Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista

Fundamentos da Teoria da Computação
Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista
Sérgio Mariano Dias1
1
UFMG/ICEx/DCC
Entrega da 1a
lista: 31/03/2009
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação Entrega da 1a lista: 31/03/2009 1 / 48

Exercício no
1 - Faça deﬁnições recursivas das seguintes
linguagens, considerando a concatenação como a operação
básica no passo recursivo:
a) A = {00}∗{1}∗;
λ ∈ A
Se x ∈ A então 00x ∈ A e x1 ∈ A

Exercício no
b) B = {02n
1n
|n ∈ N};
λ ∈ B
Se x ∈ B então 00x1 ∈ B

Exercício no
c) C = {w ∈ {0,1}∗ |w é palíndromo};
λ,0,1 ∈ C
Se x ∈ C então 0x0 ∈ C e 1x1 ∈ C

Exercício no
d)D = {w ∈ {0,1}∗ |w contém 01}.
01 ∈ D
Se x ∈ D então 0x ∈ D, 1x ∈ D, x0 ∈ D e x1 ∈ D

Exercício no
2 - Perguntinhas:
a) Que palavras tem cada uma das linguagens a seguir?
/0 - nenhuma
/0∗ - somente λ
/0+
- nenhuma
{λ}∗ - somente λ
{λ}+
- somente λ
{0} - somente 0
{0}∗ - {0n
|n ≥ 0}
{0}+
- {0n
|n ≥ 1}

Exercício no
2 - Perguntinhas:
b) Em que situações L∗ é inﬁnita?
L∗ é inﬁnita se, e somente, se L = 0 e L = {λ}

Exercício no
2 - Perguntinhas:
c) Seja Σ = {a,b}. Explique que palavras pertencem a cada uma das
linguagens:
Σn
para cada n ≥ 0; que valor tem |Σn
|?
∑ = {w ∈ ∑∗
||w| = n}; |∑n
| = |∑|n
.
(Σ∪{λ})n
para cada n ≥ 0; que valor tem |(Σ∪{λ})n
|?
(∑∪{λ})n
= {w ∈ ∑∗
|0 ≤ |w| ≤ n}; |(∑∪{λ})n
| = ∑n
k=0(|∑|k
);

Exercício no
2 - Perguntinhas:
d) Sejam Σ = {a,b}, A = {a}Σ∗ e B = Σ+{b}. Descreva AA, A ∩B e
A −B.
AA = {ay|y ∈ {a,b}∗ e y contém a}
A ∩B = {axb|x ∈ {a,b}∗}
A −B = {w ∈ {a,b}∗|w começa e termina com a}

Exercício no
3 - Descreva as linguagens a seguir, todas
sobre o alfabeto {0,1}, usando apenas conjuntos ﬁnitos,
operações sobre conjuntos, concatenação e fecho de
Kleene. Procure obter uma descrição bem concisa.
a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11.
{0101,1010}

Exercício no
b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1.
{0}{0,1}∗{1}

Exercício no
c) O subconjunto das palavras de {0}∗{1}∗ com número par de 0s e
ímpar de 1s.
{00}∗{1}{11}∗

Exercício no
d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos.
{0,1}{0,1}{λ,0,1}8

Exercício no
e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas.
({1}∗{00}∪{0}∗{11}){0,1}∗

Exercício no
f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11.
{0,1}∗{00}{0,1}∗ - {0,1}∗{11}{0,1}∗

Exercício no
g) O conjunto das palavras que não contêm 00.
{0,1}∗ - {0,1}∗{00}{0,1}∗

Exercício no
h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
1s consecutivos.
{011,1}∗

Exercício no
i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
símbolos.
{1}∗ ∪{1}∗{0}{0,1}∗{11}

Exercício no
4 - Identiﬁque as linguagens que são geradas
pelas gramáticas a seguir:
a) G1 = ({P,X},{a,b},R1,P).
R1: P → aX |bP |λ
X → aP
{w ∈ {a,b}∗|w tem um número par de a s}

Exercício no
b) G2 = ({P},{0,1},R2,P).
R2: P → 0P1|1P0|λ
{x¯x|x ∈ {0,1}∗} (¯x é o complemento de x)

Exercício no
c) G3 = ({A,X},{0,1},R3,A).
R3: A → XA|X
X → 0X1|λ
n≥0{ak
bk
|k ≥ 1}n
XA
XXA
XXX
X0X1X
X00X11X
X0011X. . .

