Matematicas_3_Construccion.pdf

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Serie Evolución
Sistema de clasificación Melvil Dewey 510 2015 Soluciones para el aula Matemáticas 3 : Construcción del pensamiento. Libro del maestro. / Equipo Pedagógico. — México : Fernández educación, 2015. 80 p. : il. 1. Matemáticas. 2. Estudio y enseñanza (Secundaria). SOLUCIONES PARA EL AULA MATEMÁTICAS 3 CONSTRUCCIÓN DEL PENSAMIENTO LIBRO DEL MAESTRO POR EQUIPO PEDAGÓGICO FERNÁNDEZ EDUCACIÓN PRIMERA EDICIÓN, MAYO 2015 Derechos reservados conforme a la ley por: © 2015 FERNÁNDEZ educación, s.a. de c.v. Av. Insurgentes Sur 2453, Piso 12, Col. Tizapán, C.P. 01090, Del. Álvaro Obregón, México, D.F. Miembro No. 3546 de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad de FERNÁNDEZ educación, s.a. de c.v., no pudiendo, la obra completa o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del editor. Esta obra se terminó de imprimir el mes de mayo de 2015 en los talleres de Servicios Editoriales y de Impresión, S.A. de C.V., Salvador Velazco 106. Parque Industrial Exportec I. 50200, Toluca, Estado de México. IMPRESO EN MÉXICO – PRINTED IN MEXICO Se contó con la colaboración especial y remunerada de un equipo externo y con la participación del equipo editorial de Fernández educación: Sandra Cara Camarena Evelyn Pamela García García Laura Arzola Guerra Salvador Alcaraz Nava Juan Carlos Tobón Gutiérrez Marco Augusto Aguirre Muciño Irma Iliana Vargas Flores Salvador E. Hernández Gallegos Fernando César Arce Valentín Cruz Antonio Guevara Sánchez Arturo Hernández Guerrero Pedro Tapia Pacheco Claudia D. Jiménez Avilés Enrique Trejo Ávila Claudia Brenda Camacho López Iván Arturo Márquez Hernández Agustina Martínez Salinas
Soluciones para el aula 3 Presentación E l papel del docente en el proceso de enseñanza aprendizaje es fundamental para alcanzar los objetivos de la Educación Básica. Por este motivo y para complementar esta noble labor, se creó la serie de Matemáticas. Construcción del pensamiento, que contiene todo lo necesario para conducir y facilitar a los estudiantes los elementos y experiencias que requieren en la construcción de sus conocimientos y en el desarrollo de habilidades y actitudes. En estas páginas el docente encontrará secuencias didácticas que le ayudarán a tener presentes aspectos importantes para dar respuesta ante el modelo educativo vigente. Además, se incluye un apartado de planeación didáctica con las dosificaciones por bloque de los temas delcursoy,comonovedad,lossolucionariosdellibro Matemáticas 3. Construcción del pensamiento. Por estas razones, Libro del maestro. Soluciones para el aula y Matemáticas 3. Construcción del pensamiento, brindan un sus- tento completo para los facilitadores que, día a día, contribuyen a la formación de nuestros jóvenes. Fernández editores espera que este ciclo escolar esté lleno de satisfacciones y triunfos. Tanto Matemáticas 3. Construcción del pensamiento como el material de apoyo al docente pueden ser consultados en internet entrando a http://goo.gl/7AB1Zs, o usando el siguiente código:
4 Libro del maestro Libro del Maestro Presentación ................................................................................. 3 Guía de uso .................................................................................. 5 Planeación didáctica ................................................................ 7 ¿Qué es la dosificación? .......................................................... 8 ¿Qué son las secuencias didácticas? ........................................ 9 Matemáticas 3. Construcción del pensamiento .................. 11 Índice ...................................................................................... 12 Guía de uso ............................................................................. 16 Dosificación ............................................................................. 22 Secuencias didácticas .............................................................. 27 Solucionario ............................................................................ 43 Libro del Alumno Índice 3 La formación de los mexicanos del siglo XXI requiere que en la edu- cación secundaria se realicen actividades progresivas que permitan el tránsito de los estudiantes hacia la apropiación del lenguaje mate- mático, tanto para explicar procedimientos y resultados, como para ampliar y profundizar sus conocimientos. El objetivo es generar un empleo eficiente de estas herramientas, avanzando desde la solución de problemas con ayuda hasta el trabajo autónomo. Se requiere que profesores y estudiantes desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procesos para resolver problemas, elaborar explicaciones de los hechos numéricos, algebraicos, geométricos y probabilísticos. Esta obra tiene la intención de proveer una cultura matemática a los estudiantes de tercer grado de educación secundaria, quienes inician una nueva etapa en su vida, en la cual habrá interrogantes y muchos cambios en su forma de pensar y de comprender la realidad. La conjugación de diversos factores, como la planificación de las actividades de enseñanza y de aprendizaje por parte del docente y el trabajo colaborativo de los estudiantes, motivará la consecución del desarrollo de sus competencias en la materia y les permitirá alcanzar a los alumnos el perfil requerido en esta etapa. La obra pretende ser un instrumento para potenciar las habilidades matemáticas de los estudiantes y un material de apoyo para el docente en la planeación de la enseñanza. Está diseñada con el propósito de que el alumno, a través del análisis y de la reflexión sobre las situaciones problemáticas planteadas, contraste sus conocimientos, se involucre en la búsqueda de soluciones y construya nuevos saberes, a la vez que contribuye al desarrollo del pensamiento matemático de sus compañeros de grupo. Además de fomentar el desarrollo del pensamiento científico, los estudiantes necesitan una perspectiva amplia del mundo en el que viven y la sociedad a la que pertenecen, por ello se incluyen diversas actividades centradas en situaciones de relevancia social, así como en problemáticas actuales de nuestra sociedad. Esperamos que, con el apoyo de este libro y de sus profesores, los estudiantes desarrollen una cultura matemática que les permita elevar sus capacidades. Prólogo
5 Soluciones para el aula Planeación didáctica Esta sección define qué es y para qué sirve la planeación.Además, explica los elementos que componen la dosificación y las secuencias didácticas. Matemáticas 3. Construcción del pensamiento El Libro del maestro. Soluciones para el aula contiene los siguientes elementos para apoyar al docente: Índice y Guía de uso Se incluye tanto la Guía de uso como el Índice de Matemáticas 3. Construcción del pensamiento para que el docente conozca la estructura y los contenidos de los libros. Guía de uso l an ea ci ón d id ác i ca Pla nea ció n did áct ica PD 7 Soluciones para el aula La planificación representa un elemento sustantivo de la práctica docente para potenciar el aprendizaje de los estudiantes hacia el desarrollo de competencias. Esta planeación en la enseñanza educativa pretende valorar, ordenar, prospectar y anticipar las acciones que se desean llevar a cabo a través de estrategias que permitan generar los procesos educativos, con el fin de que el alumno llegue a los aprendizajes esperados desarrollando competencias que sean útiles para su educación y para la vida. El siguiente apartado brindará al docente algunas sugerencias para lograr una planificación exitosa, y además explicará los diferentes elementos que componen las dosificaciones y las secuencias didácticas elaboradas especialmente para los libros de la serie Construcción del pensamiento. ¿Para qué es útil la planeación? La planeación es útil, entre otras cosas, para reducir la incertidumbre de lo que se va a enseñar, hacer más eficiente la distribución de los recursos educativos y agilizar los procesos dentro del salón de clases. En resumen, esta acción se aplica para: • Diagnosticar la situación de los alumnos (conocimientos anteriores, recursos, etcétera). • Organizar los conocimientos a impartir. • Diseñar las actividades educativas pertinentes. • Formular objetivos, metas y estrategias para el aprendizaje. Los puntos necesarios para desarrollar una planeación son los siguientes: • Trabajar a partir de las representaciones e ideas de los estudiantes y considerar los posibles obstáculos en el aprendizaje. • Considerar su nivel y sus posibilidades en las situaciones planteadas. • Incluir actividades y estrategias pedagógicas basadas en diversos estilos de aprendizaje, así como en las teorías de ense- ñanza aprendizaje. • Tomar en cuenta el ambiente de aprendizaje que ofrece la escuela en cuanto a sus características físicas y culturales. • Proponer un papel activo de los educandos mediante el trabajo colaborativo. • Plantear situaciones de evaluación, variadas en su comple- jidad y contexto, como solucionar problemas, relacionar datos, prever nuevos problemas, etcétera. • Obtener un registro con observaciones de las dificultades identificadas y alternativas útiles para evaluar el desem- peño y lograr experiencias exitosas que resulten útiles en futuras prácticas. • Fomentar la colaboración y la participación del equipo de profesorado para aprovechar la experiencia propia y la de otros con el fin de conocer, adoptar, adaptar y enrique- cer esta práctica. Planeación didáctica 21 BLOQUE UNO • Resolver problem as de manera autónom a • Comunic ar informac ión matemát ica • Validar procedim ientos y resultado s • Manejar técnicas eficiente mente Competencias • Explica la diferenc ia entre eventos complem entarios, mutuam ente excluyen tes e indepen dientes. Aprend izajes esperad os • Sentido numéric o y pensami ento algebraic o • Forma, espacio y medida • Manejo de la informac ión Ejes temáticos Nautilo. Corte transversa l del capa- razón de un nautilo, donde se logra observar cómo la estructura geométri- ca se va repitiendo a diferentes escalas. El nautilo pertenece al género de molus- cos cefalópod os. 30 12 Libro del maestro Ín d ic e Índ ice Prólogo ........................................................................................................................................ 