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Seminario metodología de la investigación científica Ignacion Méndez

  1. 1. 1   Los conceptos de Población y su relación con Objetividad y Probabilidad.   Colegio de Posgraduados 50 años de la Maestría en Estadística. 1964-2014 Colegio de Posgraduados 28 de febrero de 2014 San Miguel de Allende, Gto. Colg -Ignacio Méndez Ramírez. IIMAS UNAM. -Hortensia Moreno Macías. UAM-I. -Chiharu Murata. INP - Ignacio Méndez Gómez Humáran. CIMAT Ags. -Felipe de Jesús Zaldívar López. GAMI (por invitación)  
  2. 2. 2   La estadística es un valioso auxiliar en la investigación. Se conoce poco el marco filosófico, epistemológico de sus fundamentos. Se presentan algunas ideas respecto a la situación epistemológica de conceptos básicos en todas las investigaciones que usan la estadística. Tales como población, objetividad, probabilidad, entre otros.
  3. 3.   3  
  4. 4. Se conjugan los conceptos de Población, Objetividad y Probabilidad de acuerdo al uso frecuente de las aplicaciones de la estadística. Se parte de la diferenciación de las poblaciones en Finitas e Infinitas. También se considera el proceso de obtención de muestras, así como conceptos de probabilidad adecuados en cada caso y su estatus en relación a la objetividad.   4  
  5. 5. 5  
  6. 6. Objetivo. No depende de la voluntad de los investigadores. “es como es”. “Así salió”. Es un reflejo de la “realidad”. Nos informa sobre como es el mundo. Es comunicable y esta abierto a la crítica Ejemplos: Se mide la estatura del próximo estudiante, se determina la diversidad de plantas en una hectárea de bosque. Se observa la evolución de un paciente. Se toma una muestra de 400 individuos de la población de habitantes en México y se obtiene un estimado de la proporción de obesos. En todos los casos los investigadores no determinan el resultado. 6  
  7. 7. Subjetivo. Si depende de la voluntad de los investigadores. Es lo que nos parece, lo que nos gusta, lo que creemos que conviene. Se elige arbitrariamente dentro de una gama de posibilidades. Ejemplos: Elección de carrera para estudiar o de esposa. ¿Qué película ir a ver? Planteamiento de un problema de investigación Selección de un método para medir algo. Selección de un diseño de investigación. En todos los casos hay arbitrariedad en la elección o formulación, es al “gusto” de los investigadores. (aun que en ocasiones las opciones son limitadas) 7  
  8. 8. 8  
  9. 9. Subjetivamente especificar: 1.- Qué elementos son Ui. Unidades observacionales o unidades experimentales. (Viviendas, Arboles, Pacientes, etc.) 2.- Qué características son comunes a todos los elementos. ABCD. Automáticamente pueden variar un numero potencialmente infinito de factores EFG….. 3.- Qué variables se quieren medir en las unidades Y, X, …Z. (numéricas, pesos tallas, ingresos, duración de vida, presión arterial sistólica, etc.), o categóricas (sexo, derechohabiente, con pisos de tierra, etc.) 4.- Qué procedimiento se usará para obtener la medición de las variables. A cada Ui se le asocia un valor o una categoría. 9  
  10. 10. Los aspectos 1 a 4 son subjetivos, se determinan según criterios, teorías, preferencias, recursos, objetivos de los investigadores, etc. (puede haber intersubjetividad en el método, se acuerda el protocolo entre varios investigadores). 5.- Resultados objetivos. (son básicos, a partir de ellos se tienen parámetros, distribuciones, etc.). Los valores particulares de las variables en cada unidad Ui, estos son Yi, Xi, …,Zi. Son objetivos, el investigador no los determina según su conveniencia. Son los que ocurrieron en la realidad. 10  
