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Relaciones Binarias

Sean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es un
subconjunto del producto
cartesiano A × B, en símbolos, R ⊆ A × B. Si A = B, diremos que R es
una relación binaria
definida en A y se identifica como un subconjunto de A2 = A × A.
Para indicar que un par ordenado (a, b) pertenece a la relación R suele
escribirse aRb, lo
que equivale a (a, b) ∈ R.
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION

Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las
    primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en
    símbolos:
DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algun b ∈ B}
El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares
    ordenados que
pertenecen a R, en sımbolos:
RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algun a ∈ A}
Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R
    entre los conjuntos
A y B dados:
⋄ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, donde A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4}.
⋄ R = {(x, y) ∈ A × B : |x · y| ≤ 6}, donde A = B = Z.
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
             BINARIAS
Sea R una relación binaria definida en A, es decir, R ⊆ A2. Dicha
   relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes
   propiedades:

1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.
2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) /∈ R
3. Simetrıa: R es simetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.
4. Asimetrıa: R es asimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) /∈ R.
5. Antisimetrıa: R es antisimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒
    x = y.
6. Transitividad: R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒
    (x, z) ∈ R.
RELACIONES INVERSAS
Sea R una relacion de A en B. La relacion inversa de R es el subconjunto
   de B×A definido por:
R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R}

COMPOSICI ON DE RELACIONES
Sean las relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, definiremos una relacion de
   A en C, llamada composicion entre R y S, mediante
R ◦ S = {(a, c) ∈ A × C : (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S, para algun b ∈ B}

Propiedades:
1. Si R ⊆ A×B, S ⊆ B×C y T ⊆ C ×D son relaciones, entonces (R◦S)◦T =
    R◦(S ◦T).
2. Si R ⊆ A × B y S ⊆ B × C son relaciones, entonces (R ◦ S)−1 = S−1 ◦
    R−1.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Sea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una
   relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
CLASES DE EQUIVALENCIA Y
                CONJUNTO COCIENTE
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase
    de
equivalencia de x, que se denotara por [x], se define como [x] = {y ∈ A : yRx}.
El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de
    A por
la relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R.

Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a, b, c, d, e} y la relación de equivalencia
    sobre
A determinada por
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (c, e), (e, c)}
se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son
                                             [a] = [d] = {a, d}
                                             [b] = [c] = [e] = {b, c, e}
y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a, d}, {b, c, e}}.
Propiedades: Si R es una relación de equivalencia
  sobre un conjunto A, y x, y ∈ A, entonces:
• . x ∈ [x].
• . xRy ⇔ [x] = [y].
• . [x] = [y] ´o [x] ∩ [y] = ∅.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS
     RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Si A es un conjunto, entonces
(a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición
   de A; y
(b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R
   sobre A.
Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo,
   es claro que el conjunto
cociente A/R = {{a, d}, {b, c, e}} es una partición del conjunto A =
   {a, b, c, d, e}.
Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por
   ejemplo, {{a, b}, {c, e}, {d}},
se tiene que ´esta representa al conjunto cociente A/¯R, donde
   ¯R es la relación de equivalencia sobre A determinada por
R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c)}
RELACIONES DE ORDEN
Sea R una relación binaria definida sobre un
   conjunto A. Diremos que R es una relación de orden.
⋄ Parcial: si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva.
⋄ Total: si R es una relación de orden parcial y si para todo x, y ∈ A se
   cumple que (x, y) ∈ R
o (y, x) ∈ R.
⋄ Estricto: si R es irreflexiva, asimetrica y transitiva.
Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1, 2, 3} y las relaciones
(a) R1 = {(a, b) ∈ A2 : a| b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} es
    reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R1 es una relación de
    orden parcial. Sin embargo, como 2, 3 ∈ A,
pero (2, 3) /∈ R1 y (3, 2) /∈ R1, entonces R1 no es una relación de
    orden total.
(b) R2 = {(a, b) ∈ A2 : a 6 b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} ES
    reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R2 es una relación de
    orden parcial. Además, para todo
x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R2 o (y, x) ∈ R2, por lo que R2 es una
    relación de orden
total.
(c) R3 = {(a, b) ∈ A2 : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es
    irreflexiva, asimetrica y transitiva, por lo que R3 es una relación de
    orden estricto.

