Gestão de stocks com política de revisão cíclica

Gestão de Stocks

Gestão e Teoria da Decisão

Exercício 16 - Enunciado

Política da revisão cíclica

Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado
internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo
(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade
deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.
A empresa pretende adoptar a política da revisão cíclica, com um perído de revisão (intervalo de tempo
entre encomendas) de 4 semanas. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com
uma distribuição normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.
a) Se for definido um nível de enchimento de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura?
b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de enchimento recomendaria?
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade
em falta, determine em que condições o nível de enchimento de 900 unidades é preferível em relação ao
determinado na alínea b).
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de
enchimento que recomendaria?
e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a
1
política do nível de encomenda), compare os resultados obtidos e comente.

T+τi+2
T+τi+1

I(t)

Ciclo (i+1)

Ciclo i

Ciclo (i+2)

...

M

Qi+1

Qi =M - I(ti)

Qi

...
Si

0

S=M-µX

Si+1

ti
τi

τi+1

τi+2

Si+2

t

...
T

T

M – Nível de enchimento
τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i
T – Período ou comprimento do ciclo i
Qi – Quantidade encomendada --- e recebida –––

T
Nota
O nível M (stock em mão mais o encomendado
no instante, ti, em que é feita a revisão cíclica)
tem que cobrir as necessidades até ao instante
em que a encomenda, colocada no ciclo (i+1)
seguinte, chega.

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Exercício 16 - Resolução



Dados do problema (Unidade de tempo: 1semana; 1 ano = 52 semanas)
Custo fixo de encomenda, A = 100 €/encomenda;
C2 = 26 €/unid./ano = 0.50 €/unid./semana;

Custos de posse,

Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), T = 4 semanas
Procura por unidade de tempo (determinística): r = 100 unid./semana, σ r = 0;
Tempo de reposição/entrega (aleatória):

τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 4 semanas e σ τ = 1 semana;

Modelação da procura, X , durante o tempo total (T + τ )
a

X ∼N ( µ X ,σ X ) ,

Nota

com

τ ' = T +τ ,

µ X = r × (T + τ ) = 100 × ( 4 + 4 ) = 800 unid.
σ

2
(T +τ )

σX =
=

= σ τ ( vidé Nota )
2

(T + τ ) × σ

2
r

2

2

+ r × στ

( 4 + 4 ) × 0 + 1002 × 12

= 100 unid.

τ ' = E {T + τ } = T + τ ,

{

2

} {

σ (2T +τ ) = E (τ ' − τ ' ) = E (T + τ − (T + τ ) )

{

= E (τ − τ

) } = σ τ2
2

3

2

}

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a) Se for definido um nível de enchimento M, de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura, α?

Dado nível de enchimento M = 900 unid., calcular probabilidade de rotura, α
X − µX
900 − µ X 900 − 800
α =P ( X > M ) = P ( X > 900 ) = P ( Z > z ) , com Z =
ez=
=
=1
σX
σX
100
P ( Z > 1) = 1 − P ( Z ≤ 1)
= 1 − Φ (1)
= 1 − 0.8413 = 0.1587
∴α = 0.1587 (15.9%)
b) Caso se pretenda um risco de rotura, α, da ordem dos 5%, que nível de enchimento M recomendaria?

Dado α ≅ 0.05, calcular nível de enchimento M
Determinar valor de M , M α , tal que P ( X > M α ) = α
P ( X > M α ) = P ( Z > zα ) , com Z =

X − µX

σX

e zα =

Mα − µX

σX

P ( Z > zα ) = 1 − P ( Z ≤ zα ) ⇒ 1 − Φ ( zα ) = α ⇒ Φ ( zα ) = 1 − α ⇒ Φ ( zα ) = 0.95
⇒ zα = Φ −1 ( 0.95 ) ⇒ zα ≅ 1.65
zα =

Mα − µX

σX

⇒ M α = µ X + σ X zα = 800 + 100 × 1.65 = 965 unid.

4

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c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).