  11. 11. La variabilidad entre los valores de las variables se conceptualiza que se debe a la presencia diferencial de los factores no comunes o “fuentes de error”. Una unidad Ui presentó valores particulares Yi, Xi, …, Zi debidos a los factores no comunes Ei,Fi,Gi, … Posición de Popper : determinista epistemológicamente e indeterminista ontológicamente 11  
  12. 12. 12   Ui   Todos tienen A, B , C, D Yi =25, tiene propiedad Q Yj =32, no tiene la propiedad Q Yk =45, tiene la propiedad Q Promedio    poblacional    de  las  Yi  llamado  Y.      distribución    de  probabilidades  poblacional  de  las  Yi     Subjetivo. El investigador d e c i d e a voluntad, o elige de acuerdo a su gusto , intuición y m a r c o t e ó r i c o estos aspectos Los resultados de la mediciones en las Ui no dependen de la voluntad del investigador.   Población finita Hay N elementos Probabilidades clásicas
  13. 13. 13   Ui   Todos tienen A, B , C, D Yi =25, tiene propiedad Q Yj =32, no tiene la propiedad Q Yk =45, tiene la propiedad Q Promedio    poblacional    de  las  Yi  llamado  μ      distribución  de  probabilidades  poblacional  de  las  Yi     Subjetivo. El investigador d e c i d e a voluntad, o elige de acuerdo a su gusto y marco t e ó r i c o e s t o s aspectos Los resultados de la mediciones en las Ui no dependen de la voluntad del investigador.   Fracción disponible Población infinita Es un proceso Probabilidades Propensivistas
  14. 14. N=100 Nazul=70 Nroja=30 Selección al azar de una unidad con igual probabilidad 1/100, para cualquiera de las N. P(azul)=Nazul/N =70/100=0.7 Que sea roja: P(rojo)=Nrojo/N =30/100=0.3. Son desconocidas pero reales La  probabilidad  de   que  la  Ui  seleccionada   sea  Azul  :   Se  aplica  la  definición   clásica  de  probabilidad.   Casos  favorables/casos   posibles   14  
  15. 15. N=100 Nazul=70 Nroja=30 Cada extracción de una Ui es un “ensayo de Bernoulli”. Puede ser azul con probabilidad P(azul) P(azul)=Nazul/N =70/100=.7 P(rojo)=Nrojo/N =30/100=.3 Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. p es la probabilidad estimada Representativa p(azul) =P(azul)=0.7 p(roja)=P(roja)= 0.3 Las Probabilidades estimadas son las poblacionales. 15  
  16. 16. Binomial n =10, p=0.7 Muestra representativa 7 azules y 3 rojas La mas probable de todas las muestras 16  
  17. 17. N=100 Nazul=70 Nroja=30 Selección de una unidad con igual probabilidad 1/100, para cualquier unidad P(azul)=Nazul/N =70/100=.7 P(rojo)=Nrojo/N =30/100=.3 Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. No representativa p(azul)=1.0 p(roja)= 0,0 17  
  18. 18. Muestra no representativa 10 azules y 0 rojas Muy improbable   18  
  19. 19. N=100 Nazul=70 Nroja=30 Selección de una unidad con igual probabilidad 1/100, para cualquier unidad P(azul)=Nazul/N =70/100=0.7 P(rojo)=Nrojo/N =30/100=0.3 Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. Casi representativa =p(azul)=0.6 p(roja)= 0.4 19  
  20. 20. Muestra aleatoria con reemplazo de n=10. Casi representativa p(azul)=0.6 p(roja)= 0.4 Probable, aun que menos que la representativa.   20  
  21. 21. Probabilidades estimadas de que sea azul. P(azul)  =0.7   p(azul)   1.0   0.80   0.70   0.60   0.35   0.0   n   Probabilidades estimadas de que sea azul. p(azul) 21   Secuencia  de  esHmaciones  p(azul)  al  incrementar  n  ,  el   tamaño  de  muestra.  Al  aumentar  n  son  cada  vez  mas   probables  las  muestras  representaHvas   P(azul)   p(azul)  
  22. 22. Muestra de n=100,000 elementos con P=0.7 Población con N grande, (10,000,000) N(azul)=7,000,000 y N(rojo)=3,000,000 n  azul     Muestras representativas o casi 69,500 a 70,500 azules Casi con seguridad es representativa probabilidad estimada de azules entre 0.695 o 0.705   22   Se alcanzó la regularidad estadística. Las posibles p están muy cerca de P
  23. 23. 23   La proporción de azules en la población es un parámetro de ella. Es decir es una propiedad objetiva desconocida de la población. P(azul) dadas las Ui con ABCD constante. Si se plantea una variable que valga 1 si la bola es azul y 0 si no. Se conoce esa variable como “indicadora”. Entonces P(azul) es la media de todos los valores 1 o 0 de la variable en cada bola unidad de la población. La proporción poblacional es la media de la variable indicadora y es la probabilidad de que en una extracción salga azul. Proporción  poblacional  =  probabilidad  en   una  extracción=  Media  de  la  variable  indicadora  
  24. 24. Promedio de las caras de un dado El  promedio  poblacional  es  3.5,  este  valor    no  puede  ocurrir  al  lanzar  una  vez   el  dado  Es  una  propiedad  del  arreglo  experimental  para  infinitos  lanzamientos    24   Promedio   muestral   Promedio  poblacional    3.5  
  25. 25. 25   Suponga ahora que la población finita, esta constituida por todas las mujeres que habitan en la república mexicana en 2012, y a cada una se le asocia el numero de hijos que tiene. Serán valores 0,1,2,3,4,……,25. Suponga también que el promedio de todos los valores en la población es 2.3, es llamado µ. Ciertamente ninguna mujer tiene 2.3 hijos. El promedio es una propiedad de la población. El promedio no existe como valor para una mujer, pero si existe y es objetivo para la población. Podemos decir que es objetivo virtual, resultado de la operación de promediar los valores de la variable en la población. Promedio 2.3 hijos por mujer
  26. 26. 26   Si se considera que en las finitas, n es muy pequeño relativo a N (n/N<0.1), entonces la obtención de una muestra aleatoria de la población finita sin reemplazo se acerca a la selección de la muestra con reemplazo o la de una población infinita. En ambos casos se presenta la regularidad estadística, pero en el caso finito, se plantea el concepto de probabilidad clásica. En cambio en el caso infinito se supone la representatividad de la m u e s t ra y s e p l a n t e a l a p r o b a b i l i d a d propensivista.
  27. 27. 27  
  28. 28. Analogía  con   poblaciones   infinitas.    Se  producen   sus  elementos   de  manera   infinita   28  
  29. 29. Se llena cuantas veces se quiera, es la muestra disponible de la población infinita Tres submuestras de tamaño 10 29  El  color  de  cada  bola  es  un  ensayo  de  Bernoulli  
  30. 30. Muestra de n=50 Población Infinita con P=0.7 n  azul     Muestras representativas o casi Frecuencias relativa de azules probabilidad estimada de azules entre 0.68 o 0.72   30   En poblaciones finitas, si n es p e q u e ñ o e n relación a N, con n/N menor que 0.1, se comporta en la práctica como población infinita
  31. 31. Muestra de n=100,000 elementos con P=0.7 Población infinita. Propensión 0.7 n  azul     Muestras representativas o casi frecuencia relativa de azules 0.695 a 0.705 Casi con seguridad se tiene que la probabilidad estimada de azules esta entre 0.696 o 0.705 31   Si  esta  es  una   secuencia  real,  se   considera  que    se   apoya  ,  no  se   rechaza  la  hipótesis   de  que  la   propensión  es     P=0.70   Se  alcanzó   la   regularidad   estadísKca.  
