1) O documento apresenta um resumo sobre sistemas lineares, incluindo transformada de Laplace, resposta a degraus, resposta em frequência e sistemas discretos. 2) É dividido em 6 seções que cobrem introdução a sistemas lineares, transformada de Laplace, resposta a degraus, resposta em frequência, transformada de Fourier e sistemas discretos e amostrados. 3) Fornece definições e propriedades importantes sobre esses tópicos para análise e projeto de sistemas de controle.

1. Sistemas Lineares
Prof. Alexandre Trofino
Departamento de Automa¸˜o e Sistemas
ca
Centro Tecnol´gico
o
Universidade Federal de Santa Catarina
cep 88040-900 , Florian´polis-SC
o
email: trofino@lcmi.ufsc.br
Internet: http://www.das.ufsc.br/˜trofino
Esta apostila bem como as experiˆncias de laborat´rio no site www.das.ufsc.br/labsil
e o
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a
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a c˜
obtidos com o pacote scilab que ´ distribu´ gratuitamente no site
e ıdo
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2. www.das.ufsc.br/labsil 2

3. Conte´ do
u
1 Introdu¸˜o Geral
ca 15
1.1 Termos usuais em controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Sistemas de Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Sistemas de Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Sinais de Tempo Cont´
ınuo e Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Defini¸ao de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 18
2 Transformada de Laplace 19
2.1 Introdu¸ao e No¸oes de Fun¸oes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ c˜ 19
2.2 Defini¸ao e Regi˜o de Convergˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ a e 22
2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Opera¸˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 24
2.3.2 Fun¸˜o Transladada em Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 25
2.3.3 Fun¸˜es Porta-deslocada e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . .
co 25
2.3.4 Multiplica¸ao de f (t) por e−αt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 27
2.3.5 Mudan¸a na Escala de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 28
2.3.6 Teorema da Diferencia¸˜o Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 28
2.3.7 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.9 Teorema da Integra¸ao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 31
2.3.10 Teorema da Diferencia¸ao Complexa . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 31

4. Conte´do
u www.das.ufsc.br/labsil 4
2.3.11 Integral de Convolu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 32
2.4 Transformada Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Fra¸˜es parciais para p´los distintos . . . . . . . . . . . . . . . . .
co o 35
2.4.2 Fra¸˜es Parciais para p´los repetidos . . . . . . . . . . . . . . . .
co o 37
2.4.3 Fra¸˜es Parciais para casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . .
co 39
2.5 Sinais com energia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Resolu¸ao de Equa¸oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 40
2.7 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8 Fun¸ao de Transferˆncia e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 46
2.9 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10.1 Estabilidade de Conex˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 52
2.10.2 Sistemas Realimentados em presen¸a de dist´rbios . . . . . . . . .
c u 53
2.11 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Resposta ao Degrau 55
3.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 55
3.2 An´lise de Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 57
3.3 An´lise de Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 59
3.3.1 Caso sem amortecimento (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Caso Subamortecido (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Caso Superamortecido (ξ ≥ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Caso inst´vel (ξ < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 61
3.4 ´
Indices de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Servomecanismo para controle de posi¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 65
3.6 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Resposta em frequˆncia
e 77

5. Conte´do
u www.das.ufsc.br/labsil 5
4.1 Resposta Senoidal em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Gr´ficos Logar´
a ıtmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Constru¸ao do Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 84
4.4 Sistemas de Fase M´
ınima e N˜o-M´
a ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Gr´ficos de Nyquist (ou polares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 97
4.6 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Sinais e a Transformada de Fourier 101
5.1 Conex˜es entre Fourier e Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 102
5.2 Energia de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 C´lculo de algumas transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 104
5.3.1 Sinal Exponencial Unilateral (t ≥ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2 Sinal Porta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Sinal Impulso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.4 Fun¸˜es Constante, Sinal e Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . .
co 106
5.3.5 Sinais Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.6 Exponencial Eterna ejω0 t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.7 Fun¸˜es Peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co o 109
5.4 Propriedades da transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.2 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.3 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.4 Deslocamento em Frequˆncia e Modula¸ao . . . . . . . . . . . . .
e c˜ 113
5.4.5 Deslocamento no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.6 Diferencia¸ao e Integra¸ao no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 115
5.4.7 Diferencia¸ao em Frequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 116
5.4.8 Convolu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 116

6. Conte´do
u www.das.ufsc.br/labsil 6
5.4.9 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Problemas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6 Sistemas Discretos e Amostrados 125
6.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 125
6.1.1 Convers˜o A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 125
6.1.2 Convers˜o D/A e Sample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 126
6.2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3.1 Defini¸ao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 135
6.3.2 Rela¸ao com a transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 137
6.4 Propriedades da Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4.2 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4.3 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4.4 Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 143
6.4.5 Convolu¸ao Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 144
6.5 Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.5.1 M´todo da divis˜o polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e a 146
6.5.2 M´todo das fra¸˜es parciais de X(z)/z . . . . . . . . . . . . . . .
e co 147
6.6 Solu¸ao de Equa¸oes recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 147
6.7 Fun¸ao de Transferˆncia Discreta e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 151
6.7.1 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . 151
6.7.2 Resposta ao Pulso e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.8 Sistemas Amostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.9 Sistemas Realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.10 Escolha do Per´
ıodo de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7. Conte´do
u www.das.ufsc.br/labsil 7
6.11 Resposta em Frequˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 166
6.12 Problemas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8. Conte´do
u www.das.ufsc.br/labsil 8

9. Lista de Figuras
1.1 Sistema de malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Sistema de controle de malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Sistema realimentado de controle por computador . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Servomotor para posicionamento de uma antena . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Vari´vel de tempo cont´
a ınuo (sinal anal´gico) . . . . . . . . . . . . . . . .
o 17
1.6 Vari´vel de tempo discreto (sequˆncia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a e 18
2.1 Circuito RLC s´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 19
2.2 Transformada direta e inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Representa¸˜o gr´fica de uma fun¸ao complexa
ca a c˜ . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Rela¸ao entre f (t) e sua transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . .
c˜ 22
2.5 Fun¸ao deslocada em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 25
2.6 Fun¸ao Porta de ´rea unit´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ a a 26
2.7 Derivada de fun¸oes descont´
c˜ ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Fun¸ao dente de serra e sua derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 33
2.9 Fun¸ao onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 33
2.10 Rela¸ao entre f (t) e sua transformada F (s)
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Diagrama de simula¸ao anal´gica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ o 42
2.12 Respostas x(t) do diagrama de simula¸ao anal´gica . . . . . . . . . . . .
c˜ o 43
2.13 Respostas de Estado Zero e Entrada Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.14 Circuito RLC s´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 45

10. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 10
2.15 Diagrama entrada/sa´ de um circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıda 49
2.16 Diagrama de blocos simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.17 Diagrama de blocos detalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.18 Sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.19 Sistema realimentado simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.20 Diagrama de blocos de um circuito RLC-s´rie . . . . . . . . . . . . . . .
e 51
2.21 Conex˜o de dois sistemas em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 52
2.22 Conex˜o de dois sistemas em realimenta¸˜o
a ca . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.23 Sistema realimentado perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.24 Diagrama para referˆncia nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 53
2.25 Diagrama para dist´rbio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 54
2.26 Sistema para controle de posi¸ao
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1 Curvas t´
ıpicas da resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Diagrama de bloco entrada/sa´
ıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Sistema de primeira ordem padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 57
3.5 Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem padr˜o . . . . . . .
a 58
3.6 Sistema de segunda ordem padr˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 59
3.7 ´
Indices de desempenho para resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8 Resposta ao degrau do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Diagrama funcional do sistema de posicionamento . . . . . . . . . . . . . 65
3.10 Diagrama de blocos do comparador e potenciˆmetro . . . . . . . . . . . .
o 66
3.11 Diagrama de blocos com adi¸ao do amplificador . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 66
3.12 Motor DC controlado pela armadura (rotor) . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13 Diagrama de blocos com adi¸ao do motor DC . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 67
3.14 Diagrama de blocos com adi¸ao da engrenagem . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 68

11. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 11
3.15 Sistema mecˆnico da plataforma e antena . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 68
3.16 Diagrama completo do sistema de posicionamento . . . . . . . . . . . . . 68
3.17 Diagrama simplificado de posicionamento da antena . . . . . . . . . . . . 69
3.18 Diagrama de posicionamento na forma padr˜o . . . . . . . . . . . . . . .
a 70
3.19 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.20 Diagrama funcional para realimenta¸ao de velocidade . . . . . . . . . . .
c˜ 72
3.21 Sistema de controle com realimenta¸˜o de velocidade . . . . . . . . . . .
ca 72
3.22 Resposta ao degrau do sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.23 Sistema com realimenta¸ao de velocidade e posi¸ao . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 74
3.24 Sistema de controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.25 Resposta ao degrau unit´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 75
4.1 Resposta temporal para sen(ω t) com ω = {0, 2; 2; 20; 100} rd/s . . . . . 78
4.2 Resposta de regime ao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Resposta de regime ao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RC . . . . . . . . . . . . . . .
e 82
4.6 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Resposta em frequˆncia (Bode) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . .
e 83
4.8 Resposta em frequˆncia (Nyquist) do circuito RLC . . . . . . . . . . . .
e 85
4.9 Resposta em frequˆncia (Black) do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . .
e 85
4.10 Resposta em frequˆncia com G(s) inst´vel . . . . . . . . . . . . . . . . .
e a 87
1
4.11 Diagrama de Bode dos termos 2 e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1
4.12 Diagrama de Bode do termo 4s+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2
4.13 Diagrama de Bode de G(s) = s(4s+1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1
4.14 Diagrama de Bode dos termos s e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1
4.15 Diagrama de Bode do termo T s+1
e ass´
ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . 91

12. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 12
2
ωn
4.16 Diagrama de Bode do termo s2 +2ξωn s+ωn
2 e ass´
ıntotas . . . . . . . . . . . . 92
0.01(0.1s+1)
4.17 Diagrama de Bode do termo G1 (s) = s
e ass´
ıntotas . . . . . . . 94
1
4.18 Diagrama de Bode do termo G2 (s) = G1 (s) s+1 e ass´
ıntotas . . . . . . . . 94
1
4.19 Diagrama de Bode do termo G(s) = G2 (s) 10−4 s2 +10−2 s+1 e ass´
ıntotas . . . 95
4.20 Circuito de fase n˜o m´
a ınima (r2 > r1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.21 Caso (a): Sistema de fase n˜o m´
a ınima (r2 > r1 ) . . . . . . . . . . . . . . 96
4.22 Caso (b): Sistema de fase m´
ınima (r2 < r1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.23 Diagrama de Nyquist de G1 (2πf ), G2 (2πf ), G3 (2πf ), G4 (2πf ) . . . . . 98
4.24 Diagrama de Nyquist de H1 (2πf ), H2 (2πf ), H3 (2πf ), H4 (2πf ) . . . . 99
4.25 Diagrama de Bode de um sistema linear invariante . . . . . . . . . . . . . 100
4.26 Resposta em frequˆncia de um sistema linear invariante . . . . . . . . . .
e 100
5.1 Operador Transformada de Fourier e seu inverso . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Sinal Porta de largura τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
sen(x)
5.3 Fun¸ao Sa(x) =
c˜ x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Fun¸ao Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 107
5.5 Fun¸ao onda quadrada de per´
c˜ ıodo 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.6 Aproxima¸˜o de sinais pela s´rie trigonom´trica de Fourier. . . . . . . . .
ca e e 111
5.7 Trem de impulsos e sua transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.8 Transformada de Fourier do sinal porta de largura unit´ria G1 (t). . . . .
a 113
5.9 Transformada de Fourier do sinal cos(100t)G1 (t). . . . . . . . . . . . . . 114
5.10 Demodula¸˜o de um sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 114
5.11 Sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.12 Derivada do sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.13 Derivada segunda do sinal linear por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1
5.14 Filtro de primeira ordem com F (s) = s+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.15 Transmiss˜o e recupera¸ao de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a c˜ 119

13. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 13
5.16 Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa > 2¯ . . . . . . . .
o ω 120
5.17 Filtro ideal para recupera¸˜o do sinal: Caso ωa > 2¯ . . . . . . . . . . .
ca ω 120
5.18 Espectro do sinal antes e ap´s amostragem: Caso ωa < 2¯ . . . . . . . .
o ω 121
5.19 Espectro do sinal f (t) = cos(100πt) + sen(10πt). . . . . . . . . . . . . . . 122
5.20 Sistema de amostragem e recupera¸ao de sinais . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 123
5.21 Espectro dos sinais x(t), r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.22 Espectro do sinal amostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.23 Sistema com modula¸ao e discretiza¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 124
6.1 Representa¸˜o de um sinal de tens˜o anal´gico n˜o negativo em c´digo
ca a o a o
bin´rio de 4 bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 127
6.2 Esquema simplificado de um circuito sample-and-hold e seu diagrama de
blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 (a) Diagrama de blocos de um conversor A/D com sample-and-hold e (b)
funcionamento do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4 (a) Conversor D/A com S/H e (b) Sinais de entrada e sa´
ıda . . . . . . . 129
6.5 Amostrador ideal: produto por um trem de impulsos . . . . . . . . . . . 129
6.6 Segurador de ordem zero: a sa´ ´ constante por trechos . . . . . . . . .
ıda e 130
6.7 Sample-and-Hold visto como um amostrador ideal em cascata com um
segurador de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.8 Circuito RC: resposta livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.9 Valor da corrente no capacitor nos instantes t = kT . . . . . . . . . . . . 131
6.10 Circuito RC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . 132
6.11 Representa¸ao de um sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 133
6.12 Sistema controlado por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.13 Regi˜o de convergˆncia das transformadas do degrau unit´rio . . . . . . .
a e a 136
6.14 Rela¸ao biun´
c˜ ıvoca entre a sequˆncia x(kT ) e sua transformada Z . . . . .
e 136
6.15 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ o c˜ 139
6.16 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ o c˜ 140

