1. Feira de Ciências 2007 – Projeto Fractais Salvador - 2007 Ricardo Filho - Amanda Bastos - Vitor Sales - Lívia Lacerda Colégio Antônio Vieira

2. Jules Henri Poincaré: (Nancy, França, 29 de abril de 1854 - 17 de julho de 1912, Paris) foi um matemático, físico e filósofo da ciência francês. Foi o precursor da Teoria do Caos. Topologia Algébrica ou Geometria de Folha de Borracha: Geometria desenvolvida por Poincaré. Nesta geometria todos os comprimentos, ângulos e áreas podem ser retorcidos a vontade. Desta forma uma figura poderá se transformar em outra totalmente diferente, como um quadrado em um círculo. Todas as figuras que podem ser transformadas através de dobramentos, estiramentos e torções são chamadas de: topologicamente equivalentes. Poincaré e Topologia Etimologia: Do grego topos, forma, e logos, estudo - "estudo das formas". http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Mug_and_Torus_morph.gif

3. Poincaré utilizou concepções topológicas para analisar as características qualitativas de complexos problemas dinâmicos e, ao faze-lo, assentou os fundamentos da matemática da complexidade, que emergiriam um século mais tarde. Um exemplo de problema dinâmico são os três corpos em mecânica celeste (movimento de três corpos sob sua mútua atração gravitacional). Com sua matemática topológica, Poincaré conseguiu determinar qualitativamente a trajetória dos mesmos e, como representação desta trajetória obteve algo semelhante ao que chamamos hoje de atrator estranho (na época Poincaré não conseguiu desenhar o atrator estranho relativo a sua experiência porque não tinha recursos para tal). Com este exemplo Poincaré conseguiu demonstrar que equações de movimento simples e deterministas podem gerar uma complexidade que se esquiva de qualquer possibilidade de previsão. A trajetória dos corpos é uma trajetória caótica, por isso não se pode dizer com exatidão em qual ponto do espaço certo corpo estará em certo momento, mas pode-se obter um padrão de movimento seguido por esses corpos. Daí a relação com atratores e consequentemente com os fractais.

4. Atratores Este nome surgiu por causa do atrator puntiforme, qual culmina no centro. Definição: Trajetórias no *espaço de fase que exibem geometria fractal (quando ampliados os atratores revelam auto-similaridade). Atualmente, através da computação, é possível descrever trajetórias complexas através da resolução numérica de equações não-lineares(e mesmo não deterministas) os números que se encaixam neste tipo de equação formam uma trajetória. Estas *trajetórias são descritas em um espaço abstrato denominado: Espaço de Fase. Através do formato destas trajetórias no espaço de fase é possível identificar padrões. No espaço de fase, um único ponto descreve todo o sistema. O comportamento caótico pode ser determinista e padronizado e, os atratores estranhos nos permitem transformar dados aparentemente aleatórios em formas visíveis distintas. O Atrator Estranho de Ueda pode ser visto como um material que foi repetidamente dobrado e esticado em volta de si mesmo – percebe-se relação com topologia de Poincaré e iterações realizadas no processo de formação dos fractais.

5. Trajetória de um pêndulo sem atrito Atrator Periódico Trajetória de um pêndulo com atrito. Atrator Puntiforme Trajetória de um Pêndulo Caótico Atrator Estranho de Ueda Figuras retiradas de Teia da Vida

6. Teoria do Caos Efeito Borboleta “ Uma borboleta que hoje agitar as asas em Pequim, poderá daqui a um mês, provocar uma tempestade em Nova York” A Teoria do Caos: sistemas caóticos são caracterizados por uma extrema sensibilidade às condições iniciais. Mudanças diminutas no estado inicial poderão levar a mudanças radicais e aparentemente desordenadas no sistema ao longo do tempo. Isso pode ser visto facilmente no processo de construção de fractais. A “linguagem do Caos” é a própria geometria fractal: só esta permite a irregularidade infinitesimal e só esta nos dá a noção de que uma perturbação numa escala microscópica pode estar associada a uma perturbação de enormes proporções, através das ideias de escala e padrão; enfim, só esta permite descrever um Universo que é bastante mais rico do que a Geometria de Euclides pode conceber. (CiênciaJNúmero 23/24 - Setembro-Dezembro 2001) . “O mundo que nos cerca é caótico, mas podemos tentar limita-lo no computador. A geometria fractal é uma imagem muito versátil que nos ajuda a lidar com os fenômenos caóticos e imprevisíveis”. ( Mandelbrot 1975 ).