  32. 32. 32   Propensión  de  azul  Pazul=0.7   Propensión  de  azul  Pazul=0.7   Valores  de  n.  Tamaño  de  muestra   0.9 0.8 0.7   0.6   0.5   0.4   0.3   0.2     0.9 0.8 0.7   0.6   0.5   0.4   0.3   0.2     Muestreo de población infinita o finita (con n/N<0.1). Note mucha variación alrededor de P(azul), para muestras pequeñas . 0.7 es la propensión en población infinita 0.7 es la proporción poblacional en la población finita
  33. 33. 33    
  34. 34. 34  
  35. 35. Mundo  1   Mundo  2   Mundo  3   35  
  36. 36. Mundo  1   Mundo  2   Mundo  3   Átomos, moléculas, órganos, neuronas, sinapsis, neurotransmisores, etc. Física, Química, Biología, Sociedad Sentimientos (no observable) y emociones (si observable vía comportamiento). creencias, melancolía, afecto, deseos, “qualia”, ¿ a que sabe el mamey?, etc. Obras de arte, sinfonías, teorías, matemática, leyes, validación, relaciones lógicas, ciencia, etc. Conocimiento compartible. Cultura Conjeturas Hipótesis 36  
  37. 37. ulacion37s   Antonio Damasio “The feeling of what happens”. A Harvest Book. Hartcour, Inc. 1999, p.55 Razonamiento Sentimientos Emociones Regulación básica de la vida Regulaciones metabólicas , reflejos, maquinaria biológica que sustenta dolor, agradable, éxtasis. E s t e r e o t i p o s c o m p l e j o s d e respuesta. Emociones primarias (p.e. tristeza, alegría, dolor, felicidad, miedo, sorpresa). Emociones secundarias y de fondo. Patrones de sensibilidad que s e ñ a l a n d o l o r , a g r a d o , y emociones que se hacen imágenes Planes de respuesta complejos, flexibles y que se formalizan en imágenes conscientes y pueden ser ejecutadas como comportamiento. Retirarse o explicar por que hay dolor. Crítica a teoríasConsciencia
  38. 38. Conjeturas (H) y refutaciones Racionalismo crítico 38   Escoger    elegir  diseño:  ¿Qué   medir?  ¿Cómo?  ¿Usar   bloques?,  ¿cómo?    ¿n  ?   ¿Cuándo  O  no  concuerda   con  E  ?  P<0.05   Conducción  del   diseño,  observación.   Experimento.   Se  observa  O   Contrastación,  comparación  O  vs  E   Concuerdan,  no  se  rechaza  H.      Nuevas  deducciones.   No  concuerdan,  se  rechaza  H.    Nueva  hipótesis  para  los  nuevos  hechos  
  39. 39. Mundo  1   Mundo  2   Mundo  3   Regularidad  EstadísHca  Observada.   Afecto  por  la  aleatoriedad,  intuición  en    problemas   estadísKcos  ,  etc.    Conocimiento  subjeHvo   Sea  P(Ω)=1              P(Ø)=0   0  ≤  P(A)  ≤  1               P(U∞ i=1 Ai )=∑∞ i=1  P(Ai )  con  Ai∩Ai´=Ø      (vacio).  Las   consecuencias  de  los  axiomas  son  objeKvas,  no  las   determina  el  invesKgador.  Están  sujetas  a  la  críKca,   Conocimiento  público,  objeHvo.   39   N.  Kolmogorov   1933  
  40. 40. Mundo  1   Mundo  2   Mundo  3   Regularidad  EstadísHca  Observada.   Para    varias  muestras  grandes  p,  la  proporción  muestral,     cambia  poco  y  está  cerca  de  un  valor  P.   P  es  una  propiedad  de  la  población  .   Conocimiento  objeHvo     Afecto  por  la  aleatoriedad,  intuición  en     problemas  estadísKcos  ,  etc.     Ley de los grandes números. Se conceptualza un proceso infinito que produce elementos , que son ensayos de Bernoulli. Con probabilidad o propensión P de tener una propiedad Q. Entonces Lim n-∞ p=P donde p es la proporción muestral de elementos con la propiedad Q. Demostración abierta al publico y a la crítica. Conocimiento publico objetivo. La P la suponemos. Secuencia virtual to40  
  41. 41. Mundo  1   Mundo  2   Mundo  3   Se produce en la practica un proceso con condiciones de observación o experimentales ABCD, que tiene una frecuencia relativa estabilizada P Regularidad Estadística Observada. Para varias muestras grandes p cambia poco y está cerca de P Afecto por la aleatoriedad, intuición en problemas estadísticos , etc.     Se complementa la ley de los grandes números. Se conceptualiza un proceso con condiciones de observación o experimentales ABCD, que tiene la propensión a producir elementos con una propiedad Q, (azul) en una proporción P. El resultado del teorema no depende de la voluntad del investigador. La P es hipotética 41  
