©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es
TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LA
TEORÍA DE LA SEÑAL
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1.2
Sistemas de Transmisión de Datos
1.ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SISTEMA DE...
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Sistemas de Transmisión de Datos
- Receptor⇒ transductor de salida + ...
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Sistemas de Transmisión de Datos
)tcos(Ax(t) 0θ+ω⋅= )tsenAx(t) 1θ+ω⋅=...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Por tanto, esta señal se mueve a tre...
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Una subdivisión de señales digitales...
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Hay señales que cambian en un interv...
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Sistemas de Transmisión de Datos
• Señal RZ (Return Zero): Son señale...
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EJEMPLO: vamos a enviar la secuencia...
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Cuando hablamos de señales digitale...
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Sistemas digitales:
vi Pe
Telegrafí...
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TV
Microondas
Radar
Infrarrojo
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W Ancho de Banda.
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Existe más de una representación vá...
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Sistemas de Transmisión de Datos
El espectro en fase es siempre impa...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Para el cálculo correcto del espect...
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Sistemas de Transmisión de Datos
∫ ⋅⋅=
T
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nn dttcosx(t)a ω ∫ ⋅ω⋅=
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Ejemplo: Sea la señal dada:
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Sabiendo que:
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

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
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1.2.2. Desarrollo en Serie de Fouri...
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Vamos a calcular Cn paso a paso.
En...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Cuando x tiende a cero, el límite d...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Si T<<< ⇒ aumenta la distancia entr...
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Sistemas de Transmisión de Datos
espectro en frecuencia utilizo la t...
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Sistemas de Transmisión de Datos
1.2.4. Diferencia en pulso e impuls...
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Propiedades de δ(t).
La función imp...
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1.2.5. Señales de Energía y señales...
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• UNÍVOCA: No existen dos señales d...
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Sistemas de Transmisión de Datos
[ ]
∫∫
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∞
ω
∞
∞
ω
ω⋅⋅ω⋅ω
π
=ω⋅⋅ω
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Sistemas de Transmisión de Datos
• TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN FRE...
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Sistemas de Transmisión de Datos
[ ] )x(2X(t)TF ω⋅π↔
Para frecuencia...
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Sistemas de Transmisión de Datos
[ ] )x(-2X(t)TF ω⋅π=
Nota: el signo...
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Sistemas de Transmisión de Datos
• Invarianza en el tiempo: Se dice ...
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Sistemas de Transmisión de Datos
h(t) ↔H(jω)
Si tenemos un sistema l...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Cada uno de los infinitos valores q...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Con buen criterio deberíamos escoge...
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Sistemas de Transmisión de Datos
Por lo tanto, para nuestro circuito...
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)(
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1.40
Sistemas de Transmisión de Datos
Por lo tanto nuestra señal se podrá...
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Sistemas de Transmisión de Datos
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1.42
Sistemas de Transmisión de Datos
Sabemos que la función respuesta en...
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1.43
Sistemas de Transmisión de Datos
- Si por el contrario no hubiese de...
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1.44
Sistemas de Transmisión de Datos
1.3.3. Función δ(t) como función pr...
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©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es
1.45
Sistemas de Transmisión de Datos
que la transformada de Fourier de δ...
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1.46
Sistemas de Transmisión de Datos
1.4. ANEXO
1.4.1. Tabla de integral...
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1.47
Sistemas de Transmisión de Datos
16. ∫ +
−
+
⋅=
−
C
xa
xa
arctg
a2
1...
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1.48
Sistemas de Transmisión de Datos
13. )x(farctgy =
)x(f1
)x('f
'y 2
+...
.
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1.49
Sistemas de Transmisión de Datos
1.4.3. Razones trigonométricas
1. F...
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©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es
1.50
Sistemas de Transmisión de Datos
2
BA
cos
2
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sen2BsenAsen
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⋅
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  1. 1. ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA SEÑAL
  2. 2. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.2 Sistemas de Transmisión de Datos 1.ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIÓN Un sistema de comunicación básico está compuesto por: - fuente - canal de comunicaciones - destino. Se denomina FUENTE a un ente o dispositivo que genera información. La característica es que emite señales. No tiene por qué haber sido creado, puede generarse en la naturaleza. Existen muchas fuentes de información que no son analógicas ni digitales, por ejemplo, la voz. Normalmente, existen dispositivos que traducen las señales al formato que el medio es capaz de transmitir. Estos equipos son los transductores, se encuentran a la entrada y salida del sistema físico normalmente. Estos dispositivos adaptan la señal al medio físico, o simplemente convierten la señal del fuente a otro tipo de señal. Tienen funciones muy variadas, también pueden ser conmutadores, amplificadores… Los transductores de entrada adecuan la señal que genera el fuente al medio con el que trabajamos. De la misma forma, el destino puede recibir una señal que es necesario “traducir” para que el receptor la entienda. Por tanto, un sistema de comunicaciones básico engloba: - Emisor ⇒ fuente + transductor de entrada. - Canal de comunicaciones FUENTE DESTINO CANAL DE COMUNICACIONES CANAL DE COMUNICACIONES FUENTE TRANSDUCTOR DE ENTRADA DESTINOTRANSDUCTOR DE SALIDA EMISOR RECEPTOR
  3. 3. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.3 Sistemas de Transmisión de Datos - Receptor⇒ transductor de salida + destino. El canal de comunicaciones no sólo es el medio físico, es algo más, engloba el hardware (medio físico) y el software (que maneja el medio físico). El canal representa el camino lógico por donde va a ir la información. Existen muchos canales dentro de un medio físico, y por cada canal, podemos establecer conexiones. El medio físico va a estar aprovechado en función del número de canales que soporte. En todo sistema de comunicaciones existen distorsiones, ruidos o atenuaciones, tanto aleatorios como periódicos que interfieren la comunicación. Estas distorsiones se deben a que trabajamos con medio físicos, que no son ideales y tienen cierto margen de error. Dependiendo de la calidad del medio físico con el que trabajemos tendremos un sistema más o menos inmune a este tipo de distorsiones. Por ejemplo, la fibra óptica es mucho más inmune a las distorsiones que otros medios físicos. 1.1. TIPOS DE SEÑALES EN COMUNICACIONES Existen muchos tipos de señales: - Periódicas: se repiten en el tiempo. - Aleatorias. - Deterministas: se producen siempre (en el medio). Las señales, básicamente, se dividen en: - señales analógicas. - señales digitales. 1.1.1. Señales analógicas Las señales analógicas son señales de variación lenta en el tiempo. No cambian abruptamente de un estado a otro de energía, sino que varían lentamente. Si tomamos en un intervalo de tiempo el valor de la señal analógica, está compuesta por infinitos valores, es decir, una señal analógica en un intervalo de tiempo toma infinitos valores de amplitud. La representación gráfica de este tipo de señal, viene dada por las funciones seno o coseno, como muestra la figura 1:
  4. 4. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.4 Sistemas de Transmisión de Datos )tcos(Ax(t) 0θ+ω⋅= )tsenAx(t) 1θ+ω⋅= ( NOTA: cos (0) ⇒ máxima amplitud.       π +θ=θ 2 sencos sen (90) ⇒ máxima amplitud.       π −θ=θ 2 cossen Las señales analógicas, por ser de variación lenta se utilizan para comunicaciones a larga distancia, entornos públicos, por ejemplo: red telefónica. Vienen definidas por los parámetros: amplitud, fase y frecuencia. - A ⇒ Amplitud: Voltaje o intensidad de la corriente. - ω ⇒ Frecuencia angular: Se mide en seg rad , también es llamada pulsación angular. Es la velocidad de rotación a la que se mueve la señal. Frecuencia cíclica: π ω = 2 f Ciclo: Representa las veces que la señal analógica se repite en el tiempo. Ejemplo: Sea la señal de la figura 2. Figura 2. Señal analógica de 3 Hertz. t1 t2 1 ciclo 1 seg Figura 1. Señal cosenoidal
  5. 5. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.5 Sistemas de Transmisión de Datos Por tanto, esta señal se mueve a tres ciclos por segundo, se mueve a 3 Hz. segundo ciclo 1HzHertcio1 == . Por ejemplo, la frecuencia de la voz va desde 300Hz a 4000Hz. La relación entre la frecuencia angular y la frecuencia cíclica viene dada por la siguiente fórmula: f2π=ω Periodo de la Señal: es el tiempo que tarda la señal en recorrer un ciclo: f 1 T = La distancia recorrida en ese tiempo se denomina Longitud de Onda, se representa por λ. Normalmente se toma como la distancia entre picos. Se mide en metros. Con la longitud de onda λ (≈ distancia que recorre) y el periodo de la señal T (≈ tiempo que tarda) podemos averiguar la velocidad de propagación de la señal, medida en metros por segundo: π ω λ=⋅λ= λ = 2 f T v Frecuencias muy grandes implican longitudes de onda pequeñas y, por tanto, longitudes de onda grande implican frecuencias bajas. t(t) ⋅ω=ψ ⇒ Fase instantánea de la señal. θ0 ⇒ Fase inicial, en t=0. 1.1.2. Señales digitales Son señales de variación brusca. Cambian de un estado a otro de energía en un intervalo de bit. Intervalo de Bit: Tiempo que manejan emisor y receptor para colocar uno o más bit de información en el medio. Viene definido por el emisor y el receptor. Las señales digitales son menos sensibles al ruido que las señales analógicas, pero se atenúan más rápidamente. Cuanto menor sea el intervalo de bit, más información se puede enviar. Por tanto, mayor ancho de banda tendremos y, en consecuencia, mayor velocidad. El ideal en comunicaciones es conseguir dispositivos que cambien de estados de energía muy rápidamente en tiempos muy pequeños.
