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高中數學必修部分
中五級
全年筆記
姓名:_________________
班別:___________(_____)
P.1
目錄
1. 軌跡.................................................................................................................
P.2
10. 變分 ..................................................................................................................
P.3
1. 軌跡
當一個物件或一點按某特定條件移動時,它所經過的路徑稱為該物件或點的軌跡。
在數學上,我們會考慮一個移動點在滿足某些已知條件下移動時的軌跡,
而直線、圓和拋物線便是平面上一些簡單的軌跡。
當描述直角坐標平面上一個移動點的軌跡時...
P.4
例子:
給定 (10,12)A 和 ( 4,5)B  兩點。若 P 點與 A 和 B 兩點保持等距,求 P 點的軌跡方程。
解:
設 P 點的坐標為( , )x y ,可得:
PA PB
√( 𝑥 − 10)2 + ( 𝑦 − 12...
P.5
2. 線性方程
A. 課前重溫
1. 1 2/ /L L  1L 和 2L 的斜率相等。
2. 31L L 
1L 和 3L 的斜率的積是 1 。
3. 中點公式:
若有一點 ( , )M x y 是線段 AB 的中
點,則 1...
P.6
B. 直線方程的種類
直線方程是一種代數表達式,形容在該直線上的點的軌跡。
以下是一些常見的直線方程。
1. 點斜式
若 移 動 點 𝑃( 𝑥, 𝑦)與 固 定 點 𝐴( 𝑥1, 𝑦1) 成 一 直
線,而斜率是 m 。
該點 P 的軌...
P.7
7. 通過原點的直線
若移動點𝑃( 𝑥, 𝑦)與固定點( 𝑎, 𝑏)成一直線,而
該直線通過原點。
該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下:
b
y x
a
 。其中 a 是非零實數。
C. 直線方程的性質
一般來說,直線方程用以...
P.8
D. 圓的方程的種類和性質
圓的方程:
1. 標準式:
圓心的坐標是( , )h k 及半徑為 r,
該圓的方程:
2 2 2
( ) ( )x h y k r    ,
其中 r 是非負常數。
2. 一般式:
設 2D h ...
P.9
3. 不等式
A. 課前重溫
1. 不等式的基本性質
(a) 若 a > b 及 b > c,則 a > c。 (b) 若 a > b,則 a + c > b + c。
(c) 若 a > b,則
(i) ac > bc 及
a b
c...
P.10
C. 解含有「或」的複合不等式
若含有「或」的複合不等式是由兩個一元一次不等式組成,則以圖表示的複合不等式的解必包括兩個不
等式在數線上的所有解。
以下是解含有「或」的複合一元一次不等式的四個例子。
(1) 解 𝑥 < 1 或 𝑥 >...
P.11
F. 解一元二次不等式𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0或𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0的程序:
判斷𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0是否有解?
(利用二次判別式∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐)
∆= 0;
即有一個二重實解𝛼:
( 𝑥 − ...
P.12
4. 線性規劃
A. 利用圖解法解二元一次不等式
利用圖解法解二元一次不等式的步驟:
1. 把不等號寫成等號「=」,並繪畫所得方程的圖像。
(a) 若不等號中包含「=」,則把直線繪成實線。
(b) 若不等號中不包含「=」,則把直線繪成...
P.13
C. 線性規劃
找出線性函數 P ax by  (當中 , ,a b P 是常數)在約束條件(聯立二元一次不等式的解)下的極大值或
極小值:
1. 繪畫出代表約束條件的區域,並塗上陰影。
2. 在同一個直角坐標平面上,繪畫 0ax...
P.14
5. 續函數圖像
A. 函數圖像的特性:
下表總結了各類函數圖像的特性,包括定義域、極大值、極小值的存在性、對稱性和週期性。
函數圖像 定義域 極大值 極小值 對稱性 週期性
1. 常值函數
所有實數 不適用 不適用
考慮 −𝑎 ≤ ...
P.15
函數圖像 定義域 極大值 極小值 對稱性 週期性
4. 二次函數𝑦 = 𝑎( 𝑥 − )2
+ 𝑘
(i) 當 𝑎 > 0:
所有實數
不存在 k
圖像其反射對稱性質,對
稱軸是 𝑥 = 。
沒有週
期
(ii) 當 𝑎 < 0:
k...
P.16
B. 利用 𝑦 = 𝑓(𝑥) 的圖像解方程 𝑓( 𝑥) = 𝑘
方程 ( )f x k 的解是 ( )y f x 和 y k 的圖像的交點的 x 坐標,其中 k 為常數。
例子:
1. 圖中顯示 𝑦 = 2 𝑥
的圖像。試在圖中...
P.17
C. 利用圖解法解不等式
利用 𝑦 = 𝑓( 𝑥)的圖像解不等式 𝑓( 𝑥) > 𝑘、𝑓( 𝑥) ≥ 𝑘、𝑓( 𝑥) < 𝑘和 𝑓( 𝑥) ≤ 𝑘。
I. 在同一個直角坐標平面上繪畫 𝑦 = 𝑓( 𝑥) 和 𝑦 = 𝑘的圖像。
II....
P.18
D. 函數的變換
下表所示為不同的變換對函數 ( )y f x 的影響。
A. 平移(口訣:「上加下減,左加右減!」)
函數圖像的幾何變換 函數的代數變換 函數圖像例子
向上平移 k 單位(k > 0) f(x) + k
向下平移 ...
P.19
C. 伸縮
函數圖像的幾何變換 函數的代數變換 函數圖像例子
沿y軸方向伸長至原來
的 k 倍 (k > 1)
kf(x)
沿y軸方向縮短至原來
的
1
𝑘
(k > 1)
1
𝑘
𝑓( 𝑥)
沿x軸方向伸長至原來
的 k 倍 (k ...
P.20
6. 排列與組合
A. 計數原理
計數原理的加法法則
若有 k 個選擇來完成一件工作,且第一個選擇有𝑛1種方法完成;
第二個選擇有𝑛2種方法完成;…及第 k 個選擇有𝑛 𝑘種方法完成,
則完成這件工作的方法總數為𝑛1 + 𝑛2 + ⋯...
P.21
C. 組合
組合概念
從 n 件相異物件中每次選取 r 件的組合的數目,會以𝐶𝑟
𝑛
表示,也可表示為
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
。
排列與組合的分別
排列:考慮先後次序。
組合:不理會先後次序。
例子:
現在有四張卡紙,分別為紅色(R...
P.22
7. 續概率
A. 集合
集合概念
一組物件可合起來成為一個集合,而集合中的物件稱為元素。
表示集合的其中一個方法,是利用記號 { } 把集合中的物件列舉出來。例如:
1. 基本方位的集合 { 北,東,南,西 }
2. 投擲一枚骰子一...
P.23
B. 概率加法定律
互斥事件概念
當兩個事件不可能同時發生,則它們稱為互斥事件。用溫氏圖表示:
互補事件概念
對於任何事件 A,「A 不發生」這個事件稱為 A 的互補事件,並以 A’表示。
用溫氏圖表示:
 𝑃( 𝐴′) = 1 −...
P.24
概率乘法定律
對於任何兩個獨立事件 A 和 B,
P(A  B) = P(A) × P(B)
對於任何兩個相關事件 A 和 B,
P(A  B) = P(A) × P(B | A)
D. 使用排列與組合解概率問題
我們已學習過一些...
P.25
8. 離差的量度
A. 分佈域和四分位數間距
分佈域的概念
即使數據有相同平均數、中位數和眾數。其分散程度(或稱離差)亦可能會有所不同。因此,我們需要
建立另一種新的量度方法來表達一組數據的離差。
對於不分組數據,
分佈域 = 最大值...