3 Palabras al profesor........................................................................................................................ 4 Palabras al alumno......................................................................................................................... 5 Guía de uso.................................................................................................................................. 6 Dosiicación de contenidos .............................................................................................................. 16 Bloque UNO...................................................................................................................... 21 Eje:Sentido numérico y pensamiento algebraico................................................................. 22 Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas........................................................ 22 Eje:Forma,espacio y medida................................................................................................. 28 Figuras y cuerpos Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades................................................................................................. 28 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada ............................................................................. 35 Eje:Manejo de la información................................................................................................ 45 Proporcionalidad y funciones Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad............. 45 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas................................................................................................... 51 Nociones de probabilidad Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes................................ 59 Análisis y representación de datos Diseño de una encuesta o un experimento e identiicación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.................................................. 66 Evaluación final........................................................................................................................ 72 Índice 30 16 Libro del maestro Guía de uso Guía de uso 76 Bloque DOS Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización ACTIVIDADES INICIALES Zoclo y losetas En la escuela de Roberto y Estela arreglaron los pisos y el zoclo de los salones de clase. La siguiente figura representa las dimensiones desconocidas del salón de ambos jóvenes. Ellos saben que se ocuparon 32 m de zoclo y 63 m2 de losetas. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que representa el salón de clases? x y Resuelvan el problema de Roberto y Estela, y expliquen el procedimiento aplicado. Soliciten al profesor que valide sus respuestas y procedimientos. En otro salón se ocuparon 36 m de zoclo y 80 m2 de losetas. ¿Cuáles son las dimensiones de ese salón? ¿Qué representa la ecuación 2x 2y 36? ¿Y las ecuaciones x y 18, y 18 x? ¿Cómo se puede justificar la ecuación x (18 x) 80? La ecuación cuadrática que se tiene que resolver es: x2 18x 80 0 ¿Por qué se puede transformar en la ecuación (x 8)(x 10) 0? ¿Cuáles son las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática? A continuación se explican de manera sencilla y deta- llada las secciones, cápsulas y elementos que forman parte de tu libro Matemáticas 3. Construcción del pensamiento. Dosificación de contenidos Antes de iniciar con los bloques se incluyen tablas de dosificación de contenidos en las que se presentan los temas y su distribución por páginas para facilitar la organización e integración de situaciones didácticas. Organización de contenidos por bloques Los contenidos programáticos se dividen en cinco bloques temáticos. Cada uno inicia mencionando las competencias matemáticas que se fortalecerán y los aprendizajes esperados. Contenidos matemáticos Cada bloque está constituido por temas, que a su vez, incluyen secciones y cápsulas que te permitirán construir tus conocimientos. A continuación se describen dichos elementos. Guía de uso 1.Actividades iniciales. En esta sección se incluye una situa- ción problemática cuyo propó- sito es introducirte al estudio de los contenidos matemáticos que se abordarán. 16 Bloque UNO Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 22 1 Agosto Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. 28 2 Agosto Inicio Fin Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de trián- gulos a partir de construcciones con información determinada. 35 3 Septiembre Inicio Fin 4 Manejo de la información Proporcio- nalidad y funciones Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 45 5 Septiembre Inicio Fin Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 51 6 Septiembre Inicio Fin Nociones de probabilidad Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 59 7 Octubre Inicio Fin Análisis y representación de datos Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 66 8 Octubre Inicio Fin Evaluación final 72 8 DOSIFICACIÓN DE CONTENIDOS
6 Libro del maestro Dosificaciones Contiene la dosificación que desglosa el contenido temá- tico por bloques, el tiempo estimado de realización de actividades organizado por semanas, los aprendizajes esperados y las actividades sugeridas. Solucionario Incluye una guía de respuestas a los ejercicios y preguntas de Matemáticas 3. Construcción del pensamiento, además de las eva- luaciones diagnóstica, final y por bloque. Secuencias didácticas Esta sección incluye tablas de secuencias didácticas especialmente diseñadas para Matemáticas 3. Construcción del pensamiento para que el maestro las utilice en clase o como base para elaborar las propias. 30 22 Libro del maestro D os ii ca ci ón Do sifi cac ión B1 Bloque UNO Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 22 1 Agosto Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. 28 2 Agosto Inicio Fin Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. 35 3 Septiembre Inicio Fin 4 Manejo de la información Proporcionalidad y funciones Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 45 5 Septiembre Inicio Fin Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 51 6 Septiembre Inicio Fin Nociones de probabilidad Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 59 7 Octubre Inicio Fin Análisis y representación de datos Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 66 8 Octubre Inicio Fin Evaluación final 72 8 T ex to S ol uc io na ri o 43 Soluciones para el aula 30 Sol uci on ari o B1 Bloque 1 Pág. 22 Act. en parejas a) La longitud de la arista que es igual a x b) x2 c) 6x2 d) El valor 311.04 cm2 se relaciona con la longitud de la arista mediante la ecuación 6x2 5 311.04 Pág. 23 Act. en parejas 1. 3x2 1 4 5 304 x1 5 10, x2 5 −10 El número es 10 o −10 2. 36.4 cm 3. x1 5 7, x2 5 3 4. El objeto tardará 3 s. 5. El número es 12 Pág. 24 Cápsula “Aplico” 1. x 5 11 2. x 5 14 3. x 5 9 4. x 5 15 5. x 5 5 6. x 5 11 7. x 5 36 8. x 5 4 Pág. 25 Act. en parejas x2 5 361 � x 5 19 mm Act. individual a) x1 5 10, x2 5 −10 b) x1 5 8.48, x2 5 −8.48 c) x1 5 11, x2 5 −11 d) x1 5 0, x2 5 0 Pág. 26 1. • x2 • 2x2 • 2x2 −18 • 2x2 −18 5 0 2. • 3 • −3 33 Soluciones para el aula 30 S ec ue nc ia s d id ác i ca s Sec uen cia did áct ica B3 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 3 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Subtema Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente promoverá la recuperación de los conocimientos previos del grupo acerca de las ecuaciones cuadráticas, como las características de las variables, el número de términos, etcétera. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor planteará a los alumnos algunos problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas. A continuación se presenta un ejemplo: • ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno cuadrangular si se sabe que tiene una superficie de 25 m2 ? Los alumnos deben obtener las expresiones matemáticas necesarias para llegar al resultado de cada uno de los problemas planteados. Enseguida, clasificarán las expresiones en ecuaciones cuadráticas completas y ecuaciones cuadráticas incompletas. Después las resolverán por el método que les resulte más conveniente; deben comparar y verificar sus resultados en parejas. • Lápiz • Cuaderno Cierre El profesor solicitará que elaboren un cuadro sinóptico sobre los métodos más comunes para resolver problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. De igual forma, deben argumentar la pertinencia de cada uno de esos métodos. • Lápiz • Cuaderno Evaluación El docente planteará un problema que implique el uso de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos lo resolverán y se realizará un intercambio de respuestas para evaluar los procedimientos utilizados, de esta forma se realizará una heteroevaluación.