14. Lista de Figuras www.das.ufsc.br/labsil 14
6.17 Rela¸ao entre localiza¸ao p´los e evolu¸ao temporal . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ o c˜ 141
6.18 Obten¸ao de F (z) a partir de F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 143
6.19 Sequˆncias convergentes e a localiza¸ao dos p´los no plano z . . . . . . .
e c˜ o 149
6.20 Sistema discreto gen´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 151
6.21 Sistema amostrado e seu discreto equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.22 Resumo dos resultados de convers˜o de Laplace para Z . . . . . . . . . .
a 157
6.23 Sistema amostrado com conversor D/A e S/H . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.24 Circuito com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.25 (a) Dois sistemas amostrados em cascata; (b) Dois sistemas cont´ ınuos em
cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.26 Sistema de controle digital e seu modelo discreto . . . . . . . . . . . . . . 163
6.27 Sistema de controle digital com medidor anal´gico (a) e digital (b) . . . .
o 164
6.28 Controle digital de posi¸˜o angular atrav´s de um motor DC . . . . . . .
ca e 165
6.29 Sistema discreto est´vel
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.30 Resposta frequencial de um sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.31 Circuito RLC com entrada constante por trechos . . . . . . . . . . . . . . 169
6.32 Sistema de controle de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.33 Caracteriza¸ao entrada/sa´ dos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ ıda 170
6.34 Entrada: tens˜o x(t) ; sa´
a ıda: tens˜o v(t) ; R=1 Ω, C=1 F
a . . . . . . . . 170
6.35 Sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15. Cap´
ıtulo 1
Introdu¸˜o Geral
ca
1.1 Termos usuais em controle
Planta Equipamento (ou parte dele) destinado ` realizar uma dada opera¸˜o. (Objeto
a ca
f´
ısico a ser controlado: caldeira, motor, reator qu´
ımico, ...).
Processo Fenˆmenos (naturais ou criados artificialmente) que evoluem progressivamente
o
segundo dinˆmicas que lhe s˜o pr´prias. (Fenˆmeno a ser controlado: processos
a a o o
qu´ımicos, econˆmicos, biol´gicos,...).
o o
Sistema Equipamento ou fenˆmeno f´
o ısico.
Dist´ rbio Sinal indesejado (interno ou externo).
u
Controle Realimentado Opera¸ao que visa corrigir (automaticamente ou manualmente)
c˜
certas vari´veis (grandezas f´
a ısicas) de um sistema. Diminui o efeito de fenˆmenos
o
indesej´veis.
a
´
Servomecanismo E um sistema de controle realimentado para controle autom´tico de
a
posi¸˜o, velocidade ou acelera¸ao. Muito frequente na ind´stria.
ca c˜ u
Sistemas Reguladores Autom´ticos Sistema de controle cujo principal objetivo ´
a e
manter constante algumas vari´veis do mesmo. (Controle de n´ constante, posi¸ao
a ıvel c˜
constante, velocidade, acelera¸ao, ...). Exemplos: robos, elevadores, estufas,...
c˜
1.2 Sistemas de Malha Aberta
Sistemas onde a vari´vel a ser controlada (sa´
a ıda) n˜o interfere na a¸ao de controle
a c˜
(vari´vel de entrada) s˜o conhecidos como Sistemas de malha aberta.
a a
A sa´ ´ sens´ ` fenˆmenos indesej´veis sobre o processo (perturba¸oes, varia¸oes
ıda e ıvel a o a c˜ c˜
nos parˆmetros,...). Possui pouca performance na pr´tica quando existem perturba¸˜es.
a a co
No entanto possui custo menor em geral.

16. 1.3. Sistemas de Malha Fechada www.das.ufsc.br/labsil 16
Perturba¸oes
c˜
Entrada Sa´
ıda
SISTEMA
Figura 1.1: Sistema de malha aberta
1.3 Sistemas de Malha Fechada
Sistemas onde a vari´vel de controle (Entrada) depende (Direta ou indiretamente) da
a
vari´vel a ser controlada (Sa´
a ıda) recebem o nome de sistemas de malha fechada. Nesse
caso poss´ıveis distor¸˜es na vari´vel controlada provocadas por dist´rbios no sistema s˜o
co a u a
automaticamente (on line) corrigidas.
perturba¸ao
c˜
Ref. Vari´vel
a
Comparador Controlador Atuador SISTEMA Observada
sinal de medi¸˜o
ca Medidor
ru´ de medi¸ao
ıdo c˜
Figura 1.2: Sistema de controle de malha fechada
Controlador
Ref. Sa´
ıda
Comparador A/D Computador D/A Atuador SISTEMA
Medidor
Figura 1.3: Sistema realimentado de controle por computador
Exemplo 1.1 Considere o servomecanismo para controle de posi¸˜o da antena indicado
ca
na Figura 1.4. Comparando com o diagrama da figura 1.2 podemos identificar os seguintes
elementos:
Sistema: Antena + plataforma + engrenagens
Perturba¸˜es: Grandezas externas que atuam de forma indesejada no sistema. Por
co
exemplo, ventos que provocam torques de perturba¸˜o na posi¸˜o da antena.
ca ca
Vari´vel observada: Posi¸˜o angular da antena
a ca