7. “ Um fractal é uma figura feita de partes similares ao todo de alguma forma” Mandelbrot.

8. Etimologia: Base no latim, adjetivo fractus, do verbo frangere, significa quebrar, fragmentar. Criador: Benoit Mandelbroat, nasceu em Varsóvia (1924), familía judia da Lituania. Em 1936, foi para Paris e depois para Tulle. Sofreu perseguições na ll Guerra Mundial. Em 1948, vai para EUA estudar Ciência Aeroespacial, depois entra na IBM, para trabalhar com problemas relacionados a econômia. Obteve reconhecimento ao encontrar certa ordem em uma base de dados de valores de algodão. Características: • Auto-similaridade: ao ser ampliado, um fractal revela figuras em escala menor que são proporcionais a figura que o contém. • Ligado ao Caos: fornece ordem em uma aparente desordem, pois procura padrões em sistemas aparentemente “caóticos”. Os fractais são considerados a linguagem do Caos. Com os fractais, é possível observar padrões onde só havia irregularidade, *complexi- dade. *Sensibilidade às condições iniciais, emergência,não extensividade, não linearidade. Fractais

9. Conjuntos de Julia Teoria inicialmente desenvolvida por Gaston Julia e aperfeiçoada por Mandelbrot. Os conjuntos de Julia são formados por iterações a partir de z -> z ² + c onde z é uma variável complexa e c uma constante complexa. Ao colocar diferentes valores em Z, alguns tendem ao infinito(sob iteração), outros não. Os que são finitos (sob iteração) fazem parte do conjunto de Julia. Nota: Para cada constante c, existe um novo fractal.

10. Conjunto de Mandelbrot “ O conjunto de Mandelbrot é a coleção de todos os pontos da constante c no plano complexo para os quais o conjunto de Julia correspondentes são *conexos e isolados.”,Capri, Fritjof - Teia da Vida. *conexos: consistem em uma única peça.

11. Conjunto de Cantor Autor: Georg Cantor(1845-1918), descendentes de portugueses, nasceu na Russia, adotou nacionalidade alemã, foi professor da Universidade Hale. Foi o primeiro a estudar a Teoria dos Conjuntos; contribuiu muito para com o tema. Precursor da teoria dos fractais desenvolvida por Mandelbroat. Como característica dos fractais, observa-se a auto-similaridade e dimensão fracionária(2 = 3 D = log 2 / log 3 = 0.6309). A representação do Conjunto de Cantor pode ser obtida quebrando um segmento de reta em 3 partes e, retirando-se a do meio. A extremidade E(esquerda) sempre será zero e, a direita D, caso o segmento vá ate 1, será sempre uma unidade. Para obter os outros valores faz-se: 1/x(x é 3 z )=y...;E + y e, D-y.

12. Os números que permanecem após infinitas iterações fazem parte deste conjunto. Após divisões, os números dos extremos permanece, nos fazendo acreditar que estes números fazem parte do conjunto.Este conjunto não é numerável.Além dos extremos, existem outros números que pertecem ao conjunto e, não são potências de 3. Representação de um valor X *Através de uma certa sequência de D e E pode-se achar um número X _ _ ED = 1/3 = 0,333... -> 1ª Fase: E; 2ª Fase: D; x = 0,333 e sempre ficará na direita D. _ _ DE = 2/3 = 0,666...7 -> 1ª Fase: D; 2ª Fase E; x = 0,666...7 e sempre ficará na esquerda E. _ _ _ _ 0 -> E e 1 -> D ; 1/9 = 0,111... EED ; 2/9 = 0,222...DDE *O “ -- ” significa infinito.

13. Ilha e Curva de Koch Outro precursor da teoria dos fractais. Desenvolvida por Helge Von Kock, matemático polonês; influênciou Benoit Mandelbroat. D=log(4) / log(3) = 1.26185951 http://www.itis-molinari.mi.it/studenti/progetti/Tesina_Mate/curva_di_koch.jpg

14. Triângulo e Tapete de Sierpinski Outro precursor da teoria dos fractais.Criado por Waclaw Sierpinski, matemático polonês.Foi professor em Lvov e Wariaw. D=log(8) / log(3) = 1.89278926 http://home.vrweb.de/~gandalf/dimension4/Sierpinski.jpg D=log(3) / log(2) = 1.5849625 http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/image024.jpg

15. Árvore Pitagórica Isósceles Retangular

16. Fractais na Natureza Brócolis Rede Neural Relâmpago Folha de Planta Grenada Lake

17. Fractais na Medicina Aplicação da técnica fractal para análise da textura da pele. http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/image072.gif Após a aquisição da imagem da pele, é aplicada a transformada de laplace(filtro de imagem) para realçar os contornos da imagem e, logo em seguida é determinada a dimensão destes contornos. Assim, este trabalho tem como objetivo aplicar a técnica de fractais para detecção de patologias na pele através da análise da dimensão fractal.