Exercício no
d) G4 = ({X,A,#},{a,b},R4,X).
R4: X → aAX |#
Aa → aA
Ab → bA
A# → b#a
# → λ
{an
bn
an
|n ≥ 0}
aAX
aA#
ab#a
aba

Exercício no
5 - Obtenha gramáticas para as seguintes
linguagens:
a) {0,1}∗.
P → oP|1P|λ

Exercício no
linguagens:
b) {0}∗{1}∗{0}∗.
P → ZUZ
Z → 0Z|λ
U → 1U|λ

Exercício no
linguagens:
c) {0}{11}∗{0,λ}.
P → 0DF
D → 11D|λ
F → 0|λ

Exercício no
linguagens:
d) {0}{0,1}∗ ∪{0,1}∗{1}.
Começa com 1 e termina com 0 ou é λ
P → 1A|λ
A → 1A|0B
B → 1A|0B|λ

Exercício no
linguagens:
e) {w ∈ {a,b,c}∗ | o número de a’s em w é par}.
P → λ|aI|bP|cP
I → aP|bI|cI

Exercício no
linguagens:
f) {am
bm+n+1
cn
|m,n ≥ 0}.
P → AbC
A → aAb|λ
C → bCc|λ

Exercício no
6 - Construa autômatos ﬁnitos determinísticos
(AFDs) que reconheçam as linguagens da questão 3.
Apresente apenas os diagramas de estados.
a) O conjunto das palavras de 4 símbolos sem 00 e sem 11.

Exercício no
b) O conjunto das palavras que começam com 0 e terminam com 1.

Exercício no
c) O subconjunto das palavras de {0}∗{1}∗ com número par de 0s e
ímpar de 1s.

Exercício no
d) O conjunto das palavras com dois a dez símbolos.

Exercício no
e) O conjunto das palavras que contêm 00 ou 11 ou ambas.

Exercício no
f) O conjunto das palavras que contêm 00, mas não 11.

Exercício no
g) O conjunto das palavras que não contêm 00.

Exercício no
h) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
1s consecutivos.

Exercício no
i) O conjunto das palavras em que todo 0 é seguido de pelo menos dois
símbolos.

Exercício no
7 -Construa autômatos ﬁnitos determinísticos
a) {w ∈ {0,1}∗ ||w| ≥ 2 e o penúltimo símbolo de w é 1}.

Exercício no
b) {w ∈ {0,1}∗ | o último símbolo de w é igual ao primeiro}.

Exercício no
c) {w ∈ {0,1}∗ | os três últimos símbolos de w não são 000}.

Exercício no
d) {w ∈ {0,1}∗ | em w o símbolo da posição 2i é diferente daquele na
posição 2i +2 para cada i ≥ 1}.

Exercício no
8 - Faça AFDs que reconheçam:
X = {w ∈ {0,1}∗ ||w| é par}. e Y = {w ∈ {0,1}∗ |w não
contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em
seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que
estados ﬁnais ele deve ter para reconhecer:

Exercício no
8 - Faça AFDs que reconheçam:
X = {w ∈ {0,1}∗ ||w| é par}. e Y = {w ∈ {0,1}∗ |w não
contém 00}. Bastam apenas os diagramas de estados. Em
seguida, obtenha o produto dos dois AFDs e explicite que
estados finais ele deve ter para reconhecer:
a) X ∩Y.
Final em X e final em Y.
b) X ∪Y.
final em X ou final em Y.
c) X −Y.
X ∩ ¯Y - Final em X e não é final em Y.
Estado inicial é o estado inicial de X e o estado inicial de Y - {SS}

Exercício no
9 -Sejam as linguagens L1 = {0n
1n
0n
|n ∈ N}
e L2 = {0n
0n
0n
|n ∈ N}. Mostre que existe AFD que
reconhece L2 e que não existe AFD que reconhece L1.
L1 - É preciso ter “memória” para reconhecer a linguagem.
L2 -

Exercício no
10 - Explique:
a) Para um estado e e uma palavra x, se ˆδ(e,x) = e, então ˆδ(e,xn
) = e
para todo n ≥ 0.
ˆδ(e,x) = e - processa x e para em e.
ˆδ(e,xn
) = e - processa x n vezes e para em e.
Todas as transições são deterministicas.

Exercício no
10 - Explique:
b) Se um AFD M reconhece uma palavra de tamanho maior ou igual ao
número de estados de M, então L(M) é inﬁnita.
A palavra é maior ou igual ao número de estados, logo M precisa possuir
um loop.
Pode se passar pelo loop inﬁnitas vezes.

Exercício no
10 - Explique:
c) Seja um AFD M. Se X ⊆ L(M), então pode ser que exista ou não M
tal que L(M ) = X. Dica: considere M como sendo um AFD que
reconheça {0,1}∗.
Reconhece: {λ}
Não reconhece: {0n
1n
|n ≥ 1 e n ∈ N}

Obrigado pela atenção e boa prova.

Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Mais de Sérgio Dias

Mais de Sérgio Dias (9)

Último

Último (20)

Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista