1) Este documento describe diferentes tipos de sistemas físicos y cómo modelarlos y obtener sus funciones de transferencia. Incluye sistemas mecánicos, eléctricos, térmicos, de concentración, nivel y transporte. 2) Existen dos formas básicas para obtener la relación entre las señales de entrada y salida de un sistema: modelado teórico a partir de leyes físicas o identificación experimental. 3) Se explican los conceptos básicos para cada tipo de sistema y cómo derivar sus funciones de transfer

1. MODELADO E IDENTIFICACIÓN
DE SISTEMAS FÍSICOS
Prof. Paolo Castillo Rubio

2. INTRODUCCIÓN
Para dimensionar y calcular las características de
un sistema de control es necesario que se
conozca la relación entre las señales de entrada y
de salida de los bloques que lo constituyen. Esta
relación se puede expresar como funciones de
transferencia o como ecuaciones diferenciales.
Existen dos formas básicas para obtener esta
relación:
● Modelado teórico
● Identificación experimental

3. MODELADO TEÓRICO. A partir de leyes físicas
se encuentra la función de transferencia. Las
leyes son normalmente en la forma de
ecuaciones diferenciales, la relación entre las
señales de entrada y salida son también una
ecuación diferencial. Esta última se puede
transformar con la ayuda de la Transformada de
Laplace para obtener la función de transferencia.
IDENTIFICACIÓN EXPERIMENTAL. A partir de
diferentes experimentos prácticos se encuentra la
función de transferencia para diferentes procesos.

4. MODELADO TEÓRICO
El modelado teórico se utiliza sobre todo en
procesos a través de los cuales, y de manera
sencilla, se pueden llegar a las leyes físicas que
relacionan las señales de entrada y salida.
Hay muchos procesos que resultan tan
complicados que es imposible poder desarrollar
las ecuaciones diferenciales con un trabajo
relativamente correcto. En este caso es mejor
utilizar algún método de identificación
experimental, o una combinación de ambos
métodos.

5. 1) SISTEMAS MECÁNICOS
Se les llama a los sistemas compuestos de
masas, que al ser influidos por fuerzas externas o
internas se ponen en movimiento.
Los sistemas mecánicos son, por ejemplo, grúas,
brazos robóticos, servomecanismos, sistemas
mecánicos rotatorios, sistemas de posición,
barcos, etc.
Dada la analogía que existe entre los sistemas
mecánicos de translación y los de rotación, los
analizaremos por separado.

6. 1.1. Sistemas Mecánicos Translatorios
Para analizar las características dinámicas de los
sistemas mecánicos, en primer lugar, se dividen
en sus partes básicas, es decir, masas, resortes y
amortiguadores.

7. MASA
La influencia de una o varias fuerzas F sobre el
movimiento de una masa M se determina por la
segunda ley de Newton:
La resultante de fuerzas que actúan sobre un
cuerpo es igual a la masa de éste por la
aceleración.

8. RESORTE
La fuerza de un resorte ideal es proporcional a su
estiramiento x, de acuerdo con la siguiente
relación:
Aquí se supone que x es cero en estado estable;
es decir, que el resorte no está estirado ni
comprimido. La constante k es la medida de la
dureza del resorte (k mayor, dureza mayor).
RESORTE

9. AMORTIGUADOR
La fuerza de un amortiguador ideal es
proporcional a la velocidad con la cual se
comprime o descomprime.
La constante de amortiguación se denomina b (b
grande, amortiguación fuerte).

10. 1.2. Sistemas Mecánicos de Translación Combinados
A los sistemas mecánicos que están combinados
con los elementos básicos antes mencionados,
se les puede encontrar la relación entre las
fuerzas y su aceleración, velocidad y espacio
correspondientes sumando sus fuerzas.
En la siguiente figura se tiene un sistema que
consiste en una masa sólidamente conectada con
un resorte y un amortiguador. A la masa, además,
se le aplica una fuerza exterior. Se trata de
encontrar la función de transferencia de la fuerza
a la posición. Se supone que la masa está en
reposo, es decir, y = 0 cuando F = 0.

11. La ecuación diferencial de este sistema se
obtiene al aplicar la segunda ley de Newton para
la masa del sistema. Además de la fuerza exterior
F, la masa está afectada por las fuerzas que
ejercen el amortiguador y el resorte.

