Chapitre 5 arbres binaires

CHAPITRE V:
ARBRES BINAIRES
Université Saad Dahlab de Blida
Faculté des Sciences
Département d’Informatique
Licence d’Informatique
Semestre 3 (2ème année)
Algorithmique et Structures de Données
Mme AROUSSI
2016-2017
Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/

 Introduction
 Définitions et Terminologies
 Les Arbres Binaires
 Les Arbres Binaires de Recherche (ABR)
 Les Arbres AVL
2
PLAN DU CHAPITRE V

3
 Dans les tableaux, nous avons :
 Un accès direct par indice (rapide)
 L’insertion et la suppression nécessitent des décalages
 Dans les Listes Linéaires Chaînées, nous avons :
 Un accès séquentiel lent
 L’insertion et la suppression se font uniquement par modification de
chaînage
 Les arbres représentent un compromis entre les deux :
 Un accès relativement rapide à un élément à partir de sa clé
 L’insertion et la suppression non coûteuses
INTRODUCTION

4
 De plus, les arbres sont des structures de données
fondamentales en informatique, très utilisés dans tous les
domaines, parce qu’ils sont bien adaptés à la
représentation naturelle d’informations homogènes
organisées, et d’une grande commodité et rapidité de
manipulation.
INTRODUCTION

5
 Leur usage est multiple, car il capte l’idée de hiérarchie; à
titre d’exemples, nous pouvons citer:
 Découpage d’un livre en parties, chapitres, sections,
paragraphes…,
INTRODUCTION
Livre
C1 C2 C3
S1.1 S1.2 S2.1 S2.2 S2.3
S2.1.1 S2.1.2

6
 Hiérarchies de fichiers,
INTRODUCTION
/
etc/ var/ tmp/
run/rc.d/ apache/
httpd.conf
inet.conf
rc.localrc.inet1

7
 Expressions Arithmétiques
INTRODUCTION
-
A *
+ F
B *
C -
D E
 L’expression A - (B + C * (D - E)) * F
se représente facilement par un arbre
où apparaît clairement la priorité des
opérations:

8
DÉFINITIONS & TERMINOLOGIES
 Un arbre est une structure de données (souvent dynamique)
représentant un ensemble de valeurs organisées
hiérarchiquement (non linéaire). Chaque valeur est stockée dans
un nœud. Les nœuds sont connectés entre eux par des arêtes
qui représentent des relations parent/fils.
A
C DB
E G HF I
LKJ
NœudsArêtes

9
 Racine: est le nœud qui n'a
pas de prédécesseur (parent) et
possède zéro ou plusieurs fils. La
racine constitue la caractéristique
d'un arbre.
 Feuille : est un nœud qui n'a
pas de successeur (fils). Une
feuille est aussi appelée un nœud
externe.
 Nœud interne : est tout nœud
qui admet au moins un
successeur (fils).
A
C DB
E G HF I
LKJ
Racine
Nœud interne
Feuilles

10
 Fils d’un nœud : sont ses
successeurs. Dans l'exemple, F,
G, H, et I sont les fils du nœud D.
 Frères : sont les successeurs
ou les fils issus d'un même nœud
(parent direct). Dans l'exemple,
B, C et D sont des frères.
 Père : est un nœud qui admet
au moins un successeur (fils).
Dans l'exemple, D est le père des
nœuds F, G, H et I.
A
C DB
E G HF I
LKJ

11
 Sous arbre : est une portion
de l'arbre. Dans l'exemple, le
nœud G avec ces deux fils J et K
constituent un sous arbre.
 Une branche est une suite de
nœuds connectés de père en fils
(de la racine à une feuille).
A-B-E
 A-C
 A-D-F
A-D-G-J
…..
A
C DB
E G HF I
LKJ

12
 Descendants d’un nœud :
sont tous les nœuds du sous arbre
de racine nœud. Dans l'exemple,
les descendants de D sont F, G,
H, I, J, K et L.
 Ascendants d’un nœud :
sont tous les nœuds se trouvant
sur la branche de la racine vers
ce nœud. Dans l'exemple, les
ascendants de J sont G, D et A.
Les ascendants de E sont B et A.
A
C DB
E G HF I
LKJ

13
 Taille d’un arbre: est le
nombre de nœuds qu’il possède.
 Taille de l’arbre ci contre = 12
 Un arbre vide est de taille
égale à 0.
Degré d’un nœud : est le
nombre de ses fils. Dans
l'exemple, le degré de B est 1, le
degré de D est 4.
 Degré d’un arbre : est le
degré maximum de ses nœuds.
 Degré de l’arbre ci contre = 4
A
C DB
E G HF I
LKJ

14
 Le niveau d'un nœud: est la distance qui le sépare de la
racine:
 Le niveau de la racine = 0
 Le niveau de chaque nœud est égale au niveau de son père plus 1
 Le niveau du nœud contenant ‘G' est égal à 2.
Racine
…..…………..…………………………………………….......
………………..…………………………………………….......
……………………………….......
.…………………………………………….......
A
C DB
E G HF I
LKJ
Niveaux
0
1
2
3

15
 La profondeur d'un arbre (ou sa hauteur) : est le plus
grand niveau, c-à-d la distance entre la racine et la feuille la plus
lointaine. Dans l'exemple, la profondeur de l'arbre est égal à 3
Racine
…..…………..…………………………………………….......
………………..…………………………………………….......
……………………………….......
.…………………………………………….......
A
C DB
E G HF I
LKJ
Niveaux
0
1
2
3

16
 Forêt : est un ensemble d'arbres.
A
C DB
E
G
HF I
L
KJ

17
Définition récursive
 Cas particulier: NIL est un arbre vide, contenant zéro nœud
T1
T’1
Racine
Racinede T1
Racinede T’1
 Cas général: SI n est un
nœud et si T1, T2, ...Tm sont
des arbres, ALORS on peut
construire un nouvel arbre en
connectant T1, T2, ...Tm
comme des fils à n.
 Chaque Ti est définit de la
même manière (récursivement).
 T1, T2, ...Tm sont alors des
sous- arbres de n.

