- Os babilônios já resolviam equações polinomiais de primeiro e segundo grau há cerca de 2000 a.C. utilizando uma notação sexagesimal. - O documento descreve os métodos de resolução de equações polinomiais de graus de 1 a 4, incluindo as contribuições históricas de matemáticos como Cardano e Ferrari. - É mostrado que apenas equações de grau menor ou igual a 4 podem ser resolvidas por fórmulas algébricas, enquanto equações de grau maior dependem de mé

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO – UFTM
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Monografia:
UM ESTUDO SISTEMATIZADO SOBRE A RESOLUÇÃO DAS
EQUAÇÕES POLIMOMIAIS
Autor: Sandro de Macedo Gonçalves Ferreira
Orientador: Prof. Dr. Osmar Aléssio
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Rafael Peixoto
Profa. Mônica Siqueira Martines

2. • Primeira tentativa de resolução das equações polinomiais: Dada pelos
babilônios, há cerca de 2000 a.C (BOYER, 2010);
•Os números eram escritos em notação sexagesimal:
14;30 era escrito assim:
Resolução do seguinte problema:
“Encontrar o lado de um quadrado se a área menos o lado da 14;30”.
Que é equivalente a resolver a seguinte polinomial: x² - x = 870
Solução (Dada pelos babilônios):
“Tome a metade de 1, que é 0;30, (0,5 na notação decimal) e
multiplique 0;30 por 0;30, o que dá 0;15 (0,25); some isto a 14,30 (870),
o que dá 14;30;15 (870,25). Isto é o quadrado de 29;30 (29,5). Agora
some 0;30 (0,5) a 29;30 (29,5) e o resultado é 30, o lado do quadrado.”
Capítulo I: INTRODUÇÃO

3. Solução (Dada pela notação moderna):
Considerar a polinomial: x² - px = q. A solução será dada pela
seguinte fórmula:
• Conforme Boyer (2010), os babilônios sabiam resolver
polinomiais dos tipos:
 x² + px = q
 x² = px + q
 x² + q = px
Soluções: Encontradas em textos antigos dos babilônios.
• Sabiam resolver polinomiais do tipo: x³ = a e x³ + x² = a.
Soluções: dada através de tabelas de acordo com o valor de “a”;
Capítulo I: INTRODUÇÃO

4. • Estudar e discutir os métodos resolutivos das equações polinomiais
de graus 1, 2, 3 e 4;
• Impossibilidade de resolução das equações polinomiais de grau 5
ou superiores por meio de uma fórmula resolutiva;
•Trazer ao leitor uma maneira organizada e sistematizada da
álgebra utilizada;
• Permitir a sedimentação dos conhecimentos já adquiridos pelo
leitor durante sua trajetória acadêmico-escolar;
• Esclarecer certos “porquês” quando se fala sobre a equação do
terceiro grau e se há uma forma de solucioná-la, como ocorre
nas equações quadráticas
OBJETIVOS:
Capítulo I: INTRODUÇÃO

5. Iezzi (2005):
Dado um polinômio, cuja forma geral é dada na forma:
• Chama-se equação polinomial quando:
• Grau do polinômio: n
• Raiz do polinômio: Valor “r” tal que p(r) = 0;
Capítulo II: EQUAÇÕES POLINOMIAIS

6. Dado uma equação polinomial de grau n escrita na forma
se existir uma raiz racional da forma:
com p e q inteiros, mdc(p,q)=1, então p divide e q divide .
Demonstração
Exemplo: Encontrar todas as raízes do seguinte polinômio:
dado que uma de suas raízes seja racional.
Solução
Capítulo II: EQUAÇÕES POLINOMIAIS
2.1 - Teorema das raízes racionais :

7. Teorema do resto: Dado um polinômio
de grau n, existem polinômios
e tal que:
.
Demonstração
2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini

8. 2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini
Primeira linha: Coeficientes de p(x);
Segunda linha: Raiz do polinômio divisor e coeficientes de q(x);

9. 2.2 – Dispositivo prático de Brioft-Ruffini
Os coeficientes da segunda linha são obtidos da seguinte forma:
Como r é uma raiz de p(x), de acordo com o teorema anterior,
e estes coeficientes compõem o polinômio:
cujo grau é inferior ao de p(x).
Exemplo