12. La dimensión de las fuerzas depende de la
posición y velocidad actual de la masa de
acuerdo con la siguiente relación:
Al despejar la ecuación tenemos:

13. La Transformada de Laplace de la ecuación
diferencial nos da:
La función de transferencia es:

14. 1.3. Sistemas Mecánicos Rotatorios
Este tipo de sistemas están constituidos por
masas rotatorias, resortes de torsión y fricción;
que son directamente equivalentes a los sistemas
de translación considerando: el ángulo ^ a la
distancia, el momento ^ a la fuerza, el momento
de inercia ^ a la masa, etc.
El sistema rotatorio de la figura siguiente,
consiste en un rotor que está sujeto con una
flecha flexible. El otro lado de la flecha está
sujeto. El rotor tiene una fricción viscosa B.

15. Nomenclatura:
J: Momento de inercia
D: Coeficiente de la flecha
B: Factor de fricción
θ: Ángulo de rotación
M: Momento

16. La ecuación de movimiento de Newton para la
rotación nos da:
Si se usa la Transformada de Laplace, se obtiene:
Y como función de
transferencia:

17. 2) SISTEMAS ELÉCTRICOS
El tipo de sistemas eléctricos que se van a
estudiar son aquellos que contienen resistencias,
bobinas y condensadores. Las señales de
entrada y salida son el voltaje y la corriente
eléctrica. La forma tradicional de construir
reguladores eléctricos ha sido con ayuda de estos
componentes y un amplificador de señales.

18. RESISTENCIA
La ley de Ohm dice que el voltaje u a través de
una resistencia es igual a la corriente i por la
misma resistencia R:
La Transformada de Laplace nos da la siguiente
relación:

19. CONDENSADOR
El voltaje u a través de un condensador es igual a
su carga Q dividida por la capacitancia C. La
carga es igual a la integral de la corriente i:
La Transformada de Laplace nos da la siguiente
relación:

20. INDUCTOR
El voltaje u a través de un inductor es igual a la
inductancia L por la derivada de la corriente i:
La Transformada de Laplace nos da la siguiente
relación:

21. Después de transformar los componentes
básicos, se encuentra que la relación entre el
voltaje U y la corriente I se puede escribir de
forma parecida:
A los parámetros R, 1/Cs y Ls se les llama
elementos de impedancia compleja.

22. 2.1. Circuitos eléctricos combinados
En el caso de los sistemas eléctricos
combinados, el camino más fácil es el de la
impedancia compleja del circuito, como se
muestra en la siguiente figura.
El circuito consta de una resistencia en serie con
un condensador. El voltaje u1 es la señal de
entrada, mientras que el voltaje u2 es la señal de
salida.

23. La relación que existe entre el voltaje de entrada
y de salida es:

24. La función de transferencia es:
Asimismo, la función de transferencia para
cualquier circuito eléctrico con resistencias,
condensadores e inductores se encuentra
mediante sus impedancias complejas.

25. 2.2. Circuitos eléctricos con componentes activos
Los componentes comunes de estos circuitos
eléctricos son los amplificadores operacionales.
Se debe hacer funciones de transferencia de los
circuitos eléctricos que los contengan.
Los amplificadores operacionales son un
amplificador de corriente continua con alto
(negativo) factor de amplificación, los cuales
normalmente se usan como se muestra en la
siguiente figura.

26. La función de transferencia del voltaje de entrada
U1 al voltaje de salida U2 es: - A(s), en donde:
| A(jω) | >> 1, en el campo de las frecuencias
normalmente usada.

27. En el área lineal el amplificador abierto A(s)
puede describirse como un sistema de primer
orden con un factor alto de ganancia:
Las impedancias Z1 y Z2 son complejas y
arbitrarias. Si la corriente de entrada I0 se
desprecia, entonces con la ley de Ohm y las leyes
de Kirchhoff se obtiene:
Por ejemplo, para el amplificador
operacional 741 los valores son:
K = 100000 y T = 0,01 seg.

28. Al despejar resulta:
Para el amplificador se tiene:
Con U1 como señal de entrada y U2 como señal
de salida, al eliminar U0 se obtiene:

29. Con valores grandes de la ganancia del
amplificador (K), esta ecuación se puede
aproximar en bajas frecuencias a:
En la práctica, la función de transferencia de un
amplificador operacional es igual a la relación
existente entre la impedancia compleja de
retroalimentación Z2 y la impedancia compleja de
entrada Z1, con signo invertido. Esta función de
transferencia no cambia con la carga (lo opuesto
a circuitos con elementos pasivos).

