Inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

Università Degli Studi di Reggio Calabria Facoltà Di Ingegneria

DOCUMENTO REDATTO DAL DOTT. S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Definizione 1

Sia AR un insieme non vuoto. Se esiste un numero mA. tale che:
m  a aA
diciamo che è il minimo per l’insieme A. Usualmente il minimo di A si denota con:
min(A):=m
Ovviamente il minimo se esiste è unico.
Se esiste un numero MA tale che:
a  M aA
diciamo è il massimo per l’insieme A. Usualmente il massimo di A si denota con:
max(A):=M
Ovviamente il massimo se esiste è unico.

Definizione 2

Sia AR un insieme non vuoto. Diciamo che un numero hR. è un minorante per
l’insieme A se:
h  a aA
Non è detto che ogni insieme ammetta minorante, ad esempio l’intervallo ]–,0[ non
ammette minorante.
Diciamo che un numero kR. è un maggiornate per l’insieme A se:
a  k aA
Non è detto che ogni insieme ammetta maggiorante, ad esempio l’intervallo ]0,+[
non ammette maggiorante.

Definizione 3

Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato inferiormente se ammette almeno
un minorante.

Dott. S. Caltabiano 2


Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato superiormente se ammette almeno
un maggiorante.
Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato se è limitato inferiormente e
superiormente.

Teorema 1

Se AR un insieme non vuoto
Ts: A è limitato se e solo se >0 t.c. a < aA

Teorema 2

Se AR un insieme limitato inferiormente (rispettivamente superiormente) e BA
Ts: B è limitato inferiormente (rispettivamente superiormente)

Definizione 4

Sia AR un insieme non vuoto. Se A è limitato inferiormente diciamo estremo
inferiore di A il numero:
e  =max{hR : ha aA}
cioè e  è il più grande dei minoranti. Usualmente l’estremo inferiore di A si denota
con la scrittura:
inf(A):= e 
Ovviamente inf(A) è unico. Se l’insieme A ammette minimo, per l’unicità deve
necessariamente essere che inf(A)=min(A).
Se A è limitato superiormente diciamo estremo superiore di A il numero:
e  =min{kR : ak aA}
cioè e  è il più piccolo dei maggioranti. Usualmente l’estremo superiore di A si
denota con la scrittura:
sup(A):= e 


Ovviamente sup(A) è unico. Se l’insieme A ammette massimo per l’unicità deve
necessariamente essere che sup(A)=max(A).

Negli esercizi inerenti inf e sup gio0cano un ruolo fondamentali, i seguenti
semplici risultati.

Teorema 3

Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente
Ts: inf(A)=min(A) se e solo se inf(A)A

Teorema 4

Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente
Ts: sup(A)=max(A) se e solo se sup(A)A

Teorema 5

Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia s 
 s  è un minorante
Ts: s  =inf(A) se e solo se 
  0 a  A t.c. a  s   

Teorema 6

Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia s 
 s  è un maggiorant e
Ts: s  =sup(A) se e solo se 
  0 a  A t.c. a  s   

Teorema 7

Sia AR un insieme non vuoto



Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se l’insieme A è limitato inferiormente allora –A è limitato superiormente e si ha
inf(A)=–sup(–A)
(2) Se l’insieme A è limitato superiormente allora –A è limitato inferiormente e si ha
sup(A)=–inf(–A)

Teorema 8

Sia AR un insieme non vuoto
(1) Se A ammette minimo allora –A ammette massimo e si ha min(A)=–max(–A)
(2) Se A ammette massimo allora –A ammette minimo e si ha max(A)=–min(–A)

Teorema 9

Sia AR un sottoinsieme non vuoto; sia bR e sia c R0 ; e ricordiamo che B:=

b+A:={b+a : aA} e C:=cA:={ca : aA}
(1) Se A è limitato inferiormente allora gli insiemi b  A e cA sono limitati
inferiormente ed inoltre inf(b+A)=b+inf(A) e inf(cA)=c inf(A)
(2) Se A è limitato superiormente allora gli insiemi b  A e cA sono limitati
superiormente ed inoltre sup(b+A)=b+sup(A) e sup(cA)=c sup(A)