laneación didácica Planeación didáctica PD 7 Soluciones para el aula La planificación representa un elemento sustantivo de la práctica docente para potenciar el aprendizaje de los estudiantes hacia el desarrollo de competencias. Esta planeación en la enseñanza educativa pretende valorar, ordenar, prospectar y anticipar las acciones que se desean llevar a cabo a través de estrategias que permitan generar los procesos educativos, con el fin de que el alumno llegue a los aprendizajes esperados desarrollando competencias que sean útiles para su educación y para la vida. El siguiente apartado brindará al docente algunas sugerencias para lograr una planificación exitosa, y además explicará los diferentes elementos que componen las dosificaciones y las secuencias didácticas elaboradas especialmente para los libros de la serie Construcción del pensamiento. ¿Para qué es útil la planeación? La planeación es útil, entre otras cosas, para reducir la incertidumbre de lo que se va a enseñar, hacer más eficiente la distribución de los recursos educativos y agilizar los procesos dentro del salón de clases. En resumen, esta acción se aplica para: • Diagnosticar la situación de los alumnos (conocimientos anteriores, recursos, etcétera). • Organizar los conocimientos a impartir. • Diseñar las actividades educativas pertinentes. • Formular objetivos, metas y estrategias para el aprendizaje. Los puntos necesarios para desarrollar una planeación son los siguientes: • Trabajar a partir de las representaciones e ideas de los estudiantes y considerar los posibles obstáculos en el aprendizaje. • Considerar su nivel y sus posibilidades en las situaciones planteadas. • Incluir actividades y estrategias pedagógicas basadas en diversos estilos de aprendizaje, así como en las teorías de ense- ñanza aprendizaje. • Tomar en cuenta el ambiente de aprendizaje que ofrece la escuela en cuanto a sus características físicas y culturales. • Proponer un papel activo de los educandos mediante el trabajo colaborativo. • Plantear situaciones de evaluación, variadas en su comple- jidad y contexto, como solucionar problemas, relacionar datos, prever nuevos problemas, etcétera. • Obtener un registro con observaciones de las dificultades identificadas y alternativas útiles para evaluar el desem- peño y lograr experiencias exitosas que resulten útiles en futuras prácticas. • Fomentar la colaboración y la participación del equipo de profesorado para aprovechar la experiencia propia y la de otros con el fin de conocer, adoptar, adaptar y enrique- cer esta práctica. Planeación didáctica 2 1 BLOQUE UNO • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Competencias • Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Aprendizajes esperados • Sentido numérico y pensamiento algebraico • Forma, espacio y medida • Manejo de la información Ejes temáticos Nautilo. Corte transversal del capa- razón de un nautilo, donde se logra observar cómo la estructura geométri- ca se va repitiendo a diferentes escalas. El nautilo pertenece al género de molus- cos cefalópodos.
PD 8 Libro del maestro Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. 76 9 Octubre Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. 84 10 Octubre Inicio Fin Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. 92 11 Noviembre Inicio Fin Medida Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. 100 12 Noviembre Inicio Fin Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 104 13 Noviembre Inicio Fin 14 Manejo de la información Nociones de probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). 114 15 Diciembre Inicio Fin Evaluación final 120 15 laneación didácica Planeación didáctica ¿Qué es la dosificación? La función de la dosificación es desglosar el contenido temático por bloques, el tiempo estimado de las actividades organizado por semanas, los aprendizajes esperados y estrategias didácticas por contenido de la asignatura. A continuación se explicará la organización de la dosificación para la asignatura de Matemáticas. Precisa los ejes formativos a los cuales, por fines didácticos, se da mayor importancia en el bloque. Aparecen de manera explícita en los programas de secundaria y la forma como están organizados se corresponde con el sentido en que pueden desarrollarse los temas. Son aspectos muy concretos que se desprenden de los temas, cuyo estudio requiere de entre dos y cinco sesiones de clase. Aquí se indica la semana y el mesenelquesellevaráacabo la clase. Incluye un espacio para que el docente escriba las fechas de acuerdo a su calendarización. Los temas son gran- des ideas matemáticas cuyo estudio requiere un desglose más fino (los contenidos). Aquí se indica el número de página donde se encuentra el tema en el libro del alumno.
PD 9 Soluciones para el aula laneación didácica Planeación didáctica A diferencia de la planeación, que tiene un carácter más general, una secuencia didáctica es un conjunto de acciones estructuradas y congruentes entre sí, encaminadas al logro del aprendizaje para cada clase o sesión. La planeación del bloque puede concretarse en varias secuencias didácticas, las cuales plantean situaciones de aprendizaje encaminadas al logro de los propósitos y aprendizajes esperados en varias sesiones o módulos de trabajo en el aula. ¿Para qué sirven? Las secuencias didácticas orientan y facilitan el desarrollo de cada clase, por tanto, deben adaptarse a la realidad concreta del aula. Permiten que el trabajo tenga una dirección y no se disperse. Es importante que el docente conozca a la perfección el programa a impartir, así como los aprendizajes esperados, los ejes o ámbitos de estudio y, en general, la línea curricular de la asignatura. De igual manera, es necesario que éste se plantee ciertas preguntas respecto de los alumnos a la hora de realizar la secuencia didáctica: ¿Qué son las secuencias didácticas? ¿Qué conocimientos van a adquirir? ¿Cómo se lograrán? ¿Qué aprenderán como personas, para la convivencia con los demás? Las respuestas a estas preguntas, desde luego, están implícitas en las competencias, los aprendizajes esperados y los ejes, pues no debe perderse de vista que dichos elementos guían la enseñanza. Las secuencias didácticas tienen tres momentos básicos denominados fases de apertura, desarrollo y cierre. Estos tres momentos van de lo más general y cercano a los alumnos a lo más específico y aún desconocido para ellos. Con base en esta lógica, las fases incluidas en una secuencia didáctica se describen enseguida. • Fase de apertura: las actividades correspondientes a este momento identifican y recuperan saberes, conocimientos previos y preconcepciones. Cuando éstos se activan, el estudiante toma consciencia de lo que aprenderá. Las actividades deben ser creativas, llamativas y de interés para los alumnos. • Fase de desarrollo: las actividades de esta fase son más elaboradas pues en ellas se abordan de manera específica los temas y contenidos en sí. En esta etapa, se deben incorporar estrategias para facilitar aprendizajes con sentido, fomentar la autonomía de los alumnos, la interrelación social y el pensamiento crítico. • Fase de cierre: el último momento de la secuencia didáctica es importante porque recapitula, sintetiza e interrelaciona los contenidos trabajados a lo largo de la clase, tema o unidad. Las actividades deben ser breves y servir para resaltar los puntos esenciales de los contenidos, verificar lo aprendido y enfatizar la importancia de los logros alcanzados.
PD 10 Libro del maestro laneación didácica Planeación didáctica 35 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B3 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 3 Eje Manejo de la información Tema Proporcionalidad y funciones Subtema Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Aprendizajes esperados Construye gráficas de funciones cuadráticas. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Análisis de datos Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente revisará con el grupo la relación entre las ecuaciones, las tablas de valores correspondientes y el plano cartesiano respecto de la elaboración gráficas. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor escribirá una función cuadrática en el pizarrón (por ejemplo: y 5 x2 2 4) y solicitará que los alumnos realicen la tabla correspondiente y después, a partir de los valores obtenidos, la gráfica de la ecuación. Al finalizarla, los orientará por medio de preguntas para que reflexionen sobre las características de la función cuadrática. Brindará otros ejemplos de funciones cuadráticas para que con base en ellos analicen las gráficas obtenidas y elaboren un mapa conceptual con las características de las funciones cuadráticas. Finalmente, trazará en el pizarrón diversas gráficas de funciones cuadráticas para que identifiquen la ecuación que modela a cada una de ellas. • Dados • Monedas • Cuaderno • Lápiz Cierre Por último, promoverá una discusión sobre la relación entre el tiro parabólico abordado en Ciencias 2 (Física) y las gráficas obtenidas a partir de las funciones cuadráticas. • Pizarrón • Plumones o gises • Cuaderno • Lápiz Evaluación El docente proporcionará una función cuadrática y pedirá que elaboren la gráfica correspondiente y que expliquen las características de las funciones cuadráticas. En el encabezado de la tabla se especifican los datos generales de la actividad. Aquí se señalan los materiales que se van a usar en cada fase de la secuencia didáctica. Las tres fases de la secuencia ayudan al docente a llevar el control de las actividades que llevará a cabo en clase. Esta fila sirve para enlis- tar las competencias, habilidades, actitudes y valores que los alumnos deberán desarrollar a lo largo de la actividad. El tema y el subtema indican los nombres de los contenidos que se van a abordar en la secuencia. Este rubro sirve para llevar el control de los productos que servirán para evaluar a los alumnos. Si la producción se añade al portafolio de evidencias, también se anota aquí.