  42. 42. P(Q/ABCD) Propensión a que ocurra Q en condiciones ABCD. Secuencia objetiva virtual P(Q/ABCD)   Frecuencia relativa de Q en condiciones ABCD   n  grande   42   n-∞   Secuencia real objetiva  
  43. 43. En poblaciones infinitas se usa el concepto de probabilidad propensivista de Popper. Que es objetiva virtual. La estadística consiste en tratar de conocer los valores de las probabilidades propensivistas. Se espera que p se acerque a la P desconocida con muestras grandes. Además se recurre a la estadística matemática para valorar el grado de error entre p y P. Así como generalizaciones de esta idea. 43  
  44. 44. 44   Considere una población en la que una variable Y tiene en la población cualquier distribución con media µ y varianza σ2.. Si se toman muchas muestras de tamaño n, se puede imaginar una nueva población cuyos elementos son la diversas muestras y a cada muestra se le asocia el promedio muestral de la variable . Entonces si n es grande la distribución de los promedios (de muchas muestras todas de tamaño n) es normal con media µ y varianza σ2/n. Se llama Error estándar a la raíz cuadrada de σ2/n.
  45. 45. Central  Limit  Effect  –   Histograms  of  sample  means   Sample  means  from  sample  size   n=1,  n=2,     500  samples   0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n = 2n = 1 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (a) Exponential 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 n = 2n = 1 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 6 (a) Exponential 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Area  =  1   ExponenKal  DistribuKon   ),0[, ∞∈− xxe 45  
  46. 46. Central  Limit  Effect  -­‐-­‐  Histograms  of  sample   means   n = 4 n = 10 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.2 0.4 0 1 2 0.0 0.4 0.8 1.2 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 0.0 0.2 John Wiley & Sons, 2000. n = 4 n = 10 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 0 1 2 0.0 0.4 0.8 1.2 0 1 2 3 0 2 4 6 8 0 0 1 2 3 4 0.0 0.2 n Wiley & Sons, 2000. ExponenKal  DistribuKon   Sample  sizes  n=4,  n=10   46  
  47. 47. Central  Limit  Effect  –   Histograms  of  sample  means   Sample  means  from  sample  size   n=1,  n=2,     500  samples   0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 n = 2n = 1 n = 4 n = 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 (b) Quadratic U n = 2n = 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 8 1.0 (b) Quadratic U Quadratic U Distribution Area  =  1   ( ) ]1,0[,12 2 2 1 ∈−= xxY 47  
  48. 48. Central  Limit  Effect  -­‐-­‐  Histograms  of  sample   means   n = 4 n = 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 1 n = 4 n = 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 .0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 Quadratic U Distribution Sample sizes n=4, n=10 48  
  49. 49. With  large  enough  np,  Binom(n,  p)  is   normal,  N(np,  sqrt(npq))   n=3 p=0.5 n=10 n=100 49  
  50. 50. Como consecuencia del Teorema Central de Limite, si se trata de estimar P, o en el caso general si se trata de estimar un parámetro θ, el intervalo de confianza es: Una consideración epistemológica, es que P, (θ) tiene una existencia real como una propiedad de la población como un todo, dada la definición clásica de probabilidad en poblaciones finitas, aunque su valor no se conoce. Sin embargo al considerar las posibles muestras de tamaño n, se recurre a la probabilidad frecuentista, las posibles muestras son, en la práctica, infinitas. Cuando se trata de poblaciones infinitas se conceptualiza la probabilidad propensivista ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ1.96 1.96 0.95P V Vθ θ θ θ θ⎛ ⎞− ≤ ≤ + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 50  