  6. 6. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.6 Sistemas de Transmisión de Datos Una subdivisión de señales digitales se pueden obtener atendiendo a la duración temporal, a la polaridad y a su número de estados o niveles de amplitud que posean: i. En función del número de estados: • Señal digital binaria: Sólo puede tomar dos valores de energía (cero y uno). • Señal digital m-aria o multinivel: Toma más de dos estados o niveles de energía. Para cuantificar los estados de energía de una señal binaria se necesita un único bit, mientras que para las m-arias se necesita más de uno. Existe una relación entre el número de niveles o estados y los bits necesarios para codificar dichos niveles. Esta relación viene dada por la fórmula: n 2m ≤ o, lo que es igual nmlog2 ≤ , donde m es el número de estados que hay que cuantificar y n el número de bits. Ejemplo: Para cuantificar cuatro estados de energía nos bastaría con 2 bits, es decir, n = 2. Para cuantificar seis estados de energía nos bastaría con 3 bits, es decir, n = 3. 1 1 1 00
  7. 7. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.7 Sistemas de Transmisión de Datos Hay señales que cambian en un intervalo de bit múltiples veces. Éstas señales se llaman multinivel, y permiten una cadencia en el canal muy superior a las señales binarias. Las señales multinivel se utilizan para comunicaciones de alta velocidad. Para comunicaciones básicas se utilizan señales binarias, que permiten codificar elementalmente la información a enviar. ii. En función de la polaridad (nivel de energía): • Señales unipolares: Son señales digitales que sólo pueden tomar valores de amplitud positivos. NOTA: el bit cero no tiene por qué corresponderse con el cero en amplitud. • Señales bipolares: pueden tomar valores de amplitud positivos y negativos. iii. En función de la duración temporal: • Señal NRZ (Not Return Zero): Es la señal digital que agota completamente el intervalo de bit. 1 1 1 00 +5 -5
  8. 8. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.8 Sistemas de Transmisión de Datos • Señal RZ (Return Zero): Son señales digitales que no agotan el intervalo de bit y retornan a cero, es decir, tienden a cero antes de acabar el intervalo. En comunicaciones, es mejor trabajar: • Bipolares ante unipolares: Las señales bipolares, tienen un nivel de continua menor que las unipolares, por lo que necesitan menos energía para transmitirse, se comportan mejor al atravesar los dispositivos físicos, como por ejemplo, un transformador, y tienen menor pérdida que las unipolares. Es más sencillo con estas señales detectar los cambios y el estado del medio sin dar lugar a errores. • RZ frente a NRZ: Básicamente porque el tiempo que queda libre del intervalo de bit, puede aprovecharse para enviar otros tipos de señales multiplexando las señales en el mismo intervalo de tiempo, por lo que se aprovecha mejor el medio y se envía mayor cantidad de información por seg. • Señales multinivel frente a binarias: Mayor cantidad de información por unidad de tiempo. Vamos a ver un ejemplo, en la Figura 2 de las señales digitales definidas anteriormente:
  9. 9. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.9 Sistemas de Transmisión de Datos EJEMPLO: vamos a enviar la secuencia digital 10001101 con señales digitales diferentes. Otra ventaja de las señales digitales bipolares es que si la línea está a cero, sabemos que está en reposo, mientras que en las unipolares no se sabe a que nos referimos porque el cero no tiene por qué corresponderse con el cero en amplitud. Se llama ancho de banda (B o W) de una señal al rango de frecuencias en el que se mueve la señal. Existe ancho de banda de la señal y del medio. El ancho de banda tiene relación con la duración de los impulsos digitales. Cuanto menor sea la duración de los pulsos (τ) más cantidad de información podremos enviar por unidad de tiempo(seg.). τ ≈ 1 B en Hercios. Cuando hablamos de señales analógicas es el rango de frecuencias en el que se mueve la señal, su notación normalmente es W o B como hemos comentado anteriormente. x(t Digital Binaria Digital Binaria RZ Multinivel. 2 τ=0T Multinivel. τ=0T 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 10 00 11 01 T0 τ T0 duración del intervalo de bit. τ ancho del impulso. Figura 3. Tipos distintos de señalización digital. Ancho de banda Si se mueve entre 100 y 150, el ancho de banda será: W=50MHz.
  10. 10. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.10 Sistemas de Transmisión de Datos Cuando hablamos de señales digitales no se miden en Hz, sino en cadencia de bits por segundo, es decir, la cantidad de bits por segundo que se envían por el canal de comunicaciones. 1.1.3. Parámetros de una señal digital • Velocidad de Información, vi: Representa el número de bits que se envían con una señal digital binaria (un intervalo de bit ⇒ un bit). Viene definida por: 0 i T 1 v = , se mide en seg bits • Velocidad de Transmisión o modulación, vt: Es la inversa de la duración de los impulsos y viene dad por τ = 1 vt , medida en baudios. • Baudio: Es el número de señales que se envían al medio por unidad de tiempo Sólo para señales digitales binarias (dos estados, 1 bit necesario), es igual a seg bits . La relación entre ambas velocidades, vi y vt viene dada por ti vnv ⋅= , donde n es el número de bits necesarios para codificar los estados de energía posibles de esa señal digital. Ejemplo: si tenemos una señal multinivel con cuatro estados de energía y vt=9600 Baudios, podemos calcular seg bits96002vi ⋅= Sistemas analógicos típicos: Ancho de Banda S/N Telefonía baja calidad 2KHz. 10 Telefonía comercial 200-4000Hz. 20 Radiodifusión 5-15KHz. 45 Televisión 5-7MHz. 50 Videotelefonía 1MHz. 45 Videoconferencia 100MHz- 1GHz. 60
  11. 11. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.11 Sistemas de Transmisión de Datos Sistemas digitales: vi Pe Telegrafía 50-9600Baudios 10-4 Ordenadores 104 -106 10-8 Terminales PCM 106 -108 (Redes) 10-9 Donde: • S/N ⇒ Señal / Ruido. Cociente entre la potencia de la señal y el ruido inherente. • Pe ⇒ Probabilidad de error. Mide la cantidad de bits erróneos que tiene la señal. Por ejemplo Pe=10-4 , de 10000 bits enviados uno es erróneo. Gráfica del espectro de frecuencia. 10Km 1Km 100m 10m 1m 10cm 1cm 1mm 0.1mm Longitud de onda Frecuencia 30KHz 300KHz 3MHz 30MHz 300MHz 3GHz 30GHz 300GHz 3000GHz Designación LF L F M F H F VH F U HF S HF E HF SE HF Banda 5 6 7 8 9 10 11 12 Radar Aplicaciones Audio Radio AM Radio FM
