2. • Jaringan (network) = (N, A); N=node,A=arc = sisi=busur.
• Arc (sisi) terarah mempunyai arah.
• Jaringan terarah mempunyai semua sisi yang terarah.
• Path (lintasan) = sekumpulan arc yang berbeda yang
menghubungkan dua node melalui node yang lain tanpa
memperhatikan arah aliran sisi (arc).
• Path yang menghubungan node dengan dirinya = cycle
(siklus)
• Network terhubung = setiap dua node
berbeda dihubungkan oleh paling sedikit satu
path.
• Tree=jaringan terhubung yg merupakan subset dari
jaringan tanpa cycle (sikluc)
• Spanning tree= tree yg menghubungkan
DEFINISI
4. Pengertian Jaringan
Jaringan adalah suatu susunan garis
edar (path) yang terhubung pada
berbagai titik, dimana satu atau
beberapa barang bergerak dari satu titik
ke titik lain (Taylor, 2005)
Contoh : sistem jalan tol, jaringan
telepon, jaringan rel kereta api, jaringan
televisi, dsb.
5. Pada dasarnya model arus jaringan juga
merupakan pengembangan dari model
transportasi atau distribusi yang berkaitan
dengan pemindahan / pengiriman komoditas
dari suatu sumber ke suatu tujuan dengan
ongkos transportasi minimum.
Pada perkembangannya ternyata model
transportasi ini dapat juga digambarkan dan
diselesaikan dalam suatu bentuk jaringan
6. Jaringan digambarkan sebagai suatu diagram yang
terdiri dari 2 komponen, yaitu:
simpul (nodes), biasanya digambarkan dalam
bentuk lingkaran
cabang (branches), dalam bentuk garis yang
menghubungkan simpul-simpul tersebut.
Simpul (nodes) melambangkan
persimpangan atau perhentian. Pada
titik-titik
umumnya
menyatakan lokasi, kota, stasiun, dsb.
Cabang (branches) melambangkan arus dari satu
titik ke titik yang lain dalam jaringan tersebut. Pada
umumnya menyatakan waktu tempuh, jarak, panjang,
dsb.
7. Topik pembicaraan dibatasi pada 3
macam persoalan, yaitu:
(Shortest1) Masalah Rute Terpendek
Route)
2) Masalah Rentang Pohon Minimum
(Minimal Spanning Tree)
(Maximal3) Masalah Aliran Maksimum
Flow)
8. 1. Masalah Rute Terpendek
(Shortest Route) :
Masalah rute terpendek berguna untuk
menentukan jarak tersingkat antara titik
awal (sumber) dengan beberapa titik
tujuan
9. Langkah-langkah penyelesaian
adalah :
1. Pilihlah simpul dengan rute langsung tersingkat dari titik
awal.
2. Buatlah suatu setelan permanen (Permanent Set)
dengan titik awal dan simpul terpilih dalam langkah 1.
Permanent Set digunakan untuk menandakan bahwa
telah ditemukan rute tersingkat ke simpul-simpul ini.
3. Tentukan seluruh simpul yang berhubungan langsung
dengan simpul-simpul setelan permanen.
4. Pilihlah simpul dengan rute (cabang) terpendek dari
kumpulan simpul-simpul yang berhubungan langsung
dengan simpul-simpul setelan permanen.
5. Ulangi langkah 3 dan 4 sampai seluruh simpul
bergabung dengan setelan permanen.
10. 10
Contoh :
Seseorang yang tinggal di Bogor dan bekerja
di Jakarta dapat melalui berbagai route
seperti tergambar pada jaringan di bawah.
Angka menunjukkan waktu yang dibutuhkan
untuk menempuh route tersebut (dalam
menit).
Bogor Jakarta
B
P
D
C
O
J
28
4
17
11
17
32
12
32
18
Route dengan
waktu tempuh
terpendek
{ BD, DP, PJ }.
11. Seseorang akan bepergian dari kota u ke kota v.
Diberikan diagram jarak antarkota berikut (dalam
puluhan mil) :
x
4
4 3
a
2 3
u 6 y 2
b 3 v
1
2
4
z
5 3
c
Rute manakah yang harus ia pilih agar jarak
tempuhnya minimal?