Secundaria Matemáticas3 Fidel Sánchez Sandoval Fidel Sánchez Sandoval Matemáticas3 Construcción del pensamiento Construcción del pensamiento Serie Evolución
30 12 Libro del maestro Índice Índice Prólogo ........................................................................................................................................ 3 Palabras al profesor........................................................................................................................ 4 Palabras al alumno......................................................................................................................... 5 Guía de uso.................................................................................................................................. 6 Dosiicación de contenidos .............................................................................................................. 16 Bloque UNO...................................................................................................................... 21 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico ................................................................. 22 Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas........................................................ 22 Eje: Forma, espacio y medida................................................................................................. 28 Figuras y cuerpos Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades................................................................................................. 28 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada ............................................................................. 35 Eje: Manejo de la información ................................................................................................ 45 Proporcionalidad y funciones Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad............. 45 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas................................................................................................... 51 Nociones de probabilidad Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes................................ 59 Análisis y representación de datos Diseño de una encuesta o un experimento e identiicación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.................................................. 66 Evaluación inal........................................................................................................................ 72 Índice
13 Soluciones para el aula 30 Índice Índice Bloque DOS....................................................................................................................... 75 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico ................................................................. 76 Patrones y ecuaciones Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización ....................................................................................................................... 76 Eje: Forma, espacio y medida................................................................................................. 84 Figuras y cuerpos Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de iguras ......................................... 84 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de iguras.............................................................................................................. 92 Medida Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo ........................................................................................ 100 Explicitación y uso del teorema de Pitágoras ............................................................................. 104 Eje: Manejo de la Información................................................................................................ 114 Nociones de probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma) ..................................................................... 114 Evaluación final........................................................................................................................ 120 Bloque TRES.................................................................................................................. 123 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico ................................................................. 124 Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones ..................................................................... 124 Eje: Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas....................................................................................................................... 132 Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales ............................................. 138 Aplicación de la semejanza en la construcción de iguras homotéticas........................................... 146
30 14 Libro del maestro Índice Índice Eje: Manejo de la información ................................................................................................ 152 Proporcionalidad y funciones Lectura y construcción de gráicas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos ........................................................................................................ 152 Lectura y construcción de gráicas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera......................................................... 158 Nociones de probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)........... 166 Evaluación inal........................................................................................................................ 172 Bloque CUATRO......................................................................................................... 175 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico ................................................................. 176 Patrones y ecuaciones Obtención de una expresión general cuadrática para deinir el enésimo término de una sucesión.............................................................................................................................. 176 Eje: Forma, espacio y medida................................................................................................. 182 Figuras y cuerpos Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos ..................................................................................................... 182 Medida Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente .................. 188 Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo .............................................................................................................. 194 Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.................................... 200 Eje: Manejo de la Información................................................................................................ 214 Proporcionalidad y funciones Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.......................................................................................................... 214
15 Soluciones para el aula 30 Análisis y representación de datos Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión....................................... 218 Evaluación inal........................................................................................................................ 222 Bloque CINCO............................................................................................................. 225 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico ................................................................. 226 Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada......................... 226 Eje: Forma, espacio y medida................................................................................................. 234 Medida Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto............................................................................................ 234 Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia lasfórmulas de prismas y pirámides .................................................................. 240 Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas....................................................................................... 246 Eje: Manejo de la Información................................................................................................ 254 Proporcionalidad y funciones Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades........................................................................................................ 254 Nociones de probabilidad Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables........................................................... 262 Evaluación inal........................................................................................................................ 269 Bibliografía............................................................................................................................... 271 Índice Índice