10. 2.3 – Relações de Girard
Pode-se utilizar nas equações polinomiais para encontrar as suas
possíveis raízes;
2.3 .1 – Relações de Girard para as equações polinomiais de
grau 2
Seja o polinômio quadrático p(x) = ax² + bx + c, e e as raízes
deste polinômio, então:

11. 2.3 .2 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 3
Seja o polinômio cúbico e , e as
suas raízes, então pode-se mostrar que:

12. 2.3 .3 – Relações de Girard para as equações polinomiais de grau 4
Considerando o polinômio de quarto grau:
Analogamente mostra-se as relações de Girard para equações quárticas,
dadas da seguinte forma:
Exemplos

13. Resolução: Tome a função f(x) = a.x+b. Queremos encontrar “x” tal
que f(x)=0. Então:
2.4 – Equação polinomial do primeiro grau
Dada por . O valor de “x” é a raiz da equação procurada.
Teorema da decomposição, Iezzi (2005): Tal polinômio admite uma
única raiz.

14. Seja a função quadrática . Desejamos
encontrar “x” tal que f(x) = 0. Sejam x’ e x’’ as duas raízes da
equação quadrática, então seus valores são dados pela
seguinte fórmula:
2.5– Equação polinomial do segundo grau
Demonstração e exemplos

15. 2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Breve histórico):
• Scipione Del Ferro (1465 – 1526): Sabia resolver equações do tipo:
Morreu antes de publicar seu feito científico, mas antes revelou seu segredo a
Antônio Maria Del Fior.
• Nicolo Fontana (Tartaglia – 1499 – 1557): Estudou a resolução de Fior e sabia
resolver as cúbicas do tipo:
•Disputa entre Fior e Tartaglia: Os 30 problemas que envolviam equações
cúbicas.
•Tartaglia vence a disputa.
•Girolamo Cardano (1501 – 1576) : Acreditava na insolubilidade das cúbicas.
•Estudo dos trabalhos de Tartaglia e o juramento de Cardano;
• A publicação da ars magna, de Cardano (1545);

16. 2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Resolução):
Seja o polinômio tal que p(x) = 0. Então, de
acordo com o teorema fundamental da álgebra tal polinômio admite exatamente
3 raízes, podendo ser reais e/ou complexas. (Iezzi, 2005)
Fórmula de Cardano:
Onde:
O discriminante pode ser:
•Positivo: O polinômio admite uma raiz real e duas complexas conjugadas;
•Nulo: Admite uma raiz dupla e outra distinta;
•Negativo: Três raízes reais.

17. 2.6 – Equação polinomial do terceiro grau (Resumo):
Caso >0, então utiliza-se a Fórmula de Cardano:
Caso =0, utiliza-se a fórmula:
(raiz dupla)
Obs: A terceira raiz real pode ser obtida pelo dispositivo de Brioft-Ruffini;
Caso <0, utiliza-se as fórmulas:
Onde:
Demonstração e exemplos

18. 2.7– Equação polinomial do quarto grau:
• Lodovico Ferrari (Milão, 2 de fevereiro de 1522 — 5 de outubro de 1565): Era
discípulo de Girolamo Cardano;
• Ars Magna de Cardano: É citado o método de resolução das quárticas;
Forma geral (reduzida): Obtida tomando o polinômio de quarto grau:
com p(x) = 0. Então, de acordo com o
teorema fundamental da álgebra, tal polinômio admite quatro raízes.
• O método de Ferrari;
Tome a equação geral: . Fazemos a seguinte
substituição algébrica:
Originando a seguinte equação, na variável “y”:

19. Onde:
Considere a raiz desta equação tal que y = u + v + z. Então mostra-se que o
seguinte sistema de equações:
Pode ser resolvido fazendo .
2.7 – Equação polinomial do quarto grau:

20. 2.7 – Equação polinomial do quarto grau:
Que é equivalente a resolver a seguinte equação cúbica, na variável “t”:
(Ver relações de Girard para polinômios
de 3º Grau).
Seja e duas raízes da equação acima. Então temos que e
. Precisamos verificar os sinais de u,v e z. Conhecendo o valor de
uma raiz, graças à equação , podemos estudar os sinais das outras
duas
raízes, já que o sinal da terceira depende do sinal das demais. Veja o quadro a
seguir:

