relaciones binarias para jóvenes cachimbos de la universidad

1. Relaciones Binarias
Raul Corilla
Matemática básica

2. Propósito
• Sea capaz de construir relaciones binarias en
un mismo conjunto , con conceptos básicos
de matemática y por extensión con objetos
del entorno, en el cual actúan, desarrollando
el aprendizaje colaborativo

3. PRODUCTO CARTESIANO
 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B,
denotado A × B, es el conjunto de todos los
posibles pares ordenados cuyo primer componente
es un elemento de A y el segundo componente es
un elemento de B.
A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }
 Ejemplo:
Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
Note que
A tiene 3 elementos
B tiene 2 elementos
A x B tiene 6 elementos. 3

4. RELACION BINARIA
Ejemplos
 Hay casos en que no todos los pares
ordenados de un producto cartesiano de dos
conjuntos responden a una condición dada.
4

5. RELACION BINARIA
 Se llama relación binaria entre los conjuntos
A y B a un subconjunto del producto
cartesiano A x B.
 Este puede estar formado por un solo par
ordenado, varios
o todos los que forman
parte de A x B.
5

6. RELACIONES
 Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos
de A con los de B
b está
relacionado
con 1
3 es la imagen
de d
6

7. DOMINIO DE UNA RELACIÓN
 Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R 
Dom(R) = {b, c, d}
IMAGEN DE UNA O RANGO
RELACIÓN
Im(R) =  y / yB  (x,y) R 
Im(R) = {1, 3, 4}

8. RELACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO
 Cuando los conjuntos de partida y de llegada de
una relación R son el mismo conjunto A, decimos
que R es una relación definida de A en A, o,
simplemente, una relación en A.
 Una relación R en A es entonces un subconjunto de
A2 = A x A
8

9. RELACIÓN BINARIA DEFINIDA EN UN CONJUNTO
 Ejemplo:
Sea A = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12} y de plantea las
relaciones R de A en A.
R1: “x es la mitad de y”
R = { (2;4); (3;6); (4;8); (6;12)}
 Resolver las relaciones R2, R3,
R2: “x es el doble de y”
R3: “x es divisor y” 9

10. R4: “x es múltiplo de y” sin considerar consigo mismo
R = {(8,4);(12;4);(12,6);(18;6);(18;9)}
 R5: “x es el cuadruplo de y”
 R6: “x es primo entre si con y”
R = { (4;9);(4;15); (8,9); (8;15)}
 R7: “x es el triple de y”
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11. REPRESENTACIÓN DE UNA RELACIÓN
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
Para poder construir el grafo dirigido A debe contener
un número finito de elementos
Los vértices del
grafo son los
elementos A y las
aristas dirigidas
representan los
elementos de R
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12. REPRESENTACIÓN DE UNA RELACIÓN
 Sea A = { a , b , c , d} y
R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }
R puede representarse como matriz donde 1 indica
que hay relación y 0 que no hay relación
12

13. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS
EN UN CONJUNTO
 Si establecemos una relación entre los
elementos de un mismo conjunto, existen
cuatro propiedades fundamentales que
pueden cumplirse en esa relación
Propiedad reflexiva
Propiedad simétrica
Propiedad antisimétrica
Propiedad transitiva
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14. PROPIEDAD REFLEXIVA
 La propiedad reflexiva dice que todos los
elementos de un conjunto están relacionados
con si mismo
R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R 14

15. EJEMPLOS
 Sea B = { 4, 6, 8, 9, 12} y se plantea las relaciones R
de B en B.
R es reflexiva
R = {(4;4); (6;6); (8;8); (9;9); (12;12)}
 Sea C = { a, b, c, d} y se plantea las relaciones R de C
en C.
R es reflexiva
R = {(a;a); (b;b); (c;c); (d;d)}
o Sea D = { m, n, 1, 2} y se plantea las relaciones R de
D en D.
o R es reflexiva
o R= {(a;a); (b;b); (c;c); (d;d)}
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16. PROPIEDAD SIMÉTRICA
 La propiedad simétrica dice que si un elemento
está relacionado con otro, éste segundo también
está relacionado con el primero
R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par
(y,x) también pertenece a R 16

17. PROPIEDAD SIMÉTRICA
 Ejemplo
 Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en
A2 son simétricas
R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}
S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}
T = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}
17

18. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA
 Una relación es
antisimétrica cuando sólo
cumplen la propiedad
simétrica los pares de
elementos iguales y no la
cumplen los pares
formados por distintos
elementos.
 Una relación es
antisimétrica si ningún
par ordenado de la
relación cumple la
propiedad simétrica.
18

19. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en
A2 son antisimétricas
R = {(2, 2), (4, 4)}
S = {(2, 4)}
T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}
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20. PROPIEDAD TRANSITIVA
 La propiedad transitiva dice que si un elemento
está relacionado con otro y éste está a su vez
relacionado con un tercero, el primer elemento
está relacionado con el tercero.
R es transitiva si
x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R
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21. PROPIEDAD TRANSITIVA
 Ejemplo
 Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en
A2 son transitivas
R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}
S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}
T = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}
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22. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
 Diremos que una relación binaria sobre A, es una
relación de equivalencia si satisface las tres
propiedades:
 R es reflexiva
 R es simétrica
 R es transitiva
 Ejemplos:
Sea R = { Pedro, Juan, Andrés}; pasajeros de un avión
se cumple que R:
1) Es reflexiva porque cada uno compra su pasaje.
(P;P), (J;J),(A;A)
2) Es simétrica porque Pedro viaje en el mismo avión
que Juan y Juan viaja en el mismo avión que
Pedro………..
(P;J), (J;P),(P;A),(A;P),(J;A),(A;J)
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23. 3) Es Transitiva porque Pedro viaje en el mismo
avión que Juan y Juan viaja en el mismo avión que
Andrés, entonces pedro viaja en el mismo avión que
andrés.
(P;J), (J;A) →(P;A)
En resumen R es de equivalencia si cumple las tres
propiedades
R={(P;P), (P;J), (J;P), (J;J), ),(A;P),(A;A),(P;A), (J,A)
(A;J)
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24. RELACIÓN DE ORDEN
 Diremos que una relación binaria sobre A, es una
relación de orden total si satisface las tres
propiedades:
 R es antisimétrica
 R es transitiva
En este caso diremos que el conjunto A está
totalmente ordenado
Ejemplos:
1) En D60 , el conjunto de todos los divisores de 60,
la relación
R definida por: a R b  a divide a b.
2) En R, la relación definida por a R b  a  b.
Demuestra que estas son relaciones de orden. 24

25. NOTA
 La igualdad de números naturales cumple una
relación de equivalencia.
 La congruencia de triángulos mantiene una relación
de equivalencia
 La relación menor para números naturales no tiene
una relación de equivalencia, no es reflexiva ni
simétrica..
 La relación “amigo de” no es una relación de
equivalencia; no es necesariamente transitiva.
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