P.26
B. 框線圖
框線圖的概念
為了方便閱讀,我們可以運用框線圖(又稱為箱形圖)把一組數據的最小值、最大值和各個四分位數圖像
化。
例子:
注意:可以運用框線圖找出分佈域和四分位數間距。
例子:
A 和 B 是兩個品牌的燈泡。現從每個品牌...
P.27
C. 標準差
標準差的概念
由於分佈域和四分位數間距的計算都只涉及部分數據,故我們不能看到每一個數據對全組數據離差的影
響。為了針對這個弱點,我們可計算每個數據與整組數據中心的距離。若所有數據與其中心的平均距離
較大,則該組數據的離差...
P.28
D. 標準差的應用
標準分的概念
若一組數據的平均數是 𝑥̅ 及標準差是 𝜎,所提供的 x 值的標準分 z 是
𝑧 =
𝑥 − 𝑥̅
𝜎
注意:
例子:
完成下表。(答案需準確至兩位小數)
𝑥 𝑥̅ 𝜎 標準分
88 66.7 26....
P.29
(a) 約有 68% 的數據在 𝑥̅ − 𝜎 和 𝑥̅ + 𝜎 的區間內。
(b) 約有 95% 的數據在 𝑥̅ − 2𝜎 和 𝑥̅ + 2𝜎 的區間內。
(c) 約有 99.7% 的數據在 𝑥̅ − 3𝜎 和 𝑥̅ + 3𝜎 的區間...
P.30
例子:
十位年青教師現加入一所中學任教,以下是他們的年齡:
22,23,23,25,25,25,26,26,27,28
現在有一位新教師加入,他的年齡是 29 歲,求新的分佈域,四分位數間距及標準差,並試描述改
變。
解:
考慮十位年...
P.31
9. 統計的應用及誤用
A. 統計的應用
(i) 統計調查中,收集統計數據的全體對象稱為總體。
(ii) 而從總體中抽取的一部分稱為樣本,樣本必須能夠代表總體。
(iii) 總體調查是指收集統計的數據是全體對象。
(iv) 樣本調查是...
P.32
10. 變分
A. 正變
若 y 隨 x 正變,則 𝑦 = 𝑘𝑥 或
𝑦
𝑥
= 𝑘,其中 k 是非零常數,稱為變分常數。以符號表示,可寫成 𝑦 ∝ 𝑥。
注意: 1. 以圖像表示,則 y 對 x 的圖像是一條直線。而圖像的斜率為 k...
P.33
C. 聯變
若 z 隨 x 正變和隨 y 正變,則稱為 z 隨 x 和 y 而聯變, 𝑧 = 𝑘𝑥𝑦,其中 k 是非零常數,稱為變分常數。
以符號表示,可寫成 𝑧 ∝ 𝑥𝑦。
注意: 1. 在聯變中,只有一個變分常數。
2. 聯變涉及...
P.34
D. 部分變
若 z 是兩部分之和,一部分隨 x 正變,而另一部分隨 y 正變,則 𝑧 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑦,其中 𝑘1 和 𝑘2 是非零
變分常數,而且 𝑘1 ≠ 𝑘2。
注意: 1. 在部分變中,會有兩個或以上的變分常數。
...
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  1. 1. 高中數學必修部分 中五級 全年筆記 姓名:_________________ 班別:___________(_____)
  2. 2. P.1 目錄 1. 軌跡.......................................................................................................................................................... 3 2. 線性方程 .................................................................................................................................................. 5 A. 課前重溫........................................................................................................................................... 5 B. 直線方程的種類 ............................................................................................................................... 6 C. 直線方程的性質 ............................................................................................................................... 7 D. 圓的方程的種類和性質.................................................................................................................... 8 E. 圓與點及直線的關係 ....................................................................................................................... 8 3. 不等式 ...................................................................................................................................................... 9 A. 課前重溫........................................................................................................................................... 9 B. 解含有「和」的複合不等式............................................................................................................ 9 C. 解含有「或」的複合不等式.......................................................................................................... 10 D. 用圖像法解一元二次不等式.......................................................................................................... 10 E. 以代數方法解一元二次不等式...................................................................................................... 10 F. 解一元二次不等式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0或𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0的程序:............................................. 11 4. 線性規劃 ................................................................................................................................................ 12 A. 利用圖解法解二元一次不等式...................................................................................................... 12 B. 利用圖解法解聯立二元一次不等式 .............................................................................................. 12 C. 線性規劃......................................................................................................................................... 13 5. 續函數圖像............................................................................................................................................. 14 A. 函數圖像的特性: ......................................................................................................................... 14 B. 利用 𝑦 = 𝑓(𝑥) 的圖像解方程 𝑓𝑥 = 𝑘 ......................................................................................... 16 C. 利用圖解法解不等式 ..................................................................................................................... 17 D. 函數的變換..................................................................................................................................... 18 6. 排列與組合............................................................................................................................................. 20 A. 計數原理......................................................................................................................................... 20 B. 排列 ................................................................................................................................................ 20 C. 組合 ................................................................................................................................................ 21 7. 續概率 .................................................................................................................................................... 22 A. 集合 ................................................................................................................................................ 22 B. 概率加法定律................................................................................................................................. 23 C. 概率乘法定律................................................................................................................................. 23 D. 使用排列與組合解概率問題.......................................................................................................... 24 8. 離差的量度............................................................................................................................................. 25 A. 分佈域和四分位數間距.................................................................................................................. 25 B. 框線圖............................................................................................................................................. 26 C. 標準差............................................................................................................................................. 27 D. 標準差的應用................................................................................................................................. 28 E. 改變數據對數據的離差之影響...................................................................................................... 29 9. 統計的應用及誤用................................................................................................................................. 31 A. 統計的應用..................................................................................................................................... 31 B. 統計的誤用..................................................................................................................................... 31