21. 2.7 – Equação polinomial do quarto grau:
Sinal de Sinal de Sinal de
+ + -
+ - +
- - -
- + -
Quadro 1: Estudo de sinal das raízes quadradas de u, v e z
Assim, as quatro raízes, na variável “x” serão dadas por:
Exemplos

22. 2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4
• Questionamentos sobre a resolução da polinomial:
• O Teorema de Abel-Ruffini e a insolubilidade das equações quínticas e
superiores por meio de fórmulas algébricas.
Èvarist Galois (1811-1832)
•Nascido em Paris;
•Aos 15 anos tentou por duas vezes ingressar-se na Escola Politécnica, mas não
foi aceito devido a seu despreparo e às exigências impostas;
•Em 1829, ingressou-se na Escola Normal, onde se habilitaria para o cargo de
professor;
•Em 1830 foi preso, devido ao seu envolvimento com a Revolução de 1830;
•Morreu jovem aos 21 anos em um duelo, ao ter um caso amoroso com uma
mulher comprometida;
•Antes de morrer, escreveu o que sabia sobre a futura Teoria de Galois, um ramo
da álgebra abstrata;

23. 2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4
• Journal de Mathématique: Publicações de Galois, por Joseph Liouville (1846);
• Publicação do teorema que afirma que todo polinômio nessas condições não
podem ser resolvidos por radicais.
• Uma das consequências deste importante teorema é que as equações de graus
inferior a cinco podem ser resolvidas por fórmulas expressas por radicais.
• Prova: pode ser encontrada em Moreira (1990);
• É consequência da Teoria de Galois;
Pode ser entendido da seguinte maneira:
1)Todo polinômio de grau n está associado ao grupo de Galois;
2) Uma equação polinomial de grau n é solúvel por radicais se, e somente se, o
seu grupo associado a esta equação for solúvel;
3) Estes grupos de polinômios podem ser entendidos como um tipo de estrutura
algébrica que está contida em grupos de permutações, denotadas por .

24. 2.8 – Equações polinomiais de grau superior a 4
Algumas consequências deste teorema:
1) Se este grupo não for solúvel, então todos os grupos de polinômios
contidos nele também não serão solúveis, e, portanto, as equações
associadas a estes grupos não serão solúveis por radicais;
2) Se n < 5 , então todos os grupos de permutações são solúveis,
concluindo que todas as equações de grau “n < 5 “ são resolúveis por
radicais;

25. Capítulo III: Considerações Finais
Este trabalho procurou mostrar que:
• A sistematização dos critérios de resolução das equações polinomiais de
graus um, dois, três e quatro e também um breve comentário acerca das
equações de grau superior a quatro;
• Ampliar os conhecimentos do leitor quando da resolução destas
equações;
• Muitas pessoas desconhecem os métodos de resolução das equações
de grau maior que 2, ou talvez as considerem insolúveis;

26. • Apenas as equações de graus inferior ou igual a quatro podem ser
resolúveis através de fórmulas algébricas;
• Os métodos numéricos e computacionais;
•Tentativa de diversos matemáticos de utilizarem métodos análogos de
resolução das polinomiais de grau inferior a quatro nas de grau superior;
Questionamento:
A adoção de novas estratégias para a resolução de equações polinomiais
poderá um dia se tornar um modelo unificado que tornará o seu manuseio e
entendimento mais facilitado?
Capítulo III: Considerações Finais

27. REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher,
2010
FERREIRA, José Ferreira. História das soluções das equações
por meio de radicais. p. 1-2. Disponível em:
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22008/WellingtonJoseFerreira.p
df>. Acesso em: 25 jul. 2013.
IEZZI, Gerson. Equações polinomiais. In: IEZZI, Gerson.
Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual,
2005. p. 101-148.
MOREIRA, Carlos Gustavo Tamm de Araujo. Um teorema sobre
solubilidade de equações polinomiais por radicais reais. Rio de
Janeiro, n. 12, 1990. Disponível em: <
http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/>. Acesso em: 25 jul. 2013.