17. 1.4. Sinais de Tempo Cont´
ınuo e Discreto www.das.ufsc.br/labsil 17
posi¸ao
c˜
da antena
c(t)
potenciˆmetro
o comparador
potenciˆmetro
o
Vr (t) Vc (t)
referˆncia
e
r(t) erro e(t)
amplificador engrenagem
de potˆncia
e
motor DC
Ea (t)
Figura 1.4: Servomotor para posicionamento de uma antena
Vari´vel medida: Sinal de medi¸˜o gerado pelo potenciˆmetro. Note que a vari´vel
a ca o a
medida pode ser diferente da vari´vel observada quando existem ru´
a ıdos de medi¸˜o.
ca
Medidor: Potenciˆmetro
o
Referˆncia: Valor desejado da grandeza observada
e
Comparador: somador de tens˜es
o
Controlador: Nesse exemplo o controlador ´ um elemento unit´rio entre o comparador
e a
e o amplificador. Em geral, o controlador ´ um filtro que manipula o sinal de erro
e
antes do amplificador de potˆncia. Em sistemas mais complexos o controlador pode
e
ser um algor´timo implementado num computador.
ı
Atuador: Amplificador de Potˆncia + motor
e
1.4 Sinais de Tempo Cont´
ınuo e Discreto
TEMPO CONT´ INUO: t ´ uma vari´vel cont´
e a ınua. Nesse caso um sinal f (t) ser´ um
a
sinal anal´gico, isto ´, um sinal de tempo cont´
o e ınuo.
f(t)
Ref.
0 t
Figura 1.5: Vari´vel de tempo cont´
a ınuo (sinal anal´gico)
o
TEMPO DISCRETO: t ´ uma vari´vel discreta que assume valores apenas em instantes
e a
discretos do tempo. Por exemplo, t = kT onde k ´ uma vari´vel k = 0, 1, 2, . . . e T ´
e a e
uma constante. Nesse caso um sinal f (kT ) ser´ uma sequˆncia, isto ´, um sinal de tempo
a e e
discreto.

18. 1.5. Defini¸˜o de Sistemas Lineares
ca www.das.ufsc.br/labsil 18
f(kT)
Ref.
0 t = kT
Figura 1.6: Vari´vel de tempo discreto (sequˆncia)
a e
1.5 Defini¸˜o de Sistemas Lineares
ca
SISTEMAS LINEARES: S˜o fenˆmenos ou dispositivos cujo comportamento dinˆmico
a o a
pode ser descrito por equa¸˜es diferenciais (ou recursivas) lineares.
co
SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO: S˜o sistemas lineares a
descritos por equa¸˜es diferenciais (ou recursivas) com coeficientes constantes.
co

19. Cap´
ıtulo 2
Transformada de Laplace
2.1 Introdu¸˜o e No¸˜es de Fun¸oes Complexas
ca co c˜
O comportamento da maioria dos sistemas f´ ısicos pode ser representado atrav´s de
e
equa¸˜es diferenciais. Neste curso vamos nos restringir ` sistemas que podem ser rep-
co a
resentados por equa¸˜es diferenciais ordin´rias, lineares, ` parˆmetros invariantes no
co a a a
tempo.
R L
+ +
V(t) C Vc (t)
- -
Figura 2.1: Circuito RLC s´rie
e
Exemplo 2.1 Condidere o circuito da figura 2.1. A rela¸˜o de causa-efeito da tens˜o
ca a
v(t) (Entrada) sobre a tens˜o vC (t) (Sa´da) no capacitor ´ um sistema descrito pela
a ı e
equa¸˜o diferencial seguinte:
ca
dv(t)
v(t) = RC vC (t) + LC vC (t) + vC (t),
˙ ¨ = v(t)
˙
dt
• Equa¸ao diferencial ordin´ria linear
c˜ a
• Parˆmetros invariantes no tempo
a
Sistemas mais complicados s˜o muitas vezes modelados por equa¸oes diferenciais n˜o
a c˜ a
lineares e muito frequentemente os parˆmetros variam com o tempo. No entanto, o
a
comportamento desses sistemas pode ser aproximado por equa¸˜es diferenciais lineares
co
invariantes no tempo, nas vizinhan¸as de um ponto de opera¸˜o. As t´cnicas para a
c ca e

20. 2.1. Introdu¸˜o e No¸oes de Fun¸oes Complexas
ca c˜ c˜ www.das.ufsc.br/labsil 20
obten¸˜o desses modelos lineares invariantes no tempo consistem em expandir os termos
ca
n˜o lineares pela S´rie de Taylor e aproxim´-los pela parte linear da s´rie. Por exemplo,
a e a e
para a fun¸ao y(t) = sen(t) obter´
c˜ ıamos uma aproxima¸˜o linear nas vizinhan¸as da
ca c
origem que ´ dada por ylin (t) = t e ´ f´cil de verificar que a fun¸ao y(t) = sen(t) se
e e a c˜
comporta aproximadamente como ylin (t) = t para pequenos valores da vari´vel t.
a
A Transformada de Laplace ´ uma t´cnica extremamente util na solu¸ao de equa¸˜es
e e ´ c˜ co
´ atrav´s da Transformada de Laplace que
diferenciais lineares invariantes no tempo. E e
se obt´m a no¸ao de “Fun¸˜o de Transferˆncia ” de um sistema.
e c˜ ca e
A Transformada de Laplace transforma um fun¸ao da vari´vel tempo, digamos f (t),
c˜ a
numa outra fun¸˜o F (s) onde s = σ + jω ´ uma vari´vel complexa. Em determi-
ca e a
nadas condi¸˜es, as fun¸˜es f (t) e sua transformada F (s) est˜o relacionadas de forma
co co a
bi-un´
ıvoca:
Transf. Direta
f(t) LAPLACE F(s)
Transf. Inversa
Figura 2.2: Transformada direta e inversa de Laplace
¸˜
PROPRIEDADES DE FUNCOES COMPLEXAS:
Neste curso vamos nos restringir, com poucas excess˜es, ` fun¸oes complexas racionais.
o a c˜
Defini¸˜o 2.1 (Fun¸˜o Racional) Uma fun¸˜o G(s) da vari´vel complexa s = σ+jω ´
ca ca ca a e
racional se G(s) pode ser expressa como a divis˜o de dois polinˆmios da vari´vel complexa
a o a
s.
A figura abaixo ilustra uma fun¸˜o complexa G(s) em termos de suas coordenadas
ca
retangular e polar. onde |G(s)| = G2 + G2 e ∠G(s) = tan−1 Gy /Gx .
x y
Im[G(s)]
G(s) = Gx + jGy = |G(s)| ej∠G(s)
Gy
Re[G(s)]
Gx
Figura 2.3: Representa¸ao gr´fica de uma fun¸ao complexa
c˜ a c˜
• Complexo conjugado: A conjuga¸˜o complexa ´ uma opera¸ao que consiste em trocar
ca e c˜
o sinal da parte imagin´ria, se o n´mero estiver representado nas coordenadas retangu-
a u
lares, ou de forma equivalente, trocar o sinal da fase, se o n´mero estiver representado
u