 Définition
 Modèle
 Parcours
 Représentation contigüe
 Exemple d’application
19
PLAN DE LA PARTIE II

20
DÉFINITION
Un arbre binaire est un arbre où chaque nœud est connecté à
deux sous-arbres (un sous-arbre gauche et un sous-arbre droit).
Donc, un arbre binaire est un arbre de degré 2, c’est-à-dire que
chaque nœuds a au plus deux fils. Ainsi, le premier fils d'un nœud
n est appelé Fils-Gauche (FG) et le deuxième fils est appelé Fils-
Droit (FD). A
B
C KG
F
H I
J
racine
D
NIL

21
DÉFINITION
 Un arbre binaire est dit strictement binaire si chaque nœud
interne (non feuille) a exactement 2 fils différents de NIL.
 Si un arbre strictement binaire a n feuilles Alors :
 le nombre total de ses nœuds = 2n-1.
 le nombre de ses nœuds non feuilles (nœuds internes) = n-1
A
B
C KG
F
H I
J
racine
D
M
 Le nombre de feuilles : n=6
(C, D,H, M, J, K)
 Le nombre total de nœuds :
2n-1=11
 Le nombre de nœuds
internes: n-1=5 (A, B, F, G, I)

22
DÉFINITION
 Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire où
toutes les feuilles sont au même niveau.
 Dans un arbre binaire complet de profondeur « d » :
le nombre total de nœuds n = 20 + 21 + 22 + ... 2d = 2d+1-1
ainsi, d = log2(n+1) – 1
le nombre de nœuds internes = 2d-1
le nombre de feuilles = 2d
le nombre de nœuds dans le niveau i = 2i
racine
D
A
B
C KG
F

23
DÉFINITION
 Un arbre binaire complet est un arbre strictement binaire où
toutes les feuilles sont au même niveau.
 Dans l’exemple ci dessous:
d = 2
le nombre total de nœuds n = 23-1 = 7
le nombre de nœuds internes = 22-1 = 3
le nombre de feuilles = 22 = 4
le nombre de nœuds dans le niveau 1 = 2
racine
D
A
B
C KG
F

24
MODÈLE
 L'arbre est implémenté souvent de manière dynamique
comme un ensemble de maillons (nœuds) chaînés entre eux.
 La structure d'un nœud de l'arbre est la suivante :
Structurede Données
TYPE Tnoeud = STRUCTURE
Info : Typeqq
FG : * Tnoeud
FD : * Tnoeud
FIN
VAR Arbre: * Tnoeud

25
MODÈLE
 On définit le modèle (machine abstraite) suivant d’un arbre
binaire:
Fonction Rôle
Info(p) permet d'accéder à l'information du nœud p
FG(p) permet d'accéder à l'information de fils gauche du nœud p
FD(p) permet d'accéder à l'information de fils droit du nœud p
Aff_info(p, x) permet de modifier l'information du nœud p
Aff_FG(p, q) permet de modifier l’adresse de fils gauche du nœud p
Aff_FD(p, q) permet de modifier l‘adresse de fils droit du nœud p
Créer_noeud(x)
permet de créer un nœud avec x comme information et
retourne la référence du nœud. Le nœud créé a Nil comme fils
gauche et droit.
Liberer_noeud(p) permet de libérer le nœud référencé par p.

26
EXERCICE 01
 Ecrire des algorithmes récursifs pour déterminer dans un
arbre binaire contenant des entiers:
a. le nombre de nœuds,
b. le nombre de feuilles,
c. le nombre des nœuds internes
d. la profondeur.
e. la somme des contenus de tous les nœuds,
f. le minimum des valeurs contenues.
g. le maximum des valeurs contenues
h. l’existence d’un élément x

27
PARCOURS
 Le parcours d’un arbre consiste à passer par tous ses
nœuds.
 Les parcours permettent d’effectuer tout un ensemble de
traitement sur les arbres.
 On distingue deux types de parcours :
 Des parcours en profondeur (depth-first) explorent
l'arbre branche par branche. Parmi lesquels: le Préordre,
l‘Inordre et le Postordre.
Des parcours en largeur (breadth-first) explorent
l'arbre niveau par niveau

28
PARCOURS EN PROFONDEUR
 Dans un parcours en profondeur, on descend le plus
profondément possible dans l’arbre puis, une fois qu’une
feuille a été atteinte, on remonte pour explorer les autres
branches en commençant par la branche « la plus basse »
parmi celles non encore parcourues.
 Le parcours en profondeur peut se faire en :
Préordre (Préfixe) : où on affiche la racine avant ses fils (Racine
FG FD),
Inordre (Infixe) : où on affiche le fils gauche avant sa racine et
son frère droit (FG Racine FD),
 Postordre(Postfixe) : où on affiche les fils avant leur racine (FG
FD Racine).

29
 Ces parcours (préordre, inordre et postordre) sont des
parcours simples à définir et à programmer (en récursif).
 Soit R un arbre binaire (pouvant être vide : R=NIL).
 S'il n'est pas vide (n pointe le nœud racine), alors il a la forme
suivante (avec T1 et T2 des sous arbres définis de la même manière
que n) :
R
T1 T2
Sous arbre gauche G Sous arbre droit D

30
PARCOURS PREORDRE
 Le parcours préordre de R (s'il n'est pas vide) consiste à
visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir récursivement
en préordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2
(sous arbre droit) ce qui donne : [ R , T1 , T2 ou RGD]
R
T1 T2

31
PARCOURS PREORDRE
 Le parcours préordre de R (s'il n'est pas vide) consiste à
visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir récursivement
en préordre les sous arbres T1 (sous arbre gauche) puis T2
(sous arbre droit) ce qui donne : [ R , T1 , T2 ou RGD]
A
B C
E GD F
H I
HID EB FGA CRésultat de parcours:

32
PARCOURS PREORDRE
 La procédure (récursive) qui affiche les valeurs en
parcours préordre d’un arbre de racine R est :
Procédure Préordre( R:* Tnoeud )
Début
SI R ≠ NIL
ecrire( Info(R) )
Préordre( FG(R) )
Préordre( FD(R) )
FSI
fin

33
PARCOURS INORDRE
 Le parcours inordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en inordre le sous arbre
gauche T1, puis visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir
récursivement en inordre le sous arbre droit T2 ce qui donne
[ T1 , R , T2 ou GRD ]
R
T1 T2

34
PARCOURS INORDRE
 Le parcours inordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en inordre le sous arbre
gauche T1, puis visiter le nœud racine (R) ensuite parcourir
récursivement en inordre le sous arbre droit T2 ce qui donne
[ T1 , R , T2 ou GRD ]
A
B C
E GD F
H I
Résultat de parcours: H ID EB F GA C

35
PARCOURS INORDRE
parcours inordre d’un arbre de racine R est :
Procédure Inordre( R:*Tnoeud )
Début
SI R ≠ NIL
Inordre( FG(R) )
ecrire( Info(R) )
Inordre( FD(R) )
FSI
fin

36
PARCOURS POSTORDRE
 Le parcours postordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en postordre les sous
arbres T1 puis T2 ensuite visiter le nœud racine (R) ce qui
donne [ T1 , T2 , R ou GDR]
R
T1 T2

37
PARCOURS POSTORDRE
 Le parcours postordre de R (s'il n'est pas vide) consiste
d'abord à parcourir récursivement en postordre les sous
arbres T1 puis T2 ensuite visiter le nœud racine (R) ce qui
donne [ T1 , T2 , R ou GDR]
A
B C
E GD F
H I
Résultat de parcours: HIDEBFG AC