18. Fractais na Medicina Cálculo da dimensão fractal da irregularidade do contorno de células e estruturas que formam os tumores malígnos. http://www.inf.ufsc.br/~visao/2000/fractais/image080.gif O objetivo é de caracterizar a que estágio se encontra os tumores malignos no sistema nervoso central. As imagens foram adquiridas através de ressonância magnética, das quais foram comparadas imagens de cistos (tumores benignos), imagens de gliomas (tumores malignos) e imagens de lesões massivas. Concluiu-se que, com a técnica da dimensão fractal, pode-se obter uma melhor diferenciação entre tumores benignos dos malignos pelo fato destes últimos possuírem característica marcante através de maior irregularidade em seu contorno. Assim, extraindo-se a dimensão fractal destes contornos, pode-se futuramente inferir informações sobre malignidade de tumores. Detecção de um cisto Glioblastoma Lesão Massiva

19. Câncer Bucal Como diagnóstico e prognóstico são feitos atualmente: i mpressão visual dos médicos que examinam(método muito subjetivo, gera divergências entre as opiniões dos especialistas) com base em imagens tumorais obtidas por microscopia .Os médicos podem dizer se são benignos(bem delimitados e possível extração cirúrgica) ou malignos(comprometem tecidos ao redor e podem evoluir facilmente). Como usar geometria fractal para descobrir a gravidade do problema: a geometria fractal mede a tortuosidade da borda tumoral. Quanto maior for a gravidade do câncer, maior a tortuosidade e, conseqüêntemente, maior a dimensão fractal. Fractais na Medicina Lâminas histológicas obtidas a partir de biópsias da mucosa da boca(Fig A: Epitélio, a esquerda e, Estroma a direita.Em B, tecido canceroso, curvas mais sinuosas na fronteira entre os dois tecidos ).Revista Ciência Hoje nº 232, pág. 48

20. Pra determinar a dimensão, é usado o método de contagem de caixas.O método consiste em cobrir a imagem, neste caso a linha de fronteira entre os dois tecidos com uma malha quadriculada e, posteriormente, efetuar o calculo de quantos quadrados foram preenchidos pela figura.Quando se reduz o tamanho de cada quadrado a um certo valor, a tendência é que o número de quadrados ocupados por algum ponto da figura aumente na mesma proporção(D ≡1 ), mas quando a imagem em questão é de um câncer, o número de quadrados após a redução aumenta além da proporção(D >1 ). No de cima, inicialmente existem 14 quadrados, após redução por três, aparecem 43. No segunda, inicialmente existem 24, após divisão por três, aparecem 100.Revista Ciência Hoje nº 232, pág. 48.

21. Dimensão Fractal http://www.insite.com.br/fractarte/artigos/dimensionalidade.gif

22. Cálculo de Dimensão Fractal “ É impossível predizer os valores de um sistema caótico em um instante determinado, mas podemos predizer as características qualitativas do comportamento do sistema. Analogamente é impossível calcular a área ou comprimento de uma forma fractal, mas podemos definir o grau de denteamento de forma qualitativa.”, Teia da Vida; Capra, Fritjoe (a) A = l D A -> Área de cada quadrado; l -> Lado; D -> Dimensão Fractal. (b) A T = NA A T -> Área Total; N -> Número de quadrados;Faz refrência a (a). (c) N(n) = 4 n N(n) -> Número de quadrados após n iterações. n -> Número de iterações. * Fator de redução igual a dois. (d) l = l/2 n Ao iniciar iterações...n -> Número de iterações. (e) A(n) = (l/2 n ) D Faz referência a (a). A T = N(n) · A (n) = 4 n · (l/2 n ) D = (4/2 D ) n · l D A A T não pode aumentar nem diminuir, por isso: 4/2 D = 1 -> 4 = 2 D -> 2 2 = 2 D -> D = 2. | - - > -> log(4) / log(2) = 2.

23. Para se calcular a dimensão de um fractal, pode-se usar a formula: n = m D -> D = log n /log m; onde n é o número de figuras que aparecem e, m é o fator de redução. Exemplo: Um quadrado que é reduzido a terça parte, como tem dimensão dois, passa a apresentar nove quadradinhos para que estes ocupem a área do quadrado que havia antes, logo: 9=3 D -> D = log 9 /log 3 -> D = 2 ou ainda log 3 9 = 2.