21. 2.1. Introdu¸˜o e No¸oes de Fun¸oes Complexas
ca c˜ c˜ www.das.ufsc.br/labsil 21
nas coordenadas polares. Representaremos o complexo conjugado do n´mero complexo
u
−j∠G(s)
G(s), indicado na figura 2.3, por G(s) = Gx − jGy = |G(s)|e .
Duas propriedades importantes da conjuga¸ao complexa s˜o indicadas a seguir. Se
c˜ a
A, B s˜o dois n´meros complexos ent˜o AB = A B e A + B = A + B.
a u a
Defini¸˜o 2.2 (P´los e Zeros) Seja G(s) = N (s) onde N (s) e D(s) s˜o dois polinˆmios
ca o D(s)
a o
com coeficientes reais. Define-se p´los e zeros de G(s) como sendo os valores de s tais
o
que:
- Zeros de G(s): s tal que N (s) = 0
- P´los de G(s): s tal que D(s) = 0
o
Exemplo 2.2 A transformada de Laplace da fun¸˜o g(t) = −0, 5 + 1, 5e2t , t ≥ 0 ´ a
ca e
s+1
fun¸˜o complexa G(s) = s(s−2) que possui os seguintes p´los e zeros:
ca o
- Zeros de G(s): s = −1
- P´los de G(s): s = 0, s = 2
o
Note que cada p´lo da fun¸˜o G(s) est´ associado ` uma exponencial da fun¸˜o g(t).
o ca a a ca
Na realidade os p´los s˜o os expoentes das exponenciais.
o a
• O n´mero complexo:
u
ejθ = cosθ + jsenθ
possui m´dulo unit´rio e fase θ, como indicado a seguir.
o a
√
|ejθ | = cos2 θ + sen2 θ = 1
senθ
∠ejθ = tan−1 =θ
cosθ
Defini¸˜o 2.3 (Fun¸˜o Anal´
ca ca ıtica) Uma fun¸˜o G(s) ´ anal´
ca e ıtica numa regi˜o se G(s)
a
e todas as suas derivadas existem nessa regi˜o.
a
1
Exemplo 2.3 A fun¸˜o G(s) =
ca s+1
´ anal´tica fora do ponto s = −1 (P´lo de G(s)).
e ı o
As opera¸oes de derivada e integral envolvendo fun¸oes complexas anal´
c˜ c˜ ıticas se fazem
de maneira habitual, isto ´, as regras usuais de derivada e integral se aplicam diretamente.
e

22. 2.2. Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia
ca a e www.das.ufsc.br/labsil 22
2.2 Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia
ca a e
Para uma fun¸ao f (t) com t ≥ 0, define-se Transformada de Laplace de f (t) como
c˜
sendo a fun¸˜o complexa F (s) obtida atrav´s da integral:
ca e
∞
F (s) = L[f (t)] = f (t)e−st dt (2.1)
0−
onde s = σ + jω ´ a vari´vel complexa introduzida pela transformada. Sob certas
e a
condi¸˜es (que veremos a seguir) podemos tamb´m definir a Transformada Inversa de
co e
Laplace da seguinte forma:
c+j∞
1
f (t) = L−1 [F (s)] = F (s)est ds (2.2)
2πj c−j∞
onde t ≥ 0 e c ´ um n´mero real associado ` regi˜o do plano s = σ + jω onde a fun¸˜o
e u a a ca
F (s) est´ definida. Esta regi˜o ´ chamada regi˜o de convergˆncia da Transformada de
a a e a e
Laplace . Dentro dessa regi˜o as fun¸˜es f (t) para t ≥ 0 e F (s) est˜o ligadas de maneira
a co a
biun´ıvoca, como ilustra a figura a seguir.
Trans. Direta
f (t) F (s)
t≥0 Re[s] > c
Tranf. Inversa
Figura 2.4: Rela¸ao entre f (t) e sua transformada de Laplace
c˜
Exemplo 2.4 Seja f (t) = e2t , para t ≥ 0.
∞
−1 −(s−2)t ∞
F (s) = L[f (t)] = e2t e−st dt =
e |0 −
0− s−2
−1 1 1
= [ lim e−(s−2)t − lim e−(s−2)t ] = − lim e−(s−2)t
s − 2 t→∞ t→0− s − 2 s − 2 t→∞
Note que s = σ + jω e
|e−jωt | = |cosωt + jsenωt| = 1.
Assim,

 ±∞ para Re[s] = σ < 2
lim e−(s−2)t = indefinido para Re[s] = σ = 2
t→∞ 
0 para Re[s] = σ > 2.

23. 2.2. Defini¸˜o e Regi˜o de Convergˆncia
ca a e www.das.ufsc.br/labsil 23
Logo, a Transformada de Laplace da fun¸˜o e2t , t ≥ 0 s´ est´ definida na regi˜o do
ca o a a
plano complexo definida por Re[s] > 2 e nessa regi˜o obtemos:
a
1
F (s) = L[e2t ] =
s−2
A regi˜o do plano complexo onde a Integral de Laplace est´ definida e ´ finita re-
a a e
cebe o nome de regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace . Mostra-se que ao
a e
escolhermos um contorno para a integral:
c+j∞
1
F (s)est ds
2πj c−j∞
de tal forma que c > 2 (contorno dentro da regi˜o de convergˆncia) ent˜o o resultado da
a e a
integral acima ´ e2t para t ≥ 0.
e
2
Existem fun¸oes, como por exemplo et , t ≥ 0, para as quais a Transformada de Laplace
c˜
n˜o existe, isto ´, n˜o existe regi˜o de convergˆncia da Integral de Laplace. No entanto,
a e a a e
todos os sinais de interesse pr´tico s˜o transform´veis por Laplace.
a a a
A regi˜o de convergˆncia da Transformada de Laplace ´ um formalismo matem´tico
a e e a
que normalmente ´ omitido no c´lculo da transformada. No entanto ´ importante lembrar
e a e
que qualquer que seja a regi˜o de convergˆncia, as fun¸oes f (t) para t ≥ 0 e F (s) para
a e c˜
Re[s] > c est˜o relacionados de maneira biun´
a ıvoca. Os casos em que f (t) = 0 para t < 0
s˜o de interesse marginal no c´lculo da Transformada de Laplace e n˜o ser˜o considerados
a a a a
nesse curso. Uma vez obtida a transformada de Laplace F (s) podemos deduzir sua regi˜o a
de convergˆncia. Ela ´ dada pela regi˜o do plano complexo ` direita do p´lo mais ` direita
e e a a o a
da fun¸ao F (s).
c˜
Exemplo 2.5 (Exponencial real) f (t) = eat , t ≥ 0
∞
−1 −(s−a)t ∞ 1
F (s) = L[eat ] = eat e−st dt = e |0 =
0 s−a s−a
0, t < 0
Exemplo 2.6 (Degrau Unit´rio) Fun¸˜o Degrau Unit´rio u(t) =
a ca a
1, t ≥ 0
∞
−1 −st ∞ 1
L[u(t)] = 1e−st dt = e |0 = .
0 s s
(Regi˜o de Convergˆncia Re[s] > 0)
a e
0, t < 0
Exemplo 2.7 (Rampa) Fun¸˜o Rampa f (t) =
ca
At, t ≥ 0, A constante
∞ ∞ ∞
e−st ∞ Ae−st A A
L[f (t)] = A te−st dt = At | − dt = e−st dt = .
0 −s 0 0 −s s 0 s2
( udv = uv − vdu)

24. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 24
0, t<0
Exemplo 2.8 (Sen´ide) Fun¸˜o Senoidal f (t) =
o ca
sen(ω0 t), t ≥ 0, ω0 cte
∞ ∞
ejω0 t − e−jω0 t −st
L[f (t)] = sen(ω0 t)e−st dt = e dt
0 0 2j
1 1 1 ω0
= − = 2 2
2j s − jω0 s + jω0 s + ω0
RESUMO
u(t) ↔ 1 : P´lo simples na origem. Fun¸˜o Constante no tempo.
s
o ca
1
tu(t) ↔ s2
: P´lo duplo na origem. Fun¸˜o cresce linearmente no tempo.
o ca
1
e−αt u(t) ↔ s+α : P´lo em s = −α. Cresce exponencialmente no tempo se p´lo for positivo
o o
(α < 0). Decresce exponecialmente no tempo se p´lo for negativo (α > 0). Valor
o
constante no tempo se o p´lo for na origem.
o
sen(ω0 t)u(t) ↔ s2ω0 2 : P´los complexos conjugados sobre o eixo imagin´rio (s = ±jω0 ).
+ω0
o a
Fun¸˜o oscila no tempo sem amortecimento.
ca
2.3 Propriedades
A Transformada de Laplace possui v´rias propriedades que, em geral, simplificam o
a
c´lculo da transformada se comparado com a aplica¸ao direta da defini¸ao (2.1). To-
a c˜ c˜
das as propriedades apresentadas nessa se¸˜o est˜o provadas em [1]. Por conveniˆncia
ca a e
repetiremos algumas das provas a t´
ıtulo de exerc´
ıcio.
2.3.1 Opera¸˜o Linear
ca
Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸˜es e α1 e α2 duas constantes. Ent˜o:
co a
L[α1 f1 (t) + α2 f2 (t)] = α1 L[f1 (t)] + α2 L[f2 (t)]
Prova: Utilizando a defini¸˜o (2.1) temos:
ca
∞
L[α1 f1 (t) + α2 f2 (t)] = (α1 f1 (t) + α2 f2 (t))e−st dt
0
∞ ∞
= α1 f1 (t)e−st dt + α2 f2 (t)e−st dt
0 0
= α1 L[f1 (t)] + α2 L[f2 (t)] 2

25. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 25
2.3.2 Fun¸˜o Transladada em Atraso
ca
Seja f (t) uma fun¸˜o, u(t) o degrau unit´rio e α uma constante. Ent˜o:
ca a a
L[f (t − α)u(t − α)] = e−αs L[f (t)]
f (t) f (t − α)u(t − α)
t t
0 0 α
Figura 2.5: Fun¸ao deslocada em atraso
c˜
Prova: Aplicando a defini¸˜o temos:
ca
∞
L[f (t − α)u(t − α)] = f (t − α)u(t − α)e−st dt
0
Definindo τ = t − α podemos rescrever a integral acima como
∞
L[f (t − α)u(t − α)] = f (τ )u(τ )e−s(τ +α) dτ
−α
∞
= e−sα f (τ )u(τ )e−sτ dτ
−α
como f (τ )u(τ ) = 0 para −α ≤ τ < 0 temos:
∞
= e−sα f (τ )u(τ )e−sτ dτ
0
∞
= e−sα f (τ )e−sτ dτ
0
= e−sα L[f (t)] 2
2.3.3 Fun¸oes Porta-deslocada e Impulso
c˜
As fun¸oes Porta-deslocada e Impulso possuem propriedades importantes no contexto
c˜
da Transformada de Laplace .
Fun¸˜o Porta-deslocada: Usaremos a nota¸ao fp (t) para representar a fun¸˜o porta-
ca c˜ ca
deslocada de ´rea unit´ria.
a a
1
t0
, 0 < t < t0
fp (t) =
0, 0 > t > t0 sendo tO uma constante

26. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 26
fp (t)
1
t0
t
t0
0
Figura 2.6: Fun¸˜o Porta de ´rea unit´ria
ca a a
1 1
Note que fp (t) = t0
u(t) − t0
u(t − t0 ).
Utilizando as propriedades de Linearidade e Transla¸˜o obtemos:
ca
1 1
L[fp (t)] = L u(t) − u(t − t0 )
t0 t0
1 1
= L[u(t)] − L[u(t − t0 )]
t0 t0
−t0 s
1 1 1 e
= −
t0 s t0 s
1
= (1 − e−t0 s ) 2
t0 s
Fun¸˜o Impulso: A Fun¸˜o Impulso Unit´rio que ocorre no instante t = t0 ´ repre-
ca ca a e
sentada por δ(t − t0 ) e satisfaz as seguintes condi¸˜es:
co
∞
0, ∀t = t0
δ(t − t0 ) = e δ(t − t0 )dt = 1
∞, t = t0 −∞
A Fun¸ao Impulso ´ uma abstra¸ao matem´tica e n˜o existe na pr´tica. Por´m,
c˜ e c˜ a a a e
varia¸oes bruscas de energia podem ser aproximadas pela fun¸˜o impulso. Al´m disso,
c˜ ca e
o conceito da fun¸˜o impulso ´ bastante util na diferencia¸ao de fun¸˜es descont´
ca e ´ c˜ co ınuas,
como veremos na sequˆncia.
e
Para calcular a transformada da fun¸ao impulso devemos notar que o impulso na origem
c˜
´ o caso limite da fun¸˜o porta quando t0 → 0, isto ´:
e ca e
1
δ(t) = lim [u(t) − u(t − t0 )]
t0 →0 t0

27. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 27
Assim temos:
1
L[δ(t)] = L lim (u(t) − u(t − t0 ))
t0 →0 t0
1
= lim L (u(t) − u(t − t0 ))
t0 →0 t0
1
= lim (1 − e−t0 s )
t0 →0 t0 s
d
dt0
(1 − e−t0 s )
= d
(t s)
dt0 0
= 1 2
A Transformada do Impulso ´ uma fun¸ao constante numericamente igual a ´rea do
e c˜ a
impulso (Energia Instantˆnea). O exemplo a seguir mostra como podemos utilizar a
a
fun¸˜o impulso para representar a derivada de fun¸oes descont´
ca c˜ ınuas.
Exemplo 2.9 Seja a fun¸˜o f (t) = A para 0 < t < t0 (t0 ) dado) e nula fora desse
ca
intervalo. A derivada sessa fun¸˜o est´ definida em todos os pontos exceto em t = 0 e
ca a
t = t0 . Nesses pontos existem descontinuidades. A varia¸˜o da fun¸˜o no entorno de
ca ca
uma descontinuidade pode ser representada por um impulso de ´rea igual ao tamanho da
a
descontinuidade. A derivada de f (t) est´ indicada na figura 2.7.
a
f(t) f˙(t)
A
A δ(t)
t0 t
t 0
0 t0
−A δ(t − t0 )
Figura 2.7: Derivada de fun¸˜es descont´
co ınuas
.
2.3.4 Multiplica¸˜o de f (t) por e−αt
ca
Se L[f (t)] = F (s) ent˜o:
a
∞
−αt
L[e f (t)] = f (t)e−αt e−st dt = F (s + α)
0
Exemplo 2.10 J´ vimos que:
a
ω0
L[sen(ω0 t)u(t)] = 2
= F (s)
s2 + ω0

28. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 28
Logo:
ω0
L[e−αt sen(ω0 t)u(t)] = 2
= F (s + α)
(s + α)2 + ω0
Note que os p´los de F (s + α) s˜o p1,2 = −α ± jω0 , onde Re[p´lo] = −α define o
o a o
decaimento exponencial do sinal f (t) e Im[p´lo] = ±ω0 define a frequˆncia de oscila¸˜o
o e ca
do sinal f (t).
2.3.5 Mudan¸a na Escala de Tempo
c
Se L[f (t)] = F (s) ent˜o:
a
L[f (t/α)] = αF (αs)
Este resultado ´ util quando se deseja analisar sinais numa escala de tempo diferente
e´
daquela em que ele ocorre na pr´tica. Pode ser o caso por exemplo de sinais muito lentos
a
ou muito r´pidos.
a
1 5
Exemplo 2.11 Dado que L[e−t u(t)] = s+1
tem-se que L[e−0,2t u(t)] = 5s+1
.
2.3.6 Teorema da Diferencia¸˜o Real
ca
De agora em diante usaremos as seguintes nota¸oes para representar derivada temporal
c˜
de uma fun¸˜o f (t):
ca
df (t) def df (t) def ˙
= ∂f (t) ou de forma equivalente = f (t) (2.3)
dt dt
d def
A nota¸ao que emprega o operador ∂ = dt ´ util no caso de derivadas de ordem ≥ 3
c˜ e ´
como a derivada de ordem 5: ∂ f (t). J´ a nota¸ao f˙(t) e f (t) s˜o comuns em livros de
5
a c˜ ¨ a
controle para expressar derivadas de ordem 1 e 2.
Com a nota¸˜o acima temos o seguinte resultado:
ca
L f˙(t) = sF (s) − f (0)
onde L[f (t)] = F (s) e f (0) = f (t)|t=0 .
Problema 2.1 Prove que L f˙(t) = sF (s) − f (0). Dica: use a integral por partes
∞ ∞
0
udv = uv|∞ −
0 0
vdu .
Quando uma fun¸ao possui descontinuidade na origem, a sua derivada temporal ir´
c˜ a
possuir um impulso na origem. Nesses casos precisamos tomar cuidado com o limite
inferior da transformada da derivada. Vamos ent˜o definir:
a

29. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 29
∞
L+ [f (t)] = f (t)e−st dt
0+
∞
L− [f (t)] = f (t)e−st dt
0−
Note que se f (t) envolve um impulso na origem ent˜o L+ [f (t)] = L− [f (t)]. Quando
a
f (t) n˜o possui impulso na origem teremos L+ [f (t)] = L− [f (t)] = L[f (t)].
a
Para o caso em que f˙(t) possui impulso na origem (f (t) possui descontinuidade na
origem) ficamos com:
L+ f˙(t) = sF (s) − f (0+ )
L− f˙(t) = sF (s) − f (0− )
Note que na defini¸˜o L+ o tempo come¸a em t = 0+ e portanto o impulso na origem
ca c
fica fora do intervalo considerado, oque n˜o nos interessa. Assim apenas a defini¸ao L− ,
a c˜
por come¸ar a contagem dos tempos em t = 0− , nos ser´ util para tratar impulsos na
c a ´
origem.
Exemplo 2.12 Seja f (t) = e−αt , para t ≥ 0. Calcule L[f˙(t)].
Solu¸˜o:
ca
f˙(t) = δ(t) − αe−αt , t ≥ 0
α s
L[f˙(t)] = 1 − =
s+α s+α
Pelo teorema da diferencia¸˜o real obtemos o mesmo resultado acima:
ca
s s
L− [f˙(t)] = sF (s) − f (0− ) = −0=
s+α s+α
Para uma derivada de ordem n temos:
L [∂ n f (t)] = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 ∂f (t)|t=0 − · · · − s∂ n−2 f (t)|t=0 − ∂ n−1 f (t)|t=0
¸˜
OBSERVACOES:
• Se a distin¸˜o entre L+ e L− for necess´ria basta substituir t = 0 por t = 0+ ou
ca a
−
t = 0 respectivamente.
• Para que L[∂ n f (t)] exista ´ preciso que todas as derivadas de f (t) de ordem inferior
e
` n existam e sejam transform´veis por Laplace.
a a
• Quando todas as condi¸˜es iniciais forem nulas ent˜o:
co a
L [∂ n f (t)] = sn F (s)

30. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 30
ω0
Exemplo 2.13 Sabendo que L[sen(ω0 t)u(t)] = 2
s2 +ω0
podemos obter:
d sen(ω0 t)
L[cos(ω0 t)u(t)] = L u(t)
dt ω0
1 d
= L (sen(ω0 t)u(t))
ω0 dt
1
= (sF (s) − f (0))
ω0
1 s ω0
= ( 2 2
− 0)
ω0 s + ω0
s
= 2 + ω2
s 0
2.3.7 Teorema do Valor Final
Quando uma fun¸ao f (t) tende ` um valor constante em regime estacion´rio, isto ´
c˜ a a e
quando t → ∞, este valor constante pode ser diretamente obtido atrav´s do limite:
e
lim f (t) = lim sF (s)
t→∞ s→0
onde L[f (t)] = F (s). Note que quando f (t) tende ` um valor constante em regime ent˜o
a a
f˙(t) tende a zero em regime. Como toda fun¸˜o que tende a zero em regime deve possuir
ca
transformada com todos os p´los no semi-plano esquerdo conclu´
o ımos que todos os p´los
o
de L[f ˙(t)] = sF (s) devem estar no semi-plano esquerdo para que o limite acima possa ter
algum sentido. Caso contr´rio, se algum p´lo de sF (s) tem parte real nula ou positiva a
a o
fun¸˜o f (t) n˜o tende a um valor constante em regime e portanto a igualdade acima n˜o
ca a a
mais se verifica.
Exemplo 2.14 Qual ´ o valor de regime (se ele existe) da fun¸˜o f (t) cuja transformada
e ca
1
´ F (s) = s(s+1) ?
e
Solu¸˜o: Como os p´los de sF (s) n˜o possuem parte real nula nem positiva (os p´los
ca o a o
s˜o s = −1) ent˜o f (t) tende ` um valor constante em regime. E esse valor ´ dado por:
a a a e
lim f (t) = lim sF (s) = 1
t→∞ s→0
1
Para conferir o resultado note que L[(1 − e−t )u(t)] = s(s+1)
.
Problema 2.2 Calcule o valor de regime da fun¸˜o no tempo cuja transformada ´ F (s) =
ca e
1
(s−2)
. Diga se o teorema do valor final pode ser aplicado e qual ´ a fun¸˜o no tempo.
e ca
2.3.8 Teorema do Valor Inicial
Usando este teorema somos capazes de achar o valor de f (t) em t = 0+ conhecendo
apenas a transformada de f (t). Se f (t) e f˙(t) s˜o ambas transform´veis por Laplace e se
a a

31. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 31
lims→∞ sF (s) existir ent˜o:
a
f (0+ ) = lim sF (s)
s→∞
Quando f (t) n˜o possui descontinuidade na origem f (0+ ) = f (0).
a
Problema 2.3 Encontre o valor inicial de f˙(t) dado que L[f (t)] = 2s+1
s2 +s+1
.
2.3.9 Teorema da Integra¸˜o Real
ca
Se a fun¸ao que resulta da integral
c˜ f (t)dt ´ transform´vel por Laplace ent˜o sua
e a a
transformada ´ dada por:
e
F (s) f (t)dt
L f (t)dt = + |t=0 (2.4)
s s
¸˜
OBSERVACOES:
• Se o valor inicial da integral for zero ent˜o:
a
F (s)
L f (t)dt =
s
Assim, integrar no dom´ınio do tempo ´ dividir por s no dom´
e ınio da frequˆncia.
e
Lembre que derivar no tempo ´ multiplicar por s na frequˆncia.
e e
• Quando a integral for definida note que:
t
f (t)dt = f (t)dt − f (t)dt|t=0 .
0
Sendo f (t)dt|t=0 uma constante temos com (2.4) que:
t
F (s)
L f (t)dt =
0 s
Se f (t) possui impulso na origem ent˜o deve-se especificar que a integral come¸a
a c
−
em t = 0 .
2.3.10 Teorema da Diferencia¸˜o Complexa
ca
Se f (t) ´ transform´vel por Laplace, ent˜o, exceto nos p´los de F (s) vale a seguinte
e a a o
rela¸˜o:
ca
d
L[tf (t)] = − F (s).
ds
No caso geral:
n
n n d
L[t f (t)] = (−1) F (s), n = 1, 2, . . . .
dsn

32. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 32
2.3.11 Integral de Convolu¸˜o
ca
Sejam f1 (t) e f2 (t) duas fun¸˜es nulas para t < 0. A Convolu¸ao dessas duas fun¸oes
co c˜ c˜
f1 (t) e f2 (t) ser´ representada pela nota¸ao f1 (t) ∗ f2 (t) e ´ definida pela integral:
a c˜ e
t
f1 (t) ∗ f2 (t) = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ
0
Propriedades:
• f1 (t) ∗ f2 (t) = f2 (t) ∗ f1 (t)
• f1 (t) ∗ (f2 (t) + f3 (t)) = f1 (t) ∗ f2 (t) + f1 (t) ∗ f3 (t)
• L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = L[f1 (t)]L[f2 (t)]
A ultima propriedade ´ muito importante e mostra que fazer a convolu¸ao no tempo ´
´ e c˜ e
fazer o produto das transformadas na frequˆncia.
e
Prova:
∞ t
L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ e−st dt
0 0
como f1 (t − τ ) = 0 para τ > t podemos extender o limite de integra¸ao de t para infinito.
c˜
Como t e τ s˜o vari´veis independentes podemos trocar a ordem de integra¸ao.
a a c˜
∞ ∞
= f1 (t − τ )e−s(t−τ ) dtf2 (τ )e−sτ dτ
0 0
Note que a integral interna ´ simplesmente a transformada de f1 (t) com a mudan¸a de
e c
vari´vel ξ = t − τ :
a
∞ ∞ ∞
−s(t−τ ) −sξ
f1 (t − τ )e dt = f1 (ξ)e dξ = f1 (ξ)e−sξ dξ = L[f1 (t)]
0 −τ 0
Note ainda que L[f1 (t)] ´ uma fun¸˜o complexa da vari´vel s e n˜o depende de τ . Logo
e ca a a
obtemos:
∞
L[f1 (t) ∗ f2 (t)] = L[f1 (t)]f2 (τ )e−sτ dτ
0
∞
= L[f1 (t)] f2 (τ )e−sτ dτ
0
= L[f1 (t)]L[f2 (t)] 2
Veremos mais adiante que o comportamento de todo sistema linear invariante no tempo
pode ser representado por uma integral de convolu¸ao, ou equivalentemente, pelo produto
c˜
de duas transformadas.

33. 2.3. Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 33
f (t) f˙(t)
a a ...
t
0
... −aδ(t − 2)
t
−aδ(t − 1)
0 1 2
Figura 2.8: Fun¸˜o dente de serra e sua derivada
ca
Exemplo 2.15 Calcule a transformada de Laplace da fun¸˜o f (t) da figura 2.8.
ca
Solu¸˜o: Como a derivada de f (t) ´ uma fun¸˜o mais simples que f (t), veja figura 2.8,
ca e ca
iremos calcular a transformada da derivada e utilizar a rela¸˜o L[f˙(t)] = sF (s) − f (0).
ca
Tem-se ent˜o:
a ∞
f˙(t) = au(t) − aδ(t − n)
n=1
∞
L[f˙(t)] = sF (s) − f (0) = aL[u(t)] − a L[δ(t − n)]
n=1
∞
1
⇒ sF (s) = a − a e−ns L[δ(t)]
s n=1
∞
a e−ns
⇒ F (s) = 2 − a
s n=1
s
f(t)
1
a2
t
0 a 2a
1
-
a2
Figura 2.9: Fun¸˜o onda quadrada
ca
Exemplo 2.16 Calcule a transformada de Laplace da fun¸˜o f (t) da figura 2.9.
ca
Solu¸˜o: Como a fun¸˜o ´ uma soma de degraus deslocados, temos:
ca ca e
1 2 1
f (t) = 2 u(t) − 2 u(t − a) + 2 u(t − 2a)
a a a
1 2 1
L[f (t)] = 2 L[u(t)] − 2 L[u(t − a)] + 2 L[u(t − 2a)]
a a a
1 1 2 −as 1 1 −2as 1
= 2 − 2e + e
a s a s a2 s
1 −as −2as
= 2 (1 − 2e +e )
as