  3. 3. P.2 10. 變分 .................................................................................................................................................... 32 A. 正變 ................................................................................................................................................ 32 B. 反變 ................................................................................................................................................ 32 C. 聯變 ................................................................................................................................................ 33 D. 部分變............................................................................................................................................. 34
  4. 4. P.3 1. 軌跡 當一個物件或一點按某特定條件移動時,它所經過的路徑稱為該物件或點的軌跡。 在數學上,我們會考慮一個移動點在滿足某些已知條件下移動時的軌跡, 而直線、圓和拋物線便是平面上一些簡單的軌跡。 當描述直角坐標平面上一個移動點的軌跡時,我們可利用代數方程來表示該軌跡。該軌跡方程可根據以 下步驟求出: (i) 設移動點的坐標為( , )x y 。 (ii) 根據軌跡須滿足的條件,建立一個以 x 和 y 為變數的方程。 (iii) 倘若可行,化簡上述方程。
  5. 5. P.4 例子: 給定 (10,12)A 和 ( 4,5)B  兩點。若 P 點與 A 和 B 兩點保持等距,求 P 點的軌跡方程。 解: 設 P 點的坐標為( , )x y ,可得: PA PB √( 𝑥 − 10)2 + ( 𝑦 − 12)2 = √[𝑥 − (−4)]2 + ( 𝑦 − 5)2 ( 𝑥 − 10)2 + ( 𝑦 − 12)2 = [ 𝑥 − (−4)]2 + ( 𝑦 − 5)2 28𝑥 + 14𝑦 − 203 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 29 = 0 所求的方程是 4𝑥 + 2𝑦 − 29 = 0
  6. 6. P.5 2. 線性方程 A. 課前重溫 1. 1 2/ /L L  1L 和 2L 的斜率相等。 2. 31L L  1L 和 3L 的斜率的積是 1 。 3. 中點公式: 若有一點 ( , )M x y 是線段 AB 的中 點,則 1 2 1 2 , 2 2 x x y y x y     。 4. 截點公式: 若有一點 ( , )P x y 將線段 AB 按 :r s的比分為兩部分 (即 : :AP PB r s ),則 1 2 1 2 , sx rx sy ry x y r s r s       。
  7. 7. P.6 B. 直線方程的種類 直線方程是一種代數表達式,形容在該直線上的點的軌跡。 以下是一些常見的直線方程。 1. 點斜式 若 移 動 點 𝑃( 𝑥, 𝑦)與 固 定 點 𝐴( 𝑥1, 𝑦1) 成 一 直 線,而斜率是 m 。 該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1)。 2. 兩點式 若移動點𝑃( 𝑥, 𝑦)與固定點𝐴( 𝑥1, 𝑦1)和𝐵( 𝑥2, 𝑦2) 成一直線(即共線)。 我們可求出 AB 的斜率,從而計算該直線方 程,如下: 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 3. 斜截式 若移動點𝑃( 𝑥, 𝑦)與固定點(0, 𝑐)成一直線,而 斜率是 m。 該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐。 4. 截距式 該直線上的移動點𝑃( 𝑥, 𝑦)與固定點(0, 𝑏)和 ( 𝑎, 0)成一直線(即共線)。而 a,b 都是非零實 數。 該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下: 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1 5. 鉛垂線 若移動點𝑃( 𝑐, 𝑦)的 x 坐標不變。 該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下: 𝑥 = 𝑐。 6. 水平線 若移動點𝑃( 𝑥, 𝑐)的 y 坐標不變。 該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下: 𝑦 = 𝑐。
  8. 8. P.7 7. 通過原點的直線 若移動點𝑃( 𝑥, 𝑦)與固定點( 𝑎, 𝑏)成一直線,而 該直線通過原點。 該點 P 的軌跡是一直線,而該直線方程如下: b y x a  。其中 a 是非零實數。 C. 直線方程的性質 一般來說,直線方程用以下二元線性方程來表達。 0Ax By C   ,其中 , ,A B C 都是常數,及 ,A B 都不等於 0。 而利用一般式轉化為斜截式後,可得出直線方程的斜率和截距。 0 A C Ax By C y x B B        ,由此可見,該直線的斜率是 A B  ,y 截距是 C B  ,x 截距是 C A  。 若有兩直線在同一個直角坐標平面上,它們的相交情況如下: 1. 兩線不平行而相交於一點 2. 兩線平行並不相交 3. 兩線完全重疊 這兩線必定有不同的斜率。 例如: 1 2 : 2 3 9 0 :3 11 0 l x y l x y       其中 1l 的斜率 2 3       與 2l 的斜 率( 3) 不同。 這兩線有相同的斜率但有不 同的 y 截距。例如: 1 2 :3 2 9 0 :3 2 11 0 l x y l x y       其中 1l 的斜率 3 2       與 2l 的斜 率 3 2       相同,但 1l 的 y 截距 9 2       與 2l 的 y 截距 11 2       不 同。 這兩線有相同的斜率和相同 的 y 截距。例如: 1 2 :3 2 9 0 :6 4 18 0 l x y l x y       其中 1l 的斜率 3 2       與 2l 的 斜率 3 2       相同,同時 1l 的 y 截距 9 2       與 2l 的 y 截距 9 2       不同。
  9. 9. P.8 D. 圓的方程的種類和性質 圓的方程: 1. 標準式: 圓心的坐標是( , )h k 及半徑為 r, 該圓的方程: 2 2 2 ( ) ( )x h y k r    , 其中 r 是非負常數。 2. 一般式: 設 2D h  , 2E k  和 2 2 2 F h k r   , 該圓的方程: 2 2 0x y Dx Ey F     , 當中圓心坐標是 , 2 2 D E       , 半徑為 2 2 2 2 D E F              。 E. 圓與點及直線的關係 在平面坐標幾何上,圓與點及直線的關係: 1. 圓與點的關係: 對於圓𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0和點𝐴( 𝑥0, 𝑦0),若 (a) 𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 𝐷𝑥0 + 𝐸𝑦0 + 𝐹 < 0,則 A 點在圓 C 內。 (b) 𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 𝐷𝑥0 + 𝐸𝑦0 + 𝐹 = 0,則 A 點在圓 C 的圓周上。 (c) 𝑥0 2 + 𝑦0 2 + 𝐷𝑥0 + 𝐸𝑦0 + 𝐹 > 0,則 A 點在圓 C 外。 2. 圓與直線的關係: (a) 圓與直線的交點數目: 將圓和直線方程組成的聯立方程,並化簡為一個以 x 為未知數的二次方程。 2 2 20 0 x y Dx Ey F ax bx c y mx c             該二次方程的實數解數目,可用判別式  的值決定,從而知道圓與直線的交點數目。  的值 二次方程的實根數目 圓和直線的交點數目 0  2 2 0  1 1 0  0 0 (b) 圓與直線的交點坐標: 將圓和直線方程組成的聯立方程,聯立方程的解就是圓與直線的交點坐標。 圓和直線的聯立方程 2 2 0x y Dx Ey F y mx c         
  10. 10. P.9 3. 不等式 A. 課前重溫 1. 不等式的基本性質 (a) 若 a > b 及 b > c,則 a > c。 (b) 若 a > b,則 a + c > b + c。 (c) 若 a > b,則 (i) ac > bc 及 a b c c  ,其中 c > 0。 (ii) ac < bc 及 a b c c  ,其中 c < 0。 (d) 若 0a  ,則 2 0a  。 (e) 若 a > b > 0,則 1 1 a b  。 性質 (a)、(b) 和 (c) 對於不等號「」或「」也同樣成立。 2. 在數線上表示不等式 x > a x < a x  a x  a 3. 解簡易一元一次不等式: 我們可利用解一元一次方程的方法,解一些只含一個次數為 1 的未知數的不等式。 例如: (1) 3 3 1x x   , 3 3 1x x   。 *(2) 2 4 2x x     , 2 4 2x x     。 B. 解含有「和」的複合不等式 若含有「和」的複合不等式是由兩個一元一次不等式組成,則以圖表示的複合不等式的解是兩個不等式 在數線上的重疊部分。 以下是解含有「和」的複合一元一次不等式的四個例子。 (1) 解 𝑥 > −3 和 𝑥 < 7。 (2) 解 𝑥 ≥ −3 和 𝑥 > 7。 解:−3 < 𝑥 < 7 解:𝑥 > 7 (3) 解 𝑥 ≤ −3 和 𝑥 < 7。 (4) 解 𝑥 < −3 和 𝑥 ≥ 7。 解:𝑥 ≤ 7 解:沒有解。
  11. 11. P.10 C. 解含有「或」的複合不等式 若含有「或」的複合不等式是由兩個一元一次不等式組成,則以圖表示的複合不等式的解必包括兩個不 等式在數線上的所有解。 以下是解含有「或」的複合一元一次不等式的四個例子。 (1) 解 𝑥 < 1 或 𝑥 > 6。 (2) 解 𝑥 ≥ 1 或 𝑥 > 6。 解:𝑥 < 1 或 𝑥 > 6 解:𝑥 ≥ 1 (3) 解 𝑥 ≤ 1 或 𝑥 < 6。 (4) 解 𝑥 > 1 或 𝑥 ≤ 6。 解:𝑥 < 6 解:所有實數。 D. 用圖像法解一元二次不等式 1. 解 ax2 + bx + c > 0,其中 a、b 和 c 都是實數,且 a  0: 讀出 y = ax2 + bx + c 的圖像在 x 軸上方所對應的 x 值範圍。 2. 解 ax2 + bx + c < 0,其中 a、b 和 c 都是實數,且 a  0: 讀出 y = ax2 + bx + c 的圖像在 x 軸下方所對應的 x 值範圍。 E. 以代數方法解一元二次不等式 以代數方法解一元二次不等式的「特殊」方法: 1. 先將一元二次不等式因式分解,例如: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 ⇒ ( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) > 0,或 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 ⇒ ( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) < 0。 2. 記住口訣:「大過零,就大過大數或細過細數!」 「細過零,就被兩根相夾!」 例如:( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) > 0 ⇒ 𝑥 > 𝛼 或 𝑥 < 𝛽(當中𝛼 > 𝛽), 或( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) < 0 ⇒ 𝛽 < 𝑥 < 𝛼(當中𝛼 > 𝛽)。 βα y = ax2 + bx + c(其中 a > 0) x x 軸的上方 x 軸的下方 ax2 + bx + c > 0 的解 ax2 + bx + c < 0 的解 βα y = ax2 + bx + c(其中 a < 0) x 要特別留意:因式 分解後,𝑥2 的係數 必定要變成 1!
