O documento discute o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas. Ele introduz o tópico, define o método e fornece exemplos de como aplicá-lo para ajustar uma reta a conjuntos de pontos experimentais.

1. Ajuste de Curvas
Método dos Mínimos Quadrados
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

2. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Ajuste de Curvas
• Exemplos.
• Método dos Mínimos Quadrados
Tópicos da Aula
• Definições;
• Objetivos;
• Aplicações.
• Definições;
• Tipos;

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Ajuste de Curvas

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Nas aulas anteriores estudamos uma forma de lidar com
funções matemáticas definidas por tabelas de valores.
Ajuste de Curvas
Introdução
Frequentemente, estas tabelas são obtidas com base em
dados experimentais, contendo erros inerentes aos métodos de
medição utilizado.
Como os valores não são exatos, muitas vezes não é
razoável recorrer à interpolação polinomial, ou seja, exigir que a
função aproximada satisfaça exatamente os dados disponíveis.

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Ajuste de Curvas
Definição
Estes valores podem ser representados por um gráfico
cartesiano formando um diagrama de dispersão.

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Ajuste de Curvas
Tipos de Ajuste de Curvas
Existem vários tipos de ajustes de curvas, onde cada um dos
métodos vai depender do tipo de função a se trabalhar. Eis alguns
dos tipos de ajustes de curvas:
• Ajuste a uma Reta;
• Ajuste a uma Exponencial;
• Ajuste a uma Hipérbole;
• Ajuste a uma Curva Exponencial;
• Ajuste a uma Curva Geométrica.
• Ajuste a um Polinômio;
Nesta aula vamos focar o ajuste a uma reta!

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Ajuste de Curvas
Definição

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Ajuste de Curvas
Definição

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Ajuste de Curvas
Exemplos de Ajuste de Curvas

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Ajuste de Curvas
Exemplos de Ajuste de Curvas

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• Método dos Mínimos Quadrados
Ajuste de Curvas

12. Objetivo
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O objetivo é apresentar o método dos mínimos quadrados
(MMQ) como outra forma de aproximação de funções. Ao contrário
do polinômio interpolador visto nas aulas anteriores, agora não é
necessário que o ajuste passe exatamente por cima dos pontos
ajustados.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

13. Introdução
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Em muitos ramos da ciência, dados experimentais são
utilizados para deduzir uma relação matemática entre as variáveis
que estão sendo medidas.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
O Método dos Quadrados Mínimos é aplicado quando se
tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que
melhor se ajusta a este. Estudando a relação entre duas variáveis,
deve-se inicialmente fazer um gráfico de dados, conhecido como
diagrama de dispersão, o qual irá fornecer uma ideia de qual é a
função aproximada determinada pelos pontos.

14. Introdução
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Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
Como “os valores que uma variável pode assumir estão
associados, além dos erros experimentais, a outras variáveis cujos
valores se alteram durante o experimento” (BARROSO, 1987, p. 323),
é que o Método dos Quadrados Mínimos tem grande aplicação,
pois ajusta estas funções já tabeladas a uma função que represente
uma boa aproximação para os valores já conhecidos.

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Se um certo número de medidas é realizado de uma
mesma quantidade física e se estas medidas estão sujeitas a erros
aleatórios apenas, então a teoria dos mínimos quadrados
estabelece que o valor mais provável da quantidade medida é
aquele que faz a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
Este teorema pode ser aplicado ao caso particular em que
se pretende ajustar uma linha reta a um conjunto de pares
experimentais.

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Através deste método obtém-se valores otimizados dos
parâmetros de uma reta que passa pelos dados plotados em
gráficos no papel milimetrado. O método funciona assim:
Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
A equação acima representa o valor esperado (ou valor
mais provável) para a variável y. Ver figura a seguir:

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Representação gráfica.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

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As estimativas de mínimos quadrados das constantes a e b
são então aqueles valores de a e b que tornam mínima a expressão.
Logo:
Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
(I)

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Os melhores valores para as constantes a e b podem então
ser encontrados diferenciando-se a equação anterior com respeito
a a e b, respectivamente, e igualando-se os resultados a zero
(condição de mínimo). Assim, temos:
Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
(II)
(III)
Conhecidas também por equações normais adaptadas!

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Definição.
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
(IV)

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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X 10 20 30 40 50 60 70 80
y 2 5 6 7 10 13 14 15
De (I), temos:

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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
n = 8
----- 10 2 20 100 4
----- 20 5 100 400 25
----- 30 6 180 900 36
----- 40 7 280 1600 49
----- 50 10 500 2500 100
----- 60 13 780 3600 169
----- 70 14 980 4900 196
----- 80 15 1200 6400 225
360 72 4040 20400 804

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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X 10 20 30 40 50 60 70 80
y 2 5 6 7 10 13 14 15
Resolvendo o sistema de equações de (II) e (III), obtemos para a e
b:
a = 0,191 e b = 0,428

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Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de
oito pontos experimentais:
Gráfico:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
No Excel ® é possível realizar essa plotagem com facilidade!

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• Exemplos
Ajuste de Curvas

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Exemplo 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
experimentais:
Solução:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0
y 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8
Quadro!

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Exemplo 3: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
experimentais:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X 2 3 5 7 9 12 14
y 2,6 2,0 4,30 3,25 5,0 4,32 5,10
Solução:
Quadro!

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• Exercícios
Ajuste de Curvas

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Exercício 1: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
experimentais:
Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados
X -1,0 -0,1 0,2 1,0
y 1,0 1,099 0,808 1,0
Exercício 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos
experimentais:
X 50 60 70 80
y 10 13 14 15

30. Assuntos da 2ª V.C
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• Interpolação Linear;
• Interpolação pelo método de Lagrange;
• Integração numérica: Regra dos Trapézios e Simpson (1/3 e 3/8);
• Quadratura Gaussiana;
• Ajuste de curvas: Método dos Mínimos Quadrados.

31. Referências Bibliográficas
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ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com
apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.
BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo
Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.
CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..
Mc. Graw-Hill. 1990.
CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª
Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.
SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária
da UFPE, 2006.