  12. 12. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.12 Sistemas de Transmisión de Datos TV Microondas Radar Infrarrojo Decibelio: Unidad que compara magnitudes. Normalmente compara potencia de la señal entre potencia de ruido. También mide distorsión y atenuación. N S log101dB 10⋅= Ejemplo: S=40dB ⇒ N S log1040dB 10⋅= , por lo que 4 10 N S = . La potencia de la señal es 104 veces mayor que el ruido. Cuando el cociente tiende a igualarse, sólo se escucha ruido y la señal se pierde. La mayoría de los ruidos afectan principalmente a la amplitud y, en menor medida, a la frecuencia y a la fase de la señal. 1.1.4. La ley de Shannon Define la capacidad máxima de aceptación de información que puede tener un canal de comunicaciones, es decir, la capacidad en bits/seg que puede soportar un canal de comunicaciones.       +⋅= N S 1logWC 2 Donde:
  13. 13. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.13 Sistemas de Transmisión de Datos W Ancho de Banda. N S (watios)ruidodelpotencia (watios)señalladepotencia 1.1.5. Teoría espectral de la señal En comunicaciones, nos interesa, principalmente conocer la señal en el dominio de la frecuencia, no sólo en el dominio temporal. • Representación Temporal: Es la representación de una señal en el dominio del tiempo. Sería el caso de las señales representadas hasta este momento. • Representación Espectral: Se corresponde con la representación de una señal en el dominio de la frecuencia, ya sea cíclica o angular. Sea la señal: )tcos(Ax(t) 0 θ+ω⋅= Vamos a trabajar con dos tipos de representaciones espectrales básicas: Representación del espectro en amplitud ⇒ Consiste en representar en un diagrama de dos ejes la amplitud de la señal en función de la frecuencia. Representación del espectro en fase ⇒ Es la representación de la fase de la señal en función de la frecuencia. Los espectros, son rayas centradas a una frecuencia y con un determinado valor de amplitud o de fase. A ω0 f Amplitud Espectro en amplitud θ ω0 Fase Espectro en fase f
  14. 14. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.14 Sistemas de Transmisión de Datos Existe más de una representación válida del espectro en amplitud o en fase de una señal, por ejemplo, para nuestra señal anterior tenemos que: ( ) ( )θ+ω⋅+θω⋅=θ+ω⋅= tcos 2 A -t-cos 2 A )tcos(Ax(t) 0000 , ya que como sabemos ( ) β⋅αβ⋅α=β±α sensencoscoscos m ( ) β⋅α±β⋅α=β±α cossencossensen El espectro en amplitud anterior se podría representar también de la siguiente manera, para frecuencias positivas y negativas. Físicamente, no existe ninguna señal que se mueva con frecuencias negativas, pero matemáticamente sí, por lo que se puede representar de esta manera. El espectro en amplitud es siempre par en frecuencias (lo que aparece a la derecha, aparece reflejado como un espejo a la izquierda). La amplitud de la señal siempre se representa como el módulo, por lo que siempre son valores positivos. Esto es debido al concepto, de que las amplitudes representan en realidad un valor de energía o potencia de la señal y por tanto no es posible tener en la vida real energías ni potencias negativas. Se representa X(f)ox(t) . El espectro en fase anterior se podría representar también de la siguiente manera: 2 A ω0 f Amplitud -ω0 ω f Fase -ω0 θ -θ
  15. 15. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.15 Sistemas de Transmisión de Datos El espectro en fase es siempre impar en frecuencia (lo que aparece a la derecha, aparecerá a la izquierda pero en el cuadrante inverso). Nota: Para el espectro en amplitud, es evidente que la representación de la señal no depende de si la señal es de tipo senoidal o cosenoidal , no siendo así para el espectro en fase debido al desfase de 2 π que existe entre el seno y el coseno. Ejemplo: Dada la señal ( ) ( ) ( )7 600tcos2t252cos5 3 10t2sen48x(t) π+⋅+⋅π⋅−π+⋅π⋅+= , representar el espectro en amplitud y el espectro en fase. El espectro en amplitud para frecuencias positivas viene dado por la figura 4: El espectro para frecuencias positivas y negativas viene dado por la figura 5: 8 4 5 2 f10Hz. 25Hz. π2 600 Hz. Amplitud 2 10Hz. 8 5/2 25Hz. 1 π2 600 Hz. f Amplitud 2 10Hz. 5/2 25Hz. 1 π2 600 Hz. Figura 4. Representación del espectro en amplitud Figura 5. Representación del espectro para frecuencias + y -.
  16. 16. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.16 Sistemas de Transmisión de Datos Para el cálculo correcto del espectro en fase debemos pasar los senos a cosenos y los valores negativos a positivos mediante las fórmulas: ( ) ( )α=πα sen 2 -cos y ( ) ( )α=πα -cos-cos La señal nos queda: ( ) ( ) ( )7 600tcos2-t252cos5 6 -10t2cos48x(t) π+⋅+π⋅π⋅+π⋅π⋅+= y sus espectos serán: 1.2. DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER El desarrollo en serie de Fourier es una excelente herramienta matemática para el estudio de señales periódicas. Cualquier señal periódica se puede descomponer, mediante el Desarrollo en Serie de Fourier en un sumatorio de senos y cosenos, multiplicados por unas constantes, los coefiecientes del desarrollo que representan valores de amplitud de la señal a determinadas frecuencias. Se define el desarrollo de una señal x(t) como: ( )∑ ∞ = ω⋅+ω⋅+= 1n nnnn 0 tsenbtcosa T 2 T a x(t) donde los coeficientes del desarrollo son na y nb : -π/6 -π f 10Hz. 25Hz. π2 600 Hz. Fase π/7 f Fase -π/6 10Hz. -π 25Hz. π2 600 Hz. π/7π/6 -10Hz. π -25Hz. - π2 600 Hz. -π/7
  17. 17. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.17 Sistemas de Transmisión de Datos ∫ ⋅⋅= T 0 nn dttcosx(t)a ω ∫ ⋅ω⋅= T 0 nn dttsenx(t)b Se puede integrar en el periodo que me convenga, los límites de la señal no tienen por qué estar entre 0 y T. Cada término desde uno a infinito representan las amplitudes de cada uno de los armónicos (componentes de energía de la señal) esa señal a determinadas frecuencias. El desarrollo en serie de Fourier nos permite explicar el concepto físico de una señal. El sumatorio representa los múltiples trocitos de energía que componen una señal, es decir, las señales tienen múltiples componentes de frecuencia, denominados armónicos, que vibran a una frecuencia múltiple de la fundamental. La mayor cantidad de energía la aporta el armónico fundamental n = 1 ⇒ T 2 1 π ω = . De forma que para n muy pequeño los valores de amplitud son apreciables, la potencia máxima de una señal se concentra en los primeros armónicos del desarrollo. Para valores grandes de n los valores de amplitud son despreciables y la potencia que aportan esos armónicos es despreciable. Podemos encontrarnos el desarrollo en serie de Fourier como: ( )∑ ∞ = ω⋅+ω⋅+= 1n nnnn0 tsenbtcosaax(t) donde: ∫ ⋅= T 0 0 dtx(t) T 1 a es el término de continua de la señal y na y nb los coeficientes del armónico enésimo. ∫ ⋅ω⋅= T 0 nn dttcosx(t) T 2 a ∫ ⋅ω⋅= T 0 nn dttsenx(t) T 2 b Los espectros en amplitud y fase se representan como: 2 n 2 n baAmplitud += f f       = n n a b- arctcgFase