  12. 12. P.11 F. 解一元二次不等式𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0或𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0的程序: 判斷𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0是否有解? (利用二次判別式∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐) ∆= 0; 即有一個二重實解𝛼: ( 𝑥 − 𝛼)2 > 0 利用因式分解: 或( 𝑥 − 𝛼)2 < 0。 (a) 如( 𝑥 − 𝛼)2 > 0, 即所有實數(除了𝜶外) 都是不等式的解。 (b) 如( 𝑥 − 𝛼)2 < 0, 即不等式沒有解。 (c) 如( 𝑥 − 𝛼)2 ≥ 0, 即所有實數都是不等式 的解。 (d) 如( 𝑥 − 𝛼)2 ≤ 0, 不等式只有一個解𝜶。 ∆< 0; 即沒有實數解: 留意𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0或 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0中𝑥2 的係 數。 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 (a) 如𝑎 > 0和 (≥ 0),不等式的解是所 有實數。否則,沒有實 數解。 (b) 如𝑎 < 0和 (≥ 0),不等式沒有實數 解。否則,不等式的解 是所有實數。 ∆> 0; 即有兩個不同的實解𝛼, 𝛽: 利用因式分解: ( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) > 0或 ( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) < 0。 ( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) > 0 ( 𝑥 − 𝛼)( 𝑥 − 𝛽) < 0 記住口訣:「大過零,就大過 大數或細過細數!細過零, 就被兩根相夾!」例如: ⇒ 𝑥 > 𝛼 或 𝑥 < 𝛽 (當中𝛼 > 𝛽)。 ⇒ 𝛽 < 𝑥 < 𝛼(當中𝛼 > 𝛽)。
  13. 13. P.12 4. 線性規劃 A. 利用圖解法解二元一次不等式 利用圖解法解二元一次不等式的步驟: 1. 把不等號寫成等號「=」,並繪畫所得方程的圖像。 (a) 若不等號中包含「=」,則把直線繪成實線。 (b) 若不等號中不包含「=」,則把直線繪成虛線。 2. 選擇一個檢驗點,把檢驗點的坐標代入不等式中,只要原點 (0,0) 不在直線上,我們通常會用它來作 為檢驗點。 (a) 若檢驗點能夠滿足不等式,則檢驗點所處的半平面便代表所求的解。 (b) 若檢驗點不能夠滿足不等式,則檢驗點所處的半平面便不代表所求的解,而另外的半平面則代 表所求的解。 3. 把代表所求的解的半平面塗上陰影。 B. 利用圖解法解聯立二元一次不等式 利用圖解法解聯立二元一次不等式的步驟: 1. 繪畫出不同的二元一次不等式的半平面的解(上一課題的課程重點)(用箭頭表示)。 2. 聯立二元一次不等式的解是所有不等式的解(半平面)的重疊區域所組成,並在該區域塗上陰影。 例子: 1. 根據下圖,找出陰影部分所表示的聯立二元一次不等式。 解:根據陰影部分所得, { 𝑦 ≤ 4 2𝑦 − 𝑥 − 4 ≥ 0 𝑦 + 𝑥 ≥ 3
  14. 14. P.13 C. 線性規劃 找出線性函數 P ax by  (當中 , ,a b P 是常數)在約束條件(聯立二元一次不等式的解)下的極大值或 極小值: 1. 繪畫出代表約束條件的區域,並塗上陰影。 2. 在同一個直角坐標平面上,繪畫 0ax by  的圖像。 3. 把直線 0ax by  向左或右平移,使該直線只和約束條件的區域相切,並記下這些切點的坐標。 4. 將不同的切點坐標代入線性函數 P ax by  中,比較不同的 P 值,最大的 P 值就是極大值,最小的 P 值就是極小值。 例子: 1. (a) 繪畫滿足下列約束條件的區域,並塗上陰影。 { 2𝑥 + 𝑦 − 8 ≤ 0 𝑥 + 𝑦 − 6 ≤ 0 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 2 (b) 根據(a)中的約束條件,求𝑃 = 3𝑥 + 2𝑦 + 1的極大值和極小值。 解:(a) 圖中的陰影區域表示聯立二元一次不等式的解。 (b) 在直角坐標平面上繪畫3 2 0x y  的圖像。 把直線3 2 0x y  向右方平移, 直線3 2 0x y  只和約束條件的區域相切於 A 點和 C 點, 並記下坐標, (0,2)A 和 (2,4)C 。 將 (0,2)A 代入方程 3 2 1P x y   中,得出 3(0) 2(2) 1 5P     。 將 (2,4)C 代入方程 3 2 1P x y   中,得出 3(2) 2(4) 1 15P     。 比較兩個數值得知 P 的極大值是 15,P 的極小值是 5。 另解: (b) 把陰影區域各頂點(即 A – D)的坐標代入 3 2 1P x y   。 在 (0,2)A , 3(0) 2(2) 1 5P     , 在 (3,2)B , 3(3) 2(2) 1 14P     , 在 (2,4)C , 3(4) 2(4) 1 15P     , 在 (0,6)D , 3(0) 2(6) 1 13P     。 比較可得,P 的極大值是 15,P 的極小值是 5。
  15. 15. P.14 5. 續函數圖像 A. 函數圖像的特性: 下表總結了各類函數圖像的特性,包括定義域、極大值、極小值的存在性、對稱性和週期性。 函數圖像 定義域 極大值 極小值 對稱性 週期性 1. 常值函數 所有實數 不適用 不適用 考慮 −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 圖像其反射對稱及旋轉對 稱性質。對稱軸是 y 軸而 旋轉中心是直線圖像的中 點。 沒有最 小的週 期 2. 線性函數 所有實數 不存在 不存在 考慮 −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 圖像具反射對稱及旋轉對 稱性質。對稱軸是這範圍 內圖像的垂直平分線,而 旋轉中心是直線圖像的中 點。 沒有週 期 3. 三角函數 (i) 正弦函數 𝑦 = 𝑥 所有角度 x 1 −1 考慮 0 ≤ 𝑥 ≤ 360,圖像 具旋轉對稱性質,旋轉中 心是 (180 ,0) 週期 = 360 (ii) 餘弦函數 𝑦 = 𝑥 考慮 0 ≤ 𝑥 ≤ 360,圖像 具反射對稱性質,對稱軸 是 𝑥 = 180 (iii) 正切函數 𝑦 = 𝑥 所有不等 於 90 , 270 , 的角度 x 不存在 不存在 考慮 0 ≤ 𝑥 ≤ 360,圖像 具旋轉對稱性質,旋轉中 心是 (180 ,0) 週期 = 180