38
PARCOURS POSTORDRE
parcours postordre d’un arbre de racine R est :
Procédure Postordre( R: *Tnoeud)
Début
SI R≠NIL
Postordre( FG(R) )
Postordre( FD(R) )
ecrire( Info(R) )
FSI
fin

39
 On peut faire ces trois parcours sans utiliser la
récursivité. Il faudra alors un moyen pour pouvoir remonter
dans les branches de l'arbre:
 On pourra par exemple utiliser une structure de pile pour
sauvegarder les adresses des nœuds par lesquels on est descendu et
les dépiler quand on en aura besoin pour remonter.
 On peut aussi enrichir la structure des nœuds en incluant un
pointeur vers le nœud père.
 Il existe d'autres types de parcours en profondeur, comme
par exemple:
 Le préordre inverse (R T2 T1 ou RDG),
 L'inordre inverse (T2 R T1 ou DRG),
 Le postordre inverse (T2 T1 R ou DGR).

40
 Exercice 02: Trouver les algorithmes itératifs du
parcours en profondeur (préordre, inordre et postordre ) dans
un arbre binaire

41
PARCOURS EN LARGEUR
 Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même
niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant
Résultat de parcours:A
B C
E GD F
H I
HIDEB FGA C

42
PARCOURS EN LARGEUR
 Dans le parcours par niveau, tous les nœuds d’un même
niveau sont traités avant de descendre au niveau suivant
Procédure parcours_largeur( R:* Tnoeud )
Var F:filed’attente; P: *Tnoeud;
Debut
P←R;
Si R ≠ NIL Alors
Enfiler(F,P);
TQ (Non FileVide(F))
Defiler(F,P);
écrire(info(P));
Si FG(P) ≠ NIL Alors Enfiler(F,FG(P));
Si FD(P) ≠ NIL Alors Enfiler(F,FD(P));
FTQ
Fin

43
EXERCICE 01
 Ecrire des algorithmes itératifs pour déterminer dans un
arbre binaire contenant des entiers:
a. le nombre de nœuds,
b. le nombre de feuilles,
c. le nombre des nœuds internes
d. la profondeur.
e. la somme des contenus de tous les nœuds,
f. le minimum des valeurs contenues.
g. le maximum des valeurs contenues
h. l’existence d’un élément x

44
REPRÉSENTATION CONTIGÜE
 On peut présenter les arbres de manière statique en
utilisant les tableaux.
 Représentation Standard:
 Chaque élément du tableau possède quartes champs: un pour
l'information, un pour le fils gauche, un pour le fils droit et un champ
de type booléen pour indiquer si la case est libre ou occupée.
TYPE Tnoeud=STRUCTURE
Info : Typeqq
FG : entier
FD : entier
vide: booléen
FIN

45
 Si la racine de l’arbre est toujours à la position 1 du tableau,
l’arbre sera défini comme suit:
VAR Arbre = TABLEAU[M] deTnoeud
Indice Tnoeud
Vide FG Info FD
0 F 1 a 4
1 F 2 b 3
2 F -1 c -1
3 F -1 d -1
4 F -1 e -1
… V ? ? ?
M-1 V ? ? ?

Racine
46
 Si on veut que la racine soit n'importe où dans le tableau, alors
l'arbre sera défini (le nœud reste inchangé):
TYPE Tarbre= STRUCTURE
T : TABLEAU[M]de Tnoeud
Racine: ENTIER
FIN
VAR Arbre: Tarbre
Indice Tnoeud
Vide FG Info FD
0 F -1 c -1
1 F 0 b 3
2 F 1 a 4
3 F -1 d -1
4 F -1 e -1
… V ? ? ?
M-1 V ? ? ?

PARTIE III:
ARBRES BINAIRES DE
RECHERCHE(ABR)

 Définition
 Complexité
 Parcours
 Opérations de Recherche et de mise à jours (Insertion et
Suppression)
 Exemples d’application: Tri par ABR
48
PLAN DE LA PARTIE III

49
DÉFINITION
 Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre
binaire ordonné tel que pour tout nœud « i »:
 Toutes les valeurs du sous arbre gauche de « i » sont strictement
inférieures à la valeur (ou clé) de « i », et
 Toutes les valeurs du sous arbre droit de « i » sont supérieures ou
égales à la valeur (ou clé) de « i ».

50
DÉFINITION
 Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre
binaire ordonné tel que pour tout nœud « i »:
 Toutes les valeurs du sous arbre gauche de « i » sont strictement
inférieures à la valeur (ou clé) de « i », et
 Toutes les valeurs du sous arbre droit de « i » sont supérieures ou
égales à la valeur (ou clé) de « i ».
 Intérêt de cette propriété : diminuer la complexité
temporel de recherche, d’insertion et de suppression dans
l’arbre

51
PARCOURS
 Exemple: Appliquer les différents parcours vus sur
l’ABR suivant:
20
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52
 Le parcours inordre de cet arbre donne la liste ordonnée
suivante : 3, 5, 8, 10, 15, 20, 27, 33, 52, 55, 59, 71

52
OPÉRATION DE RECHERCHE
 La recherche est dichotomique, à chaque étape, un sous
arbre est éliminé:
 Rechercher (55)
 Rechercher (FD(20))
 Rechercher (FG(59))
 Rechercher (FD (33))
 Élément trouvé
20
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52
55 ?

53
 La recherche est dichotomique, à chaque étape, un sous
arbre est éliminé:
 Rechercher (6)
 Rechercher (FG (10))
 Rechercher (FG (8))
 Rechercher (Nil)  Élément non trouvé
20
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52
6 ?

54
 Exercice 07 : Trouver les algorithmes (récursifs et
itératifs) de recherche, d'insertion et de suppression
dans un Arbre Binaire de Recherche (ABR).