30 16 Libro del maestro Guía de uso Guía de uso 7 6 Bloqu e DOS Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización ACTIVIDADES INICIALES Zoclo y losetas En la escuela de Roberto y Estela arreglaron los pisos y el zoclo de los salones de clase. La siguiente figura representa las dimensiones desconocidas del salón de ambos jóvenes. Ellos saben que se ocuparon 32 m de zoclo y 63 m2 de losetas. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que representa el salón de clases? x y Resuelvan el problema de Roberto y Estela, y expliquen el procedimiento aplicado. Soliciten al profesor que valide sus respuestas y procedimientos. En otro salón se ocuparon 36 m de zoclo y 80 m2 de losetas. ¿Cuáles son las dimensiones de ese salón? ¿Qué representa la ecuación 2x 2y 36? ¿Y las ecuaciones x y 18, y 18 x? ¿Cómo se puede justificar la ecuación x (18 x) 80? La ecuación cuadrática que se tiene que resolver es: x2 18x 80 0 ¿Por qué se puede transformar en la ecuación (x 8)(x 10) 0? ¿Cuáles son las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática? A continuación se explican de manera sencilla y deta- llada las secciones, cápsulas y elementos que forman parte de tu libro Matemáticas 3. Construcción del pensamiento. Dosificación de contenidos Antes de iniciar con los bloques se incluyen tablas de dosificación de contenidos en las que se presentan los temas y su distribución por páginas para facilitar la organización e integración de situaciones didácticas. Organización de contenidos por bloques Los contenidos programáticos se dividen en cinco bloques temáticos. Cada uno inicia mencionando las competencias matemáticas que se fortalecerán y los aprendizajes esperados. Contenidos matemáticos Cada bloque está constituido por temas, que a su vez, incluyen secciones y cápsulas que te permitirán construir tus conocimientos. A continuación se describen dichos elementos. Guía de uso 1. Actividades iniciales. En esta sección se incluye una situa- ción problemática cuyo propó- sito es introducirte al estudio de los contenidos matemáticos que se abordarán. 16 Bloque UNO Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 22 1 Agosto Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. 28 2 Agosto Inicio Fin Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de trián- gulos a partir de construcciones con información determinada. 35 3 Septiembre Inicio Fin 4 Manejo de la información Proporcio- nalidad y funciones Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 45 5 Septiembre Inicio Fin Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 51 6 Septiembre Inicio Fin Nociones de probabilidad Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 59 7 Octubre Inicio Fin Análisis y representación de datos Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 66 8 Octubre Inicio Fin Evaluación final 72 8 DOSIFI CACIÓN DE CONTE NIDOS
17 Soluciones para el aula 30 Guía de uso 1 8 1 Patrones y ecuaciones Para que conozcas más acerca de las diferencias en las sucesiones, haz una búsqueda en internet. Puedes iniciar en la siguiente dirección electrónica: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-encontrar-regla.html (Consulta: 24 de septiembre de 2014). Aplica la información en la solución de las actividades correspondientes a este tema. Habilidades digitales EVALUACIÓN FORMATIVA Realiza lo que se indica en cada caso. 1. Construye una fórmula para calcular el número de diagonales que se pueden trazar en un polí- gono de n lados. 2. Escribe el término correspondiente a la posición 5 de la siguiente tabla, y deduce una fórmula para calcular an . n 1 2 3 4 5 n an 0 3 8 15 3. Justifica la siguiente afirmación: “Paran puntos en el plano, se pueden trazar ( ) n n 2 1 - segmentos”. 4. Escribe los primeros términos de la sucesión numérica determinada por las siguientes figuras. n 1 2 3 4 5 n an 5. Calcula los valores de a, b y c. Sustitúyelos en la expresión a an bn c n 2 = + + para que obtengas la regla de la sucesión. 3. Evaluación formativa. Aquí encontrarás una evaluación individual al final de cada tema tratado. La finalidad de esta sección es que en- frentes nuevos retos que te permitan resolver problemas de manera autóno- ma, comunicar información matemá- tica, manejar técnicas eficientemente, además de validar procedimientos y resultados. 1 4 7 Figuras y cuerpos CONSTRUYO MIS CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES ¿Qué es una homotecia? Para trazar figuras semejantes, usen los valores indicados para el factor de homotecia; reproduzcan la transformación que sufre la figura y determinen si se trata de una ampliación, una reducción o una congruencia. 1. Tracen la figura A'B'C'D' de tal manera que: OA' k (OA) OB' k (OB) OC' k (OC) OD' k (OD) para 1.8 k = . 2. ¿Qué figura se obtiene para 0.6 k = ? 3. ¿Qué sucede cuando 1 k = ? Homotecia Es la transformación determinada por un punto central O y un factor de conversión k; de tal manera que a cada punto P del plano le corresponde otro punto P' en la semirrecta OP que cumple la igualdad OP' . Completa la siguiente definición de homotecia. ¿Cómo se puede verificar que las figuras obtenidas mediante una homotecia siempre son semejantes a las originales? Pienso O A C D B O P Q R S O Y Z V W X Glosario ampliación. Reproducción de una figura que aumenta proporcionalmente todas sus dimensiones. congruencia. Reproducción de una figura que conserva su forma y tamaño. factor de homotecia. Valor k que se aplica a cada longitud de una figura, para la obtención de una figura homotética. homotecia. Transformación de figuras geométricas en el plano que permite obtener un polí- gono semejante a un polígono conocido. reducción. Reproducción de una figura que disminuye proporcionalmente todas sus dimensiones. 2. Construyo mis conocimientos y habilidades. En esta sección se presenta el desarrollo de los contenidos matemáticos mediante actividades de estudio que te ayudarán a construir y desarrollar tu pensamiento matemático. Guía de uso
30 18 Libro del maestro Sentido numérico y pensamiento algebraico 2 2 Bloqu e UNO Patrones y ecuaciones ACTIVIDADES INICIALES Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas Área total de un cubo Resuelve en tu cuaderno la situación que se plantea a continuación y justifica tu respuesta. Para conocer el total de material que se requiere para elaborar una caja con forma de cubo, Yolanda y Pablo calcularon el área total del cubo y obtuvieron el valor 311.04 cm2 . ¿Cuál es la longitud de cada una de sus aristas? x x x x x x Analicen el problema de Yolanda y Pablo, así como las actividades que realizaron para resolverlo. Contesten las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es la incógnita del problema? b) Si x representa la longitud de una arista, ¿cómo se puede representar el área de una cara del cubo? c) ¿Cuál expresión algebraica representa al área total del cubo? d) ¿Cómo se usa el valor 311.04 cm2 para representar el área total del cubo? e) ¿Qué procedimiento se puede aplicar para resolver la ecuación obtenida? Comprueben si su respuesta es correcta, es decir, que satisfaga las condiciones establecidas en el enunciado del problema. Junto con el profesor, validen los procedimientos utilizados y el resultado obtenido. 4. Actividades individuales, en pareja, en equipo y en grupo. Las situaciones problemá- ticas, ejercicios y retos que se presentan, tienen la intención de promover tu participación colaborativa y crítica. Asimismo, buscan que tanto tú como tus compañeros socialicen sus conocimientos y reflexiones sobre lo que van aprendiendo. Con la finalidad de impulsar el desarrollo de tu pensamiento matemático, las actividades fomentan que propongas argumentos y procedimientos para discutirlos en pareja, grupo o equipo y así mostrar su validez en la resolución de problemas y la interpretación gráfica o simbólica de los resultados obtenidos. Individual En parejas En grupo En equipo Guía de uso Guía de uso
19 Soluciones para el aula 30 5. Cápsulas. Tienen la finalidad de enfatizar aspectos matemáticos que requieren un análisis o grado de abstracción y comprensión más profundo. 2 4 4 Bloque CINCO ¿Cuál es la mayor cantidad de agua que puede contener un vaso cónico como el de la figura? Aplico Las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos son las siguientes: Analiza cada situación y responde lo que se solicita. 1. Si un montón de arena tiene forma cónica, ¿cuántos metros cúbicos hay de arena, si el diámetro de la base mide 5 m y la altura del cono 2.5 m? 2. De un cilindro de plastilina se extrajo un cono con la misma base y altura que las del cilindro. Escribe una fórmula para calcular el volumen del sólido formado con el resto del cilindro. 3. Calcula el volumen del sólido compuesto por un cilindro y un cono. Revisen sus procedimientos y resultados. V r h 3 1 2 r = V r h 2 r = h r h H r H = 1.2 m h = 1 m r = 0.34 m r h h r 10 cm 15 cm Generalizo Forma, espacio y medida 111 Medida Comunico Redacta un texto en computadora en el que describas los procedimientos seguidos en cada uno de los casos anteriores y entrégaselo a tu profesor para que lo valide. Actividad extraclase 7 cm 5 cm 3 cm d d a b c P R Q 8 cm 15 cm 3. Calcula la altura de la pirámide cuadrangular, que se obtiene a partir del desarrollo plano mostrado. Aplicaciones del teorema de Pitágoras en problemas con sólidos geométricos Realiza lo que se solicita en cada caso. 1. Obtén la longitud de la diagonal de cada uno de los paralelepípedos rectos. 2. ¿Cuál es el área del triángulo formado con algunos vértices de un cubo? Glosario paralelepípedos rectos. Cuerpos geométricos forma- dos por seis caras con forma de parale- logramo, donde las caras son perpen- diculares entre sí y, además, son iguales y paralelas dos a dos. Comunico En esta cápsula se solicita que redactes un escrito o reporte con el propósito de que plasmes con tus propias palabras los conocimientos adquiridos a lo largo de una sesión. Actividad extraclase Actividad extraclase Incluye sugerencias de actividades para complementar los temas y ejercicios revisados en clase, cuya finalidad es reforzar y aplicar lo aprendido fuera del salón. Generalizo Cápsula con información cuyo objetivo es generalizar los principales resultados a partir de contenidos estudiados y las actividades realizadas. Generalizo Aplico Aplico En esta cápsula se incluye una situación problematizadora para que pongas en práctica los conocimientos que has adquirido. Guía de uso Guía de uso