  18. 18. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.18 Sistemas de Transmisión de Datos Ejemplo: Sea la señal dada: ( ) ( ) ( ) ( )3 -00t6sen7 7 600tcos2t252cos5 3 10t2sen48x(t) π⋅+π+⋅+⋅π⋅−π+⋅π⋅+= donde ω=600t seg rad 1 , la amplitud será 2 n 2 n ba + , es decir, 22 72 + 1.2.1. Desarrollo en Serie de Fourier complejo El desarrollo en Serie de Fourier se puede poner en forma compleja o exponencial. La fórmula compleja del desarrollo en serie, a la que llegaremos posteriormente, es la siguiente: ∑ ∞ ∞= ω ⋅= -n tj n n eC T 1 x(t) donde Cn es un número complejo con su módulo y su fase correspondiente: nj nn eCC θ ⋅= nnn jbaC −= 2 n 2 nn baC += , por tanto, el módulo de Cn es la amplitud: 2 n 2 n ba + . nn * n jbaC += ⇒ Conjugado de Cn. Sustituimos an y bn en los valores de Cn : ( ) ∫∫ ∫∫ ⋅⋅=⋅ω⋅−ω⋅ =⋅ω⋅−⋅ω⋅=−= ω 2T 2T- tj- 2T 2T- nn 2T 2T- n 2T 2T- nnnn dt.ex(t)dttsenjtcosx(t) dttsenx(t)dttcosx(t)jbaC n quedándonos: ∫ ⋅⋅= ω 2T 2T- tj- n dtex(t)C n ∫ ⋅⋅= ω 2T 2T- tj* n dtex(t)C n
  19. 19. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.19 Sistemas de Transmisión de Datos Sabiendo que: ( )       ⋅π =ω ⋅π =ω = ωω T n-2 T n2 ee n- n tj-tj n-n Obtenemos: ∫ ⋅⋅= ω 2T 2T- tj-* n dtex(t)C n- . Es decir, ( ) * nn- CC = , el conjugado es un cambio de signo de la exponencial. Fórmula De Euler: La exponencial compleja está relacionada con el seno y el coseno a través de esta fórmula: θ⋅±θ=θ± senjcose j Donde 2 ee tcos t-jtj n nn ωω + =ω y j2 ee tsen t-jtj n nn ωω − =ω Obtenemos las exponenciales decreciente y creciente de la siguiente manera: j2 ee jtsenj t-jtj n nn ωω − ⋅=ω⋅ multiplicamos el seno por (j) tj- t-jtjt-jtj nn n nnnn e j2 ee j 2 ee tsenjtcos ω ωωωω = − ⋅− + =ω⋅−ω hacemos la resta Como tsenjtcose nn t-j n ω⋅−ω=ω y j2 ee -jtsenj- t-jtj n nn ωω − ⋅=ω⋅ multiplicamos el seno por (–j). Real Imaginaria je 2j +=π 1e j0 =1e j −=π je 23j −=π
  20. 20. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.20 Sistemas de Transmisión de Datos tj t-jtjt-jtj nn n nnnn e j2 ee j 2 ee tsenjtcos ω+ ωωωω = − ⋅+ + =ω⋅+ω Hacemos la suma Además como también tsenjtcose nn tj n ω⋅+ω=ω+ A partir de esto, vamos a ver como se obtiene el desarrollo en forma compleja paso a paso: ( )=ω⋅+ω⋅+= ∑ ∞ =1n nnnn 0 tsenbtcosa T 2 T a x(t) =                 − ⋅+         + ⋅+= ∑ ∞ = ωωωω 1n t-jtj n t-jtj n 0 j2 ee b 2 ee a T 2 T a nnnn (sustituyo seno y coseno) ( ) =                 − ⋅++⋅+= ∑ ∞ = ωω ωω 1n t-jtj n tj-tj n 0 j ee beea T 1 T a nn nn simplificando ( ) ( )[ ]=−⋅−+⋅+= ∑ ∞ = ωωωω 1n tj-tj n tj-tj n 0 nnnn eejbeea T 1 T a (multiplico bn por j) ( ) ( )[ ]=+⋅+−⋅+= ∑ ∞ = ωω 1n nn tj- nn tj0 jbaejbae T 1 T a nn (saco factor común) [ ]=⋅+⋅+= ∑ ∞ = ωω 1n * n tj- n tj0 CeCe T 1 T a nn (sustituyo por los valores correspondientes) [ ]=⋅+⋅+= ∑ ∞ = ωω 1n n- tj- n tj0 CeCe T 1 T a nn (por definición de conjugado) ∑ ∞ −∞= ω ⋅= n tj n n eC T 1 (cambioloslímiteseincluyoel término cero) Por tanto: ∑ ∞ ∞= ω ⋅= -n tj n n eC T 1 x(t) donde el módulo de Cn es la amplitud. La ventaja del desarrollo en forma compleja es su menor coste en cuanto a cálculo matemático comparándola con la forma convencional del desarrollo.
  21. 21. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.21 Sistemas de Transmisión de Datos 1.2.2. Desarrollo en Serie de Fourier en forma real Partimos de la fórmula del desarrollo en forma compleja: =⋅= ∑ ∞ ∞= ω -n tj n n eC T 1 x(t) [ ]=⋅⋅= ∑ ∞ ∞= ωθ -n tjj n nn eeC T 1 (sustituyo Cn por definición) ( )[ ]=⋅= ∑ ∞ ∞= θ+ω -n tj n nn eC T 1 (saco factor común) ( ) ( ) =                 + ⋅+= ∑ ∞ = θ+ωθ+ω 1n t-jtj n 0 2 ee C T 2 T a nnnn (saco el término cero y cambio los límites) ( )∑ ∞ =     θ+ω⋅++= 1n nn 2 n 2 n 0 tcosba T 2 T a (sustituyo el módulo de Cn y el resto por el coseno) Se pueden aplicar cualquiera de las tres fórmulas para el cálculo matemático. Para señales periódicas en forma de senos y cosenos se suele utilizar la primera, para señales digitales la segunda, puesto que es más fácil calcular Cn que an y bn. Nota: Como es bien sabido si una función es par, el término bn se anula, mientras que si la función es impar se anula el término an. Una función es par si se cumple que x(t) = x(-t) e impar si x(t) = -x(-t). Vamos a ver un pequeño ejemplo para asentar los conceptos teóricos. Ejemplo: Dada una señal de periodo T tal que T)x(tx(t) += , vamos a calcular el espectro en amplitud con el desarrollo en forma compleja. τ x(t) t A 2TT/-T/2 τ/2-
  22. 22. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.22 Sistemas de Transmisión de Datos Vamos a calcular Cn paso a paso. En los intervalos (-T/2, -τ/2) y (T/2, τ/2), la señal vale cero, por lo que cambiamos los límites de integración. En el intervalo (-τ/2, τ/2), que son los nuevos límites de integración, la función x(t)=A, por lo que también lo sustituimos. ∫∫∫ τ τ ω τ τ ωω =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= 2 2- tj- 2 2- tj- 2T 2T- tj- n dteAdtex(t)dtex(t)C nnn =         ω ⋅= τ τ ω 2 2-n tj- j- e A n (Integramos) =         ⋅ − ⋅ ω ⋅ = τωτω j2 eeA2 2-j2j n nn (sustituimos los valores y multiplicamos y dividimos por dos) =τω⋅ ω ⋅ = 2sen A2 n n (sustituimos por el seno) = ω τω ⋅= n n 2sen 2A = τ⋅ω τω ⋅τ= 2 2sen A n n (multiplicamos y dividimos por τ/2) = τ⋅ ⋅π τ⋅ ⋅π ⋅τ= 2 T n2 2 T n2 sen A (sustituimos ωn por T n2 ⋅π ) = τ⋅⋅π τ⋅⋅π ⋅τ= T n T n sen A (simplificamos) = τ⋅⋅π⋅ τ⋅⋅π⋅ ⋅τ= nf nfsen A (sustituimos f por T 1 ) )fsinc(nA τ⋅⋅⋅τ= (tomamos x= n f τ) Representemos el coeficiente Cn:
  23. 23. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.23 Sistemas de Transmisión de Datos Cuando x tiende a cero, el límite de 1 2 2sen n n = τω τω , por lo que el valor de amplitud máxima es Aτ. Cuando τ π =ω 2 n ⇒ 0sen =π . Los valores de ω que hacen que el seno se anule, hacen que la función se corte con el eje de abscisas. T 1)(n2 T n2 1 +⋅π =ω ⋅π =ω +nn ; ⇒ La distancia entre cada par de rayas de la señal es el armónico fundamental. Cualquier señal periódica: Tiene espectro en amplitud discreto. Cada raya espectral está separada de la adyacente una distancia T2π , el armónico fundamental. En el primer corte con el eje de abscisas se concentra la máxima cantidad de energía de la señal. Esta es una buena elección para elegir el ancho de banda de la señal. τ ≈ K B . El ancho de banda es inversamente proporcional a τ. Si disminuimos la duración del pulso el primer corte con el eje se traslada a frecuencias más altas. Además si T, el periodo disminuye entonces: ω C Aτ τπ2 τπ4 τπ6 T2π ⇒ es la frecuencia
  24. 24. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.24 Sistemas de Transmisión de Datos Si T<<< ⇒ aumenta la distancia entre rayas, el primer corte con el eje se desplaza a la derecha, es decir, se producirá a frecuencias mayores. Se envían más pulsos por segundo, y por tanto, más volumen de información por unidad de tiempo. Esto implica también un aumento de la frecuencia de la señal. Si T>>> ⇒ disminuye la distancia entre rayas, el primer corte con el eje se produce a frecuencias más bajas. Se envían menos pulsos por segundo, y por tanto menos información. Disminuye la frecuencia. Si T ⇒ ∞ ⇒ el espectro deja de ser discreto, al tender las rayas a juntarse. La señal deja de ser periódica y se mueve con una sola frecuencia. Desaparece el concepto de armónico y el sumatorio del desarrollo se convierte en la integral de Riemann. Matemáticamente: ∑ ∞ ∞= ω ⋅= -n tj n n eC T 1 x(t) ⇒ ∫∫ ∞ ∞ ω ∞ ∞ ω ω⋅⋅ω π =ω∆⋅⋅= - tj - tj n de)X( 2 1 eC T 1 x(t) • ωn ⇒ T 2π =ω desaparece el concepto de armónico. • ω∆ π = 2 T • ∆ω ⇒ dω. • Cn ⇒ X(ω). La función continua de la frecuencia se define como: Transformada directa de Fourier: ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅=ω - tj- dtex(t))X( y su inversa como: Transformada inversa de Fourier: ∫ ∞ ∞ ω ω⋅⋅ω π = - tj de)X( 2 1 x(t) Tanto una como la otra nos van a servir para pasar de un domino temporal a otro (de la frecuencia) y a la inversa. Si tengo una señal x(t), y quiero obtener su
  25. 25. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.25 Sistemas de Transmisión de Datos espectro en frecuencia utilizo la transformada directa de Fourier. Del dominio de la frecuencia al dominio temporal se pasa utilizando la transformada inversa de Fourier. Este par de transformadas vienen representadas como: x(t) ↔ X(ω) TF[x(t)] = X(ω) x(t) = TF-1 [X(ω)] El estudio de las señales periódicas, que no existen en la naturaleza, nos permite, a través de la transformada estudiar el comportamiento en el dominio de la frecuencia de señales no periódicas, que sí son más comunes encontrarnos en la realidad. 1.2.3. Funciones especiales. El impulso unitario Es un impulso ideal: Se produce en el límite A ⇒ ∞ y τ ⇒ 0 de la función pulso. Su representación matemática viene dada por la función Delta de Dirac δ(t), la cual representa dicho impulso unitario. 1A A 0 →τ⋅    ∞→ →τ , es decir, el área = base * altura, tiende a uno. La función delta de Dirac es un impulso de intensidad unitaria centrado en un instante de tiempo o de frecuencia o en cualquier dominio transformado. En comunicaciones, esta función se utiliza como función prueba de circuitos físicos. Si excito un circuito físico con δ(t), el circuito responde con una función h(t), la respuesta a ese impulso. De esta forma, conociendo h(t), conoceremos cómo responde el circuito a cualquier señal x(t), de entrada. δ(t) τ ∞→ →τ A 0 Figura 6. Función impulso unitario
  26. 26. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.26 Sistemas de Transmisión de Datos 1.2.4. Diferencia en pulso e impulso - Pulso ⇒ es real. - Impulso ⇒ no es real, es un límite. Ejemplo: Representación de un pulso centrado en el origen. Sea la señal x(t) dada:    τ≤≤τ− = restoelen0 2t2A )t(x Un pulso viene definido por la siguiente representación       − ⋅Π⋅ τ tot A , donde: A ⇒ Amplitud del pulso. Π ⇒ Símbolo que representa el pulso. to ⇒ Instante en el que se produce. τ ⇒ Duración del pulso, es decir, ancho de pulso. CIRCUITO FÍSICO δ(t) y(t) A τ A ∞ τ 0
  27. 27. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.27 Sistemas de Transmisión de Datos Propiedades de δ(t). La función impulso unitario sólo define sus propiedades dentro de una integral. Son las siguientes: • ( ) 0 - 0 tt1dtt-t =∀=⋅∫ ∞ ∞ δ • ( ) 0 - 0 tt0dtt-t ≠∀=⋅∫ ∞ ∞ δ • ( ) )f(tdtf(t)t-t 0 - 0 =⋅⋅δ∫ ∞ ∞ • ( ) 0tj- - tj- 0 edtet-t ω ∞ ∞ ω =⋅⋅δ∫ • ( ) ( ) ( )21 - 21 t-tdtt-tt-t δ=⋅δ⋅δ∫ ∞ ∞ • ( ) ( )∫∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋅δ=⋅δ -- dtt-dtt • ( ) ( )∫∫ ∞ ∞ ω ∞ ∞ =⋅⋅δ↔=⋅δ - tj- - 1dtet1dtt Nota: En realidad no se habla de amplitud de la función delta de Dirac, sino de intensidad. Si tengo una función continua puedo ponerla como sumatorio ( )[ ]∑ δ⋅ nT-tn , de rayas centradas en instantes de tiempo distintos, puedo descomponerla en un sumatorio de funciones delta de Dirac. 1 tt0 ( )0t-tA δ⋅ 1 t t =0 ( )tA δ⋅ 1 f ( )0f-fA δ⋅ f0
  28. 28. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.28 Sistemas de Transmisión de Datos 1.2.5. Señales de Energía y señales de Potencia En comunicaciones existen dos tipos de señales de energía: - Señales de potencia: Cuando trabajamos con señales periódicas el concepto de energía finita no existe. La energía de una señal periódica, teóricamente, se alcanzaría en el infinito. A estas señales se les llama señales de potencia y su cálculo viene dado por la potencia media de la señal: ∫ ⋅= T 0 2 m dtx(t) T 1 P Si calculamos la potencia media de cada armónico y la comparamos con la potencia media de la señal, podemos observar el porcentaje de energía que aporta ese armónico al total de la señal. Nota: De la teoría de circuitos sabemos que la potencia que se disipa en un resistor R viene dada por R (t)v P 2 = . Por convenio R=1Ω. - Señales de energía: Las señales de energía tienen una duración finita, son señales no periódicas y su energía se puede cuantificar en un intervalo de tiempo finito. Las señales de energía son señales con un comportamiento finito, en un intervalo de tiempo tienen un valor significativo y después se anulan. Normalmente son exponenciales decrecientes del tipo τ ⋅ t- eA . El valor de energía viene dado por: ∫ ∞ ∞ ⋅= - 2 T dtx(t)E 1.2.6. Propiedades de la Transformada de Fourier La transformación de Fourier tiene una serie de propiedades que son peculiares y la definen en ambos dominios.
  29. 29. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.29 Sistemas de Transmisión de Datos • UNÍVOCA: No existen dos señales diferentes en el tiempo que tengan la misma transformada en el dominio de la frecuencia. Los pares de transformadas son únicos. x(t)↔X(ω) y(t)↔Y(ω) z(t)↔Z(ω) • LINEALIDAD Y HOMOGENEIDAD: La transformada de una suma de varias funciones en el dominio del tiempo multiplicadas por constantes, es igual a la suma de las transformadas de estas funciones multiplicadas por las constantes correspondientes. Z(f)KY(f)KX(f)Kz(t)Ky(t)Kx(t)K 321321 ⋅+⋅+⋅→⋅+⋅+⋅ Homogeneidad: Si tengo en el dominio temporal una señal multiplicada por unas constantes, en el dominio de la frecuencia también estará multiplicada por esas constantes, es decir, las constantes que existen en un dominio se mantienen al pasar la señal a otro dominio. Linealidad: Si tengo en el dominio temporal sumas o restas de señales, al pasar al dominio de la frecuencia obtengo sumas o restas de sus transformadas. • DERIVABILIDAD )X(x(t) ω↔ )X(j dt dx(t) ω⋅ω↔ Es decir, si tengo una señal x(t) y obtengo su transformada, derivando esa señal x(t) con respecto al tiempo lo que estoy haciendo es aumentar las componentes de alta frecuencia de la señal, es decir, la señal se traslada a frecuencias más altas. Se puede aplicar con las derivadas segunda, tercera… Demostración: Sea x(t) la TF-1 [X(ω)] ∫ ∞ ∞ ω ω⋅⋅ω π = - tj de)X( 2 1 x(t)
  30. 30. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.30 Sistemas de Transmisión de Datos [ ] ∫∫ ∞ ∞ ω ∞ ∞ ω ω⋅⋅ω⋅ω π =ω⋅⋅ω π = - tj - tj de)X(j 2 1 d dt ed )X( 2 1 dt x(t)d Donde )X(j ω⋅ω es una función de frecuencia F(ω) que es la derivada de la señal original. Esta propiedad implica que para ampliar las componentes de la señal en el dominio de la frecuencia, sólo la tengo que derivar en el dominio temporal y en el de la frecuencia la obtengo ampliada. • TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO )X(x(t) ω↔ )X(e)t-x(t 0t-j 0 ω⋅↔ ω Es decir, si desplazamos el pulso en el dominio temporal una magnitud t0, en el dominio de la frecuencia se produce un desfase 0t-j e ω dependiente de ese desplazamiento en el dominio temporal. Demostración: Sea ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅=ω - tj- dtex(t))X( la transformada directa de Fourier, si desplazamos t0: =⋅⋅=ω ∫ ∞ ∞ ω - tj- 0 dte)t-x(t)X( (Por sustitución       = += = dudt tut t-tu 0 0 obtengo) =⋅⋅= ∫ ∞ ∞ +ω - )t(uj- duex(u) 0 =⋅⋅⋅∫ ∞ ∞- tj-uj- dueex(u) 0ωω (el término 0t-j e ω no depende de la integral) )X(eduex(u)e 00 tj- - uj-tj- ω⋅=⋅⋅= ω ∞ ∞ ωω ∫ Nota: para la demostración desplazo t0, no sustituyo t por (t - t0). ω 0t-j e)X( ω ⋅ω t t0 A x(t-t0)
  31. 31. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.31 Sistemas de Transmisión de Datos • TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA. )X(x(t) ω↔ )-X(x(t)e 0 tj 0 ωω↔⋅ω Es decir, si desplazamos el pulso en el dominio de la frecuencia ω0, en el dominio temporal se produce un desfase tj 0 e ω . Demostración: Sea ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅=ω - tj- dtex(t))X( la transformada directa de Fourier, si desplazamos ω0: [ ] ∫∫ ∞ ∞ ωω ∞ ∞ ωωω ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ - t-j(- - tj-tjtj dtex(t)dtex(t)ex(t)eTF 000 ) ∫ ∞ ∞ ωω ⋅⋅=ωω - )t-j(- 0 dtex(t))-X( 0 • TEOREMA DE DUALIDAD La propiedad de dualidad nos dice que si conocemos pares de transformadas y alguna de ellas nos aparece en el dominio contrario no es necesario el cálculo de la integral de Fourier. Veamos con un ejemplo gráfico. Sean los pares de transformadas: )X(x(t) ω↔ t tj 0 ex(t) ω ⋅ ω ω0 X(ω-ω0)
  32. 32. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.32 Sistemas de Transmisión de Datos [ ] )x(2X(t)TF ω⋅π↔ Para frecuencias cíclicas, sabemos que f2 ⋅π=ω , nos queda: X(f)x(t) ↔ [ ] x(-f)X(t)TF ↔ Demostración: Sea ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅ω π = - tj dte)X( 2 1 x(t) la transformada inversa de Fourier: ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅ π =ω - jt dteX(t) 2 1 )x( (Cambio de variable       ω ω por t port ) [ ] ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅= - tj- dteX(t)X(t)TF (Transformada directa de Fourier por definición) ∫ ∞ ∞ ω ⋅⋅=ω⋅π - jt dteX(t))x(2 (Pasamos π2 1 al otro lado de la igualdad) Si observamos las dos últimas ecuaciones, podemos comprobar que son iguales pero con signo contrario. Cambiamos el signo en la última ecuación, nos queda: τ x(t) t A ω 2 2sen A)X( τ⋅ω τ⋅ω ⋅τ⋅=ω TF[X(t)] ωt X(t)
  33. 33. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.33 Sistemas de Transmisión de Datos [ ] )x(-2X(t)TF ω⋅π= Nota: el signo sólo va a tener sentido para funciones impares, ya que para las pares sabemos que x(ω) = x(-ω) Para señales tanto periódicas como no periódicas se cumple que: X(ω) = X(-ω), porque las transformadas son complejos y sabemos que Cn=C-n. • PROPIEDADES DE LOS ESPECTROS. Como ya vimos anteriormente, el espectro en amplitud es siempre par frecuencia y el espectro en fase es siempre impar en frecuencia. 1.3. SISTEMAS LINEALES Para estudiar el comportamiento de las señales al atravesar los sistemas físicos la transformada de Fourier es una herramienta muy válida. A través de ella podemos conocer también el comportamiento en frecuencia de dichos sistemas, es decir cómo responden en frecuencia los circuitos físicos que fabricamos. Sistema Físico: Son componentes hardware que responden al paso de las señales con una determinada salida a una determinada entrada. Por ejemplo, un circuito RC. Según su comportamiento, existen dos tipos de sistemas físicos: - Sistemas Lineales. - Sistemas No Lineales. Los sistemas lineales, cumplen unas propiedades que los caracterizan en sí mismo y que se definen a continuación: • Homogeneidad y Linealidad. SISTEMA FÍSICO x(t) y(t) a·x(t) a·y(t)
  34. 34. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.34 Sistemas de Transmisión de Datos • Invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema físico es invariante en el tiempo si: Es decir, si la señal entra al sistema físico con un desfase temporal τ, la salida del sistema estará retardada la misma magnitud. Si no se cumpliera alguna de estas propiedades el sistema sería no lineal. Un sistema lineal queda completamente definido por la función H(jω), denominada FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA O FUNCIÓN DE RESPUESTA EN FRECUENCIA, donde jω es el argumento complejo que indica que dicha función es una función compleja de la frecuencia. La función H(jω) es una función continua de la frecuencia que define completamente el comportamiento en frecuencia del sistema lineal cuando lo atraviesan determinadas señales. Todo sistema lineal viene definido: Si conocemos dos parámetros del sistema lineal, podemos determinar el tercero, es decir: - si nos dan x(t) y H(jω) podemos conocer la salida y(t). - si nos dan y(t) y H(jω) podemos conocer la entrada x(t). - si nos dan y(t) y x(t) podemos conocer la función respuesta en frecuencia H(jω). H(jω) es, por definición, la transformada de Fourier de la función h(t), función respuesta al impulso unitario. La función impulso unitario es una función “prueba” de sistemas físicos. x(t) ↔X(jω) y(t) ↔Y(jω) x(t-τ) y(t-τ) H(jω) x(t) y(t)
  35. 35. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.35 Sistemas de Transmisión de Datos h(t) ↔H(jω) Si tenemos un sistema lineal que responde a la salida con la función h(t), significa que la señal de entrada es la función impulso unitario δ(t). Si conocemos como responde un sistema a la función impulso unitario δ(t), podemos saber como responde este mismo sistema a cualquier señal de entrada x(t). Es decir, conozco δ(t) y en consecuencia la función respuesta a un impulso unitario h(t), calculando TF[h(t)]=H(jω), que es la función de respuesta en frecuencia del sistema lineal. Por tanto, conociendo la entrada x(t) y H(jω), puedo determinar la salida y(t). Vamos a ver como responde un sistema lineal a una señal de entrada x(t): [ ] ∫ ∞ ∞− − ⋅⋅== ωω π ω ω dejXtxjXTF tj )( 2 1 )()(1 [ ] ∫ ∞ ∞− − ⋅⋅== ωω π ω ω dejYtyjYTF tj )( 2 1 )()(1 δ(t) h(t) ∑ ∞ ∞− τ−δ⋅τ= )t()(x)t(x t δ(t) nos permite hacer discreta cualquier señal continua, porque nos permite descomponerla en impulsos. H(jω) x(t) y(t)
  36. 36. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.36 Sistemas de Transmisión de Datos Cada uno de los infinitos valores que toma la señal de entrada x(t) viene afectado en la misma proporción por H(jω). Por tanto: ∫ ∞ ∞− ⋅⋅⋅= ωωω π ω dejHjXty tj )()( 2 1 )( )()()( ωωω jHjXjY ×= Producto. Para obtener la salida sólo tendríamos que obtener la transformada inversa de Fourier de Y(jω). Del mismo modo: )( )( )( ω ω ω jH jY jX = )( )( )( ω ω ω jX jY jH = Ejemplo: Supongamos un circuito RC como el de la figura: Su función de respuesta en frecuencia viene dada por: 01 1 )( ωω ω j jH + = Y su magnitud por: ( )2 01 1 )( ωω ω + =jH Su representación espectral se puede ver en la figura 7: R C v0(t)vi(t) ωω0 0,707 Figura 7. Repuesta en frecuencia de un circuito RC.
  37. 37. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.37 Sistemas de Transmisión de Datos Con buen criterio deberíamos escoger el rango de frecuencias en el que la señal tiene amplitudes apreciables. Vamos a tomar ω0 ,como ancho de banda, donde H(jw) toma el valor 0,707. El ancho de banda del sistema físico tiene que ser siempre mayor que el de la señal, si no, a la salida obtendremos la señal recortada en sus parámetros. Normalmente, los receptores tienen un ancho de banda superior al de la señal que se envía. Por ejemplo, la televisión tiene mayor ancho de banda que la señal que recibimos. Esto se puede observar en el ejemplo de la figura 8. 1.3.1. Modelo de Sistemas Lineales Como en realidad la función impulso unitario no existe en la naturaleza, vamos a ver un ejemplo de cómo se puede aproximar un pulso real a la función . Vamos en realidad a modelar un sistema. Siguiendo con el ejemplo del circuito RC. Sea un pulso de anchura A y duración τ. Vamos al laboratorio y excitamos el sistema RC con este pulso y observamos su salida. Reducimos el pulso a la mitad y seguimos viendo como responde el circuito RC ( Ver figura 9). Como se puede observar llegado un punto por más que se reduzca el pulso la “forma” de la señal no cambia. En este punto el pulso de duración τ y amplitud V se puede aproximar al producto . Se dice que el sistema se ha estabilizado. ω0 ancho de banda del sistema. ω1 ancho de banda de la señal.ωω0 0,707 ω1 Figura 8. Comparativa de anchos de banda. δ(t) Vτ·δ(t)
  38. 38. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.38 Sistemas de Transmisión de Datos Por lo tanto, para nuestro circuito: Si excito ese sistema lineal obtengo como respuesta RCt e RC VT th − ⋅=)( . Por lo que puedo obtener la función de respuesta en frecuencia H(jω), puesto que es la trasformada directa de Fourier de h(t). Luego si: vi(t) tτ V En el límite )t(V 0 V δ⋅τ    →τ ∞→ v0(t)vi(t) V τ V τ V τ V τ V τ V τ V τ 0 V τ 0 vi(t) v0(t) tt tt tt tt Figura 9. Modelado de un circuito RC al impulso unitario.
  39. 39. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.39 Sistemas de Transmisión de Datos )( )()( 0     ⋅= ⋅= − RCt i e RC V tv tVtv τ δτ Simplificando Vτ a la entrada y a la salida, nos queda a la entrada la función impulso unitario δ(t) y a la salida la función respuesta a un impulso unitario h(t). Los sistemas físicos tienen constantes de estabilización que permiten conocer cuando el comportamiento o la respuesta del sistema no cambia y permanece estable. NOTA: Sólo a partir del momento en el que el sistema se hace estable y, suponiendo que τ << cte. de estabilización del sistema físico, este pulso de área Vτ se puede modelar como una función δ(t) con intensidad Vτ, es decir, Vτ·δ(t). 1.3.2. Teorema de Convolución Vimos que con la función δ(t), podíamos descomponer cualquier señal x(t) en una suma infinita de impulsos centrados en instantes de tiempo distintos y con intensidades dependientes de la amplitud de la señal x(t) en cada instante.. RCt e RC 1 )t(h − ⋅= δ(t) x(t) t x(τ) ∆τ Cuanto más estrecho sea, más nos aproximamos.
  40. 40. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.40 Sistemas de Transmisión de Datos Por lo tanto nuestra señal se podrá poner como: ∑ ∞ ∞− −⋅∆⋅= )()()( τδττ txtx donde: τ∆⋅τ)(x ⇒ es la intensidad del impulso haciendo la misma suposición de antes. )t( τ−δ ⇒ es el instante en el que se produce el impulso. El sumatorio representa la señal x(t) completa. Si τ 0, el incremento se transforma en diferencial, el sumatorio pasa a ser la integral de Riemann, y nos queda: ∫ ∞ ∞− ⋅−⋅= ττδτ dtxtx )()()( Sabemos que si la función impulso unitario δ(t) es la señal de entrada de un sistema lineal, a la salida tenemos la función respuesta a un impulso unitario h(t). Con esto puedo determinar para cualquier señal de entrada x(t), cual es la señal de salida y(t). Esto que estamos enunciando es el Teorema de Convolución. La integral que representa la convolución viene dada por: ∫ ∞ ∞− ⋅−⋅= τττ dthxty )()()( Integral de Convolución Se dice que y(t) es igual a x(t) convolucionado con h(t). La integral de convolución es simétrica y por tanto: ∫ ∞ ∞− ⋅−⋅=∗= τττ dthxthtxty )()()()()( δ(t) h(t) x(t) y(t)
  41. 41. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.41 Sistemas de Transmisión de Datos simétrica.esPorque )t(x)t(h)t(y )t(h)t(x)t(y    ∗= ∗= Por lo que: ∫ ∞ ∞− ⋅−⋅= τττ dtxhty )()()( Vamos a ver otro ejemplo de respuesta de un sistema lineal a la función exponencial compleja: Para la exponencial compleja tenemos que: Aplicando convolución: =∗=∗= )()()()()( thtxtxthty ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− =⋅−⋅=⋅−⋅= ττττττ dtxhdthx )()()()( (Si )-t(j eA)-x(t tj eAx(t) τω τ ω ⋅=⇒⋅= ) =⋅⋅⋅= ∫ ∞ ∞− − ττ ωτω deeh jtj )( (Sacamos el término que no depende de τ) ∫ ∞ ∞− − ⋅⋅= ττ ωτω dehe jtj )( Es decir la función y(t) de salida es igual a la exponencial compleja multiplicada por la función de respuesta en frecuencia H(jω). ∫ ∞ ∞− − ⋅⋅= ττ ωτω dehety jtj )()( Si particularizamos para una determinada señal de frecuencia ω0 tenemos: tj eA)t(x ω ⋅= ¿y(t)? tj 0 eA)t(x ω ⋅= )j(HeA)t(y 0 tj 0 ω⋅⋅= ω
  42. 42. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.42 Sistemas de Transmisión de Datos Sabemos que la función respuesta en frecuencia, por ser un número complejo, se puede poner en función de su módulo y su fase de la siguiente forma: 0 )()( 00 θ ωω j ejHjH ⋅= Por lo que la salida a este sistema lineal se puede poner como: 00 )()( 0 θω ω jtj eejHAty ⋅⋅⋅= es decir: )( 0 00 )()( θω ω + ⋅⋅= tj ejHAty La conclusión importante que sacamos es que en un sistema lineal, la señal que lo atraviesa, sea del tipo que sea, sufre modificaciones en amplitud y en fase, pero no en frecuencia. Esta variación viene dada por la función respuesta en frecuencia: 0 )()( 00 θ ωω j ejHjH ⋅= donde: - )j(H 0ω es la amplitud. - 0j e θ ⇒ es la fase. La frecuencia de la señal de entrada es idéntica a la de la señal de salida. Generalizando para cualquier señal: El desfase que introduce el sistema es θ0 y viene dado por 120 θ−θ=θ . - Si no hubiese desfase a la entrada 20 θ=θ , es decir el desfase que se produce a la salida lo produciría el propio sistema. H(jω0) )tcos(A)t(x 10 θ+ω⋅= )tcos(B)t(y 20 θ+ω⋅=
