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Sind regul¨are B¨aume immer
Tief- oder Flachwurzler?
Fragen und Ideen ¨uber die mittlere H¨ohe
von regul¨aren Baumsprachen...
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mittel...
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mittel...
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mittel...
Die Frage
Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe
Hn ∈ Θ
√
n ∪ Θ(n) ?
≈ Syntaxb¨aume
von CFGs
Mittel...
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Regul¨a...
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Regul¨a...
Warum die Frage?
B¨aume sind ein
”
nat¨urlicher“ Formalismus.
H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
Regul¨a...
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R)
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle
Regeln r ∈ R eine dieser Formen habe...
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle
Regeln r ∈ R eine dieser Formen habe...
Regul¨are Baumgrammatiken
Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle
Regeln r ∈ R eine dieser Formen habe...
Beispiel: Bin¨arb¨aume
Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit
S →
◦
S S
◦
erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨a...
Beispiel: Bin¨arb¨aume
Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit
S →
◦
S S
◦
erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨a...
Beispiel: Bin¨arb¨aume
Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit
S →
◦
S S
◦
erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨a...
TREG vs. CFDT
CFDT ⊆ TREG.
TREG vs. CFDT
CFDT ⊆ TREG.
yield(TREG) ⊆ CFL.
TREG vs. CFDT
CFDT ⊆ TREG.
yield(TREG) ⊆ CFL.
TREG  CFDT = ∅.
Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



s → cc c → a | b
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



s → cc c → a | b
|L | = 4
TREG vs. CFDT
TREG  CFDT = ∅:
S →
s
A B
A →
c
a
B →
c
b
L =



s
c
a
c
b



s → cc c → a | b
|L | = 4
Ma...
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar!
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω...
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω...
Mehr Beispiele
Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß
T = T × SEQΩ(T )
ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω...
Probleme
Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
Probleme
Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße!
Probleme
Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße!
Nichtterminale k¨onne...
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
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a
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a
a
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Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
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a
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a a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a a a
Das sind gera...
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(...
Idee
Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale:
a
a
a
a a a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a a a a
4
≥ 3
≤ 3 + 2...
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(...
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(...
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(...
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(...
Idee
Wir beobachten:
Die Sprache der A-Minoren ist stets eine
”
smooth simple
variety“ SVA.
max
A∈N
HA(t) ≤ H(t) ≤
A∈N
HA(...
Probleme mit der Idee
Verschiedene
”
Mittel“ bei SVA und HA
– uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)!
S = A →
a
A A
a
A
a
...
Probleme mit der Idee
Verschiedene
”
Mittel“ bei SVA und HA
– uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)!
S = A →
a
A A
a
A
a
...
Probleme mit der Idee
Verschiedene
”
Mittel“ bei SVA und HA
– uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)!
S = A →
a
A A
a
A
a
...
Ausflug: Knotenzahlen
Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab:
HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . .
– lohnt es sich, nA z...
Ausflug: Knotenzahlen
Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab:
HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . .
– lohnt es sich, nA z...
Ausflug: Knotenzahlen
Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab:
HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . .
– lohnt es sich, nA z...
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
∂
∂a
A(a...
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
∂
∂a
A(a...
Ausflug: Knotenzahlen
Technik: Erzeugendenfunktionen
S(a, z) =
t∈L
a|t|A
z|t|
=
n≥0 i≥0
#t ∈ Ln : |t|A = i · ai
zn
∂
∂a
A(a...
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
A = azA2
+ azB
B = bzB + bz
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
S(a, b, z) =
1 − bz − (1 − bz)(1 − bz − 4a2bz3)
2az(1 − bz)
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
S(1, 1, z) =
1 − z − (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2)
2z(1 − z)
A(1,...
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
. . . Singularit¨atenanalyse . . .
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
. . . Singularit¨atenanalyse . . .
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n n...
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n n...
Ausflug: Knotenzahlen
Beispiel
S = A →
a
A A
a
B
B →
b
B
b
An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n
Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n n...
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
HB ∼ n4/5
∧ nB ∼ ...
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
HB ∼ n4/5
∧ nB ∼ ...
Ausflug: Knotenzahlen
M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden):
HA ∼
√
n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
HB ∼ n4/5
∧ nB ∼ ...
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
...
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
...
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
...
Ausflug: Knotenzahlen
Wissen von Banderier/Drmota (2014):
|Ln| ∼ α · βn
· nγ
f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k
}
k≥1
∪ {m · 2−k
− 1}
...
Protoidee: Simple Varieties erweitern
Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch
φΩ(z) =
k∈Ω
zk
.
Protoidee: Simple Varieties erweitern
Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch
φΩ(z) =
k∈Ω
zk
.
K¨onnen wir die Beweis...
Protoidee: Nichtterminale eliminieren
Induktion ¨uber |N|?
I. A. |N| = 1: simple variety
Protoidee: Nichtterminale eliminieren
Induktion ¨uber |N|?
I. A. |N| = 1: simple variety
I. S. |N| = k + 1: konstruiere
h¨...
Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume
K¨onnen wir eine
Basis von Sprachen und
Operationen
finden, die TREG erzeugen?
E...
Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume
K¨onnen wir eine
Basis von Sprachen und
Operationen
finden, die TREG erzeugen?
E...
Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume
K¨onnen wir eine
Basis von Sprachen und
Operationen
finden, die TREG erzeugen?
E...
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Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

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See a short explanation of what this is about over there:

https://reitzig.github.io/research/open-questions/#average-height-of-regular-trees

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Sind reguläre Bäume immer Tief- oder Flachwurzler?

  1. 1. Sind regul¨are B¨aume immer Tief- oder Flachwurzler? Fragen und Ideen ¨uber die mittlere H¨ohe von regul¨aren Baumsprachen Raphael Reitzig @ FORMAT 2014 t¨uftelt mit Eric Noeth (Universit¨at Siegen) FACHBEREICH INFORMATIK FACHBEREICH INFORMATIK &Algorithmen Komplexität
  2. 2. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ?
  3. 3. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs
  4. 4. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten
  5. 5. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten z. B. Bin¨arb¨aume und viele ” simple varieties“
  6. 6. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten z. B. Bin¨arb¨aume und viele ” simple varieties“ z. B. lineare Liste u. ¨a.
  7. 7. Die Frage Gibt es unendliche regul¨are Baumsprachen mit mittlerer H¨ohe Hn ∈ Θ √ n ∪ Θ(n) ? ≈ Syntaxb¨aume von CFGs Mitteln ¨uber alle B¨aume mit n Knoten z. B. Bin¨arb¨aume und viele ” simple varieties“ z. B. lineare Liste u. ¨a. Nota bene: Random Permutation auf BSTs ist nicht uniform; H¨ohenbalancierung ist nicht regul¨ar.
  8. 8. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter.
  9. 9. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter. Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele ” klassische“ Familien.
  10. 10. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter. Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele ” klassische“ Familien. Mittlere H¨ohe bisher nur f¨ur Spezialf¨alle bekannt.
  11. 11. Warum die Frage? B¨aume sind ein ” nat¨urlicher“ Formalismus. H¨ohe ist ein nat¨urlicher, interessanter Parameter. Regul¨are B¨aume verallgemeinern viele ” klassische“ Familien. Mittlere H¨ohe bisher nur f¨ur Spezialf¨alle bekannt. Enger Zusammenhang zur mittleren Kompressionsg¨ute von B¨aumen via DAGs.
  12. 12. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R)
  13. 13. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben: A → a A1 . . . Ak oder A → a
  14. 14. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben: A → a A1 . . . Ak oder A → a Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ¨ublich.
  15. 15. Regul¨are Baumgrammatiken Eine Baumgrammatik G = (S, N, Σ, R) ist regul¨ar, wenn alle Regeln r ∈ R eine dieser Formen haben: A → a A1 . . . Ak oder A → a normalisierte Ableitungen und erzeugte (Baum-)Sprache L = L(G) wie ¨ublich. Reduziertheit, Normalform und Eindeutigkeit gibt es o. B. d. A.
  16. 16. Beispiel: Bin¨arb¨aume Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit S → ◦ S S ◦ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume.
  17. 17. Beispiel: Bin¨arb¨aume Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit S → ◦ S S ◦ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume. S ⇒ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S ◦ S ⇒ ◦ ◦ S ◦ ◦ ⇒ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
  18. 18. Beispiel: Bin¨arb¨aume Die Grammatik G = (S, {S}, {◦}, R) mit S → ◦ S S ◦ erzeugt die Menge aller vollen/erweiterten Bin¨arb¨aume. S ⇒ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S S S ⇒ ◦ ◦ S ◦ S ⇒ ◦ ◦ S ◦ ◦ ⇒ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Nota bene: L(G) = Lsg B = Σ × B × B + Σ
  19. 19. TREG vs. CFDT CFDT ⊆ TREG.
  20. 20. TREG vs. CFDT CFDT ⊆ TREG. yield(TREG) ⊆ CFL.
  21. 21. TREG vs. CFDT CFDT ⊆ TREG. yield(TREG) ⊆ CFL. TREG CFDT = ∅. Denn: in CFDT erzwingt gleiches Label gleiches Nichtterminal.
  22. 22. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b
  23. 23. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b   
  24. 24. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b    s → cc c → a | b
  25. 25. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b    s → cc c → a | b |L | = 4
  26. 26. TREG vs. CFDT TREG CFDT = ∅: S → s A B A → c a B → c b L =    s c a c b    s → cc c → a | b |L | = 4 Macht das hier einen Unterschied?
  27. 27. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar!
  28. 28. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞.
  29. 29. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞. Beweis: S → a S . . . S k × ⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω
  30. 30. Mehr Beispiele Allgemeiner: jede simple variety SVΩ von B¨aumen gem¨aß T = T × SEQΩ(T ) ist regul¨ar! Solange 0 ∈ Ω und |Ω| < ∞. Beweis: S → a S . . . S k × ⇐⇒ a ∈ T ∧ k ∈ Ω Wissen: hier ist Hn ∈ Θ( √ n) ∪ Θ(n).
  31. 31. Probleme Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar.
  32. 32. Probleme Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar. H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße!
  33. 33. Probleme Beweis zu SV nicht direkt ¨ubertragbar. H¨ohe ist immer unangenehm – keine additive Gr¨oße! Nichtterminale k¨onnen sich beliebig vermischen – wie ihre Beitr¨age zur H¨ohe isolieren?
  34. 34. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a
  35. 35. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
  36. 36. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Das sind gerade (A- bzw. B-) Minoren!
  37. 37. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA.
  38. 38. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t)
  39. 39. Idee Zerlegen B¨aume nach den Beitr¨agen der Nichtterminale: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 4 ≥ 3 ≤ 3 + 2 = 5
  40. 40. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t)
  41. 41. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n.
  42. 42. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n. A∈N HA,n ∈ Θ 1 |N| · max A∈N HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich.
  43. 43. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n. A∈N HA,n ∈ Θ 1 |N| · max A∈N HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich. Also ist das Problem gel¨ost!
  44. 44. Idee Wir beobachten: Die Sprache der A-Minoren ist stets eine ” smooth simple variety“ SVA. max A∈N HA(t) ≤ H(t) ≤ A∈N HA(t) =⇒ 1 |N| · max A∈N HA,n ≤ Hn ≤ A∈N HA,n. A∈N HA,n ∈ Θ 1 |N| · max A∈N HA,n f¨ur n → ∞, da N endlich. Also ist das Problem gel¨ost?
  45. 45. Probleme mit der Idee Verschiedene ” Mittel“ bei SVA und HA – uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)! S = A → a A A a A a B B → a | b
  46. 46. Probleme mit der Idee Verschiedene ” Mittel“ bei SVA und HA – uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)! S = A → a A A a A a B B → a | b Nicht jede Minorensprache dominiert: S → s A B A → Σ1 A A Σ1 B → Σ2 B Σ2 – H¨ohe in Θ √ n oder Θ(n)?
  47. 47. Probleme mit der Idee Verschiedene ” Mittel“ bei SVA und HA – uniform ¨uber SVA = uniform ¨uber L(G)! S = A → a A A a A a B B → a | b Nicht jede Minorensprache dominiert: S → s A B A → Σ1 A A Σ1 B → Σ2 B Σ2 – H¨ohe in Θ √ n oder Θ(n)? Und selbst wenn: S = A → a A A a B B → b B b
  48. 48. Ausflug: Knotenzahlen Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab: HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . . – lohnt es sich, nA zu untersuchen?
  49. 49. Ausflug: Knotenzahlen Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab: HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . . – lohnt es sich, nA zu untersuchen? nA = An WA,n = # A-Knoten in Ln # A-Minorenb¨aume in Ln
  50. 50. Ausflug: Knotenzahlen Den H¨ohenbeitrag von A h¨angt von mehreren Gr¨oßen ab: HA,n ←→ HA ◦ nA ◦ . . . – lohnt es sich, nA zu untersuchen? nA = An WA,n = # A-Knoten in Ln # A-Minorenb¨aume in Ln Damit k¨onnen wir umgehen!
  51. 51. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t|
  52. 52. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn
  53. 53. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn ∂ ∂a A(a, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1 zn
  54. 54. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn ∂ ∂a A(a, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1 zn A(1, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · zn
  55. 55. Ausflug: Knotenzahlen Technik: Erzeugendenfunktionen S(a, z) = t∈L a|t|A z|t| = n≥0 i≥0 #t ∈ Ln : |t|A = i · ai zn ∂ ∂a A(a, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · ai−1 zn A(1, z) = n≥0 i≥0 i · #t ∈ Ln : |t|A = i · zn [zn ]A(1, z) = An
  56. 56. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b
  57. 57. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b A = azA2 + azB B = bzB + bz
  58. 58. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b S(a, b, z) = 1 − bz − (1 − bz)(1 − bz − 4a2bz3) 2az(1 − bz)
  59. 59. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b S(1, 1, z) = 1 − z − (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2) 2z(1 − z) A(1, 1, z) = 2z2 (1 − 2z)(1 + z + 2z2) + (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2) B(1, 1, z) = z2 (1 − z) · (1 − z)(1 − 2z)(1 + z + 2z2)
  60. 60. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b . . . Singularit¨atenanalyse . . .
  61. 61. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b . . . Singularit¨atenanalyse . . .
  62. 62. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n
  63. 63. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n
  64. 64. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2
  65. 65. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2 HA,n ∈ Θ √ n und HB,n ∈ O(1) mit weiteren Argumenten
  66. 66. Ausflug: Knotenzahlen Beispiel S = A → a A A a B B → b B b An ∼ 1/2 · n WA,n = 1 nA ∼ 1/2 · n Bn ∼ 1/2 · n WB,n ∼ 1/4 · n nB ∼ 2 HA,n ∈ Θ √ n und HB,n ∈ O(1) Hn ∈ Θ √ n mit weiteren Argumenten
  67. 67. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2
  68. 68. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2 HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5
  69. 69. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2 HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5
  70. 70. Ausflug: Knotenzahlen M¨ussen unangenehme F¨alle ausschließen (oder finden): HA ∼ √ n ∧ nA ∼ n HA,n ∼ n1/2 HB ∼ n4/5 ∧ nB ∼ n3/4 HB,n ∼ n3/5 Was f¨ur HA, nA und Verkn¨upfungen derer kann es geben?
  71. 71. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich
  72. 72. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich – also ” beliebig“ unangenehm!
  73. 73. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich – also ” beliebig“ unangenehm! Aber ist An vielleicht ” passend“ unangenehm und An ” h¨ubsch“?
  74. 74. Ausflug: Knotenzahlen Wissen von Banderier/Drmota (2014): |Ln| ∼ α · βn · nγ f¨ur alle γ ∈ {−1 − 2−k } k≥1 ∪ {m · 2−k − 1} k≥0,m≥1 m¨oglich – also ” beliebig“ unangenehm! Aber ist An vielleicht ” passend“ unangenehm und An ” h¨ubsch“? Andererseits: was sind nA und nB in S → s A B , wenn |LA,n| ∼ . . . · nγ1 und |LB,n| ∼ . . . · nγ2 ?
  75. 75. Protoidee: Simple Varieties erweitern Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch φΩ(z) = k∈Ω zk .
  76. 76. Protoidee: Simple Varieties erweitern Simple Variety SVΩ ist charakterisiert durch φΩ(z) = k∈Ω zk . K¨onnen wir die Beweise sinnvoll etwa auf φn(z) = k≥0 # Knoten in Ln mit Grad k n · Tn · zk ¨ubertragen? Was passiert dann f¨ur n → ∞?
  77. 77. Protoidee: Nichtterminale eliminieren Induktion ¨uber |N|? I. A. |N| = 1: simple variety
  78. 78. Protoidee: Nichtterminale eliminieren Induktion ¨uber |N|? I. A. |N| = 1: simple variety I. S. |N| = k + 1: konstruiere h¨ohen-Θ-¨aquivalente Grammatik mit k Nichtterminalen.
  79. 79. Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume K¨onnen wir eine Basis von Sprachen und Operationen finden, die TREG erzeugen? Es gibt ” regular tree expressions“ in TATA!
  80. 80. Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume K¨onnen wir eine Basis von Sprachen und Operationen finden, die TREG erzeugen? Es gibt ” regular tree expressions“ in TATA! K¨onnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern?
  81. 81. Protoidee: Symbolische Methode f¨ur B¨aume K¨onnen wir eine Basis von Sprachen und Operationen finden, die TREG erzeugen? Es gibt ” regular tree expressions“ in TATA! K¨onnten wir dann die symbolische Methode darauf erweitern? Welchen Effekt h¨atten diese Operationen auf die mittlere H¨ohe?

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