30 20 Libro del maestro 145 Figuras y cuerpos Con el propósito de que conozcas otras aplicaciones del teorema de Tales, realiza una búsqueda en internet; puedes comenzar ingresando a la siguiente dirección electrónica: http://didactalia.net/gl/comunidade/materialeducativo/recurso/teorema-de-thales/ d0bcb518-8aa3-47e7-9aec-de98abbc7022 (Consulta: 17 de enero de 2015) Habilidades digitales 4. Justifica la siguiente afirmación: Un segmento LM, cuyos puntos extremos, L y M son los puntos medios de dos lados de un triángulo, resulta ser paralelo al tercer lado del triángulo AB 3PQR además, la longitud de LM es la mitad de la longitud del tercer lado. Habilidades digitales Habilidades digitales Incorpora sugerencias para que realices una búsqueda a través de medios electrónicos sobre el tema en estudio; o bien, se recomienda ingresar a una página web para que realices diversos ejercicios. Comprendo Incluye un enunciado concreto para resaltar algún punto importante del tema en estudio. Justifico Cápsula que fomenta el desarrollo de la argumentación para justificar los procedimientos utilizados en la resolución de un ejercicio. Justiico Bloqu e CUA TRO 180 Sentido numérico y pensamiento algebraico Revisa los procedimientos anteriores, para que realices lo que se indica a continuación: 1. Justifica las ecuaciones: 2a 2 3a b 6 a b c 3 2. Obtén la regla de la sucesión y verifica cuántas caras visibles tiene la cuarta figura de la sucesión de cubos. 3. ¿Cuántos cubos son necesarios para hacer una figura que tenga 503 caras visibles? En este caso se debe conocer, la expresión: h t at bt c 2 = + + ^ h Por lo que es necesario calcular los valores a, b y c. Comprendo Caída libre de cuerpos Samuel investigó acerca de la caída libre de los cuerpos. En un libro de Física, encontró un experimento para determinar la altura que va descendiendo un cuerpo en caída libre. Elaboró una tabla con los primeros valores de una sucesión que indica la distancia total recorrida en 1s, 2s y 3s. t 1 2 3 h 4.9 19.6 44.1 Con base en los datos obtenidos por Samuel y el método de diferencias, encuentra una fórmula que sirva para calcular la altura que desciende un cuerpo en caída libre durante n segundos. h = Obtén de tu libro de Física la fórmula correspondiente y compá- rala con la que planteaste. Determina las semejanzas y diferencias entre las dos fórmulas y redacta una conclusión. Presenta tus resultados al profesor para que los revise y valide. 4.9 m 14.7m 24.5 m Segundo 1 Segundo 2 Segundo 3 23 Patrones y ecuaciones 5. El cuadrado de un número es igual a 10 vec 24 se trata? Utiliza procedimientos y cálculos mentales para resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas. Pienso 4 28 428 x2 + = 30 x x 2 + = 30 x x 2 - = Comparen sus respuestas y los procedimientos que utilizaron para obtenerlas. Lean y analicen la siguiente información. Las ecuaciones como 6x2 311.04 se llaman ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas porque el mayor exponente de la incógnita es 2. Glosario ecuaciones cuadráticas. Son todas las ecuaciones que se pueden escribir en la forma: 0 ax bx c 2 + + = donde el coeficiente a es distinto de cero. Pienso Incluye una actividad que te permitirá poner en práctica lo que has aprendido con ante- rioridad. Guía de uso Guía de uso
21 Soluciones para el aula 30 6. Glosario. Aquí se definen términos para facilitar la comprensión de palabras técnicas, inusuales o de difícil comprensión. 2 6 9 Evaluación final Analiza cada planteamiento y responde lo que se solicita. 1. Para el experimento aleatorio del lanzamiento de 3 monedas, describe los eventos complementarios para estos eventos. a) Cayeron 3 águilas b) Cayeron 2 águilas En cada caso calcula las probabilidades necesarias para verificar que se cumple la igualdad: ' 1 P A P A + = El radio disminuye 10% La altura aumenta 10% 5 cm 15 cm x x 5 3 Con este código, evalúa tus habilidades para resolver problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. 2. En una empresa donde procesan hojue- las de avena utilizan envases cilín- dricos como el de la figura. ¿Cómo cambiará el volumen del cilindro si las dimensiones se modificarán tal como se indica en el recuadro? b) ¿Qué tipo de relación hay entre el volumen y el radio de un cono cuando la altura permanece constante? 4. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el volumen del cono de la figura de la derecha? 3. Describe la relación que se expresa con las variables de la fórmula para calcular el volumen de un cono cuando alguna de éstas permanece constante. a) ¿Cuál es la relación entre el volumen y la altura de un cono cuando el radio de la base es constante? Medida Relación entre el valor de la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación de la recta Justino y Marcela pretenden conocer, de manera aproximada y con base en mediciones direc- tas sobre figuras trazadas, la rela- ción que hay entre la pendiente m de la recta y el ángulo de inclinación a de una recta. Para ello trazan varias rectas de pendiente conocida y miden el valor correspondiente para a. Para que conozcan la relación entre el valor de la pendiente m y el ángulo de inclinación a de una recta, realicen lo que se solicita a continuación. 1. Usen papel cuadriculado para trazar rectas con diferentes pendientes. 2. Midan los ángulos de las rectas con el eje de las abscisas y completen los datos de la tabla. Pendiente 1/2 0.75 1 2 3 4 8 10 Inclinación a 3. Analicen las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta y el ángulo que forma la recta con el eje x; posteriormente, respondan lo que se solicita. a) ¿Cuál es el valor para el ángulo de inclinación a cuando la pendiente de la recta es 0 m = ? b) ¿Qué sucede con el valor de a cuando el valor de m se torna muy grande?. Por ejemplo, m 100 o m 1000. c) ¿Qué posición tendría la recta cuando el ángulo de inclinación sea de 90º? ¿Cuál será el valor de m en ese caso? Presenten sus respuestas al profesor para que las revise y valide. CONSTRUYO MIS CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Si m = 0, entonces la expresión y mx b = + se transforma en la expre- sión y b = . Comprendo Glosario ángulo de inclinación (de una recta). Ángulo a que forman la recta y el eje de las abscisas. pendiente (de una recta). Valor m de la expresión algebraica de la recta: y mx b = + . y = mx + 6 x y x x y = y = x y = 2x 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 y 1 2 189 7. Evaluación final. La encontrarás al final de cada bloque, por medio de ella podrás valorar y reflexionar en torno a lo que aprendiste. 8. Contenido digital. Utiliza lec- tor de código QR en dispositivo móvil y descarga actividades interactivas para que evalúes de manera lúdica los aprendizajes que obtuviste en cada bloque. Guía de uso Guía de uso
30 22 Libro del maestro Dosiicación Dosificación B1 Bloque UNO Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. 22 1 Agosto Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. 28 2 Agosto Inicio Fin Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. 35 3 Septiembre Inicio Fin 4 Manejo de la información Proporcionalidad y funciones Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. 45 5 Septiembre Inicio Fin Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. 51 6 Septiembre Inicio Fin Nociones de probabilidad Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. 59 7 Octubre Inicio Fin Análisis y representación de datos Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. 66 8 Octubre Inicio Fin Evaluación final 72 8
23 Soluciones para el aula 30 Dosiicación Dosificación B2 Bloque DOS Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. 76 9 Octubre Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. 84 10 Octubre Inicio Fin Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. 92 11 Noviembre Inicio Fin Medida Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. 100 12 Noviembre Inicio Fin Explicitación y uso del teorema de Pitágoras. 104 13 Noviembre Inicio Fin 14 Manejo de la información Nociones de probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). 114 15 Diciembre Inicio Fin Evaluación final 120 15
30 24 Libro del maestro Dosiicación Dosificación B3 Bloque TRES Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. 124 16 Diciembre Inicio Fin 17 Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. 132 18 Enero Inicio Fin Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. 138 19 Enero Inicio Fin Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. 146 20 Enero Inicio Fin Manejo de la información Proporcionalidad y funciones Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. 152 21 Febrero Inicio Fin Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 158 22 Febrero Inicio Fin Nociones de probabilidad Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 166 23 Febrero Inicio Fin Evaluación final 172 23
25 Soluciones para el aula 30 Dosiicación Dosificación B4 Bloque CUATRO Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión. 176 24 Febrero Inicio Fin Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos. 182 25 Marzo Inicio Fin Medida Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. 188 26 Marzo Inicio Fin Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo. 194 27 Marzo Inicio Fin Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. 200 28 Abril Inicio Fin 29 Manejo de la información Proporcionalidad y funciones Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa. 214 30 Abril Inicio Fin Análisis y representación de datos Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión. 218 31 Mayo Inicio Fin Evaluación final 222 31
30 26 Libro del maestro Dosificación B5 Dosiicació B3n Bloque CINCO Ejes temáticos Tema Contenidos matemáticos Página Semana Mes Sentido numérico y pensamiento algebraico Patrones y ecuaciones Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada. 226 32 Mayo Inicio Fin 33 Forma, espacio y medida Medida Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto. 234 34 Mayo Inicio Fin Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. 240 35 Junio Inicio Fin Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas. 246 36 Junio Inicio Fin Manejo de la información Proporcionalidad y funciones Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. 254 37 Junio Inicio Fin Nociones de probabilidad Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables. 262 38 Junio Inicio Fin Evaluación final 269 38
27 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B1 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 1 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Subtema Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas a través de procedimientos personales. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Asertividad Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de preguntas detonadoras, los alumnos deben construir una definición de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Se sugiere hacer planteamientos como los siguientes: • ¿De dónde proviene la palabra ecuación? • ¿Cuál es el exponente máximo de las incógnitas de una ecuación cuadrática? • ¿Qué significa resolver una ecuación cuadrática? • ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática? • ¿Cuántos términos puede tener una ecuación cuadrática? • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El docente: Proporcionará a los alumnos algunos enunciados sencillos que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas y permitan su solución a través de la intuición. Solicitará que traduzcan dichos enunciados al lenguaje matemático y, posteriormente, resuelvan las ecuaciones planteadas. A continuación, se muestran algunos ejemplos: • ¿Qué números reales elevados al cuadrado dan como resultado 121? • Menciona dos números cuyo producto equivalga a 88, siendo uno de ellos tres unidades mayor que el otro. • Pizarrón • Plumones o gises • Cuaderno • Lápiz Cierre El docente solicitará un esquema en el que se describan los pasos seguidos para solucionar cada uno de los problemas. • Cuaderno • Lápiz Evaluación El docente proporcionará dos problemas relacionados con el planteamiento de ecuaciones cuadráticas en los que puedan utilizar la intuición y el método desarrollado durante la secuencia.
