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Operaciones básicas

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Operaciones básicas con números racionales

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Operaciones básicas

  1. 1. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q. Si las fracciones tienen IGUAL DENOMINADOR, se coloca el denominador común y se suman algebraicamente los numeradores. Si es posible se simplifica la fracción obtenida.Vamos a resolver los siguientes ejemplos: 1 6 17a. − + = 2 2 2Solución: 1 6 17 1− 6 + 17 − + = (Se coloca el denominador común, en el numerador 2 2 2 2 todos los valores de las fracciones) 18 − 6 = (Se suman positivos con positivos y negativos con negativos) 2 12 = (Se restan porque tienen diferentes signos) 2 = 6. (Como el numerador es divisible por el denominador entonces se pudo reducir la fracción) 5 7 9 8b. + − − = 10 10 10 10Solución:Se coloca el denominador común, en el numerador todos los valores de lasfracciones con sus respectivos signos: 5 7 9 8 5+7−9−8 + − − = 10 10 10 10 10Se suman positivos con positivos y negativos con negativos 12 −17 = 10Se restan porque tienen diferentes signos, y se coloca el signo del número mayor −5 = 10
  2. 2. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ πTanto el numerador como el denominador son divisibles por cinco (5), entonces sepuede reducir la fracción; además el signo negativo del numerador se divide por elsigno positivo del denominador, así − 5/ 5 1 = = − . + 10 / 5 2 Si las fracciones poseen DIFERENTES DENOMINADOR, se reducen las fracciones a común denominador mediante el uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre ellos, y posteriormente se suman los numeradores.Ahora fíjate en los siguientes ejemplos: 3  2 7 1a. − + −  = 5  3 18 4 Solución:Lo primero que se hace es eliminar el paréntesis, recordando la multiplicación delsigno de cada fracción con el signo que está fuera del paréntesis 3  2 7 1 3 2 7 1a. − + −  = − − + 5  3 18 4  5 3 18 4 Ahora encontramos el m.c.m. de los denominadores, así: m.c.m.(5, 3, 18, 4) = 180 (Este valor será el denominador común) Con este valor en el denominador, resolvemos de la siguiente forma: Dividimos 180entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por surespectivo numerador formando la suma algebraica.180 180 180 180 × 3 = 108 ; × 2 = 120; × 7 = 70; ×1 = 45 5 3 18 4 3 2 7 1 108 −120 − 70 + 45 = − − + = 5 3 18 4 180En el numerador se suman positivos con positivos y negativos con negativos,manteniendo igual el denominador
  3. 3. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 153 − 190 = 180Finalmente se restan porque tienen diferentes signos, quedando una fracciónirreducible − 37 37 = = − + 180 180 Resumiendo 3  2 7 1 3 2 7 1 108 −120 − 70 + 45 153 − 190 37a. − + −  = − − + = = =− 5  3 18 4  5 3 18 4 180 180 180y ahora, 2 4 2 1 3b. + −  + −  = 3 5 5 7 4Solución:De manera análoga lo resolvemos: 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 + − + −  = + − − + (Se elimina el paréntesis) 3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 2 4 2 1 3 = + − − + (Se agrupan para restar porque tiene 3 5 5 7 4 el mismo denominador) 2 2 1 3 = + − + (Se realiza la operación algebraica) 3 5 7 4 m.c.m. (3, 4, 5, 7) = 420 (Se determina el m.c.m. de los denominadores)Se escribe en el denominador el valor del m.c.m. y el numerador está conformadopor los resultados de dividir 420 entre el denominador y multiplicarlo por elnumerador de cada fracción: 420 420 420 420 x2 = 280; x2 = 168; x1= 60; x3 = 315 3 5 7 4Entonces:
  4. 4. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 280 + 168 − 60 + 315 = (Se sustituye) 420 763 − 60 = (Se suman los términos de igual signo) 420 703 = (Se resta porque los términos son de diferentes signo 420 resultando una fracción irreducible) Resumiendo 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 2 2 1 3 + − + −  = + − − + = + − − + = + − + . 3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 3 5 7 4 280 + 168 − 60 + 315 763 − 60 703 = = = 420 420 4201.2.2. Multiplicación o Producto en Q. a cPara realizar el producto entre dos números racionales y , solo se debe b d a c a. cmultiplicar numeradores y denominadores entre si, es decir: . = b d b. d 4 7 4 . 7 28 Por ejemplo: . = = 7 5 7 . 5 35Y si observas un poco, la fracción resultante es reducible, porque tanto 28 como 35son divisibles por cinco (5), entonces: 28 28 / 7 4 = = = 35 35 / 7 5Otra forma de operar en el ejemplo, es que si chequeamos en el momento de lamultiplicación en el numerador existe un valor igual a uno ubicado en eldenominador, por lo que se pueden simplificar: 4 7 4.7 4 . = = 7 5 7. 5 5¿Crees tú que simplificar dos números en una fracción significa que al multiplicar ydividir por un mismo número resultará la unidad?
  5. 5. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ πObserva esto:1.2.3. División o Cociente en Q. a c a cPara dividir y , solo se debe multiplicar por la fracción inversa de , es decir b d b dd a c a d a. d , por lo que: ÷ = . = dice que parac b d b c b. c a cOtra forma de visualizar esta operación matemática, se dice que para dividir y , b dse debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de lasegunda fracción y este producto irá en el numerador del resultado; y el multiplicarel denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda irá ubicadoen el denominador del resultado. Esto se conoce como producto en cruz. Unejemplo de ello es: 4 7 4 7 4. 5 20 ÷ = ÷ = = 7 5 7 5 7.7 49
  6. 6. ◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π1.2.4. Potenciación en Q. a aSi es un racional y n un número natural, la potencia de elevado a la n es el b b n a a  a a a a a aproducto n veces de :   = . . . . ... (n veces) . b b  b b b b b bRecordemos que lo manejamos en la Guía Didáctica de potenciación en N. Sinembargo, acá tenemos algunos ejemplos: 3 3 3 33 3 3 3 27  5 (−5)3 (-5) (-5) (-5) − 125 125a.   = 3 = . . = b.  −  = = . . = =− 2 2 2 2 2 8  3 3 3 3 3 27 27 3Actividad de Control: Ya tienes que ejercitar!!!! Efectúa y expresa el resultado como una fracción irreducible. 3 1 9 3 1 9 1a. + − = b. + − −  = 5 5 5 7 7 5 2 3 1  10 1  1 9  77 1 c. − − −  = d.  −  − 7 +  − − = 6 7  5 6 8 3  11 2  3 1 3 1e. . . 1= f. ÷ ÷ 1= 6 7 6 7  3 1 12  1 g.  −  . . - 36 = h. ÷ − =  6 3 6  6  5 4 2  1i.   = j.  −  = 7  5 5 4  1 9    77 2  4 −3 l.  −  − 2 ÷  − − =k.   .  = 3  4   2 3    11 2  60 60m. Elisa recorre en bicicleta Km los sábados y km los domingos. ¿Cuántos 9 9Kilómetros recorre Elisa en 3 sábados y 3 domingos? 16n. Maribel tiene Kg de azúcar. Si los quiere colocaren 3 recipientes con igual 3cantidades cada uno. ¿Cuántos Kilogramos debe colocar en cada recipiente?

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