Que C3' torna M = 900 unid. preferível a M = 965
Custos totais por unidade de tempo (ano)
A ( r × 52 )
Q
K (M ) ≅
+ C2 ×  + M − µ X
Q
2

'
 C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q


 M − µX 
,
σX 

ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
com quantidade média em falta η ( M ) = ∫

∞

( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ 
M

Q = Q ≅ T × r = 4 × 100 = 400 unidades
Custos totais por unidade de tempo para M =900 unidades
 900 − 800 
 = 100ξ (1.0 ) = 100 × 0.0829 = 8.29
 100 
'
100 × (100 × 52 )
 400
 C3 (100 × 52 )
K (900) =
+ 26 × 
+ 900 − 800  +
×η (900)
400
2
400



η (900) = 100ξ 

'
100 × (100 × 52 )
 400
 C3 (100 × 52 )
=
+ 26 × 
+ 900 − 800  +
× 8.29 = 9100 + 107.8C3'
400
400
 2


5

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Custos totais por unidade de tempo para M =965 unidades

 965 − 800 
 = 100ξ (1.65 ) = 100 × 0.0213 = 2.13
 100 
'
100 × (100 × 52 )
 400
 C3 (100 × 52 )
K (965) =
+ 26 × 
+ 965 − 800  +
×η (965)
400
400
 2


η (965) = 100ξ 

=

100 × (100 × 52 )
400

'
 400
 C3 (100 × 52 )
+ 26 × 
+ 165  +
× 2.13
2
400



= 10790 + 27.7C3'
Condição de preferência
M = 900 preferível ⇒ K (900) < K (965)
K (900) < K (965) ⇒ K (900) − K (965) < 0

⇒ 9100 + 107.8C3' − (10790 + 27.7C3' ) < 0
⇒ −1689 + 80.1C3' < 0 ⇒ C3' <

1689
= 21.09 €/unid.
80.1
6

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Generalização
Condição de preferência de M 1 sobre M 2 ⇔ K ( M 1 ) < K ( M 2 )
A ( r × 52 )
A ( r × 52 )
Q
 C3' ( r × 52 )
Q
 C3' ( r × 52 )
⇒
+ C2 ×  + M 1 − µ X  +
×η ( M1 ) <
+ C2 ×  + M 2 − µ X  +
×η (M 2 )
Q
Q
Q
Q
2

2

C3' ( r × 52 )
C3' ( r × 52 )
⇒ C2 × ( M 1 − µ X ) +
× η ( M 1 ) < C2 × ( M 2 − µ X ) +
×η (M 2 )
Q
Q
C3' ( r × 52 )
⇒ C2 × ( M 1 − M 2 ) +
× (η ( M 1 ) − η ( M 2 ) ) < 0
Q
⇒ C3' <

C2 × ( M 1 − M 2 ) × Q
( r × 52 )(η ( M 1 ) − η ( M 2 ) )

7

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d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria?


Calcular valor a recomendar para M , M * , dado Q = Q = 400 unidades.
O valor a recomendar é a solução do Problema de optimização
A ( r × 52 )
Q
min. K ( M ) ≜
+ C2 ×  + M − µ X
M
Q
2

 C3' ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q

cuja solução M * é o ponto estacionário da função K ( M ), que satisfaz a equação seguinte:
CQ
h( x)dx = ' 2
, ou a equação
∫M *
C3 ( r × 52 )
∞

Por definição

∫

M*

−∞

∫

M*

−∞

h( x)dx = 1 −

C2 Q
.
'
C3 ( r × 52 )

h( x)dx = P ( X ≤ M * )

Introduzindo a mudança de variável Z =

X − µX

σX

, vem P ( X ≤ M

*

) = P ( Z ≤ z ) , com
*

*

z =

M * − µX

σX

pelo que

∫

M*

−∞

h( x)dx = 1 −

C2 Q
CQ
⇔ P ( Z ≤ z* ) = 1 − ' 2
C3' ( r × 52 )
C3 ( r × 52 )
8

,

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Se X ∼ N

( µ X ,σ X ) , P ( Z ≤ z

*

) = Φ ( z ) (Valores Tabela) e ∫
*

M*

−∞

h( x)dx = 1 −

C2 Q
é equivalente a
C3' ( r × 52 )

C2 Q
M * − µX
*
, com z =
Φ( z ) = 1− '
C3 ( r × 52 )
σX
*

Resolvendo

CQ 
z * = Φ −1 1 − ' 2

C3 ( r × 52 ) 


CQ 
M * = µ X + σ X z * = µ X + σ X Φ −1 1 − ' 2
 e
C3 ( r × 52 ) 


C2 Q 
S = M − µ X = σ X Φ 1 − '

C3 ( r × 52 ) 

*

−1

9

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Cálculos
1.Φ ( z * ) = 1 −

C2 Q
26 × 400
2
=1−
= 1−
= 1 − 0.08 = 0.92
C3' ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
25

Φ ( z * ) = 0.92 ⇒ z * = Φ −1 ( 0.92 ) ≅ 1.405

*

2. z =

M * − µX

σX

⇒ M * = µ X + σ X × z * = 800 + 100 × 1.405 = 940.5 unidades

∴ M * = 940 unidades

10

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e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda),
compare os resultados obtidos e comente.