55
Fonction RechercherABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
Si R =Nil alors
Retourner (Nil)
Sinon
Si Info (R) = x alors
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Retourner (RechercherABR_rec(FG(R), x))
Sinon
Retourner (RechercherABR_rec(FD(R), x))
Fin

56
Fonction RechercherABR _iter(R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
TQ R ≠Nil faire
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)>x alors
RFG(R)
Sinon
RFD(R)
FTQ
Retourner (Nil)
Fin

57
OPÉRATION D’INSERTION
 L'insertion d'un élément se fait toujours au niveau d'une
feuille. Cette insertion dans un ABR doit maintenir la
propriété d’ordre des arbres de recherche. Ainsi:
1. Rechercher la position d’insertion
2. Raccorder le nouveau nœud à son parent

58
 RechercherPosition (25)
 Position trouvé pour l’insertion, le père est le nœud 27
 Insérer 25 au niveau de la feuille dont le père est 27
20
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52
+ 25
25

59
 Exercice 06 :
1. Soit R un arbre binaire de recherche (ABR)
a. Construire cet arbre partir des valeurs suivantes :
25, 60, 35, 10, 5, 20, 65, 45, 70, 40, 50, 55, 30, 15
b. Ajouter à l'arbre obtenu et dans l'ordre, les
éléments suivants : 22, 62, 64, 4, 8
c. Supprimer de l'arbre obtenu et dans l'ordre les éléments
suivants : 15, 70, 50, 35, 60, 25

60

61
Fonction InsererABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
Si R =Nil alors
RCreerNoeud(x)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Aff_FG(R, InsererABR_rec(FG(R), x))
Sinon
Aff_FD(R, InsererABR_rec(FD(R), x))
Retourner (R)
Fin

62
Fonction InsererABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
PCreerNoeud(x)
Si R =Nil alors
RP
Sinon
Inserer  faux
TQ (non inserer) faire
Si Info(R)>x alors
Si FG(R) =Nil alors
Aff_FG(R, P); inserer vrai
Sinon RFG(R)
Sinon
Si FD(R)=Nil alors
Aff_FD(R, P); inserer vrai
Sinon RFD(R)
Retourner (R)

63
OPÉRATION DE SUPPRESSION
 Pour supprimer le nœud « i » d’un ARB, il faudra le
rechercher. Une fois le nœud « i » trouvé, on se trouve
dans une des situations suivantes :

64
 Cas 1: Suppression d'une feuille
 Il suffit de l'enlever de l'arbre vu qu'elle n'a pas de fils.
 Exemple: supprimer le nœud i qui contient la valeur 8
1. Rechercher(8)
2. Libérer le nœud « i »
« i »
20
15 59
5
3 10
27 71
33
8
55
52
12

65
 Cas 2: Suppression d'un nœud avec un fils
 Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaçant par son fils.
 Exemple: supprimer le nœud « i » qui contient la valeur 10
1. Rechercher(10)
2. Chainer le père de i avec le FD(i)
« i »
20
15 59
5
3 10
27 71
33
12 55
52

66
 Cas 2: Suppression d'un nœud avec un fils
 Il faut l'enlever de l'arbre en le remplaçant par son fils.
 Exemple: supprimer le nœud i qui contient la valeur 10
1. Rechercher(10)
2. Chainer le père de i avec le FG(i)
« i »
20
15 59
5
3 10
27 71
33
55
52
8

67
 Cas 3: Suppression d'un nœud avec deux fils
 Etape 1: On échange le nœud à supprimer avec son successeur
le plus proche (le nœud le plus à gauche du sous-arbre droit) ou
son plus proche prédécesseur (le nœud le plus à droite du
sous-arbre gauche). Cela permet de garder une structure d'arbre
binaire de recherche. 34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32
Le plus proche
prédécesseur
Le plus proche
successeur

68
 Etape 1  Cas A: On échange le nœud à supprimer avec son
successeur le plus proche (le nœud le plus à gauche ou le plus
petit du sous-arbre)
 Racine: 71
 La plus petite valeur : 69
34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32

69
successeur le plus proche (le nœud le plus à gauche ou le plus
petit du sous-arbre)
 Racine: 71
34
66
50
56
55
71
70
69
81
Fonction Successeur (R: *Tnoeud): *Tnoeud
Debut
RFD(R)
Si R≠Nil alors
TQ FG(R)≠Nil faire RFG(R)
Retourner (R)
Fin

70
plus proche prédécesseur (le nœud le plus à droite ou le plus
grand du sous-arbre gauche).
 Racine: 50
 La plus grande valeur : 56
34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32

71
plus proche prédécesseur (le nœud le plus à droite ou le plus
grand du sous-arbre gauche).
 Racine: 50
34
66
50
56
55
71
70
69
Fonction Predecesseur (R: *Tnoeud): *Tnoeud
Debut
RFG(R)
Si R≠Nil alors
TQ FD(R)≠Nil faire RFD(R)
Retourner (R)
Fin

72
 Etape 2: on applique à nouveau la procédure de suppression qui
est maintenant une feuille ou un nœud avec un seul fils.
 Ainsi, si on choisit d’échanger le nœud « 66 » avec son plus proche
successeur « 69 », on obtient
34
66
50
56
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32
69

73
 Puis on applique à nouveau la procédure de suppression qui est
maintenant une feuille ou un nœud avec un seul fils.
 Ainsi, si on choisit d’ échanger le nœud « 66 » avec son plus proche
prédécesseur« 56 », on obtient
34
66
50
55
71
70
69
81
22
8
17
9
29
25
23 32
56

74
 En conclusion, pour supprimer le nœud « i » d’un ARB, il
faudra le rechercher. Une fois trouvé, on rencontre une
des situations suivantes :
Cas
« i »
Action
FG FD
Feuille Nil Nil Libérer le nœud « i »
Avec un
fils
Nil ≠Nil Chaîner le père au fils de « i » (FG(i) ou
FD(i)) ensuite libérer le nœud « i »≠Nil Nil
Avec
deux
fils
≠Nil ≠Nil
1. Rechercher le plus proche
prédécesseur ou successeur de « i »,
soit « P ».
2. Remplacer Info(i) par Info(P)
3. Supprimer le nœud « P »

75
 Exercice 06 :
1. Soit R un arbre binaire de recherche (ABR)
25, 60, 35, 10, 5, 20, 65, 45, 70, 40, 50, 55, 30, 15
b. Ajouter à l'arbre obtenu et dans l'ordre, les éléments
suivants : 22, 62, 64, 4, 8
c. Supprimer de l'arbre obtenu et dans l'ordre les
éléments suivants : 15, 70, 50, 35, 60, 25

76

77
Fonction SupprimerABR_iter (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
RechercherABR (R, x, Q, P) Procedure RechercherABR (R: *Tnoeud, x:
entier, Var Q: *Tnoeud, Var Père: *Tnoeud)
Père Nil; Q Nil;
TQ R ≠Nil faire
QR
Sinon
PèreR
Si Info(R)>x alors
RFG(R)
Sinon
RFD(R)
FTQ
Cette procédure
retourne l’adresse du
nœud contenant x
(soit Q) ainsi que
l’adresse de son père
(soit Père)

78
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
RechercherABR (R, x, Q, P)
Si Q ≠Nil alors
// l’élément x existe dans Q
Si FG(Q) =Nil alors
Si FD(Q) =Nil alors
//Cas n°1: Q est une feuille
Chaîner (R, P, Q, Nil)
Sinon //Cas n°2: Q possède un FD
Chaîner (R, P, Q, FD(Q))
Sinon
Si FD(Q) =Nil alors
//Cas n°2: Q possède un FG
Chaîner (R, P, Q, FG(Q))
Cette procédure
permet de chaîne le
père de Q (P) avec le
Fil de Q selon la
valeur de Q