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  • 1. Relaciones Binarias Sean A y B dos conjuntos. Una relación R entre A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B, en símbolos, R ⊆ A × B. Si A = B, diremos que R es una relación binaria definida en A y se identifica como un subconjunto de A2 = A × A. Para indicar que un par ordenado (a, b) pertenece a la relación R suele escribirse aRb, lo que equivale a (a, b) ∈ R.
  • 2. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACION Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos: DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algun b ∈ B} El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en sımbolos: RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algun a ∈ A} Ejercicios: Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones R entre los conjuntos A y B dados: ⋄ R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, donde A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 4}. ⋄ R = {(x, y) ∈ A × B : |x · y| ≤ 6}, donde A = B = Z.
  • 3. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Sea R una relación binaria definida en A, es decir, R ⊆ A2. Dicha relación puede clasificarse de acuerdo con las siguientes propiedades: 1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R. 2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) /∈ R 3. Simetrıa: R es simetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R. 4. Asimetrıa: R es asimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) /∈ R. 5. Antisimetrıa: R es antisimetrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y. 6. Transitividad: R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.
  • 4. RELACIONES INVERSAS Sea R una relacion de A en B. La relacion inversa de R es el subconjunto de B×A definido por: R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R} COMPOSICI ON DE RELACIONES Sean las relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, definiremos una relacion de A en C, llamada composicion entre R y S, mediante R ◦ S = {(a, c) ∈ A × C : (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ S, para algun b ∈ B} Propiedades: 1. Si R ⊆ A×B, S ⊆ B×C y T ⊆ C ×D son relaciones, entonces (R◦S)◦T = R◦(S ◦T). 2. Si R ⊆ A × B y S ⊆ B × C son relaciones, entonces (R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1.
  • 5. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Sea R una relación binaria en un conjunto A. Diremos que R es una relación de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva.
  • 6. CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase de equivalencia de x, que se denotara por [x], se define como [x] = {y ∈ A : yRx}. El conjunto formado todas estas clases de equivalencias se llama conjunto cociente de A por la relación de equivalencia R. A este conjunto lo denotaremos por A/R. Ejemplo: Si consideramos el conjunto A = {a, b, c, d, e} y la relación de equivalencia sobre A determinada por R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (c, e), (e, c)} se tiene que las clases de equivalencia que esta relación determina son [a] = [d] = {a, d} [b] = [c] = [e] = {b, c, e} y el conjunto cociente A/R viene dado por {{a, d}, {b, c, e}}.
  • 7. Propiedades: Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, y x, y ∈ A, entonces: • . x ∈ [x]. • . xRy ⇔ [x] = [y]. • . [x] = [y] ´o [x] ∩ [y] = ∅.
  • 8. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Si A es un conjunto, entonces (a) toda relación de equivalencia R sobre A induce una partición de A; y (b) toda partición de A da lugar a una relación de equivalencia R sobre A. Ejemplo ilustrativo: Nótese que, si retomamos el ejemplo previo, es claro que el conjunto cociente A/R = {{a, d}, {b, c, e}} es una partición del conjunto A = {a, b, c, d, e}. Por otro lado, si consideramos otra partición de A como, por ejemplo, {{a, b}, {c, e}, {d}}, se tiene que ´esta representa al conjunto cociente A/¯R, donde ¯R es la relación de equivalencia sobre A determinada por R= {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c)}
  • 9. RELACIONES DE ORDEN Sea R una relación binaria definida sobre un conjunto A. Diremos que R es una relación de orden. ⋄ Parcial: si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva. ⋄ Total: si R es una relación de orden parcial y si para todo x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R o (y, x) ∈ R. ⋄ Estricto: si R es irreflexiva, asimetrica y transitiva.
  • 10. Ejemplos: Si consideramos al conjunto A = {1, 2, 3} y las relaciones (a) R1 = {(a, b) ∈ A2 : a| b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)} es reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R1 es una relación de orden parcial. Sin embargo, como 2, 3 ∈ A, pero (2, 3) /∈ R1 y (3, 2) /∈ R1, entonces R1 no es una relación de orden total. (b) R2 = {(a, b) ∈ A2 : a 6 b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} ES reflexiva, antisimetrica y transitiva, por lo que R2 es una relación de orden parcial. Además, para todo x, y ∈ A se cumple que (x, y) ∈ R2 o (y, x) ∈ R2, por lo que R2 es una relación de orden total. (c) R3 = {(a, b) ∈ A2 : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es irreflexiva, asimetrica y transitiva, por lo que R3 es una relación de orden estricto.