Quadro resumo dos resultados
Política do nível de encomenda
(Exercício 11)

(Exercício 16)

α = 5%

Procura no tempo τ = 4 semanas
Nível de encomenda M = 565
Stock de segurança S = 565-400=165
Quantidade encomendada Q = 400
Stock médio = 365

Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas
Nível de enchimento M = 965
Stock médio =365

C3' = 25 € /unid.

Procura no tempo τ = 4 semanas
Nível de encomenda M = 540
Stock de segurança S=540-400 = 140
Stock médio = 340

Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas
Nível de enchimento M = 940
Stock médio = 340

Q
+S
2
Conclusão: Não há diferenças nos stocks de segurança nem nos stocks médios, o que é de esperar pois
não há diferença na variabilidade da procura, ou seja, em ambos os exercícios (políticas) o desvio
padrão da procura nos tempos τ = 4 semanas e (T+τ) = 8 semanas são iguais e S = σ X Φ −1 (1 − α ) 11
Stock médio =

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e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda),
compare os resultados obtidos e comente.

Análise comparativa das duas políticas
( Dados : r , σ r , τ , σ τ , α , T ou Q, A, C2 , C3' )
Política do nível de encomenda (PNE)

Política de revisão cíclica (PRC)

Procura X no tempo τ
(tempo de reposição)

Procura no tempo (T+τ )
(Período de revisão + tempo de reposição)

( µ X ) PNE = r × τ

(σ )
2
X

PNE

2
r

( µ X ) PRC = r × (T + τ ) = r × T + r × τ = ( µ X ) PNE + T × r
2

(σ )
2
X

2

= τ × σ + r × στ

S PNE = M − ( µ X ) PNE = (σ X ) PNE Φ

2
= (T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ τ2 = (σ X )

(σ )
2
X

M PNE = µ X + σ X zα = µ X + σ X Φ −1 (1 − α )
−1

PRC

(1 − α )

PRC

2
≥ (σ X )

PNE

⇔ (σ X )

PRC

PNE

≥ (σ X )

+ T × σ r2
PNE

M PRC = ( µ X ) PRC + (σ X ) PRC zα = ( µ X ) PRC + (σ X ) PRC Φ −1 (1 − α )
S PRC = M − ( µ X ) PRC = (σ X ) PRC Φ −1 (1 − α )
S PRC ≥ S PNE

Q =T ×r

Q =T ×r

Q
+ S PNE
2

Q
+ S PRC
2
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Exercício 17 - Enunciado


Uma empresa de construção aprovisiona uma artigo que utiliza a uma taxa de 300 unidades por mês. A
cada encomenda está associado um custo (fixo) de 150 €, sendo o tempo de entrega aleatório, com uma
distribuição normal de média 1 mês e desvio padrão 0.25 meses. O custo de aquisição é de 70
€/unidade, enquanto que o custo anual de posse (proporcional ao stock médio) foi estimado em 5% do
custo de aquisição do artigo. Sempre que se verifica rotura, existe um custo de 30 €/unidade em falta.
A empresa adoptou a política da revisão cíclica, com um nível de enchimento de 700 unidades e um
período de revisão de 1 mês.
a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano.
b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com
a periodicidade mensal das encomendas).

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Dados do problema


Custo fixo de encomenda, A = 150 €/encomenda;
Custo de aquisição,

C1 = 70 €/unid.

Custo de posse,

C2 = 0.05 × 70 = 3.50 €/unid./ano;

Custo de rotura,

C3' = 30 €/unid.

Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), T = 1 mês
Procura por unidade de tempo (determinística): r = 300 unid./mês, σ r = 0 unid./mês;

τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 1 mês e σ τ = 0.25 mês;

Tempo de reposição/entrega (aleatória):

Modelação da procura, X , durante o tempo de reposição T + τ
a

X ∼ N ( µ X ,σ X ) ,
com

µ X = r × (T + τ ) = 300 × (1 + 1) = 600 unid.
σ (2T +τ ) = σ τ2
σX =
=

(T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ (2T +τ )
(T + τ ) × 0 + r 2 × σ τ2

=

(T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ τ2

= r × σ τ = 300 × 0.25 = 75 unid.