  16. 16. P.15 函數圖像 定義域 極大值 極小值 對稱性 週期性 4. 二次函數𝑦 = 𝑎( 𝑥 − )2 + 𝑘 (i) 當 𝑎 > 0: 所有實數 不存在 k 圖像其反射對稱性質,對 稱軸是 𝑥 = 。 沒有週 期 (ii) 當 𝑎 < 0: k 不存在 5. 指數函數 (i) 當 𝑎 > 1 所有實數 不存在 不存在 圖像不具反射對稱或旋轉 對稱性質 沒有週 期 (ii) 當 0 < 𝑎 < 1 6. 對數函數 (i) 當 𝑎 > 1 所有正的 實數 不存在 不存在 圖像不具反射對稱或旋轉 對稱性質 沒有週 期 (ii) 當 0 < 𝑎 < 1
  17. 17. P.16 B. 利用 𝑦 = 𝑓(𝑥) 的圖像解方程 𝑓( 𝑥) = 𝑘 方程 ( )f x k 的解是 ( )y f x 和 y k 的圖像的交點的 x 坐標,其中 k 為常數。 例子: 1. 圖中顯示 𝑦 = 2 𝑥 的圖像。試在圖中繪畫適當的直線,解 2 𝑥 = 2.5。 解:在 𝑦 = 2 𝑥 的圖像繪畫直線 𝑦 = 2.5,可得 2 𝑥 = 2.5的解是 2.3。
  18. 18. P.17 C. 利用圖解法解不等式 利用 𝑦 = 𝑓( 𝑥)的圖像解不等式 𝑓( 𝑥) > 𝑘、𝑓( 𝑥) ≥ 𝑘、𝑓( 𝑥) < 𝑘和 𝑓( 𝑥) ≤ 𝑘。 I. 在同一個直角坐標平面上繪畫 𝑦 = 𝑓( 𝑥) 和 𝑦 = 𝑘的圖像。 II. 解 𝑓( 𝑥) > 𝑘: 在圖中找出 𝑦 = 𝑓( 𝑥)的圖像位於直線 𝑦 = 𝑘 的上方時所對應的 x 值的範圍。 解 𝑓( 𝑥) < 𝑘: 在圖中找出 𝑦 = 𝑓( 𝑥)的圖像位於直線 𝑦 = 𝑘 的下方時所對應的 x 值的範圍。 P.S. 若把不等號 >(或<)改為 ≥(或≤),則不等式的解必須包括交點的 x 坐標。 例子: 1. 圖中顯示 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3的圖像。試在圖中繪畫適當的直線,解 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≥ 8。 解:在 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 的圖像繪畫直線 𝑦 = 8,可得 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≥ 8的解是 𝑥 ≤ −2.5或𝑥 ≥ 4.5。
  19. 19. P.18 D. 函數的變換 下表所示為不同的變換對函數 ( )y f x 的影響。 A. 平移(口訣:「上加下減,左加右減!」) 函數圖像的幾何變換 函數的代數變換 函數圖像例子 向上平移 k 單位(k > 0) f(x) + k 向下平移 k 單位(k > 0) f(x) – k 向左平移 k 單位(k > 0) f(x + k) 向右平移 k 單位(k > 0) f(x – k) B. 反射(口訣:「反 x 負 y,反 y 負 x!」) 函數圖像的幾何變換 函數的代數變換 函數圖像例子 沿 x 軸反射 –f(x) 沿 y 軸反射 f(–x)
  20. 20. P.19 C. 伸縮 函數圖像的幾何變換 函數的代數變換 函數圖像例子 沿y軸方向伸長至原來 的 k 倍 (k > 1) kf(x) 沿y軸方向縮短至原來 的 1 𝑘 (k > 1) 1 𝑘 𝑓( 𝑥) 沿x軸方向伸長至原來 的 k 倍 (k > 1) 𝑓 ( 𝑥 𝑘 ) 沿x軸方向縮短至原來 的 1 𝑘 (k > 1) f(kx)
  21. 21. P.20 6. 排列與組合 A. 計數原理 計數原理的加法法則 若有 k 個選擇來完成一件工作,且第一個選擇有𝑛1種方法完成; 第二個選擇有𝑛2種方法完成;…及第 k 個選擇有𝑛 𝑘種方法完成, 則完成這件工作的方法總數為𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛 𝑘。 計數原理的乘法法則 假設一件工作可分為 k 個步驟,而各步驟之間互不影響。 若第一個步驟有𝑛1種方法完成;第二個步驟有𝑛2種方法完成; …及第 k 個步驟有𝑛 𝑘種方法完成, 則完成這件工作的方法總數為𝑛1 × 𝑛2 × × 𝑛 𝑘。 B. 排列 階乘 對於任何正整數 n,𝑛! = 𝑛( 𝑛 − 1)( 𝑛 − 2)( 𝑛 − 3) × × 3 × 2 × 1。 此外,我們定義0! = 1。 排列概念 (a) n 件相異物件的排列數目為𝑛!。 (b) 從 n 件相異物件中每次選取 r 件的排列數目,會以𝑃𝑟 𝑛 表示,也可表示為 𝑛! (𝑛−𝑟)! 。 例子: 1. 5 名成人和 3 名小童排成一隊玩遊戲。在下列各情況中,共有多少種不同的排列? (a) 3 名小童必須相鄰而站 (b) 3 名小童必須被成人相隔 解:(a) 設該 5 名成人為 𝐴1、 𝐴2、 、 𝐴5,而該 3 名小童為𝐶1、 𝐶2和𝐶3。 把該 3 名小童表示為一個單位𝐶1 𝐶2 𝐶3。所以,𝐶1 𝐶2 𝐶3、 𝐴1、 𝐴2、 、 𝐴5的排列共有(5 + 1)! 種。 對於每種排列,該 3 名小童均有 3!種排列。 所求的不同排列數目= 6! × 3! = 4320 (b) 根據下圖,在成人排列後,該 3 名小童共有 6 個位置排列(如箭號所示)。 首先,該 5 名成人有 5!種排列。然後,該 3 名小童有𝑃3 6 種排列。 所求的不同排列數目= 5! × 𝑃3 6 = 14400
  22. 22. P.21 C. 組合 組合概念 從 n 件相異物件中每次選取 r 件的組合的數目,會以𝐶𝑟 𝑛 表示,也可表示為 𝑛! 𝑟!(𝑛−𝑟)! 。 排列與組合的分別 排列:考慮先後次序。 組合:不理會先後次序。 例子: 現在有四張卡紙,分別為紅色(R),綠色(G),紫色(P)和藍色(B)。若從以上四張卡紙中抽出 3 張並排成一 行。則共有以下𝑃3 4 = 24種不同的排列方法: RGP, RPG, GRP, GPR, PRG, PGR, RGB, RBG, GRB, GBR, BGR, BRG, RPB, RBP, PRB, PBR, BRP, BPR, GPB, GBP, PGB, PBG, BGP, BPG 若不理會卡紙在各組中出現的次序,則 RGP, RPG, GRP, GPR, PRG 和 PGR 只會被視為一種組合。同理, RGB, RBG, GRB, GBR, BGR 和 BRG 也只會被視為一種組合,餘此類推。 RGP, RPG, GRP, GPR, PRG, PGR, RGP RGB, RBG, GRB, GBR, BGR, BRG, RGB RPB, RBP, PRB, PBR, BRP, BPR, RPB GPB, GBP, PGB, PBG, BGP, BPG GPB 我們可觀察出每種 3 張顏色卡紙的組合,皆有3! = 6種不同的排列方法。因此,從 4 張卡紙中每次抽出 3 張的組合的數目(記作𝐶3 4 )為 𝑃3 4 3! = 4。