24. Método Contagem de Caixas (Box Counting)‏ http://classes.yale.edu/fractals/

25. Software Livre “ Software livre, segundo a definição criada pela Free Software Foundation, é qualquer programa de computador que pode ser usado, copiado, estudado, modificado e redistribuído sem nenhuma restrição. ”, Wikipédia

26. Por que usar Software livre em Projetos Educacionais? 1º: Pode ser obtido de forma gratuita, diminuindo gastos por parte da instituição. 2ª: Não impõe ao aluno certos gastos com licença para que este o utilize fora do ambiente da instituição. 3º: Por ser de código aberto, facilita personalização por parte dos professores para melhor adequação às necessidades dos alunos. 4º: Pode estimular trabalho em grupo, pois muitos softwares são desenvolvidos por comunidades abertas. 5º: Maior aprendizado, pois com software livre o aluno obtém um conhecimento mais profundo em relação ao funcionamento do computador. 6º: Não “prende” o usuário a corporações. Por que usar Software Livre no Projeto Fractais ? Para demonstrar a eficiência, viabilidade e usabilidade deste tipo de software, incentivar o ensino do mesmo no Colégio Antônio Vieira e seu uso em outros projetos nas próximas Feiras de Ciência e/ou dentro de setores da instituição..

27. GNU/Linux História do GNU/Linux A tempos atrás, os computadores eram muito caros, contudo a demanda era muito alta e, como solução, cientistas desenvolveram o conceito time-sharing(compartilhamento de tempo), onde muitos usuários através de terminais eram conectados a um computador, hoje isso se chama Arquitetura Cliente Servidor. Um dos primeiros projetos nesta área foi o Multics, envolvendo MIT, Bell Labs, na época pertencente a AT&T e General Eletric.A Bell Labs saiu do projeto, mas Ken Thompson e Dennis Ritchie, os quais trabalhavam para AT&T continuaram a trabalhar no desenvolvimento de um sistema multiusuário; o resultado disto foi o Unix. Na época a AT&T não podia participar do mercado de computação devido a intervenções do governo americano, por isso resolveu destribuir o sistema com seu código fonte a universidades. Na década de 1980, a AT&T passou a ter autorização para comercializar o Unix e então este passou a ser um sistema fechado. Devido aos altos preços praticados pela AT&T, universitários começaram a desenvolver sistemas similares ao Unix.Nesta época surge um grupo, o FSF(Free Software Fundation) liderado por Richard Stallman, cujo objetivo era o compartilhamento de software.Este grupo desenvolveu a licença GPL e componentes de sistemas operacional tipo Unix(Projeto GNU). Em 1991, Linus Torvalds, estudante de Ciência da Computação da Universidade de Helsinki, Finlândia, desenvolve um kernel(núcleo de sistema) e, em 1995 algumas empresas juntam o kernel desenvolvido por Linus aos componentes do Projeto GNU, da FSF e surge o sistema operacional GNU/Linux com sua várias distribuições(customizações do sistema).

28. Quem já utiliza GNU/Linux Projeto OLPC – Tem como objetivo levar um laptop de custo reduzido para cada aluno da rede pública de ensino. Usa Sistema Operacional Fedora.

30. Softwares Utilizados Nome: Fedora 7 Licença: GPL (livre). Utilidade: Sistema Operacional. Website: http://fedoraproject.org/ Nome: GNU XaoS Licença: GPL (livre). Utilidade: Permite a construção de fractais e zoom em tempo real. Website: http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php?id=main Nome: OpenOffice.org 2.2 Licença: GPL (livre). Utilidade: Edição de documentos em formatos abertos. Website: http://www.openoffice.org/

31. Agradecimentos Toda a equipe do Colégio Antônio Vieira, em especial, ao setor de Biologia. Leonardo Bacelar Lima Santos – Grupo FESC - Física Estatística e Sistemas Complexos - IFUFBA - Instituto de Física - UFBA

32. Referê ncias o Capra, Fritjoe. A Teia da Vida o Madsen Barbosa, Ruy, Descobrindo geometria fractal o Jang, Michael. Dominando Linux Red Hat 9 o Revista Ciência Hoje, Novembro de 2006 o Guia do Estudante, ENEM 2007 o http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/kinouchi_fractais.htm o http://www.ajc.pt/cienciaj/n23/avulso6.php