1. Jika titik P berada di luar lingkaran, maka garis yang melalui P akan memotong lingkaran di dua titik dan menyentuh lingkaran di satu titik. Kuasa titik P terhadap lingkaran ditentukan oleh rumus PQ^2 = PA.PA' = tetap. 2. Garis kuasa adalah garis tempat titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran. 3. Contoh soal menentukan titik pada garis kuasa dan panjang garis

1. Loading

3. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran
P (x1, y1) Q
a
A1
b
B1
c
C1
Jika P(x1, y1) diluar lingkaran L = 0 maka melalui P dapat dibuat garis banyak
sekali, sehingga memotong L = 0 di A dan A’ ; B dan B’ ; C dan C’ dan seterusnya
serta menyinggung L = 0 di Q.
Pandang PAQ dan PQA’
P = P (berimpit)
Q1 = A’ ( AQ)
A= Q (1800 – ( P + Q1))
Jadi, PQA  PA’Q
=  PQ2 = PA . PA’
Analog  PQ2 = PB – PB’
PQ2 = PC . PC’

4. Rumus
 Jika P(x1, y1) diluar lingkaran L = 0 dan garis melalui P
memotong L di A dan A’; B dan B’; C dan C’ dan
seterusnya serta menyinggung L = 0 di Q, maka berlaku
PQ2 = PA . PA’ = PB . PB’ = PC . PC’ = tetap harganya.
 Bilangan yang tetap ini disebt kuasa P terhadap L = 0.
 Jika P diluar lingkaran maka kuasa P terhadap L = 0
positif.
 Jika P pada lingkaran maka kuasa P terhadap L = 0 sama
dengan 0.
 Jika P didalam lingkaran maka kuasa P terhadap L = 0
negatif.

5. Dalil
 Jika kuasa P(x1, y1) terhadap L x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0 adalah k2 maka
berlaku :
k2 = PQ
2
= x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
 Jika kuasa P (x1, y1) terhadap L (x - )2 + (y - )2 = R2
k2 = PQ 2 = (x1 - )2 + (y1 - )2 – R2
 Bukti
P x1 , y1 Q
B
L(α, β) B’
 L (x - )2 + (y - )2 = R2
Pusat L ( , )
2 2
QL = Rx1 y1
PL =
PQ2 = PL2 – QL2
k2 = PQ2 = (x1 - )2 + (y1 - )2 – R2 (terbukti)

6. Garis Kuasa
Jika L1 x2 + y2 + ax + by + c = 0
L2 x2 + y2 + px + qy + r = 0
Maka tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap
dua lingkaran k = 0 dan L2 = 0 berbentuk garis dengan persamaan :
Garis kuasa
L1 = L2 = 0
“Garis yang mempunyai kuasa sama terhadap 2
lingkaran”
Q1 Q2
L1 L2
L1 L2
g L1 - L2 = 0
g L1 – L2 = 0
L garis kuasa

7. Contoh :
 Tentukan sebuah titik pada garis x – y + 2 = 0 yang mempunyai kuasa sama terhadap
lingkaran x2 + y2 – 4y + 2 = 0 dan x2 + y2 – 6x + 4 = 0
Jawab :
I
L1 x2 + y2 – 4y + 2 = 0
L2 x2 + y2 – 6x + 4 = 0
Garis kuasa = L1 – L2
L1 x2 + y2 – 4y + 2 = 0 L1 L2
L2 x2 + y2 – 6x + 4 = 0 _
6x – 4y – 2 = 0 g
Garis kuasa 3x – 2y – 1 = 0
I x–y+2=0
Jadi titik pada I yang mempunyai kuasa sama terhadap L1 = 0 ; L2 = 0 adalah titik potong
dan I
1 2
2 1 1 4
x 5
3 2 3 2
1 1
3 1
1 2 6 1
y 7 Jadi titik itu (5, 7)
1 1

8. 2. Tentukan panjang garis singgung dari titik P(7,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25
Jawab :
Q
P(7, 1)
Kuasa P terhadap L
k2 = PQ 2
jadi panjang garis singgung
PQ = kuasa
x2 + y2 = 25
k2 = PQ
2
= x12 + y12 = R2
k2 = PQ
2
= 49 + 1 – 25 = 25
jadi panjang garis singgung PQ = 25 =5
Cara Lain :
P(7, 1)  x2 + y2 = 25
49 + 1 > 25
Jadi, (7, 1) diluar lingkaran.
Garis kutub x1 .x + y1 . y = R2
7x + y = 25
y = 25 – 7x

9. Dipotongkan Lingkaran :
x2 + (25 – 7x)2 = 25
x2 + 625 – 350x + 49x2 = 25
50x2 – 350x + 600 = 0
x2 – 7x + 12 = 0
(x - 3) (x - 4) = 0
x=3 V x=4
x=3  y = 25 – 21 = 4
Titik singgung Q = (3, 4)
Panjang garis singgung PQ = 7 3 2 (1 4 )
2
= 25 = 5
x=4  y = 25 – 28 = -3
Titik singgung Q (4, -3)
PQ = 7 4 2 (1 3) 2 = 25 = 5