Rational zero of P(x)

1. RRAATTIIOONNAALL ZZEERROO
TTHHEEOORREEMM
RReeyynnaallddoo BB.. PPaannttiinnoo,, TT22

2. OObbjjeeccttiivveess
 TToo ffiinndd tthhee rraattiioonnaall zzeerrooss ooff aannyy
ppoollyynnoommiiaall ffuunnccttiioonn wwiitthh tthhee uussee ooff;;
RReemmaaiinnddeerr tthheeoorreemm
FFaaccttoorr tthheeoorreemm
SSyynntthheettiicc DDiivviissiioonn
FFaaccttoorriinngg
QQuuaaddrraattiicc FFoorrmmuullaa

3. RReeccaappiittuullaattiioonn
LLeeaaddiinngg CCooeeffffiicciieenntt
CCoonnssttaanntt tteerrmm
RReemmaaiinnddeerr tthheeoorreemm
SSyynntthheettiicc DDiivviissiioonn
FFaaccttoorr tthheeoorreemm

4. UUnnlloocckkiinngg ooff ddiiffffiiccuullttiieess
 WWhhaatt iiss zzeerroo ooff aa ffuunnccttiioonn??
 WWhhaatt iiss rraattiioonnaall zzeerroo??
 WWhhaatt iiss rreellaattiivveellyy pprriimmee iinntteeggeerrss??

5. RReemmeemmbbeerr tthhaatt;;
EEvveerryy rraattiioonnaall nnuummbbeerr ccaann
bbee wwrriitttteenn aass aa qquuoottiieenntt ooff
rreellaattiivveellyy pprriimmee iinntteeggeerrss..

6. CCoonnssiiddeerr tthhiiss!!
 PP((xx)) == 22xx33 ++ 55xx22 –– 44xx –– 33
AAnnyy rraattiioonnaall zzeerroo ooff tthhee ffuunnccttiioonn
mmuusstt hhaavvee aa nnuummeerraattoorr,, tthhaatt iiss aa
ffaaccttoorr ooff --33 ((±±11 oorr ±±33)) aanndd aa
ddeennoommiinnaattoorr ooff 22 tthhaatt iiss aa ffaaccttoorr ooff 22
((a±±11 = oorr 2
±±22)) Leading coefficient
n a= – 3
Constant term
0

7. LLeett’’ss ddeeffiinnee!! q p

8. IIlllluussttrraattiivvee EExxaammpplleess

9. IIlllluussttrraattiivvee EExxaammpplleess
LLeett PP((xx)) == xx33 ++ 66xx22 ++ 1100xx ++ 33.. FFiinndd tthhee rraattiioonnaall
zzeerrooss ooff PP((xx)).. IIff ppoossssiibbllee ffiinndd tthhee zzeerrooss..
SSoolluuttiioonn:: ((CCoonnttiinnuuaattiioonn))
DDiivviiddiinngg eeaacchh pp aanndd qq,, tthhee rreessuullttiinngg ppoossssiibbiilliittiieess
ffoorr pp//qq aarree::
or simply
±1 ±3

10. CCoonnttiinnuuaattiioonn ooff tthhee ssoolluuttiioonn::
TTrryy --11 ((BByy ssyynntthheettiicc ddiivviissiioonn))
PP((xx)) == xx33 ++ 66xx22 ++ 1100xx ++ 33
--11 1 6 10 3
1
-1
5
-5
5
-5
-2
SSiinnccee ;;
PP((--11)) == --22,, --11 iiss nnoott aa zzeerroo ooff PP((xx))..

11. CCoonnttiinnuuaattiioonn ooff tthhee ssoolluuttiioonn::
TTrryy --33 ((BByy ssyynntthheettiicc ddiivviissiioonn))
PP((xx)) == xx33 ++ 66xx22 ++ 1100xx ++ 33
--33 1 6 10 3
1
-3
3
-9
1
SSiinnccee ;;
PP((--33)) == 00,, --33 iiss aa zzeerroo ooff PP((xx))..
-3
0

12. CCoonnttiinnuuaattiioonn ooff tthhee ssoolluuttiioonn::
TTrryy --33 ((BByy ssyynntthheettiicc ddiivviissiioonn))
PP((xx)) == xx33 ++ 66xx22 ++ 1100xx ++ 33
--33 1 6 10 3
1
-3
3
-9
1
-3
0
TThhee ddeepprreesssseedd eeqquuaattiioonn iiss xx22 ++ 33xx ++ 11 == 00..
UUssiinngg tthhee rreessuullttss ooff tthhee ssyynntthheettiicc ddiivviissiioonn aabboovvee;;
PP((xx)) == ((xx ++ 33))((((xx22 ++ 33xx ++ 11))..

13. CCoonnttiinnuuaattiioonn ooff tthhee ssoolluuttiioonn::
SSiinnccee tthhee eeqquuaattiioonn xx22 ++ 33xx ++ 11 == 00 iiss qquuaaddrraattiicc,,
uussee tthhee qquuaaddrraattiicc ffoorrmmuullaa ttoo ffiinndd tthhee ootthheerr zzeerrooss
ooff PP((xx))..
TThhee QQuuaaddrraattiicc FFoorrmmuullaa::

14. CCoonnttiinnuuaattiioonn ooff tthhee ssoolluuttiioonn::
SSiinnccee tthhee eeqquuaattiioonn xx22 ++ 33xx ++ 11 == 00 iiss qquuaaddrraattiicc,,
uussee tthhee qquuaaddrraattiicc ffoorrmmuullaa ttoo ffiinndd tthhee ootthheerr zzeerrooss
ooff PP((xx))..

15. CCoonnttiinnuuaattiioonn ooff tthhee ssoolluuttiioonn::
SSiinnccee tthhee eeqquuaattiioonn xx22 ++ 33xx ++ 11 == 00 iiss qquuaaddrraattiicc,,
uussee tthhee qquuaaddrraattiicc ffoorrmmuullaa ttoo ffiinndd tthhee ootthheerr zzeerrooss
ooff PP((xx))..

16. TTeesstt YYoouurrsseellff::
FFiinndd tthhee rraattiioonnaall zzeerrooss ooff tthhee ppoollyynnoommiiaall
ffuunnccttiioonn iiff tthheeyy eexxiisstt.. IIff ppoossssiibbllee,, ffiinndd tthhee ootthheerr
zzeerrooss.. TThheenn wwrriittee tthhee ffuunnccttiioonn iinn ffaaccttoorreedd ffoorrmm..
1.) P(x) = x3 – x2 – 3x + 3
2.) P(x) = x3 – 4x2 + 2x + 4
3.) P(x) = x3 – x2 – 4x – 2
4.) P(x) = x3 – 2x2 + x + 4
5.) P(x) = 2x3 – 3x2 – 7x + 6

17. AASSSSIIGGNNMMEENNTTSS
AAnnsswweerrss nnuummbbeerrss 66 ttoo 1122 oonn
ppaaggee 111100,,
((AAddvvaanncceedd AAllggeebbrraa,,
TTrriiggoonnoommeettrryy aanndd SSttaattiissttiiccss))