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a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano.

Dado nível de enchimento M = 700 unid., calcular probabilidade de rotura, α , e quantidade média em


falta, η ( M ) .
Probabilidade de rotura, α

α =P ( X > M ) = P ( X > 700 ) = P ( Z > z ) ,
com Z =

X − µX

σX

e z=

700 − µ X

σX

=

700 − 600 100 4
=
= = 1.3333
75
75 3

P ( Z > 1.3333) = 1 − P ( Z ≤ 1.3333)
= 1 − Φ (1.3333)
= 1 − 0.9087 = 0.0913
∴α = 0.0913 (9.13%)
Quantidade média em falta, η ( M )

η (M ) = σ Xξ ( z)
= 75 × ξ (1.3333) ≅ 75 × 0.043 = 3.225 unid. em falta/ciclo
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b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das
encomendas).


Fixando (mantendo) periodicidade mensal T , recomendar nível de enchimento M , M *
1. Fixar T é equivalente a fixar a quantidade a encomendar em Q = Q = T × r ,ou seja
Q = Q = T × r = 1 × 300 = 300 unid./encomenda(ciclo).
2. O nível de enchimento a recomendar é a solução do Problema de optimização
A ( r × 52 )
Q
min. K ( M ) ≜
+ C2 ×  + M − µ X
M
Q
2

 C3' ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q

cuja solução M * é o ponto estacionário da função K ( M ), que satisfaz a equação seguinte:

∫

M*

−∞

3.∫

h( x)dx = 1 −

M*

−∞

C2 Q
.
C3' r

C2 Q
C2 Q
M * − µX
*
*
h( x)dx = 1 − '
⇒ Φ ( z ) = 1 − ' , com z =
C3 ( r × 52 )
C3 r
σX

16

Gestão de Stocks


b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das
encomendas).


Cálculos
1.Φ ( z * ) = 1 −

C2 Q
3.5 × 300
=1−
= 1 − 0.0097 = 0.9903
C3' ( r × 12 )
30 × ( 300 × 12 )

Φ ( z * ) = 0.9903 ⇒ z * = Φ −1 ( 0.9903) ≅ 2.34

*

2. z =

M * − µX

σX

⇒ M * = µ X + σ X × z * = 600 + 75 × 2.34 = 775.5 unidades

∴ M * = 776 unidades

17

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Notas extras
Quantidade em falta η ( x, M ) ,


( com x procura no tempo de reposição e M

nível de encomenda ou de enchimento )

se x ≤ M
0,
( x − M ), se x > M

η ( x, M ) = 

Quantidade média em falta ( Procura X variável aleatória: X ∼ N

η (M ) = ∫

∞

( x − M ) f ( x)dx = σ X ξ ( z ) ,
M

com z =

( µ X ,σ X ) )

M − µX

σX

Função perdas normal ξ ( u ) estandardizada :
1. ξ ( u ) = ∫

∞

u

( x − u )φ ( x)dx = φ ( u ) − u (1 − Φ ( u ) ) ,

2. ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u

2

2

u
u
−
1 − u2
1
e , Φ ( u ) = ∫ φ ( x)dx, φ '(u ) = −
ue 2 = −uφ (u )
φ (u ) =
−∞
2π
2π

1.ξ ( u ) = ∫

∞

u

∞

∞

∞

( x − u ) φ ( x)dx = ∫u xφ ( x)dx − u ∫u φ ( x)dx = − ∫u φ '( x)dx − u

(1 − ∫

u

−∞

φ ( x)dx

)

∞

= ( −φ ( x) ) u − u (1 − Φ (u ) ) = lim φ ( x) − (−φ (u )) − u (1 − Φ (u ) ) = 0 + φ (u ) − u (1 − Φ ( u ) ) = φ (u ) − u (1 − Φ ( u ) )
x →∞

(

)

2.ξ ( −u ) = φ ( −u ) + u (1 − Φ ( −u ) ) = φ ( u ) + u 1 − (1 − Φ ( u ) ) = φ ( u ) + u + (1 − Φ ( u ) ) = ξ ( u ) + u

c.q.d .
c.q.d .

