Lógica II: Equivalencias, Implicaciones y Deducción Natural

Lógica II
EQUIVALENCIAS E IMPLICACIONES NOTABLES.
DEDUCCIÓN NATURAL. LÓGICA E INFORMÁTICA
DOCENTE: ENRIQUE SARANGO ZÁRATE

TAUTOLOGÍAS NOTABLES
Son las fórmulas lógicas que al ser sometidas a las tablas de verdad resultan ser
tautológicas. Son de dos tipos: las equivalencias notables y las implicaciones notables.
1. EQUIVALENCIAS NOTABLES
Son reglas lógicas a través de las cuales se reemplaza una fórmula por otra. Estas
tautologías se utilizan para reducir expresiones de un lenguaje formalizado a otro.
Equivalencias notables
Idempotencia
(p Λ p) ↔ p
(p v p) ↔ p
DOCENTE: Enrique Sarango Zárate

LAS EQUIVALENCIAS NOTABLES
Conmutatividad
(p Λ q) ↔ (q Λ p)
(p v q) ↔ (q v p)
Asociación
[p Λ (q Λ r)] ↔ [(p Λ q) Λ r]
[p v (q v r)] ↔ [(p v q) v r]

Distribución
[p Λ (q v r)] ↔ [(p Λ q) v (p Λ r)]
[p v (q Λ r)] ↔ [(p v q) Λ (p v r)]
De Morgan
~(p Λ q) ↔ (~p v ~q)
~(p v q) ↔ (~p Λ ~q)
Definición de condicional
(p → q) ↔ (~p v q) // (p → q) ↔ ~(p Λ ~q)

Definición de bicondicional
(p ↔ q) ↔ [(p → q) Λ (q → p)]
(p ↔ q) ↔ [(p Λ q) v (~p Λ ~q)]
Transposición
(p → q) ↔ (~q → ~p)
Absorción
[(p Λ q) v p] ↔ p / [(p v q) Λ p] ↔ p

IMPLICACIONES NOTABLES
Las implicaciones son tautologías donde las premisas implican a la conclusión. Es decir,
el consecuente (conclusión) es derivado del antecedente (premisas) porque se
encuentra contenido en este.
Modus Ponens
Si en una estructura de fórmula condicional el antecedente es verdadero, por lo tanto,
el consecuente también será verdadero.
Ejemplo: Si la matemática es una ciencia formal, entonces usa símbolos. La matemática
usa símbolos. Por lo tanto, es una ciencia formal.
p → q
p
__________
/∴q

Modus Tollens
Si en una estructura de fórmula condicional el consecuente es falso, por lo tanto, el
antecedente también será falso.
Ejemplo: Si hay luz solar, entonces es de día. No es de día. Por lo tanto no hay luz solar.
p → q
~q
____________
/ ∴ ~p

IMPLICACIONES NOTABLESSilogismo Hipotético
Si de dos estructuras de fórmulas condicionales, se tiene que de la primera fórmula condicional su consecuente es el antecedente de la segunda fórmula condicional. Se obtiene como conclusión una fórmula condicional formada por el antecedente de la primera fórmula condicional y el consecuente de la segunda fórmula
condicional.
Ejemplo: Si estudio, entonces puedo resolver el examen. Puedo resolver el examen, entonces ingresaré a la universidad. Por lo tanto, Si estudio entonces ingresaré a la universidad. p → q
q → r
________
/ ∴ p → r

Silogismo Disyuntivo
De una estructura de fórmula disyuntiva, por la negación de una de sus variables se
obtiene la afirmación de la otra variable.
Ejemplo: La física es una ciencia formal o fáctica. No es una ciencia formal. Por lo tanto,
la física es una ciencia fáctica.
p v q
~p
____________
/ ∴ q

Simplificación
De una estructura de fórmula conjuntiva, se concluye una de sus variables.
Ejemplo: Leibniz inventó el cálculo infinitesimal y fue filósofo. Entonces, Leibniz
fue filósofo.
p Λ q
_________
/ ∴ q

Adición
De una variable se obtiene una formula disyuntiva con cualquier variable o con cualquier fórmula lógica que se le adicione.
Ejemplo: La matemática es una ciencia formal. Entonces, la matemática es una ciencia formal o Newton fue un físico.
p
________
/ ∴ p v q

Conjunción o adjunción
De dos variables o premisas se puede obtener la conjunción entre estas.
Ejemplo: La teoría de la oxidación fue creada por Lavoisier. Pasteur inventó la
vacuna. Por lo tanto, La teoría de la oxidación fue creada por Lavoisier y Pasteur
inventó la vacuna.
p
q
_______
/ ∴ p Λ q