30 28 Libro del maestro Secuencias didácicas Secuencia didáctica B1 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 1 Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos Subtema Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Aprendizajes esperados Explica la diferencia entre triángulos congruentes y semejantes a partir de los criterios de congruencia y semejanza. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Cooperación • Creatividad Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio Durante una lluvia de ideas, los alumnos deben enunciar los distintos tipos de triángulos y sus características, como la medida de sus ángulos y la longitud de sus lados. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El docente proporcionará hojas de colores. Solicitará trazar triángulos con ciertas propiedades. Por ejemplo: • Un triángulo isósceles cuya base mida 6 cm • Uno rectángulo con uno de sus ángulos agudos igual a 60° • Uno equilátero que tenga como longitud de sus lados 8 cm • Uno cuyos ángulos sean 120°, 45° y 15° Cuando los alumnos hayan trazado los triángulos, formarán equipos de tres o cuatro integrantes. Deben comparar sus triángulos con los de sus compañeros de equipo y determinar en qué casos son congruentes dichas figuras. Posteriormente deben explicar por qué sucede esto y describir con sus propias palabras los criterios de congruencia. Al finalizar, el docente repartirá pares de recortes de triángulos semejantes. Solicitará que determinen cuáles pares son semejantes y por qué. • Hojas de colores • Recortes de triángulos semejantes • Regla • Compás • Transportador • Lápiz • Cuaderno Cierre El docente solicitará a los alumnos que realicen un mapa mental relacionado con los criterios de congruencia y semejanza de triángulos. • Cuaderno • Lápiz Evaluación El docente proporcionará un ejercicio en el que los alumnos identifiquen los pares de triángulos congruentes y semejantes. Ellos deben justificar sus respuestas a partir de los criterios revisados en la secuencia.
29 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B1 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 1 Eje Manejo de la información Tema Nociones de probabilidad Subtema Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. Aprendizajes esperados Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio El docente recuperará los conocimientos del grupo sobre probabilidad con preguntas como: • ¿Qué significa determinar la probabilidad de obtener un evento A de un experimento? • ¿Qué juegos implican el cálculo de la probabilidad? • ¿Es posible saber al participar en un juego de azar si se va a ganar o perder? • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor solicitará que se formen equipos de tres o cuatro integrantes. Cada equipo debe proporcionar ejemplos de eventos probables, improbables e imposibles y argumentar en su cuaderno por qué están clasificados de esa forma. Proporcionará enseguida un ejemplo más de juego de azar, como un volado. Planteará preguntas que faciliten la distinción de estos tipos de eventos: probable, improbable, imposible, complementarios, excluyentes e independientes. Por ejemplo, en el caso del volado, el docente puede preguntar: • ¿Cuáles son los eventos que se pueden obtener? • ¿Es probable, improbable o imposible obtener águila? ¿Qué sucede con el evento obtener sol? • ¿Es probable, improbable o imposible obtener el número 2? • ¿Cómo es la probabilidad de obtener sol con respecto de la de obtener águila? • ¿El hecho de que se obtenga un resultado impide que se obtenga el otro? Para terminar, cada equipo redactará una síntesis con los conceptos aprendidos. • Pizarrón • Plumones o gises • Cuaderno • Lápiz Cierre Cada estudiante realizará un mapa mental sobre los conceptos aprendidos y proporcionará ejemplos de ellos. • Cuaderno • Lápiz Evaluación Para la evaluación, el profesor presentará algunos experimentos aleatorios en los que identifiquen si los eventos son complementarios, excluyentes o independientes.
30 30 Libro del maestro Secuencias didácicas Secuencia didáctica B2 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 2 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Subtema Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Aprendizajes esperados Identifica la relación existente entre las ecuaciones cuadráticas y la expresión del área de rectángulos y cuadrados (factorización). Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente propiciará que los alumnos recuperen sus conocimientos sobre factorización y ecuaciones cuadráticas. Es importante recalcar que la factorización conlleva representar expresiones matemáticas como producto de factores. • Lápiz • Cuaderno Desarrollo El docente retomará las participaciones del grupo para describir los tipos de ecuaciones cuadráticas que existen, completas e incompletas. Proporcionará ejemplos como: • Completas: x2 2 x 2 12 5 0 • Incompletas: x2 2 16 5 0 3x2 1 9x 5 0 Posteriormente, el docente sugerirá que apliquen los métodos creados por ellos en el bloque 1 (secuencia 1) para resolver las ecuaciones de los ejemplos. A partir de sus resultados, representará las expresiones matemáticas como producto de factores. Luego, dibujará en el pizarrón tres rectángulos cuyas dimensiones sean x 1 3 y x 2 4, x 1 4 y x 2 4, 3x y x 1 3 respectivamente; los alumnos deberán escribir la expresión que representa su área. Una vez factorizadas las ecuaciones cuadráticas, deben resolverlas. Los alumnos deben determinar, por último, cuál es la relación entre escribir una ecuación como el producto de factores y el área de rectángulos. • Lápiz • Cuaderno Cierre Para finalizar la actividad, los alumnos realizarán un cuadro sinóptico sobre los tipos de ecuaciones cuadráticas y las formas de resolverlas. • Lápiz • Cuaderno Evaluación El profesor presentará una serie de ecuaciones cuadráticas para que las solucionen a partir de la factorización.
31 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B2 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 2 Eje Forma, espacio y medida Tema Medida Subtema Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Aprendizajes esperados Identifica la relación entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo, a partir de recortes. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio El docente solicitará a los alumnos que mencionen las principales características de un triángulo rectángulo (catetos, hipotenusa y ángulo recto). • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor pedirá que los alumnos tracen en hojas cuadriculadas un triángulo rectángulo de seis unidades como base y cuatro unidades como altura. Luego, deberán dibujar tres cuadrados cuyos lados tengan la misma longitud que los lados del triángulo rectángulo. Al finalizar los trazos, recortarán los cuadrados. Los alumnos podrán manipular los cuadrados para verificar si los cuadrados más pequeños, recortados de determinada forma, pueden ocupar la superficie del cuadrado más grande. El docente solicitará que los alumnos trabajen en equipos de tres integrantes para intercambiar sus resultados y procedimientos seguidos para resolver la situación. Posteriormente deberán escribir un párrafo sobre sus resultados. • Hojas de colores cuadriculadas • Lápiz • Regla • Cuaderno • Tijeras • Pegamento Cierre Al concluir la actividad, deberán redactar algunas conclusiones sobre la relación entre las áreas de los cuadrados cuyos lados son iguales a los de un triángulo rectángulo. • Cuaderno • Lápiz Evaluación El docente presentará dos triángulos rectángulos con las medidas de sus longitudes para que los alumnos determinen el área del cuadrado mayor a partir de las áreas de los cuadrados más pequeños que se forman a partir de dicho triángulo.
30 32 Libro del maestro Secuencias didácicas Secuencia didáctica B2 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 2 Eje Manejo de la información Tema Nociones de probabilidad Subtema Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Aprendizajes esperados Calcula la probabilidad de eventos complementarios. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente propiciará que los alumnos expliquen qué entienden por complemento de un conjunto. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor solicitará que formen equipos de cuatro o cinco integrantes. Proporcionará a cada equipo dos dados para organizar varios juegos y, a partir de ellos, generar distintos eventos complementarios y calcular sus probabilidades. • Por ejemplo, en el experimento de lanzar un dado, se pueden considerar el evento A 5 {obtener un número par} y el evento B 5 {obtener un número impar}; en este caso, los eventos A y B son complementarios. Los alumnos deberán calcular la probabilidad de cada uno de los eventos, compararlas y posteriormente sumarlas. • ¿Qué pueden observar respecto de la suma de las probabilidades de eventos complementarios? Después de realizar los juegos y calcular la probabilidad de los eventos, el docente guiará una discusión para que lleguen a una conclusión sobre el comportamiento de las probabilidades; además deben establecer una fórmula para calcular la probabilidad de eventos complementarios. • Lápiz • Cuaderno • Par de dados por equipo Cierre El docente solicitará que elaboren un mapa mental relacionado con los eventos complementarios y el cálculo de su probabilidad. • Cuaderno • Lápiz Evaluación El profesor brindará algunos ejemplos de probabilidad en los que identifiquen si se trata de eventos complementarios o no.
33 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B3 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 3 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Subtema Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente promoverá la recuperación de los conocimientos previos del grupo acerca de las ecuaciones cuadráticas, como las características de las variables, el número de términos, etcétera. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor planteará a los alumnos algunos problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas. A continuación se presenta un ejemplo: • ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno cuadrangular si se sabe que tiene una superficie de 25 m2 ? Los alumnos deben obtener las expresiones matemáticas necesarias para llegar al resultado de cada uno de los problemas planteados. Enseguida, clasificarán las expresiones en ecuaciones cuadráticas completas y ecuaciones cuadráticas incompletas. Después las resolverán por el método que les resulte más conveniente; deben comparar y verificar sus resultados en parejas. • Lápiz • Cuaderno Cierre El profesor solicitará que elaboren un cuadro sinóptico sobre los métodos más comunes para resolver problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. De igual forma, deben argumentar la pertinencia de cada uno de esos métodos. • Lápiz • Cuaderno Evaluación El docente planteará un problema que implique el uso de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos lo resolverán y se realizará un intercambio de respuestas para evaluar los procedimientos utilizados, de esta forma se realizará una heteroevaluación.