79
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
Si Q ≠Nil alors
// l’élément x existe dans Q
Si FG(Q) =Nil alors
Si FD(Q) =Nil alors
//Cas n°1: Q est une feuille
Sinon
Si FD(Q) =Nil alors
//Cas n°2: Q possède un FG
Procedure Chaîner (Var R:
*Tnoeud , PèreQ, NoeudQ, FilsQ:
*Tnoeud)
Si PèreQ =Nil alors
RFilsQ
Sinon
Si Info(PèreQ)>info(NoeudQ)
alors
Aff_FG(PèreQ, FilsQ)
Sinon
Aff_FD(PèreQ, FilsQ)

80
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
Si Q ≠Nil alors // l’élément x existe dans Q
Si FG(Q) =Nil alors
Si FD(Q) =Nil alors //Cas n°1: Q est une feuille
Sinon
Si FD(Q) =Nil alors //Cas n°2: Q possède un FG
Sinon // Cas n°3: Q possède deux fils
Successeur (Q, S, PS)
Cette procédure retourne l’adresse du successeur
de Q (S) ainsi que l’adresse de son père (PS)

81
Var P, Q: *Tnoeud
Debut
Si FG(Q) =Nil alors
Sinon
Procédure Successeur (R: *Tnoeud, Var S, PS: *Tnoeud)
PSR; SFD(R)
Si (S≠Nil) alors
TQ FG(S)≠Nil faire PSS; SFG(S)

82
Fin faux
TQ non fin faire
Si FG(Q) =Nil alors
Chaîner (R, P, Q, Nil); Fin vrai
Chaîner (R, P, Q, FD(Q)); Fin vrai
Sinon
Chaîner (R, P, Q, FG(Q)); Fin vrai
Aff_Info (Q, Info(S))
QS; PPS; xInfo(S)
FTQ
LibererNoeud(Q)
FSI
Retourner (R)

83
Fonction SupprimerABR_rec (R:*Tnoeud, x: entier) : * Tnoeud
Debut
Si R =Nil alors
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Aff_FG(R, SupprimerABR_rec(FG(R), x))
Retourner (R)
Sinon
Si Info(R)<x alors
Aff_FD(R, SupprimerABR_rec(FD(R), x))
Retourner (R)
Sinon // Info(R) = x
Retourner (SupprimerRacine (R))
Fin

84
Fonction SupprimerRacine (R:*Tnoeud) : * Tnoeud
Debut
Si FG(R) =Nil alors
Si FD(R) =Nil alors //Cas n°1: R est une feuille
LibérerNoeud(R)
Retourner (Nil)
Sinon //Cas n°2: R possède un FD
DFD(R)
LibérerNoeud(R)
Retourner (D)
Sinon
Si FD(Q) =Nil alors //Cas n°2: R possède un FG
GFG(R)
LibérerNoeud(R)
Retourner (G)
Sinon // Cas n°3: R possède deux fils
SSuccesseur (R)
Aff_Info (R, Info(S))
Aff_FD(R, SupprimerABR_rec(DF(R), Info(S)))
Retourner (R)
Fin

85
EXEMPLE D’APPLICATION: TRI PAR ABR
 Exercice 10: Étant donné un tableau d’entiers T (n: sa
taille), dire comment peut on trier ce tableau en utilisant
un Arbre Binaire de Recherche (ABR)?
 Exemple:
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38

86
1. Insérer toutes les éléments du tableau dans un
ABR
20 15 10 35 19 13 5 3 12 7 16 40 25 38
20
15 35
10
19
5 13
3 7 12
25 40
38
16

87
2. Parcourir l’ABR en inordre : GRD
3 5 7 10 12 13 15 16 19 20 25 35 38 40
20
15 35
10
19
5 13
3 7 12
25 40
38
16

88
Procedure Tri_ARB(Var T: Tableau, n: entier)
Debut
RNil
Pour i0 à n-1 faire RInsererABR (R, T[i]).
Inordre (R, T); //Parcours Infixe
Fin
Indice est une variable globale initialisée à 0
Procedure Inordre (R: *Tnœud, Var T: Tableau)
Si ( R Nil) alors //Arbre n’est pas vide
Inordre(FG(R), T))
T[indice]Info(R) //Écrire la valeur dans le tableau
indice++
Inordre(FD(R), T)

PARTIE IV:
ARBRES BINAIRES DE
RECHERCHE ÉQUILIBRÉS
(ARBRES AVL)

 Introduction
 Définition
 Techniques d’équilibrage
 Opérations de Base: Recherche, Insertion et
Suppression
90
PLAN DE LA PARTIE IV

91
INTRODUCTION
 La complexité au meilleur des cas de la recherche, de
l’insertion et de la suppression dans un ABR est O(h), où
h est la hauteur (ou profondeur) de l’arbre. Ce cas est
atteint par des arbres équilibrés
 Cependant, la complexité au pire cas pour un arbre à n
nœuds, est O(n). Ce cas est atteint par des arbres très
déséquilibrés, ou «filiformes».
 Plusieurs espèces des arbres équilibrés ont été
développés: les arbres AVL, les arbres 2-3, les arbres
rouge et noir, etc.

92
INTRODUCTION
O (n)O (h) tel que h = log2(n)
87 ?
ABR Equilibré Filiforme

93
DÉFINITION
 Les arbres AVL ont été introduits par les finlandais Adelson-
Velskii et Landis dans les années 60.
 Un arbre AVL est un ABR équilibré dont:
 la différence de hauteur (ou profondeur) entre le sous-
arbre gauche et le sous-arbre droit d'un nœud « R » diffère
d'au plus 1.
|Profondeur(FG(R) ) – Profondeur(FD(R)) | ≤ 1
 les arbres gauches et droits d'un nœud sont des arbres
AVL.
 Un champs supplémentaire est ajouté à tous les nœuds: c’est le
facteur de déséquilibre (appelé aussi facteur de balance «
Bal ») qui est calculé après chaque insertion/suppression.

94
EXEMPLE
100
50
30 80
200
10
150
40
 Exemple: soit l’ABR suivant. Est-il un arbre AVL?
+1
+1 +1
0 0 0
0
Notons:
 que l’arbre vide a la
hauteur −1,
 Et qu’une feuille est un
arbre de hauteur 0.
 L’arbre vide et l’arbre
réduit à une feuille,
sont des arbres AVL
Cet arbre est un arbre AVL
À vérifier pour chaque nœud R, on a:
| Profondeur(FG(R) ) – Profondeur(FD(R)) | <= 1
0

95
EXEMPLE
 Exemple: Cet ABR est un arbre AVL avant insertion
Insérer la valeur 5 100
50
30 80
200
10
150
40
Cet arbre n’est pas un arbre AVL après insertion de 5
 arbre déséquilibré
50
+1
+1
0
+1
0 0
+2Après insertion, calculer le
facteur de déséquilibre de
chaque nœud.