  51. 51. Se conceptualiza que con cada muestra se construye un intervalo, esos intervalos cubren el verdadero valor de θ en el 95% de los casos. Entonces el intervalo particular obtenido con una muestra de tamaño n, es uno de esa población de intervalos, pero ese intervalo particular cubre el valor del parámetro o no. Se tiene una situación donde se le asocia a un elemento de la población la probabilidad poblacional de un evento. La probabilidad como estabilización de frecuencias relativas es una propiedad de la población, no de un elemento de la misma. Se usa la probabilidad propensivista, la que si es aplicable a casos únicos. 51  
  52. 52. Para aplicar estas ideas a las distribuciones de probabilidades (o de densidad); tanto en poblaciones finitas (n/N<0.1) como en infinitas, se considera que a cada unidad Ui se le asocia una variable numérica Y, con un número grande de posibles valores Yi. De manera que para las variables numéricas con muchos valores (continuas) en la población como un todo, se pueden especificar intervalos de valores (h=1,2… L, usualmente L es grande 15 o 20). Para cada intervalo se plantea una variable indicadora que vale 1 si la Ui tiene un valor de Y en el intervalo h. 52  
  53. 53. Entonces la proporción o probabilidad como propensión poblacional Ph es la que se obtiene al aplicar la definición de propensión para ese intervalo h. Al considerar esos intervalos en forma simultánea se tendrá la distribución de probabilidades propensivistas de esa variable continua en la población; la distribución queda especificada por los valores de Yh en cada intervalo y sus propensiones Ph. Cualquier función de los valores de Yh y Ph, con h=1, …L como la media, varianza, etc. (los llamados parámetros θ), queda especificada por la distribución de probabilidades propensivista 53  
  54. 54. Niñas de 14 años, escuelas del DF y del Oro Mex. Distribución de CLDL. N crece de 30, 50, 70, 86. Observe estabilización de las Ph. 54   Ph Ph ph ph estabilización de las Ph  
  55. 55. Probabilidades en poblaciones infinitas anidadas •  Un   elemento   Ui   puede   pertenecer   a   varias   poblaciones   con   grado  decreciente  de  generalidad.  Así  se  puede  plantear  las   poblaciones   anidadas   con   factores   comunes,   ABC,   ABCD,   ABCDE,  ABCDEF.   •  Si  hay  información  respecto  a  la  probabilidad  propensivista  en   muestras   “grandes”,   de   que   Ui   tenga   una   propiedad   Q   en   poblaciones   ABC,   ABCD   se   usa   la   que   tenga   mas   factores   comunes.  Si  además  hay  información,  aun  que  sea  subjeKva,   de   cómo   se   modifica   la   probabilidad   de   Q,   de   acuerdo   a   la   experiencia   y   conocimientos   del   invesKgador,   se   usan   para   modificar  la  probabilidad  de  Q  en  ABCD,  y  pasar  a  la  población   ABCDEF,   aun   que   esta   ulKma   no   exista.   En   este   caso   ya   se   trata  de  probabilidad  subjeKva.   55  
  56. 56. •  Anidamiento  de  poblaciones   56   Hombres  adultos    AB   P(muerte  50-­‐51)/AB)   Juan  Pérez  ¿  muere   entre  los  50  y  los  51   años?   Hombres,  adultos,   fuman    ABC   P(muerte  50-­‐51)/ABC)   Hombres,  adultos,  fuman  ,     colesterol  alto  ABCD   P(muerte  50-­‐51)/ABCD)   Probabilidades  propensivistas   estudiadas  en  muestras  grandes   Hombres,  adultos,  fuman  ,     colesterol  alto,  abuelos  y   padres  longevos  ABCDE   P(muerte  50-­‐51)/ABCDE)   Hombres,  adultos,  fuman  ,     colesterol  alto,  abuelos  y  padres   longevos  ,  nadadores  ABCDEF   P(muerte  50-­‐51)/ABCDEF)   Probabilidades   subjeKvas  
  57. 57. 57  

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