  23. 23. P.22 7. 續概率 A. 集合 集合概念 一組物件可合起來成為一個集合,而集合中的物件稱為元素。 表示集合的其中一個方法,是利用記號 { } 把集合中的物件列舉出來。例如: 1. 基本方位的集合 { 北,東,南,西 } 2. 投擲一枚骰子一次所得點數的集合 {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 3. 首五個質數的集合{ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 } 我們通常會用大楷字母表示集合,例如: A = { l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }。 此外,我們也可透過描述集合的公共屬性來表示集合。例如: F = { x : x 是一個奇數} 這表示集合 F 中的元素是所有奇數。 考慮投擲一枚骰子一次所得點數的集合:{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ,它包含了所有情況下的元素,而我們稱 這種集合為全集,通常以 U 表示。 另一方面,若一個集合不包含任何元素,它便稱為空集,並以希臘字母 ∅ 表示。注意 ∅ = { }。 集合的運算 (i) 交集 集合 A 和 B 的交集:A  B 例如: 若 A = {3, 5, 6, 8} 及 B = {2, 3, 8}, 則 A  B = {3, 8}。 (ii) 併集 集合 A 和 B 的併集:A  B 例如: 若 A = {3, 5, 6, 8} 及 B = {2, 3, 8},則 A  B = {2, 3, 5, 6, 8}。 (iii) 絕對補集 相對於全集 U,集合 A 的絕對補集:A(或𝐴̅) 例如: 若 U = {1, 3, 5, 6, 8, 9} 及 A = {3, 5, 6, 8}, 則 A = {1, 9}。 (iv) 相對補集 相對於另一集合 B,集合 A 的相對補集:B A 例如: 若 A = {3, 5, 6, 8} 及 B = {2, 3, 8}, 則 B A = {2}。 元素的名稱 集合 F 中元素的公共屬性
  24. 24. P.23 B. 概率加法定律 互斥事件概念 當兩個事件不可能同時發生,則它們稱為互斥事件。用溫氏圖表示: 互補事件概念 對於任何事件 A,「A 不發生」這個事件稱為 A 的互補事件,並以 A’表示。 用溫氏圖表示:  𝑃( 𝐴′) = 1 − 𝑃( 𝐴) 及 𝑃( 𝐴) = 1 − 𝑃( 𝐴′) 概率加法定律 1. 對於任何兩個非互斥事件 A 和 B, P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) 2. 對於任何兩個互斥事件 A 和 B, P(A  B) = P(A) + P(B) C. 概率乘法定律 獨立事件概念 當一個事件的發生不影響另一個事件的發生,這兩個事件稱為獨立事件。 例子:一個袋裡有 2 個紅球和 4 個白球。瀚文隨機從中抽出一個球,然後放回袋中。 接著又從中隨機抽出一個球。 我們設事件 A 為瀚文第一次抽出一個白球, 而事件 B 為瀚文第二次抽出一個白球。 因為事件 A 的發生不影響事件 B 的發生,所以這兩個事件稱為獨立事件。 條件概率概念 「已知事件 A 發生的情況下事件 B 發生的概率」稱為條件概率,並以 P(B | A)表示。 相關事件概念 當一個事件的發生影響另一個事件的發生,這兩個事件稱為相關事件。 例子:一個袋裡有 2 個紅球和 4 個白球。瀚文隨機從中抽出一個球,然後不放回袋中。 接著又從中隨機抽出一個球。 我們設事件 A 為瀚文第一次抽出一個白球, 而事件 B 為瀚文第二次抽出一個白球。 因為事件 A 的發生影響事件 B 的發生,所以這兩個事件稱為相關事件。
  25. 25. P.24 概率乘法定律 對於任何兩個獨立事件 A 和 B, P(A  B) = P(A) × P(B) 對於任何兩個相關事件 A 和 B, P(A  B) = P(A) × P(B | A) D. 使用排列與組合解概率問題 我們已學習過一些計數原理的技巧,例如排列和組合。現在只要使用這些技巧就能計算一些有關課題的 概率。 例子: 1. 從 12 名男士和 8 名女士中選出 10 人作為劇團團員。 (a) 求該劇團中女士人數多於男士人數的概率。 (b) 已知該劇團包括 4 名男士和 6 名女士。若所有團員隨意排成一行準備拍照,求所有男士皆被分 隔開的概率。 解: (a) 若該劇團中的女士人數多於男士人數,可能的團員組合必定是「6 女 4 男」、「7 女 3 男」或「8 女 2 男」。根據乘法法則, 選出 6 女 4 男的團員組合的數目= 𝐶6 8 × 𝐶4 12 = 13860 選出 7 女 3 男的團員組合的數目= 𝐶7 8 × 𝐶3 12 = 1760 選出 8 女 2 男的團員組合的數目= 𝐶8 8 × 𝐶2 12 = 66 根據加法法則, 劇團中女士人數多於男士人數的團員組合的數目= 13860 + 1760 + 66 = 15686 所求的概率 = 15686 𝐶10 20 = 713 8398 (b) 如下圖所示,該 6 名女士排列後,可讓男士加入排列的位置共有 7 個(以箭頭標示)。 首先,該 6 名女士有 6!個不同排列。然後,該 4 名男士共有𝑃4 7 個不同排列。 根據乘法法則,所有男士皆被分隔開的排列的數目 = 6! × 𝑃4 7 = 604800 所求的概率 = 604800 10! = 1 6
  26. 26. P.25 8. 離差的量度 A. 分佈域和四分位數間距 分佈域的概念 即使數據有相同平均數、中位數和眾數。其分散程度(或稱離差)亦可能會有所不同。因此,我們需要 建立另一種新的量度方法來表達一組數據的離差。 對於不分組數據, 分佈域 = 最大值 – 最小值 對於分組數據, 分佈域 = 最高一組的上組界 – 最低一組的下組界 注意: (a) 離差的量度越大,數據的分散程度越大;離差的量度越小,數據的分散程度越小。 (b) 但由於分佈域只考慮一組數據的最大值和最小值之差,故此計算過程簡單。但是,分佈域卻很受極 端數據的影響。 四分位數間距的概念 把一組數據按數值的遞升次序排列後, 將數據分為四等份的數值稱為四分位數, 通常以𝑄1、𝑄2和𝑄3來表示。 對於不分組數據, 四分位數間距 = Q3 – Q1 對於分組數據, 四分位數間距 = Q3 – Q1 (注意:n 是總頻數。) 由小至大排列數據 50% 的數據(下半部) 50% 的數據(上半部) 25%的數據 25%的數據 25%的數據 25%的數據 Q2 中位數 Q3 第三四分位數 Q1 第一四分位數