Teorema 10

Sia AR un insieme non vuoto; sia bR; sia c R0
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(1) Se A ammette minimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono minimo ed inoltre
min(b+A)=b+min(A) e min(cA)=c min(A)



(2) Se A ammette massimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono massimo ed
inoltre max(b+A)=b+max(A) e max(cA)=c max(A)

Teorema 11

Siano A,BR due insiemi non vuoti. Ricordiamo che A+B:={a+b : aA e bB}
(1) Se A e B sono limitati inferiormente allora l’insieme A+B è limitato inferiormente
e si ha che inf(A+B)=inf(A)+inf(B)
(2) Se A e B sono limitati superiormente allora l’insieme A+B è limitato
superiormente e si ha che sup(A+B)=sup(A)+sup(B)

Teorema 12

Siano A,BR due insiemi non vuoti
(3) Se A e B ammettono minimo allora l’insieme A+B ammette minimo e si ha che
min(A+B)=min(A)+min(B)
(4) Se A e B ammettono massimo allora l’insieme A+B ammette massimo e si ha che
max(A+B)=max(A)+max(B)

Teorema 13

Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia hR un minorante di A
Ts: Se hA allora h=min(A)=inf(A)

Teorema 14

Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia kR un maggiorante di A
Ts: Se kA allora k=max(A)=sup(A)



Esempio 1

Assegnato l’insieme:
 1
A:=  x  R : n  N t.c. x  
 n
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Per fare ciò possiamo attribuire alla
n valori crescenti e vedere così l’andamento degli elementi di A:
1 1 1 1 1
1; ; ; ; ;…;
2 3 4 5 10
si intuisce che 1 è un maggiorante. Per verificare tale affermazione, dobbiamo
provare che:
1
1 nN
n
ovvero che:
n1 nN
che è palesemente vera. Un altro metodo per la ricerca dei maggioranti è quello di
affidarsi alle maggiorazioni (quest’ultimo metodo nel caso considerato ci dice
immediatamente che 1 è un maggiorante). Abbiamo già osservato che 1 è un
maggiorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale
che a>1– e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:
1
n*N t.c. *
>1–
n
Se 1 allora 1–0 e di conseguenza basta scegliere un qualunque n*N. Se 0<<1
allora ambo i membri sono strettamente positivi e quindi possiamo passare ai
reciproci:
1
n*<
1 



poiché 1–<1 il secondo membro della precedente è >1 e di conseguenza basta
scegliere n*=1. In questo caso il ragionamento precedente poteva essere evitato,
infatti bastava osservare che per n=1 l’elemento corrispondente x=1/1=1 e quindi
1A e di conseguenza per il Teorema 14 max(A)=1.
Per quanto riguarda la ricerca dei minoranti di A, si può precedere come nel caso
precedente. Tuttavia si osserva che gli elementi di A sono strettamente positivi e di
conseguenza 0 è un minorante per l’insieme A. In questo caso 0A e quindi non
possiamo fare uso del Teorema 13. Verifichiamo se 0 è candidato ad essere l’estremo
inferiore, e per fare ciò adoperiamo il Teorema 5. Abbiamo già detto che 0 è un
minorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale che
a<0+= e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:
1
n*N t.c. <
n*
Si isola n* e si ottiene:
1
n *>

al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un n*N più grande di tale quantità. Quindi 0 è l’estremo inferiore A.
Per il Teorema 3 A non ammette minimo.