30. 3) SISTEMAS TÉRMICOS
Los sistemas térmicos cuentan con procesos que
de alguna forma intercambian energía calorífica
con su medio ambiente. Pueden ser procesos
químicos, hornos, casas o calentadores de agua,
entre otros. Las señales de entrada y salida para
este tipo de sistemas son la temperatura, la
energía calorífica y la potencia calorífica.
La ley natural básica para los sistemas térmicos
es el balance de energía. Ésta nos dice que el
cambio en la energía calorífica por unidad de
tiempo es igual a la potencia inferida menos la
extraída.

31. En forma matemática esta relación se escribe:

32. Cuando se utiliza la relación de balance de
energía para sistemas sencillos se puede usar la
relación de la energía calorífica de una cierta
materia con la temperatura T:
Donde:
E = energía calorífica de cierta materia
T = temperatura de cierta materia
V = volumen de cierta materia
c = capacitividad térmica
ρ = densidad

33. Si se supone que el volumen V, la capacitividad c
y la densidad ρ son constantes, se obtiene que:
Tanto la potencia inferida como la extraída
pueden expresarse en función de la temperatura,
ya que:
Donde Q es el flujo del fluido a tratar

34. Es importante recalcar que tanto la capacitividad c
como la densidad ρ pueden estar en función de la
temperatura y que en situaciones especiales (no
lineales) existe intercambio de calor entre gases, por
ejemplo entre agua y vapor.
La siguiente figura
muestra un tanque
de agua aislado con
un volumen V = 4 m3
.
El flujo Q es
constante y del orden
de 0,1 m3
/s. La
temperatura de
entrada Ti
varía.

35. Encuentre la función de transferencia entre la
temperatura de entrada Ti
y la temperatura del
tanque T. Se supone que en el tanque hay una
buena mezcla, por lo que existe la misma
temperatura en todo el líquido.
La energía inferida en el tanque se extrae de él.
El balance nos da:
Donde:
Energía calorífica del agua es: E = T V c ρ
La potencia térmica inferida del agua es: Pi
= Ti Q c ρ
La potencia térmica extraída del agua es: Pe
= T Q c ρ

36. Sustituyendo en el balance de energía nos da:
Dado que el volumen V, la capacitividad c y la
densidad ρ son constantes, nos da:
Al usar la Transformada de Laplace, se obtiene:

37. Tomando Ti
como la entrada y T como la salida,
se obtiene:
Al sustituir con los valores, nos da una función de
transferencia de primer grado:

38. 4) SISTEMAS DE CONCENTRACIÓN
Los sistemas de concentración son comunes en
la industria del proceso, son aquellos en los
cuales hay que regular la concentración de sales,
el pH, la concentración de diversos polvos en
líquidos, etc.
Tomemos como ejemplo un tanque de mezclado
al cual le llega un líquido de algún tipo, y del cual
sale el líquido mezclado con algún polvo.
Llámese a la concentración de polvo en la
entrada c1
y a la concentración de salida c2
. Estas
variables se pueden medir, por ejemplo, en g/m3
.

40. En la suposición de que hay una buena mezcla
en el tanque (igual concentración en todo el
tanque), se puede escribir la siguiente ecuación
de balance. Se supone, además, que tanto el flujo
Q como el volumen V son constantes.
Donde:
Mp
= cantidad total de polvo en el tanque
Q = flujo de líquido en el tanque
V = volumen de líquido en el tanque
c1
= concentración de polvo en la entrada
c2
= concentración de polvo en el tanque y en la salida

41. La ecuación indica que los cambios en la
cantidad total de polvo en el tanque son
proporcionales a la diferencia entre la cantidad de
polvo a la entrada y la salida.
La función de transferencia de c1
a c2
se puede
obtener con la Transformada de Laplace:

42. 5) SISTEMAS DE NIVEL
En los sistemas de nivel los cambios en el
volumen del líquido en el tiempo son iguales a la
entrada actual del líquido menos la salida actual
del mismo.