  27. 27. P.26 B. 框線圖 框線圖的概念 為了方便閱讀,我們可以運用框線圖(又稱為箱形圖)把一組數據的最小值、最大值和各個四分位數圖像 化。 例子: 注意:可以運用框線圖找出分佈域和四分位數間距。 例子: A 和 B 是兩個品牌的燈泡。現從每個品牌各取 200 個燈泡並測試其壽命,以下的框線圖顯示測試所得的 結果。 試完成下表。 中位數 分佈域 四分位數間距 品牌 A 品牌 B 解: 中位數 分佈域 四分位數間距 品牌 A 9000 小時 8000 小時 4000 小時 品牌 B 8000 小時 4000 小時 2000 小時 四分位數間距 分佈域
  28. 28. P.27 C. 標準差 標準差的概念 由於分佈域和四分位數間距的計算都只涉及部分數據,故我們不能看到每一個數據對全組數據離差的影 響。為了針對這個弱點,我們可計算每個數據與整組數據中心的距離。若所有數據與其中心的平均距離 較大,則該組數據的離差較大。而我們選擇平均數作為一組數據的中心來計算離差。不過,考慮到部分 偏差可能是負數,我們先取偏差之平方,再將它們的平均數取平方根,從而得到另一種離差的量度標準 差(以符號 𝜎 標示),其定義如下: 對於不分組數據 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥 𝑛,且 𝑥̅ = 𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥 𝑛 𝑛 , 標準差 𝜎 = √ (𝑥1−𝑥̅)2+(𝑥2−𝑥̅)2+⋯+(𝑥 𝑛−𝑥̅)2 𝑛 對於一組以頻數分佈表來表示的分組數據, 組中點為 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥 𝑛,而對應的頻數為 𝑓1, 𝑓2, , 𝑓𝑛 ,且 𝑥̅ = 𝑓1 𝑥1+𝑓2 𝑥2+⋯+𝑓𝑛 𝑥 𝑛 𝑓1+𝑓2+⋯+𝑓𝑛 , 標準差 𝜎 = √ 𝑓1(𝑥1−𝑥̅)2+𝑓2(𝑥2−𝑥̅)2+⋯+𝑓𝑛(𝑥 𝑛−𝑥̅)2 𝑓1+𝑓2+⋯+𝑓𝑛 備註:我們有時亦會用標準差的平方來分析數據分佈的情況,這平方稱為方差 。 對於不分組數據,方差 𝜎2 = (𝑥1−𝑥̅)2+(𝑥2−𝑥̅)2+⋯+(𝑥 𝑛−𝑥̅)2 𝑛 , 對於分組數據,方差 𝜎2 = 𝑓1(𝑥1−𝑥̅)2+𝑓2(𝑥2−𝑥̅)2+⋯+𝑓𝑛(𝑥 𝑛−𝑥̅)2 𝑓1+𝑓2+⋯+𝑓𝑛 。 例子: 求 3, 4, 8, 9 的標準差。(答案須準確至三位有效數字。) 解: 平均數= 3+4+8+9 4 = 6 標準差= √ (3−6)2+(4−6)2+(8−6)2+(9−6)2 4 = 2.55 (準確至三位有效數字。) 例子: 下表所示為 50 個水瓶的容量分佈 。 容量(L) 1.5 – 1.9 2.0 – 2.4 2.5 – 2.9 3.0 – 3.4 頻數 10 17 16 7 求水瓶容量的標準差。(答案須準確至三位有效數字。) 平均數= 2.4L 標準差= 0.480L (準確至三位有效數字。)
  29. 29. P.28 D. 標準差的應用 標準分的概念 若一組數據的平均數是 𝑥̅ 及標準差是 𝜎,所提供的 x 值的標準分 z 是 𝑧 = 𝑥 − 𝑥̅ 𝜎 注意: 例子: 完成下表。(答案需準確至兩位小數) 𝑥 𝑥̅ 𝜎 標準分 88 66.7 26.21 66 36.6 1.18 31 24.37 −0.49 56.6 32.3 −1.2 解: 𝑥 𝑥̅ 𝜎 標準分 88 66.7 26.21 0.81 66 36.6 24.91 1.18 31 43 24.37 −0.49 18 56.6 32.3 −1.2 正態分佈的概念 下圖為一條正態曲線,其中水平軸表示數據的值 𝑥,而 𝑥̅ 表示數據的平均數。 正態分佈具有以下的重要性質: (i) 正態曲線呈吊鐘形狀。 (ii) 正態曲線於平均數的位置兩邊對稱,即正態分佈的平均數、中位數和眾數都相等 。 (iii) 正態曲線的兩端很接近水平軸,但永遠不會與水平軸相交。 (iv) 已知 𝑥̅ 和 σ 分別為一個正態分佈的平均數和標準差。 數學的應用:在日本,標準分 會用來計算學生在測驗中的 「學力偏差值」,以此判斷學 生入讀理想大學的可能性。
  30. 30. P.29 (a) 約有 68% 的數據在 𝑥̅ − 𝜎 和 𝑥̅ + 𝜎 的區間內。 (b) 約有 95% 的數據在 𝑥̅ − 2𝜎 和 𝑥̅ + 2𝜎 的區間內。 (c) 約有 99.7% 的數據在 𝑥̅ − 3𝜎 和 𝑥̅ + 3𝜎 的區間內。 E. 改變數據對數據的離差之影響 改變數據對離差的影響 (i) 加上(或減去)共同常數 若把一組數據中的每個數據都加上(或減去)一個共同常數, 則分佈域、四分位數間距及標準差都維持不變。 (ii) 乘以共同常數 若把一組數據中的每個數據都乘以一個共同正常數 k,則 (a) 新的分佈域 = 原來的分佈域  k (b) 新的四分位數間距 = 原來的四分位數間距  k (c) 新的標準差 = 原來的標準差  k (iii) 從一組數據中剔除一個數據 (a) 若所剔除的數據並不是一組數據中的最大值或最小值,則分佈域會維持不變,否則分佈域會減 少。 (b) 對於四分位數間距,則有可能增加、減少或維持不變。 (c) 對於標準差,則會增加或減少。 注意: 我們很難從一組數據中剔除一個數據的情況下,對四分位數間距和標準差有清晰的結論,所以 要視乎數據的具體數值而定。 (iv) 從一組數據中加入一個數據 (a) 若加入的數據變成數據中的最大值或最小值,則分佈域會增加,否則分佈域會維持不變。 (b) 對於四分位數間距,則有可能增加、減少或維持不變。 (c) 對於標準差,則會增加或減少。 注意: 我們很難從一組數據中加入一個數據的情況下,對四分位數間距和標準差有清晰的結論,所以 要視乎數據的具體數值而定。
  31. 31. P.30 例子: 十位年青教師現加入一所中學任教,以下是他們的年齡: 22,23,23,25,25,25,26,26,27,28 現在有一位新教師加入,他的年齡是 29 歲,求新的分佈域,四分位數間距及標準差,並試描述改 變。 解: 考慮十位年青教師的年齡的各個離差,可得: 分佈域 = 6 四分位數間距 = 3 標準差 = 1.79 (準確至三位有效數字) 求新教師加入後的年齡的各個離差,可得: 分佈域 = 7 四分位數間距 = 4 標準差 = 2.06 (準確至三位有效數字) 所以我們可以得出,加入數據後,分佈域,四分位數間距及標準差都有所增加。 例子: 十位年青教師現加入一所中學任教,以下是他們的年齡: 22,23,23,25,25,25,26,26,27,28 現在有一位教師離職,他的年齡是 26 歲,求新的分佈域,四分位數間距及標準差,並試描述改變。 解: 考慮十位年青教師的年齡的各個離差,可得: 分佈域 = 6 四分位數間距 = 3 標準差 = 1.79 (準確至三位有效數字) 求一位 26 歲的教師離職後的年齡的各個離差,可得: 分佈域 = 6 四分位數間距 = 3.5 標準差 = 1.85 (準確至三位有效數字) 所以我們可以得出,剔除數據後,分佈域維持不變,四分位數間距及標準差都有所增加。