18

Anexo 1: Distribuição Normal
Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)
1
Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx =
−∞
2π


z

Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4

0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997

0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997

0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997

∫

0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997

z

−∞

e

−

x2
2

dx,

0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

Φ (−z ) = 1− Φ ( z )
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997

Φ( z)
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997

0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998

Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u) estandardizada
ξ (u ) = ∫

+∞

u

( x − u )φ ( x ) dx =

1

+∞

∫ ( x − u)e
2π
u

−

x2
2

dx


ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u
u
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0

0.00
0.39894
0.35094
0.30689
0.26676
0.23044
0.19780
0.16867
0.14288
0.12021
0.10043
0.08332
0.06862
0.05610
0.04553
0.03667
0.02931
0.02324
0.01829
0.01428
0.01105
0.00849
0.00647
0.00489
0.00366
0.00272
0.00200
0.00146
0.00106
0.00076
0.00054
0.00038

0.01
0.39396
0.34635
0.30271
0.26296
0.22701
0.19473
0.16595
0.14048
0.11810
0.09860
0.08174
0.06727
0.05496
0.04457
0.03587
0.02865
0.02270
0.01785
0.01392
0.01077
0.00827
0.00629
0.00475
0.00356
0.00264
0.00194
0.00142
0.00103
0.00074
0.00052
0.00037

0.02
0.38902
0.34181
0.29856
0.25920
0.22362
0.19170
0.16325
0.13810
0.11603
0.09680
0.08019
0.06595
0.05384
0.04363
0.03508
0.02800
0.02217
0.01742
0.01357
0.01049
0.00805
0.00612
0.00462
0.00345
0.00256
0.00188
0.00137
0.00099
0.00071
0.00051
0.00036

0.03
0.38412
0.33731
0.29445
0.25547
0.22027
0.18870
0.16059
0.13576
0.11398
0.09503
0.07866
0.06465
0.05274
0.04270
0.03431
0.02736
0.02165
0.01699
0.01323
0.01022
0.00783
0.00595
0.00449
0.00335
0.00248
0.00183
0.00133
0.00096
0.00069
0.00049
0.00034

0.04
0.37926
0.33285
0.29038
0.25178
0.21695
0.18573
0.15797
0.13345
0.11196
0.09328
0.07716
0.06336
0.05165
0.04179
0.03356
0.02674
0.02114
0.01658
0.01290
0.00996
0.00762
0.00579
0.00436
0.00325
0.00241
0.00177
0.00129
0.00093
0.00066
0.00047
0.00033

0.05
0.37444
0.32842
0.28634
0.24813
0.21367
0.18281
0.15537
0.13117
0.10997
0.09156
0.07568
0.06210
0.05059
0.04090
0.03281
0.02612
0.02064
0.01617
0.01257
0.00970
0.00742
0.00563
0.00423
0.00316
0.00234
0.00171
0.00125
0.00090
0.00064
0.00046
0.00032

0.06
0.36966
0.32404
0.28235
0.24452
0.21042
0.17991
0.15281
0.12892
0.10801
0.08986
0.07422
0.06086
0.04954
0.04002
0.03208
0.02552
0.02015
0.01578
0.01226
0.00945
0.00722
0.00547
0.00411
0.00307
0.00227
0.00166
0.00121
0.00087
0.00062
0.00044
0.00031

0.07
0.36492
0.31969
0.27840
0.24094
0.20721
0.17705
0.15028
0.12669
0.10607
0.08819
0.07279
0.05964
0.04851
0.03916
0.03137
0.02494
0.01967
0.01539
0.01195
0.00920
0.00702
0.00532
0.00400
0.00298
0.00220
0.00161
0.00117
0.00084
0.00060
0.00042
0.00030

0.08
0.36022
0.31539
0.27448
0.23740
0.20404
0.17422
0.14778
0.12450
0.10417
0.08654
0.07138
0.05844
0.04750
0.03831
0.03067
0.02436
0.01920
0.01501
0.01164
0.00896
0.00683
0.00517
0.00388
0.00289
0.00213
0.00156
0.00113
0.00081
0.00058
0.00041
0.00029

0.09
0.35556
0.31112
0.27060
0.23390
0.20090
0.17143
0.14531
0.12234
0.10229
0.08491
0.06999
0.05726
0.04650
0.03748
0.02998
0.02380
0.01874
0.01464
0.01134
0.00872
0.00665
0.00503
0.00377
0.00280
0.00207
0.00151
0.00110
0.00079
0.00056
0.00040
0.00028

NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO

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