96
EXEMPLE
 Exemple: Cet ABR est un arbre AVL avant insertion
Insérer la valeur 45
Cet arbre n’est pas un arbre AVL après insertion de 45
 arbre déséquilibré
100
50
30 80
200
10
150
40
450
0
-1
-1
+1
0 0
+2

97
TECHNIQUES D’ÉQUILIBRAGE
 L’opération d’équilibrage, appelée rotation, s’applique à tous les
arbres binaires.
 Le but des rotations est de pouvoir rééquilibrer un ABR.
 On opère donc une rotation gauche lorsque l’arbre est
«déséquilibré à droite», i.e. son sous-arbre droit est plus haut
que son sous-arbre gauche.
 On opère une rotation droite dans le cas contraire à savoir son
sous-arbre gauche est plus haut que son sous-arbre droit.
 Les rotations ne sont donc définies que pour les arbres binaires non
vides dont le sous-arbre gauche (pour rotation gauche) et sous-arbre
droit (pour rotation droite) n’est pas vide.
 Les rotations préservent l’ordre des données d’un ABR (parcours
inordre).

98
 Rotation simple : Rotation droite
 Soit A=(B, R, Z) un arbre binaire tel que B=(X, P, Y).
 La rotation droite est l’opération:
((X, P, Y), R, Z) → (X, P, (Y, R, Z))
R
P
X
(hauteur
h+1/h)
Déséquilibre gauche
Y
(hauteur
h/h)
Z
(hauteur
h/h-1)
P
R
X
(hauteur
h+1/h)
Y
(hauteur
h/h)
Z
(hauteur
h/h-1)
+1 ou 0
+2
0 ou -1
0 ou 1
Rotation droite

99
 Rotation simple : Rotation gauche
 Soit A=(X, R, B) un arbre binaire tel que B=(Y, P, Z).
 La rotation gauche est l’opération:
( X, R, (Y, P, Z)) → ((X, R, Y), P, Z)
P
R
X
(hauteur h/h-1)
Y
(hauteur h)
Z
(hauteur
h+1/h)
R
P
Déséquilibre droit
X
(hauteur
h/h-1)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h+1/h)
-1 ou 0
-2
0 ou -1
0 ou +1Rotation gauche

100
 Rotation double : double rotation gauche-droite
 C’est une rotation gauche sur le sous arbre-gauche du nœud R
suivie d’une rotation droite sur le nœud R
P
Q
R
D
(h)
CB
A
(h)
Q
P
R
D
(h)
C
BA
(h)
Rotation gauche Rotation droite
Q
P R
D
(h)
CBA
(h)
((A, P, (B, Q, C)), R, D) → (((A, P, B), Q, C), R, D) → ((A, P, B), Q, (C, R, D))
-1
+2
0+2

101
 Rotation double : double rotation droite-gauche
 C’est une rotation droite sur le sous arbre-droit du nœud R suivie
d’une rotation gauche sur le nœud R
Rotation droite Rotation gauche
(A, R, ((B, Q, C), P, D)) → (A, R, (B, Q, (C, P, D))) → ((A, R, B), Q, (C, P, D))
P
Q
R
A
(h)
+1
-2
B C
D
(h)
Q
P
R
-2
A
(h)
B
C D
(h)
Q
R P
0
A
(h)
B C D
(h)

102
OPERATIONS DE BASE
 La recherche est identique à celui des ABR car les
arbres AVL sont avant tout des ABR équilibrés.
 L’insertion d’un élément dans un arbre AVL peut
provoquer un déséquilibre. Donc, pour rétablir l’équilibre
(rééquilibrer) de l’arbre après une insertion, une seule
rotation (simple ou double) suffit.
 La suppression d’un élément dans un arbre AVL peut
provoquer un déséquilibre. Donc pour rétablir l’équilibre
(rééquilibrer) de l’arbre après une suppression, il faut
faire entre 1 et h rotations (h est la hauteur de l’arbre).

103
INSERTION
 L’ajout d’un nœud se fait toujours au niveau d’une feuille,
puis on rééquilibre l’arbre AVL si l’insertion a
déséquilibré l’arbre.
 Le déséquilibre est rencontré lorsque le facteur
d’équilibrage d’un nœud de l’arbre égale à ± 2.

104
INSERTION
 Exemple: soit la série de nombres à insérer dans un
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
2
0
2 10 12 4 16 8 6 14
2
10 0
-1
2 10 12 4 16 8 6 14
2
10
12 0
-1
-2
Rotation simple
10
122 00
0

105
INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10
122
4 0
-1 0
1
2 10 12 4 16 8 6 14
10
122
4 16 00
-1-1
0

106
INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10
122
4 16
8 0
-1
-2
0
-1
1
Rotation
simple
10
124
8 1620 0
0
-10
0

107
INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10
124
8 162
6 0
10
-1
0
-1
1

108
INSERTION
arbre AVL (2 10 12 4 16 8 6 14 )
2 10 12 4 16 8 6 14
10
124
8 162
6 14
0
0
1
-2
10
-1
0
Rotation
double
10
144
8 162
6
12
0
1
0 0
0-1
1
0

109
INSERTION
 Exemple 2: soit l’arbre suivant, donner le résultat après
insertion de 7
10
144
8 162
6
12
1 9

110
INSERTION
 Exemple 2: soit l’arbre ci-dessus, donner le résultat
après insertion de 7
0
10
144
8 162
6
12
-1
1
0 0
0
1
-1
2
10
9 0
7
Nœud inséré
10
14
4
8
16
2 6
12
-1
0
0
1
-1
10
9
07 0
0
0
0
Rotation
double

111
 Exercice 06 :
1. Soit R un arbre AVL
25, 60, 35, 10, 5, 20, 65, 45, 70, 40, 50, 55, 30, 15
b. Ajouter à l'arbre obtenu et dans l'ordre, les
éléments suivants : 22, 62, 64, 4, 8
c. Supprimer de l'arbre obtenu et dans l'ordre les éléments
suivants : 15, 70, 50, 35, 60, 25
OPÉRATION DE MISES À JOURS SUR LES AVL

112
INSERTION
R
h h
R
hh+1
R
h h+1
R
hh+2
R
hh+1
R
h+1h+1
R
h h+2
R
h+1 h+1
R
h h+1
0
+1
-1
+1
+2
0
-1
0
-2
AvantAprès insertion à gauche Après insertion à droite
Cas A
Cas B