Contoh :
12. JAWABAN:
Setelah itu lakukan penelusuran terbalik mulai
dari simpul akhir (v), sehingga diperoleh:
v c y z u = 10
13. Latihan
Tentukan minimal spanning tree dari jaringan
berikut:
SE
2000
LA
DE
1300
DA
CH NY
DC
1100
1300
1000
2000
2600
1400
780 900
800
200
14. 2. Masalah Rentang Pohon Minimum
(Minimal Spanning Tree)
Masalah rentang pohon minimum sebenarnya
serupa dengan masalah rute terpendek, dimana
perbedaannya adalah:
Tujuan masalah rute terpendek adalah
menentukan rute terpendek antara titik awal dan
simpul tujuan dalam jaringan tersebut.
Tujuan dari masalah rentang pohon minimum
adalah menghubungkan seluruh simpul dalam
jaringan sehingga total panjang cabang dapat
diminimumkan.
Jaringan yang dihasilkan merentangkan
(menghubungkan) semua titik dalam jaringan
tersebut pada total jarak (panjang) minimum.
15. Masalah Rentang Pohon Minimum
(Minimal Spanning Tree)
Definisi Spanning tree :
Untuk suatu jaringan dengan n node,
spanning tree adalah sekumpulan dari n-1
busur (arc) yang menghubungkan semua
node dalam jaringan dan tidak mengandung
loop
Definisi Minimum Spanning Tree:
Minimum spanning tree adalah spanning
tree dengan panjang minimum dalam suatu
jaringan
16. Langkah-langkah penyelesaian
adalah :
1. Pilihlah simpul awal manapun.
2. Pilihlah simpul yang terdekat dengan
simpul awal untuk bergabung dengan
pohon rentang.
3. Pilihlah simpul terdekat yang belum
termasuk dalam pohon rentang.
4. Ulangi langkah 3 sampai seluruh simpul
telah bergabung dalam pohon rentang.
17. Gambaran
1
3
2
Perhatikan Contoh jaringan di
samping.
Terdapat 3 spanning tree,
yaitu:
1. Arc (1,2) dan (2,3)
2. Arc (1,2) dan (1,3)
3. Arc (1,3) dan (2,3)
Spanning tree ketiga adalah
minimum spanning tree
4 7
12
18. Algoritma
Untuk menemukan spanning tree dapat digunakan
algoritma berikut:
Mulailah dengan memilih busur (arc) terkecil
(terpendek) dan membuat himpunan arc yang
terhubungkan
Pada setiap iterasi tambahkan arc terkecil yang
belum terpilih yang memiliki koneksi dengan
himpunan yang telah terhubungkan (connected
set),
Algoritma selesai jika semua node telah
terhubungkan dan terdapat n -1 arc yang masuk
dalam himpunan arc yang
terhubungkan(connected arc)
18
19. Midwest TV Company dalam
proses menyediakan jaringan
wilayahkabel ke lima
pengembangan perumahan
baru. Gambar di bawah adalah
jaringan TV yang mungkin
yang menghubungkan ke lima
wilayah tersebut. Kabel diukur
dalam mil yang ditunjukkan
oleh setiap arc (sisi).
20. •
1
• N={1,2,3,4,5,6}
C1={1} (sebarang node jugadapat
digunakan untuk memulai);
C1={2,3,4,5,6}.
• C2={1,2} dan C2={3,4,5,6}.
Jaraknya = 1
• C3={1,2,5} dan C3={3,4,6}.
Jaraknya = 3
• C ={1,2,5,4} dan C ={3,6}.4 4
Jaraknya = 4
1
2
3
5
6
3 mil
4
5
Alternate links
• C5={1,2,5,4,6} dan C5={3}.
Jaraknya = 3
• C6={1,2,5,4,6,3} dan C6={ }=.
Jaraknya = 5
• Jadi kabel minimum (terpendek)
yang diperlukan adalah
1+3+4+3+5=16 mil
4
3
5
Minimal spanningtree
21. Contoh :
Berikut ini adalah
jaringan yang
mungkin
dihubungkan oleh
PT. TELKOMNUS
antar beberapa
kota, di mana
angka yang
tercantum pada
cabang adalah
total biaya dalam
milyar rupiah.