43. En forma matemática se describe como:
Donde:
V = volumen del líquido
A = área del tanque
h = nivel del líquido
u1
= flujo de entrada
u2
= flujo de salida

44. Si se toma como señal de regulación el flujo de
entrada u1
y el flujo de salida u2
es variable y se
toma como una perturbación en el sistema, la
ecuación de balance aplicando la Transformada
de Laplace queda:

45. 6) SISTEMAS DE TRANSPORTE
Este tipo de sistemas es aquel que tarda un
tiempo en llevar el material, líquido o gas, de un
punto a otro. Por ejemplo, las bandas
transportadoras o los tubos.
Si se tiene el tiempo de transportación L, éste se
transforma al plano con la ayuda de la
transformada de Laplace:

46. Tomemos como ejemplo el tanque de agua del
ejemplo de sistemas térmicos, ahora el flujo de
salida está conectado a un tubo aislado de forma
ideal. Las dimensiones del tubo son tales que el
líquido tarda en salir 12 segundos, como se muestra
en la figura:
Donde T0
es la
temperatura de
salida del tubo

47. Como ya se ha encontrado la función de
transferencia del tanque, o sea, de Ti
a T. Lo que
queda por encontrar es la función de transferencia
del tubo. La siguiente relación es válida entre T y
T0
:
Al usar la Transformada de Laplace para sistemas
de tiempo muerto o retardo, se obtiene:

48. Entonces, la función de
transferencia del tubo es:
La función de transferencia total del tanque y del
tubo se encuentra aplicando las reglas
algebraicas de diagramas de bloques:
En forma algebraica:

49. LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS
NO LINEALES
Hasta el momento se han estudiado sistemas en
los que la relación entre la señal de entrada y la
de salida se describen con ecuaciones
diferenciales lineales (en los que se puede utilizar
la Transformada de Laplace).
Los sistemas no lineales son, en general, más
difíciles de analizar en forma matemática. Por
ejemplo, es más complicado ver sus
características. Para facilitar los cálculos
debemos, en muchos casos, linealizar el sistema.

50. Sistemas hidráulicos y neumáticos
En los sistemas hidráulicos y neumáticos el
medio de trabajo está formado por fluidos y gases
que circulan.
Al igual que en los sistemas eléctricos, en los
sistemas de fluidos existen ciertos elementos
cuya función es la base para las características
dinámicas de los sistemas compuestos.

51. El tratamiento de la relación del flujo debe
mantenerse a un nivel básico. Dado un cierto
fluido (gas o líquido) el flujo q está en función de
la presión antes del ahorcamiento:
En el caso de líquidos (Bernoulli) y gases
(corriente subsónica turbulenta) se vale que bajo
ciertas condiciones el flujo Q sea proporcional a
la raíz cuadrada de la diferencia de presión:

52. La constante Ks
es aproximadamente
proporcional al área de ahorcamiento, la cual
puede variar (por ejemplo, válvulas de
regulación).
Al linealizar la ecuación, se obtiene una relación
del incremento de presión con respecto a la
variación de flujo:
En donde la resistencia del fluido R es:

53. En sistemas hidráulicos el flujo se toma como flujo
volumétrico (m3
/s). En sistemas neumáticos, como
flujo de masa (kg/s, mol/s).
Un tipo de ahorcamiento que se usa mucho en
sistemas neumáticos es la válvula de diafragma.
La distancia entre el diafragma y la boquilla x es la
señal de entrada en la válvula, y una muy pequeña
variación da un gran cambio en la resistencia del
ahorcamiento que la válvula de diafragma
representa.

54. Si la sobrepresión en la tubería es p, el flujo a
través de la válvula es q y el área efectiva de
ahorcamiento es proporcional a la posición del
diafragma x, se obtiene la siguiente relación:
Después de ser linealizada:
En donde:

55. IDENTIFICACIÓN EXPERIMENTAL
La identificación experimental se usa cuando es
demasiado complicado encontrar las ecuaciones
diferenciales en forma teórica. Los métodos más
utilizados de la identificación experimental son:
• Análisis a la respuesta escalón
• Análisis experimental de frecuencias
• Identificación de parámetros con el método de
mínimos cuadrados

56. Análisis a la respuesta escalón
Consiste en que a partir de un cambio conocido
en forma de escalón en la señal de entrada, se
obtiene una función de transferencia aproximada
del proceso.

57. Análisis experimental de frecuencias
Consiste en que al tener las señales sinusoidales
del proceso, éstas se usan para poder analizar
las características del mismo. En primer lugar,
este método proporciona la curva de frecuencias,
y de éste, se puede obtener, en segundo lugar, la
función de transferencia.

58. Identificación de parámetros con el
método de mínimos cuadrados
Éste consiste en que a partir de una gran
cantidad de valores de las señales de entrada y
de salida como base, se decide la función de
transferencia. Este método consta de mucho
cálculo, por lo que normalmente se utilizan
computadoras para obtener el modelo.