  43. 43. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.43 Sistemas de Transmisión de Datos - Si por el contrario no hubiese desfase a la salida significaría que el desfase que se introduce a la entrada es de signo contrario al que produce el sistema, es decir: 10 θ−=θ En cuanto a la amplitud: A B jHAjHB =⇒⋅= )()( 00 ωω Esto se demuestra si introducimos a la entrada de un sistema lineal una señal tcosA)t(x 0ω⋅= . 2 e 2 e 2 ee tcos tjtjtjtj 0 0000 ω−ωω−ω += + =ω (sustituyendo en x(t)) tjtj 00 e 2 A e 2 A )t(x ω−ω ⋅+⋅= . Sabemos: Por lo que: Si lo sumamos obtenemos la señal de salida: =⋅ω⋅+⋅ω⋅= θ+ω−θ+ω )t(j 0 )t(j 0 0000 e)j(H 2 A e)j(H 2 A )t(y = + ⋅⋅= +−+ 2 )( )()( 0 0000 θωθω ω tjtj ee jHA ).cos()( 000 θωω +⋅⋅ tjHA tj 0 eA)t(x ω ⋅= )t(j 0 00 e)j(HA)t(y θ+ω ⋅ω⋅= tj 0 e 2 A )t(x ω− ⋅= )t(j 0 00 e)j(H 2 A )t(y θ+ω− ⋅ω⋅= tj 0 e 2 A )t(x ω ⋅= )t(j 0 00 e)j(H 2 A )t(y θ+ω ⋅ω⋅=
  44. 44. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.44 Sistemas de Transmisión de Datos 1.3.3. Función δ(t) como función prueba de Sistemas Lineales Como ya sabemos si conocemos la función respuesta en frecuencia a un impulso unitario, h(t), podemos conocer por convolución, la salida a cualquier señal de entrada x(t). Vamos a ver por qué la función δ(t) es la “mejor” función prueba de sistemas físicos. La representación en el dominio de la frecuencia de un pulso centrado en el origen era, como vimos anteriormente, la siguiente: En la representación espectral el primer corte con el eje de abscisas τ ≈ K . Si vamos reduciendo en el dominio temporal τ, en el dominio de la frecuencia el primer corte con el eje de abscisas se irá produciendo a frecuencias mayores. Gráficamente: Cuando hablamos de A ∞ y τ 0, en el dominio de la frecuencia el primer corte con el eje de abscisas se producirá ¡¡en el infinito!!. Por lo tanto podemos decir τ x(t) t A ω 2 2sen A)X( τ⋅ω τ⋅ω ⋅τ⋅=ω t x(t) τ X(ω) ω
  45. 45. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.45 Sistemas de Transmisión de Datos que la transformada de Fourier de δ(t) es una raya de valor unitario desde - ∞ hasta + ∞. Esto se demuestra intuitivamente. Si utilizamos δ(t) para excitar un circuito físico, la respuesta en frecuencia del sistema, es en realidad, una respuesta a todas las frecuencias posibles de entrada. Es ancho de banda será equivalente a todas las frecuencias posibles. Es, por tanto, como si se probase el sistema para todas las frecuencias que existen, por lo que la función impulso unitario es muy válida como función prueba. 1.3.4. Teorema de Parseval El teorema de Parseval nos dice que “la energía no cambia al pasar del dominio temporal al dominio de la frecuencia”, y viceversa. Es decir, no existe pérdida de energía al pasar de un dominio a otro. 22 )()( txfX ≈ )()()( *2 fXfXfX ⋅= 2 )( fX ⇒ DENSIDAD ESPECTRAL, es decir, energía total de la señal. ∫ ⋅= T 0 2 m dtx(t) 1 P T ∫∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋅=⋅= - 2 - 2 T dfX(f)dtx(t)E       ∞→ →τ ⇒δ A 0 )t( t ω X(ω) 1 δ(t)
  46. 46. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.46 Sistemas de Transmisión de Datos 1.4. ANEXO 1.4.1. Tabla de integrales 1. ∫ + + =⋅ + C 1n x dxx 1n n 2. ∫ += C)x(Ln x dx 3. ∫ +=⋅ Cedxe xx 4. ∫ +=⋅ C )a(Ln a dxa x x 5. [ ] Cxcosdxxsen +−=⋅∫ 6. [ ] Cxsendxxcos +=⋅∫ 7. [ ] CxcosLndxxtg +−=⋅∫ 8. [ ] CxsenLndxxgcot +=⋅∫ 9. ∫ +−= Cxgcot xsen dx 2 10. ∫ += Cxtg xcos dx 2 11. ∫ += − Cxarcsen x1 dx 2 12. ∫ += − C a x arcsen xa dx 22 13. ∫ +±+= ± CaxxLn ax dx 22 22 14. ∫ += + Cxarctg x1 dx 2 15. ∫ +⋅= + C a x arctg a 1 xa dx 22
  47. 47. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.47 Sistemas de Transmisión de Datos 16. ∫ + − + ⋅= − C xa xa arctg a2 1 xa dx 22 17. ∫ + + − ⋅= − C ax ax arctg a2 1 ax dx 22 1.4.2. Tabla de derivadas 1. )x(g)x(fy += )x('g)x('f'y += 2. )x(fKy ⋅= )x('fK'y ⋅= 3. )x(g)x(fy ⋅= )x('g)x(f)x(g)x('f'y +⋅= 4. )x(g )x(f y = )x(g )x('g)x(f)x(g)x('f 'y 2 ⋅−⋅ = 5. [ ]n )x(fy = [ ] 'f)x(fn'y 1n− = 6. )x(Lnfy = f 'f 'y = 7. )x(fLny a= elog )x(f )x('f 'y a= 8. )x(f ay = aLn)x('fay' )x(f ⋅⋅= 9. )x(g )x(fy =       +⋅= )x(f )x('f )x(g)x(fLn)x('g)x(f'y )x(g Pasos: 9.1. )x(g )x(fLnyLn = 9.2. )x(fLn)x(gyLn ⋅= 9.3. )x(f )x('f )x(g)x(fLn)x('g y 'y ⋅+⋅= 9.4.       ⋅+⋅⋅= )x(f )x('f )x(gfLn)x('gy'y 10. )x(fseny = )x(fcos)x('f'y ⋅= 11. )x(fcosy = )x(fsen)x('f'y ⋅−= 12. )x(ftgy = [ ])x(ftg1)x('f'y 2 +⋅=
  48. 48. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.48 Sistemas de Transmisión de Datos 13. )x(farctgy = )x(f1 )x('f 'y 2 + = 14. )x(farcseny = )x(f1 )x('f 'y 2 − = 15. )x(farccosy = )x(f1 )x(f 'y 2 − − = 16. [ ])x(gfy ο= ( ) )x('g)x(g'f'y =
  49. 49. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.49 Sistemas de Transmisión de Datos 1.4.3. Razones trigonométricas 1. FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA 1cossen 22 =α+α α=α+ 22 eccosgcot1 α = α α + α α 22 2 2 2 sen 1 sen cos sen sen α=α+ 22 sectg1 α = α α + α α 22 2 2 2 cos 1 cos cos cos sen 2. RELACIONES ENTRE CUADRANTES )º180sen(sen α−=α )º90cos(sen α−=α )º180cos(cos α−−=α )º90sen(cos α−=α )º180sen(sen α+−=α )º270cos(sen α+=α )º180cos(cos α+−=α )º270sen(cos α+−=α 3. RELACIONES bsenacosbcosasen)basen( ⋅±⋅=± bsenasenbcosacos)bacos( ⋅⋅=± µ 4. ANGULO DOBLE α⋅α=α cossen22sen α−α=α 22 sencos2cos α− α =α 2 tg1 tg2 2tg 5. ANGULO MITAD 2 cos1 2 sen α− ±= α 2 cos1 2 cos α+ ±= α α+ α− ±= α cos1 cos1 2 tg 6. SUMA Y DIFERENCIA
  50. 50. . ©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es 1.50 Sistemas de Transmisión de Datos 2 BA cos 2 BA sen2BsenAsen − ⋅ + =+ 2 BA sen 2 BA cos2BsenAsen − ⋅ + =− 2 BA cos 2 BA cos2BcosAcos − ⋅ + =+ 2 BA sen 2 BA sen2BcosAcos − ⋅ + −=− 7. OTRAS:       α+ = α 2 cos1 2 cos2       α+ =α 2 2cos1 cos2       α− = α 2 cos1 2 sen2 α−=α− sen)sen( α=α− cos)cos( 1.4.4. Otras notas de interés 0 n = ∞ ∞= ∞ n 0 n 0 = 0 n = ∞ 0 0 = ∞ ∞= ∞ 0 00 =∞ 1(n <∞=∞ )1n0(0n ≤≤=∞ ∞=∞ e 0e =−∞ 11 = ∞ = ∞ =∞ ∞−∞ ∞− =±∞ n ∞=⋅∞ n

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