A
E
D
B
C
F
G
8
3
5
3
7
7
1
2
10
1
4 4
10
E
D
C
A
F
G
Rentang Minimumnya
adalah :
B
22. Contoh
Kota Vancouver berencana mengembangkan
sistem transportasi kereta api baru.
Sistem tersebut harus menghubungkan 8 pusat-
pusat perumahan dan komersial.
Distrik Metropolitan Transit perlu memilih set garis
yang akan menghubungkan semua pusat dengan
total biaya minimum.
25. Topik pembicaraan dibatasi pada 3
macam persoalan, yaitu:
(Shortest1) Masalah Rute Terpendek
Route)
2) Masalah Rentang Pohon Minimum
(Minimal Spanning Tree)
3) Masalah Aliran Maksimum
(Maximal Flow)
26. Masalah Arus Maksimum
(Maximal Flow):
Masalah aliran maksimum merupakan
masalah jaringan dimana cabang-
cabang jaringan tersebut memiliki
kapasitas arus yang terbatas.
Tujuan dari masalah arus maksimum
adalah memaksimumkan total jumlah
arus dari satu titik awal ke satu tujuan
27. Masalah arus maksimum dapat
mencakup:
• arus (aliran) air, gas, atau minyak melalui suatu
jaringan pipa,
• arus formulir melalui suatu sistem pemrosesan
dalam kantor pemerintah,
• arus lalu lintas melalui jaringan jalan raya,
• arus produk melalui suatu sistem lini produksi,
• dll.
Dalam kondisi tersebut, pengambil keputusan ingin
menentukan arus maksimum yang dapat diperoleh
melalui sistem tersebut.
28. Langkah-langkah penyelesaian
adalah :
1. Pilihlah secara arbitrer (sembarang) garis edar
dalam
jaringan tersebut dari titik awal ketitiktujuan.
simpul2. Sesuaikan kapasitas pada setiap
dengan mengurangkan arus maksimal untuk garis
edar yangdipilih pada langkah1.
3. Tambahkan arus maksimal sepanjang garis edar ke
arus berlawanan arah pada setiapsimpul.
4. Ulangi langkah 1, 2, dan3 sampai tidak adalagi
garis
edar dengankapasitas arus yangtersedia.
29. TheScott Tractor Companymengirim bagian-
bagian traktor dari OmahakeStLouis dengan
kereta api. Namun, kontrak membatasi jumlah
gerbong kereta yangdapat dipastikan oleh
perusahaan pada setiap cabangselamasatu
minggu.
Contoh:
31. Algoritma masalah aliran maksimum adalah
sebagai berikut:
Algoritma masalah aliran maksimum adalah
sebagai berikut:
a. Identifikasi (kenali) augmenting path yang
mempunyai kapasitas sisa positif.
b. Sebut kapasitas sisa c* dari augmenting path,
yaitu minimum dari kapasitas setiap jalur (arc)
yang dilalui.
c. Kurangkan dengan c* pada setiap awal jalur
kapasitas sisa, dan tambahkan c* pada arah yang
berlawanan. Selanjutnya kembali ke langkah a.
32. Pendekatan Solusi
• Secara arbitrer,pilih garis edar/jalur manapun
sepanjang jaringan dari titik awal ketujuan dankirim
sebanyak mungkin yangbisa
Augmenting path 1 2 5 6 min {6,8,4} =4
33. Pendekatan Solusi
• Hitung ulang arus cabang pada kedua arah dan kemudian
pilih jalur layak yang lain secara arbitrer dan tentukan
arus maksimum sepanjang jalur sampai arus tidak
mungkinlagi
Augmenting path 1 4
6
min {4,5}
=4
36. Contoh :
Tentukan total
arus maksimum
bahan yang dapat
dikirim dari titik
awal ke tujuan
melalui lintasan
sbb.
A DB
C
8
7
10
4 410 0
0
5
5
0
0Awal Tujuan
A DB
C
0
0
0
0 83 7
7
2
8
8
10(-22) (+22)
Jawab :
37. Permasalahan yang muncul yaitu:
1. Lewat jalur mana dari O menuju ke T sehingga diperoleh
jarak terpendek, berapa jaraknya.
2. Buatlah jaringan air yang menghubungkan semua tempat
peristirahatan agar panjang pipa yang digunakan minimum.