113
INSERTION
 Remarques:
 Après une insertion, seules les nœuds qui sont sur le chemin du
point d’insertion à la racine sont susceptibles d’être déséquilibrés.
 Cas A: L’arbre devient non équilibré quand le nouveau nœud
inséré est un descendant gauche d’un nœud qui avait un facteur
d’équilibrage égal à 1
 Cas B: L’arbre devient non équilibré quand le nouveau nœud
inséré est un descendant droit d’un nœud qui avait un facteur
d’équilibrage égal à -1

114
INSERTION
R
hh+2
+2
R
h
+1
P
hh
0
Cas A
Si insertion dans le sous-arbre
gauche du fils gauche alors
Rotation Simple à droite
Si insertion dans le sous-arbre droit
du fils gauche alors Rotation
Double Gauche-Droite
R
h
+2
P
h
+1
h+1
R
h
+2
P
h
-1
h+1
Avant

115
INSERTIONR
h h+2
-2 Cas B
R
h
-1
P
hh
0
R
h
P
h
-2
+1
h+1
R
h
P
hh
-2
-1
Si insertion dans le sous-arbre
droit du fils droit alors Rotation
Simple à gauche
Si insertion dans le sous-arbre gauche
du fils droit alors Rotation Double
Droite-Gauche
Avant

116
SUPPRESSION
 Le principe de la suppression d’un élément dans un arbre
AVL est le même que dans un ABR, c.à.d. recherche de
l’élément à supprimer, suppression et remplacement, le
cas échéant, par l’élément qui lui immédiatement
inférieur ou supérieur.
 Après la première phase de la suppression, la hauteur de
l’arbre est diminué de 1. Le problème est que cet arbre
n’est plus forcément un arbre AVL. Il faut donc le
rééquilibrer.

117
SUPPRESSION
 S’il y a déséquilibre, la rotation appliquée peut diminuer
à son tour la hauteur de l’arbre et générer un nouveau
déséquilibre. En fait les rotations peuvent s’enchainer en
cascade depuis l’élément supprimé jusqu’à la racine.
Ainsi, on peut faire jusqu’à h (hauteur de l’arbre initial)
rotations (simple ou double).

118
SUPPRESSION
 Exemple: soit l’arbre suivant. Donner le résultat après la
suppression de 10:
10
14
4
8
16
2 6
12
-1
0
0
1
-1
10
9
0
7 0
0
0
0
12
14
4
8
16
2 6 -1
-1
1
-1
10
9
0
7 0
0
0
0
Remplacer par
le successeur

119
SUPPRESSION
suppression de 8:
12
14
4
8
16
2 6 -1
-1
1
-1
10
9
0
7 0
0
0
0
12
14
4
9
16
2 6 -1
-1
1
-2
10 0
7 0
0
0
Remplacer par
le successeur

120
SUPPRESSION
suppression de 8:
12
14
4
9
16
2 6 -1
-1
1
-2
10 0
7 0
0
0
14
12
4
9
162 6 -1
0
1
0
10 0
7
0
0
1
RSG

121
SUPPRESSION
suppression de 12 puis 16:
14
12
4
9
162 6 -1
0
1
0
10 0
7
0
0
1
144
9
2 6 -1
1
0
10 0
7
0
+2

122
SUPPRESSION
suppression de 12 puis 16:
144
9
2 6 -1
1
0
10 0
7
0
+2
9
4
14
2
6 -1
1 1
1 0
0
7
0
-1
RSD

123
SUPPRESSION
suppression de 30:
100
200
30
50
300
10 40
-1
-1
+1
20
80
60
0
+1
+1
-1
9070+1
0
00
0
40
50
300
10
-1
-1
+1
20
80
60
+2
+1
-1
9070
+1
100
200
0
0
0
0
Remplacer par
le successeur

124
SUPPRESSION
suppression de 30:
40
50
300
10
-1
-1
+1
20
80
60
+2
+1
-1
9070
+1
100
200
0
0
0
0
RDG-D
20
50
300
10
-1
+1
40 80
60
0
0
+1
-2
9070+1
100
200
0 0
0
0

125
SUPPRESSION
suppression de 30:
RDD-G
20
50
300
10
-1
+1
40 80
60
0
0
+1
-2
9070+1
100
200
0 0
0
0
20
80
30010
-1
-1
40
50
60
0
0
9070
+1
100
200
0
0 0 0
0
0

126
 Exercice 06 :
1. Soit R un arbre AVL
25, 60, 35, 10, 5, 20, 65, 45, 70, 40, 50, 55, 30, 15
b. Ajouter à l'arbre obtenu et dans l'ordre, les éléments
suivants : 22, 62, 64, 4, 8
c. Supprimer de l'arbre obtenu et dans l'ordre les
éléments suivants : 15, 70, 50, 35, 60, 25
OPÉRATION DE MISES À JOURS SUR LES AVL

127
 Exercice 11 :
 Un arbre AVL est un ABR équilibré dont tous les nœuds
possèdent, entre autre Info, FG et FD, un facteur de
déséquilibre (appelé Bal pour balance) qui est calculé après
chaque insertion/suppression.
1. Définir la structure d’un arbre AVL (TnoeudAVL).
2. Donner l’implémentation dynamique du modèle de l’arbre
AVL, notamment les modules suivants : CreerNoeud (P :
*TnoeudAVL, x : entier), Aff_Bal(Var P :*TnoeudAVL, b :
entier), Balance (P : *TnoeudAVL) : entier,
ALGORITHMES SUR LES AVL

128
 Exercice 11 :
3. Développer les modules suivants permettant de
manipuler un arbre AVL:
Module Rôle
Procédure MAJ_Bal(Var R :
*TnoeudAVL)
mettre à jour (calculer) le champs Bal
du nœud R
Fonction RSG (R : * TnoeudAVL) :
*TnoeudAVL
faire une Rotation Simple à Gauche de
l’arbre R
Fonction RSD (R : * TnoeudAVL) :
*TnoeudAVL
faire une Rotation Simple à Droite de
l’arbre R
Fonction RDG-D (R : * TnoeudAVL) :
*TnoeudAVL
faire une Rotation Double Gauche-Droite
de l’arbre R
Fonction RDD-G (R : * TnoeudAVL) :
*TnoeudAVL
faire une Rotation Simple Double Droite-
Gauche de l’arbre R
Fonction Reequilibrer (R :
*TnoeudAVL) : *TnoeudAVL
rééquilibrer l’arbre R

129
 Exercice 11 :
4. En modifiant les algorithmes d’insertion/suppression
dans un ABR, trouver les algorithmes récursifs
d'insertion/suppression dans un AVL.