30 34 Libro del maestro Secuencias didácicas Secuencia didáctica B3 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 3 Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos Subtema Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Aprendizajes esperados Construye figuras homotéticas. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio El docente conversará con los alumnos sobre cómo se realiza una proyección en un cine. Explicará qué sucede con la imagen que es proyectada desde la cabina. A partir de la conversación los alumnos deben inferir que la imagen observada en pantalla es la misma que la proyectada en cabina, pero de mayor tamaño, es decir ampliada. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo Después de la discusión sobre las proyecciones cinematográficas, el profesor preguntará qué entienden por factor de ampliación y de reducción, y cómo los representarían numéricamente. El profesor dividirá al grupo en equipos de cuatro integrantes. Les proporcionará algunas figuras formadas por segmentos de línea recta. Cada equipo deberá pegar en una hoja las figuras y trazarlas enseguida, pero con un factor de ampliación o reducción. Posteriormente, unirán a partir de líneas rectas los vértices correspondientes de cada una de las figuras. El docente preguntará qué pueden observar de estas líneas rectas. Una vez concluida la actividad, el profesor explicará que este tipo de transformación recibe el nombre de homotecia. Y orientará al grupo para que establezca relaciones entre las áreas de las figuras trazadas inicialmente y las obtenidas luego de utilizar el factor de homotecia. • Recortes de figuras • Pegamento • Cuaderno • Lápiz • Regla Cierre Los alumnos realizarán un mapa mental sobre la homotecia, el factor de homotecia y la forma en que se puede trazar una figura semejante a otra a partir de una figura original y un punto de referencia. • Cuaderno • Lápiz Evaluación Deberán trazar un polígono en una hoja y posteriormente localizar un punto de referencia, para dibujar a partir de ellos una figura homotética con un factor de amplitud k 5 3.
35 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B3 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 3 Eje Manejo de la información Tema Proporcionalidad y funciones Subtema Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Aprendizajes esperados Construye gráficas de funciones cuadráticas. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Análisis de datos Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente revisará con el grupo la relación entre las ecuaciones, las tablas de valores correspondientes y el plano cartesiano respecto de la elaboración gráficas. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor escribirá una función cuadrática en el pizarrón (por ejemplo: y 5 x2 2 4) y solicitará que los alumnos realicen la tabla correspondiente y después, a partir de los valores obtenidos, la gráfica de la ecuación. Al finalizarla, los orientará por medio de preguntas para que reflexionen sobre las características de la función cuadrática. Brindará otros ejemplos de funciones cuadráticas para que con base en ellos analicen las gráficas obtenidas y elaboren un mapa conceptual con las características de las funciones cuadráticas. Finalmente, trazará en el pizarrón diversas gráficas de funciones cuadráticas para que identifiquen la ecuación que modela a cada una de ellas. • Dados • Monedas • Cuaderno • Lápiz Cierre Por último, promoverá una discusión sobre la relación entre el tiro parabólico abordado en Ciencias 2 (Física) y las gráficas obtenidas a partir de las funciones cuadráticas. • Pizarrón • Plumones o gises • Cuaderno • Lápiz Evaluación El docente proporcionará una función cuadrática y pedirá que elaboren la gráfica correspondiente y que expliquen las características de las funciones cuadráticas.
30 36 Libro del maestro Secuencias didácicas Secuencia didáctica B4 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 4 Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Patrones y ecuaciones Subtema Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión. Aprendizajes esperados Utiliza el método de diferencias para definir el enésimo término de una sucesión. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Pensamiento crítico • Capacidad de análisis y síntesis Actitudes y valores • Persistencia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el docente propiciará que el grupo defina los conceptos de sucesión y término cuadrático. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El profesor solicitará a los alumnos que apliquen el método de diferencias para encontrar la expresión general cuadrática correspondiente a la sucesión: 9, 18, 31, 48, 69,… A continuación se sugiere el procedimiento a seguir: 9 18 31 48 69 9 13 17 21 4 4 4 an 5 an2 1 bn 1 c 2a 5 4 a 5 2 3a 1 b 5 9 3(2) 1 b 5 9 b 5 3 a 1 b 1 c 5 9 2 1 3 1 c 5 9 c 5 4 La expresión es an 5 2n2 1 3n 1 4 Una vez que hayan obtenido el término general correspondiente a la sucesión, deberán calcular los términos 15 y 21. Verifica sus procedimientos y resultados. • Cuaderno • Lápiz • Pizarrón Cierre Solicita que elaboren un mapa mental sobre la forma de determinar la expresión matemática del término general de una sucesión. • Cuaderno • Lápiz Evaluación Los alumnos deberán obtener la expresión del término general, así como el valor de los términos 12 y 15 de la sucesión: 11, 26, 47, 74, 107,…
37 Soluciones para el aula 30 Secuencias didácicas Secuencia didáctica B4 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 4 Eje Forma, espacio y medida Tema Medida Subtema Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Aprendizajes esperados Resuelve problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Solución de problemas Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio A partir de una lluvia de ideas, el profesor recuperará los conocimientos adquiridos por los alumnos respecto de las funciones trigonométricas y los triángulos rectángulos. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo El docente organizará a los alumnos en equipos de cuatro integrantes para resolver un problema relacionado con la aplicación de las funciones trigonométricas. Por ejemplo: • Si la luz de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 162 m, es observada desde un barco a una elevación de 30°, ¿a qué distancia se encuentra el barco del faro? Permitirá que los alumnos indaguen cómo podrían resolver este problema. Posteriormente, en una discusión dirigida, propiciará el intercambio de ideas para llegar a una solución. Verificará sus resultados y, en caso necesario, proporcionará las herramientas necesarias para corregirlos. • Lápiz • Cuaderno Cierre Los alumnos investigarán o plantearán un problema que pueda ser resuelto aplicando las funciones trigonométricas. El planteamiento del problema, al igual que la resolución formarán parte de la evaluación. • Lápiz • Cuaderno Evaluación Cada equipo deberá exponer ante el grupo el problema que investigó y cómo lo resolvió. Con base en esta actividad, se realizará una coevaluación y una autoevaluación sobre el desempeño de los estudiantes.
30 38 Libro del maestro Secuencias didácicas Secuencia didáctica B4 Escuela: Profesor(a): Asignatura: Matemáticas 3 Ciclo escolar: Fecha de elaboración: Tiempo de ejecución: Número de bloque: 4 Eje Manejo de la información Tema Análisis y representación de datos Subtema Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión. Aprendizajes esperados Calcula y explica el significado del rango y la desviación media. Competencias a desarrollar • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Habilidades • Cooperación • Pensamiento crítico • Capacidad de análisis y síntesis Actitudes y valores • Respeto • Tolerancia • Constancia Desarrollo de la actividad Fase Recursos didácticos y materiales Inicio Para recuperar conocimientos previos, el profesor solicitará a los alumnos que calculen la media aritmética (o promedio) de sus calificaciones obtenidas hasta ese momento del año escolar. • Pizarrón • Plumones o gises Desarrollo Tras recordar el significado de media aritmética, así como la forma de calcularla, el docente pedirá que busquen a un compañero con el mismo promedio o uno similar. Una vez organizados en parejas, deberán observar sus calificaciones e identificar si son las mismas o no. Posteriormente, indicarán qué tan alejada se encuentra cada una de las calificaciones de la media aritmética. Calcularán el promedio de estos valores e identificarán en cuál de los promedios están más dispersas (alejadas) las calificaciones; posteriormente deberán explicar el significado de este valor. Al concluir, calcularán la diferencia entre la calificación mayor y menor. Para terminar, establecerán las diferencias entre el valor del rango y la desviación media, así como el significado de cada uno como medida de dispersión media. • Lápiz • Cuaderno Cierre Definirán con sus propias palabras el concepto de desviación media y rango y proporcionarán otro ejemplo, cercano a su contexto, en el cual se pueda calcular el rango y la desviación media. • Lápiz • Cuaderno Evaluación El docente proporcionará una tabla de datos a partir de la cual tengan que calcular las frecuencias, la media aritmética, el rango y la desviación media.

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