INFERENCIAS
Es un razonamiento que procede como regla y permite llegar a la verdad de una
proposición, es decir, a una conclusión muy particular y específica que se
obtiene a través de conocimientos dados mediante premisas. Ejemplo:
Si el cielo está nublado, tendremos frio Premisa
Si tenemos frio, nos abrigaremos Premisa
No es cierto que estemos abrigados Premisa
_________________________________
Por lo tanto, no es cierto que el cielo este nublado Conclusión

DEDUCCIÓN NATURAL
Es un método que sirve para la evaluación de inferencias y procede por
transformaciones de las fórmulas aplicando a las premisas las equivalencias e
implicaciones notables. De acuerdo con el método de la deducción natural, para
mostrar que la conclusión de una inferencia se sigue lógicamente de las
premisas, es preciso indicar las reglas de inferencia válidas elementales que
conducen de las premisas a la conclusión.
En 1934 Gerahrd Gentzen, lógico y matemático alemán,
fue quien sostuvo este proceso de inferencias denominado
Deducción natural.

PASOS PARA EL PROCESO DERIVATIVO DE
UNA INFERENCIA
A cada proposición dada en lenguaje natural se le asigna una variable
proposicional, para pasarla al lenguaje formal.
1. Si Juan termina su tarea temprano, entonces irá al cine. p → s
2. Si Juan no termina su tarea temprano, entonces no se sentirá contento.
~ p → ~r
3. Juan se siente contento. r
Por lo tanto, irá al cine. s

UNA INFERENCIA
Una vez simbolizadas las premisas y la conclusión se procede a
enumerarlas en forma vertical y se escribe la conclusión a
continuación de la última premisa en el mismo renglón. Entre la
última premisa y la conclusión se escribe una barra separatoria ‘/’
seguida del símbolo ‘…’ que se lee ‘por lo tanto’ o ‘en conclusión’.
1. p → s
2. ~ p → ~r
3. r / ∴ s

UNA INFERENCIA
Ordenadas las premisas en lenguaje formal, se procede a realizar las
derivaciones. Para ello se toma como punto de partida cualquiera de las
premisas. Pero siempre indicando a la derecha qué premisas y mediante qué
regla se ha obtenido la nueva expresión.
4. p Modus Tollens de 2 y 3.
5. s Modus Ponens de 1 y 4.

MODALIDADES DE LA DEDUCCIÓN
NATURAL
1. Prueba directa (PD) Es una de las más importantes, para esta oportunidad nos
encargaremos solo de ella; no obstante, cabe señalar que también hay prueba
condicional y reducción al absurdo.
Sea la siguiente inferencia: “No es verdad que estudias y trabajas. Si tienes
dinero, entonces trabajas. Luego, si estudias entonces no tienes dinero”.
Primer paso: Hallar la forma lógica de la inferencia.
1. No es verdad que estudias y trabajas
2. Si tienes dinero, entonces trabajas
Luego, si estudias entonces no tienes dinero.

NATURAL
Segundo paso: Una vez que se halla la inferencia, se procede a pasar del
lenguaje natural al lenguaje formal.
1. No es verdad que estudias y trabajas ~(p Λ q)
2. Si tienes dinero, entonces trabajas r → q
Luego, si estudias entonces no tienes dinero. p → ~r
Tercer paso: Se ordenan las proposiciones que han sido formalizadas.
1. ~(p Λ q)
2. r → q / ∴ p → ~r

NATURAL
Cuarto paso: Se procede con las derivaciones.
3. ~p V ~q De Morgan en 1
4. p → ~q Def. de condicional en 3
5. ~q → ~r Transposición de 2
6. p → ~r Silogismo hipotético de 4 y 5
Una vez obtenida la conclusión, se afirma que la inferencia original es válida.

LÓGICA E INFÓRMATICA
La Lógica es una de las ciencias básicas vinculadas con la Informática. La
Lógica investiga la estructura (forma) de la información y permite examinar la
consistencia de los lenguajes de programación. La validez de la sintaxis de un
lenguaje informático es una de las condiciones indispensables para su
aplicación.
Ejemplo: El bit y sus múltiples byte, kb, etc., son sistemas de medidas de
información que pueden ser introducidos en una computadora para que
estos sean procesados correctamente. La información que contenga los bits,
bytes, kbs, etc., no representa por sí misma información científica. La
secuencia de 0 y 1 no es por sí mismo conocimiento, pero lo es cuando son
“traducidos” a un ordenador. La información científica no es medible por los
bits, pero los bits sirven para poder ingresar información y después medirla
con otros procedimientos como el de las implicaciones notables.

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