Esempio 2


A:= x  R : n  N t.c. x  n 2  2
Verifichiamo se l’insieme ammette minorante. Osserviamo che:
–1=1–2n–2n2–2 nN
e pertanto –1 è un minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il
corrispondente elemento x=12–2=1–2=–1 e quindi segue dal Teorema 13 che –1 è il


minimo di A. Per vedere se A ammette maggiorante attribuiamo alla n valori
crescenti e vediamo così l’andamento degli elementi di A:
–1 ;2 ; 7 ; 14 ; 23 ; … ; 98
si intuisce che l’insieme A non è limitato e che quindi non ammette maggioranti. Per
verificare tale affermazione, dobbiamo provare che:
K>0 nN t.c. n2–2>K
Si isola n e si ottiene:
n> K  2
basta scegliere un nN più grande di tale quantità.

Esempio 3

 2n  3 
A:=  x  R : n  N t.c. x  
 5n 
Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Attribuendo valori crescenti alla n:
7 3 11 23
1; ; ; ;…;
10 5 20 50
si intuisce che 1 è un maggiorante di A. Per verificare che 1 è un maggiorante di A,
dobbiamo provare che:
2n  3
 1 nN
5n
Risolvendo:
2n  3
 1  2n+35n  33n  n1
5n



e quest’ultima evidentemente è vera per ogni nN. E pertanto 1 è un maggiorante per
A, ed inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente elemento x=1 e quindi segue
dal Teorema 14 che 1 è il massimo di A.
Ovviamente l’insieme A è limitato inferiormente poiché gli elementi di A sono
strettamente positivi e di conseguenza 0 è un minorante di A. Ma 0 non è l’inf, poiché
non è il più grande dei minoranti, infatti un altro minorante è dato da:
2n  3 2 3 2
= +  nN
5n 5 5n 5
Ci proponiamo di provare che 2/5 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario
>0 dobbiamo provare che esiste un nN tale che:
2n  3 2
< +
5n 5
Risolvendo la disequazione rispetto alla n, si trova che:
3
n>
5
basta scegliere un nN più grande di tale quantità. Osserviamo che 2/5A e quindi
segue dal Teorema 3 che A non ammette minimo.
Facciamo osservare che lo studio degli estremi di A poteva essere semplificato
notevolmente. Infatti osserviamo che:
 2 3 1 2 3
A:=  x  R : n  N t.c. x   = + B
 5 5 n 5 5
dove si è posto:
 1
B:=  x  R : n  N t.c. x  
 n
Dall’Esempio 1, dal Teorema 9 segue che
2 3 2 3 2
inf(A)= + inf(B)= + 0=
5 5 5 5 5
Analogamente dall’Esempio 1, dal Teorema 10 segue che



2 3 2 3 2 3 2 3
max(A)= + max(B)= + 1= + = + =1
5 5 5 5 5 5 5 5
in accordo con quanto suddetto.

Esempio 4

 n  1
A:=  x  R : n  N t.c. x  
 n 
Osserviamo che:
 1
A:=  x  R : n  N t.c. x  1   =1–B
 n
dove si è posto:
 1
B:=  x  R : n  N t.c. x  
 n
Per l’Esempio 1, per il Teorema 8, per il Teorema 10 segue che:
min(A)=min(1–B)=1+min(–B)=1–max(B)=1–1=0
Per l’Esempio 1, per il Teorema 7, per il Teorema 9 segue che:
sup(A)=sup(1–B)=1+sup(–B)=1–inf(B)=1–0=1

Esempio 5

 1
A:=  x  R : n  N t.c. x  n  
 n
Attribuendo valori alla n si intuisce che 2 è un minorante per A. Per verificare tale
affermazione dobbiamo provare che:


1
n 2 nN
n
Risolviamo rispetto ad n e dimostriamo che la suddetta disequazione vale per ogni
nN:
1
n 2  n2–2n+10
n
e quindi:
n= 1  1  1 =1
e quindi la disequazione è soddisfatta per nN come volevasi. E pertanto 2 è un
minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente
elemento x=2 e quindi segue dal Teorema 13 che 2 è il minimo di A.
Osserviamo adesso che:
1
n >n nN
n
e questo evidentemente ci dice che l’insieme A non è limitato superiormente.

