Radice quadrata di un numero complesso in forma algebrica (senza utilizzare l'argomento)

1. Dott. Santi Caltabiano
Radice quadrata di un numero complesso
Ci proponiamo di esprimere la radice quadrata di un numero complesso utilizzando la sua forma algebrica,
cioè senza utilizzare l’argomento (l’angolo).
Supponiamo di avere il numero complesso
= +
E di voler calcolare:
√
Utilizzando soltanto la parte reale e la parte immaginaria cioè a e b.
Sappiamo che un numero complesso può essere espresso in forma trigonometrica:
= + = ( + )
Dove:
= +
=
=
Dalla formula di De Moivre:
√ =
2
+ +
2
+
Per k=0,1. Adesso:
1. Applicando le formule di addizione
2. Osservando che = 0 per k=0 e k=1 pertanto gli addendi che moltiplicano tale fattore sono
nulli
3. Applicando le formule di bisezione.
4. Sostituendo = /
Si ottiene:
√ = cos ( )
+
2
+ cos ( )
−
2
" = cos ( )
+
2
+ #
−
2
"
Per k=0,1. Quindi:
√ = ±
+
2
+ #
−
2
"
Esempio
Trovare le radici del numero complesso:
= 5 + 12
Il modulo è:
= √25 + 144 = √169 = 13
Quindi:
√ = ±
13 + 5
2
+
13 − 5
2
" = ±+3 + 2,