуулах боломжгүй – Зөвхөн урьдчилан тодорхойлсон хүчин зүйлүүдийг хянах боломжтой – “Хавсарсан нөлөөлөл” үзэгдлийг ажиглах боломжийг хязгаарладаг
  99. 99. © Boardworks Ltd 200699 of 58 ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА (төлөвлөлтийн шат) 1. Тохиолдол хяналтын судалгаанд илүү тохиромжтой 2. Гуравдагч хүчин зүйлийн нөлөөллийн хувьд тохиолдолтой яг ижил нэг ба түүнээс дээшхи хяналтын хүнийг сонгох арга 3. Тохиолдлын тоо цөөн үед судалгааны статистик ач холбогдлыг дээшлүүлнэ 4. Ялгааг илрүүлэх чадварыг нэмэгдүүлдэг
  100. 100. © Boardworks Ltd 2006100 of 58 ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА • Боловсруулалт хийх нь: – Ердийн 2 х 2 хүснэгтээс өөр – a, b, c, d нүднүүдэд хувь хүмүүс бус ижилсүүлсэн хосууд бичигднэ – OR=b/c
  101. 101. © Boardworks Ltd 2006101 of 58 ИЖИЛСҮҮЛЭХ АРГА Бэрхшээлүүд: – Үнэтэй бөгөөд цаг хугацаа их зарцуулагдна – Ижилсүүлэх боломжтой хүчин зүйлийн тоо хязгаарлагдмал – Ижилсүүлсэн хүчин зүйл, өвчний хоорондын хамаарлыг тогтоох боломжгүй – Хэт ижилсүүлэх аюултай
  102. 102. © Boardworks Ltd 2006102 of 58 БҮЛЭГЛЭХ АРГА (боловсруулалтын шат) • Статистик боловсруулалтыг гуравдагч хүчин зүйлд өртсөн байдлаар нь тус тусад нь тооцох • Хэрэв: – OR=OR1=OR2 Гуравдагч хүчин зүйл нөлөөлөөгүй – OR≠(OR1=OR2) Гуравдагч хүчин зүйл нөлөөлсөн – OR≠OR1≠OR2 Хавсарсан нөлөөлөл
  103. 103. © Boardworks Ltd 2006103 of 58 ХАВСАРСАН НӨЛӨӨЛӨЛ • Гуравдагч хүчин зүйл нь судалж буй хүчин зүйл ба өвчний хоорондын хамаарлын хүчийг өөрчилж байвал хавсарсан нөлөөлөл (effect modification) гэнэ. • Өөрөөр хэлбэл судалж буй хүчин зүйл ба өвчний хоорондын хамаарал гуравдагч хүчин зүйл нөлөөлсөн эсэхээс хамааран өөр байх • Хавсарсан нөлөөллийг илрүүлэх нь чухал ач холбогдолтой “нээлт” байж болно
  104. 104. © Boardworks Ltd 2006104 of 58 ГАДААД БА ДОТООД ХҮЧИН ТӨГӨЛДӨР БАЙДАЛ • Сонгосон Судалгааны Судалгааны хүн ам хүн ам дүн • Нийт хүн ам Дотоод Гадаад Гадаад
  105. 105. © Boardworks Ltd 2006105 of 58 Асуулт?
  106. 106. © Boardworks Ltd 2006106 of 58 Анхаарал хандуулсан баярлалаа

×