Esempio 6

 n  1
A:=  x  R : n  N t.c. x  (1) n 
 n 
Osserviamo che:
n 1 n 1 1
(1) n = = 1  1 nN
n n n
e quindi segue dal Teorema 1 che l’insieme A è limitato. Esplicitando il modulo nella
disuguaglianza precedente otteniamo:
n 1
–1 (1) n 1 nN
n



e quindi –1 e 1 sono rispettivamente un minorante ed un maggiorante di A. Vogliamo
provare che 1 è l’estremo superiore per A. Fissato un arbitrario >0 dobbiamo
provare che:
n 1
nN t.c. (1) n >1–
n
Consideriamo gli n pari e quindi:
n 1
>1–  n–1>n–n  –1>–n  1<n  n>1/
n
e quindi basta scegliere un n pari più grande di 1/. Si osserva che al variare di n
1=sup(A)A e di conseguenza per il Teorema 4 l’insieme A non ammette massimo.
Vogliamo provare adesso che –1 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario >0
dobbiamo provare che:
n 1
nN t.c. (1) n <1+
n
Consideriamo gli n dispari e quindi:
n 1
– <1+  –(n–1)<n+n  –n+1<n+n  1<n(+2)  n>1/(+2)
n
e quindi basta scegliere un n dispari più grande di 1/(+2). Si osserva che al variare di
n–1=inf(A)A e di conseguenza per il Teorema 3 l’insieme A non ammette minimo.

Esempio 7

 
A:= x ]  90,77[ : n  N t.c. x  n 2  2
Determinare se l’insieme è limitato.
Poiché A]–90,77[ segue allora dal Teorema 2 che A è limitato.

Esempio 8




 3m  2n 
A:=  x  R : n, m  N t.c. x  
 nm 
affermativa trovare l’inf ed il sup.
Osserviamo che:
 3 2
A:=  x  R : n  N t.c. x    =3B–2C
 n m
dove si è posto:
 1  1
B:=  x  R : n  N t.c. x   e C:=  x  R : m  N t.c. x  
 n  m
Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
inf(A)=inf(3B–2C)= inf(3B)+ inf(–2C)=3inf(B)+2inf(–C)=
=3inf(B)–2sup(C)=30–21=–2
Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
sup(A)=sup(3B–2C)= sup(3B)+sup(–2C)=3sup(B)+2sup(–C)=
=3sup(B)–2inf(C)=31–20=3

Esempio 9

 3n 2  1
A:=  x  R : n  N t.c. x  
 2n 2 
Osserviamo che:
 3 1  3 1
A=  x  R : n  N t.c. x   2  = – B
 2 2n  2 2
Dove si è posto:
 1
B:=  x  R : n  N t.c. x  2 
 n 


Procedendo come nei casi precedenti si trova che inf(B)=0 e max(B)=1. Per il
Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
3 1  3 1 3 1 3 1 3 1
inf(A)= inf   B  = + inf(–B)= – sup(B)= – max(B)= – =1
2 2  2 2 2 2 2 2 2 2
Per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
3 1  3 1 3 1 3 1 3
sup(A)= sup  B  = + sup(–B)= – inf(B)= – 0=
2 2  2 2 2 2 2 2 2

Esercizi

Determinare se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente, superiormente, ed in
caso di risposta affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
 3n  2 
(1)  x  R : n  N t.c. x  (1) n 
 2n 

 1
(2)  x  R : n  N t.c. x   
 n

 1
(3) N  x  R : n  N t.c. x   
 n


(4) x  R : n  N t.c. x  n 2  22n  10 
(5) x  R : n  N t.c. x  n 2

 5n  3

 t 1
(6)  x  R : t ]2,[ t.c. x  
 t  2


(7) x  R : n  N t.c. x  n 2  3n  1 
   
(8)  x  R : n  N t.c. x  sin n 
  8 


(9) x  R : x 2 è razionale 
 (1) n 
(10)  x  R : n  N t.c. x  
 n 

(11) x  R : y  R t.c. y 2
 y 2e x  y 

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