  32. 32. P.31 9. 統計的應用及誤用 A. 統計的應用 (i) 統計調查中,收集統計數據的全體對象稱為總體。 (ii) 而從總體中抽取的一部分稱為樣本,樣本必須能夠代表總體。 (iii) 總體調查是指收集統計的數據是全體對象。 (iv) 樣本調查是指收集統計的數據是總體中的一部分樣本。 (v) 概率抽樣要符合每個統計對象被抽取的概率是已知的,而且不會受調查者的影響。 (vi) 非概率抽樣是根據調查者的主觀判斷及經驗而選取樣本,而並非以隨機的方式選取樣本。由這方法 所得出的結果的準確性較易受質疑。不過,有時候為了方便及節省成本,非概率抽樣亦不失為可行 的方法。 設計問卷時的基本原則 (i) 用字必須清晰、具體和準確。 (ii) 提供所有可行的答案作為選項。 (iii) 選項必須彼此不重複。 (iv) 選項必須對稱,且包括中性選項。 (v) 避免用引導性的問題。 (vi) 避免一題多問。 B. 統計的誤用 無論是自己進行統計調查還是詮釋某類資料來源(例如報刊文章、廣告等)的統計結果,都不可掉以輕心。 以下列出一些我們要考慮的範圍: (i) 收集數據的方法(例如觀察、問卷或實驗)是否合適; (ii) 總體與樣本比例是否合適及回應率是否足夠; (iii) 抽取樣本的方法(概率抽樣或非概率抽樣)是否具代表性; (iv) 問卷設計及訪問方式(例如問題的排序或所使用的措辭)是否合適; (v) 調查結果的闡釋(例如表達數據的方式和數據的分析)是否正確。
  33. 33. P.32 10. 變分 A. 正變 若 y 隨 x 正變,則 𝑦 = 𝑘𝑥 或 𝑦 𝑥 = 𝑘,其中 k 是非零常數,稱為變分常數。以符號表示,可寫成 𝑦 ∝ 𝑥。 注意: 1. 以圖像表示,則 y 對 x 的圖像是一條直線。而圖像的斜率為 k。 2. 假設當 𝑥 = 𝑥1 時,𝑦 = 𝑦1;且當 𝑥 = 𝑥2 時,𝑦 = 𝑦2。 已知 𝑦 ∝ 𝑥,則 𝑦1 𝑥1 = 𝑦2 𝑥2 = 𝑘。 例如: 設 y 隨 x 正變。當 𝑥 = 20 時,𝑦 = 28。 (a) 求變分常數,並以 x 表示 y。 (b) 求當 𝑥 = 10 時,𝑦 的值。 解: (a) 由於 𝑦 ∝ 𝑥,所以 𝑦 = 𝑘𝑥,其中 𝑘 ≠ 0。 把 𝑥 = 20 和 𝑦 = 28 代入 𝑦 = 𝑘𝑥。 28 = 20𝑘 𝑘 = 1.4 所以,變分常數是 1.4。由此,𝑦 = 1.4𝑥。 (b) 當 𝑥 = 10 時,𝑦 = 1.4(10) = 14。 B. 反變 若 y 隨 x 反變,則 x𝑦 = 𝑘 或 𝑦 = 𝑘 𝑥 ,其中 k 是非零常數,稱為變分常數。以符號表示,可寫成 𝑦 ∝ 1 𝑥 。 注意: 1. 以圖像表示,則 y 對 x 的圖像是一條 L 形的曲線。 2. 當 x 的值遞增時,曲線會越來越接近 x 軸,但永不會接觸 x 軸。 3. 當 x 的值遞減時,曲線會越來越接近 y 軸,但永不會接觸 y 軸。 4. 假設當 𝑥 = 𝑥1 時,𝑦 = 𝑦1;且當 𝑥 = 𝑥2 時,𝑦 = 𝑦2。 已知 𝑦 ∝ 1 𝑥 ,則 𝑥1 𝑦1 = 𝑥2 𝑦2 = 𝑘。 例如: 設 y 隨 x 反變。當 𝑥 = 10 時,𝑦 = 25。 (a) 求變分常數,並以 x 表示 y。 (b) 求當 𝑥 = 5 時,𝑦 的值。 解: (a) 由於 𝑦 ∝ 1 𝑥 ,所以 𝑦 = 𝑘 𝑥 ,其中 𝑘 ≠ 0。 把 𝑥 = 10 和 𝑦 = 25 代入 𝑦 = 𝑘 𝑥 。 25 = 𝑘 10 ⇒ 𝑘 = 250 所以,變分常數是 250。由此,𝑦 = 250 𝑥 。 (b) 當 𝑥 = 5 時,𝑦 = 250 5 = 50。
  34. 34. P.33 C. 聯變 若 z 隨 x 正變和隨 y 正變,則稱為 z 隨 x 和 y 而聯變, 𝑧 = 𝑘𝑥𝑦,其中 k 是非零常數,稱為變分常數。 以符號表示,可寫成 𝑧 ∝ 𝑥𝑦。 注意: 1. 在聯變中,只有一個變分常數。 2. 聯變涉及的變量也可多於三個。 3. 聯變可以由正變和反變組合而成 。 例子: i. 對於 𝑧 = 𝑘𝑥 𝑦 ,其中 k 是非零常數,x、y 和 z 便組成聯變關系, 其中,z 隨 x 而正變且隨 y 而反變。 ii. 對於 𝑧 = 𝑘 𝑥𝑦 ,其中 k 是非零常數,x、y 和 z 便組成聯變關系, 其中,z 隨 x 而反變且隨 y 而反變。 例如: 設 a 隨 b 和 𝑐3 而聯變。當 𝑏 = 3 及 𝑐 = 2 時,𝑎 = 8。 (a) 求變分常數,並以 b 和 c 表示 a。 (b) 求當 𝑏 = 2 及 𝑐 = 3 時,𝑎 的值。 解: (a) 由於 𝑎 ∝ 𝑏𝑐3 ,所以 𝑎 = 𝑘𝑏𝑐3 ,其中 𝑘 ≠ 0。 把 𝑎 = 8、𝑏 = 3 及 𝑐 = 2 代入 𝑎 = 𝑘𝑏𝑐3 。 8 = 𝑘(3)(2)3 𝑘 = 1 3 所以,變分常數是 1 3 。 由此,𝑎 = 1 3 𝑏𝑐3 。 (b) 當 𝑏 = 2 及 𝑐 = 3 時, 𝑎 = 1 3 (2)(3)3 = 18。
  35. 35. P.34 D. 部分變 若 z 是兩部分之和,一部分隨 x 正變,而另一部分隨 y 正變,則 𝑧 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑦,其中 𝑘1 和 𝑘2 是非零 變分常數,而且 𝑘1 ≠ 𝑘2。 注意: 1. 在部分變中,會有兩個或以上的變分常數。 2. 部分變涉及的變量也可多於三個。 3. 部分變可以由正變和反變組合而成。 例子: i. z 是兩部分之和,一部分隨 x 正變,另一部分隨 y 反變,則 𝑧 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑦 。 ii. z 是兩部分之和,一部分隨 x 反變,另一部分隨 y 反變,則 𝑧 = 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑦 。 iii. z 是兩部分之和,一部分固定不變,另一部分隨 x 正變,則 𝑧 = 𝑘1 + 𝑘2 𝑥。 例如: 設 y 的一部分固定不變,而另一部分隨 x 反變。當 𝑥 = 2 時, 𝑦 = 13; 及當 𝑥 = 4 時,𝑦 = 7。 (a) 以 x 表示 y。 (b) 求當 𝑥 = 8 時,𝑦 的值。 解: (a) 設 𝑦 = 𝑘1 + 𝑘2 𝑥 ,其中 𝑘1, 𝑘2 ≠ 0。 當 𝑥 = 2 時, 𝑦 = 13; 13 = 𝑘1 + 𝑘2 2 (1) 當 𝑥 = 4 時,𝑦 = 7; 7 = 𝑘1 + 𝑘2 4 (2) (1) − (2):6 = 𝑘2 2 − 𝑘2 4 𝑘2 4 = 6 𝑘2 = 24 由(1),𝑘1 = 13 − 24 2 = 1 所以,𝑦 = 1 + 24 𝑥 。 (b) 當 𝑥 = 8 時, 𝑦 = 1 + 24 8 = 4。 ~完~

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