130
STRUCTURE DE DONNÉES
 Un champs supplémentaire est ajouté à tous les nœuds:
c’est le facteur de déséquilibre (appelé aussi facteur de
balance « Bal ») qui est calculé après chaque
insertion/suppression Structurede Données
TYPE Tnoeud AVL=STRUCTURE
Info : entier
Bal:entier
FG : * TnoeudAVL
FD : * TnoeudAVL
FIN
VAR R: * TnoeudAVL

131
MODÈLE
 Comparativement au modèle ABR, on modifie la fonction
CreerNoeud et on ajoute deux autres modules pour lire et écrire
dans le nouveau champs « Bal »:
Fonction Rôle
balance(p)
permet d'accéder à l'information du nœud p
Retourner (*p.Bal);
Aff_bal(p, b)
permet de modifier l'information du nœud p
*p.Bal  b;
Créer_noeud(x)
permet de créer un nœud avec x comme information et
retourne la référence du nœud. Le nœud créé a Nil comme fils
gauche et droit.
Allouer (P); aff_info(P, x); aff_FG(P, Nil); aff_FD(P, Nil);
Aff_bal(P, 0); retourner (P)

132
MAJ LA BALANCE
 La balance ou le facteur de déséquilibre est définie
comme suit:
Profondeur(FG(R) ) – Profondeur(FD(R))
Procédure MAJ_Bal (Var R: *TnoeudAVL)
Début
Si (R ≠ Nil ) alors
Aff_Bal (R, Profondeur (FG(R) – Profondeur (FD(R))
Fin

133
 Rotation simple : Rotation gauche
P
R
X
(hauteur h
ou h-1)
Y
(hauteur h)
Z
(hauteur
h+1 ou h)
R
P
X
(hauteur
h ou h-1)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h+1 ou h)
-1 ou 0
-2
0
0Rotation gauche
Fonction RSG (R: *TnoeudAVL): *TnoeudAVL
P  FD(R); Y FG(P); Aff_FD(R, Y); Aff_FG(P, R)
MAJ_Bal (R); MAJ_Bal (P)
Retourner (P)

134
 Rotation simple : Rotation droite
R
P
X
(hauteur
h+1 ou h)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h ou h-1)
P
R
X
(hauteur
h+1 ou h)
Y
(hauteur
h)
Z
(hauteur
h ou h-1)
+1 ou 0
+2
0 ou -1
0 ou +1
Rotation droite
Fonction RSD (R: *TnoeudAVL): *TnoeudAVL
P  FG(R); Y FD(P); Aff_FG(R, Y); Aff_FD(P, R)
MAJ_Bal (R); MAJ_Bal (P)
Retourner (P)

135
P
Q
R
D
CB
A
Q
P
R
D
C
BA
Rotation gauche Rotation droite
Q
P R
DCBA
-1
+2
1ère méthode
Fonction RDG-D (R: *TnoeudAVL): *TnoeudAVL
P  FG(R); Q  RSG(P); Aff_FG(R, Q); QRSD(R)
Retourner (Q)

136
P
Q
R
D
CB
A
Q
P R
DCBA
-1
+2
2ère méthode
Fonction RDG-D (R: *TnoeudAVL): *TnoeudAVL
P  FG(R); Q  FD(P); B FG(Q); C  FD(Q);
Aff_FD(P, B); Aff_FG(R, C); Aff_FG(Q, P); Aff_FD(Q, R)
MAJ_Bal (R); MAJ_Bal (P); MAJ_Bal (Q);
Retourner (Q)

137
Rotation droite Rotation gauche
P
Q
R
A
+1
-2
B C
D
Q
P
R
A
B
C D
Q
R P
A B C D
1ère méthode
Fonction RDD-G (R: *TnoeudAVL): *TnoeudAVL
P  FD(R); Q  RSD(P); Aff_FD(R, Q); QRSG(R)
Retourner (Q)

138
P
Q
R
A
+1
-2
B C
D
Q
R P
A B C D
2ère méthode
Fonction RDD-G (R: *TnoeudAVL): *TnoeudAVL
P  FD(R); Q  FG(P); B FG(Q); C  FD(Q);
Aff_FG(P, C); Aff_FD(R, B); Aff_FG(Q, R); Aff_FD(Q, P)
MAJ_Bal (R); MAJ_Bal (P); MAJ_Bal (Q);
Retourner (Q)

139
OPÉRATION DE RÉÉQUILIBRAGE
Fonction Reequilibrer (R:*TnoeudAVL) : * TnoeudAVL
Debut
MAJ_Bal (R)
Si Balance (R) = +2 alors
P FG(R)
Si Balance (P) = -1 alors
RRDG-D(R)
Sinon // Balance (P) = 0 ou +1
RRSD(R)
Sinon
Si Balance (R) = -2 alors
PFD(R)
Si Balance (P) = +1 alors
RRDD-G (R)
Sinon // Balance (P) = 0 ou -1
RRSG(R)
Retourner (R)
Fin

140
Fonction InsererAVL_rec (R:*TnoeudAVL, x: entier) : * TnoeudAVL
Debut
Si R = Nil alors
RCreerNoeud(x)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Aff_FG(R, InsererAVL_rec(FG(R), x))
Sinon
Aff_FD(R, InsererAVL_rec(FD(R), x))
Retourner (Reequilibrer (R))
Fin

141
Fonction SupprimerAVL_rec (R:*TnoeudAVL, x: entier) : *
TnoeudAVL
Debut
Si R = Nil alors
Retourner (Nil)
Sinon
Si Info(R)>x alors
Aff_FG(R, SupprimerAVL_rec(FG(R), x))
Sinon
Si Info(R)<x alors
Aff_FD(R, SupprimerAVL_rec(FD(R), x))
Sinon // Info(R) = x
RSupprimerRacine (R)
Retourner (Reequilibrer (R))
Fin

SOURCES DE CE COURS
 N. EL-ALLIA , Cours d’Algorithmique et Structures de données dynamiques, Ecole
nationale Supérieure d’Informatique (ESI), 2014.
 Djamel Eddine ZEGOUR, Cours de Structures de Données, Ecole nationale
Supérieure d’Informatique (ESI), Disponible sur
http://zegour.esi.dz/Cours/Cours_sdd.htm
 W. K. Hidouci, Cours Structures De Données et Fichiers, École nationale Supérieure
d’Informatique, Disponible sur hidouci.esi.dz/algo/
 B. Boutoumi, Cours d’Algorithmique et Structures de données, Université Saad
Dahlab de Blida, 2014, Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-
aroussi/algorithmique-et-structure-de-donnees/nouveau-programme .
 A. Aroussi, Cours d’Algorithmique Avancé, Université Saad Dahlab de Blida, 2015,
Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/Algorithmique
 A. Aroussi, Cours d’Algorithmique et Structures de données, Université Saad Dahlab
de Blida, 2013, Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-
aroussi/algorithmique-et-structure-de-donnees/annee-universitaire-2014-
2015/ancien-programme
142

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