Distribuciones probabilísticas

Universidad Tecnológica de Torreón
Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

ESTADÍSTICA
Procesos industriales

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios
Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz

Julio Alberto Ramírez

Grado: 2 ¨A¨
18 de Marzo del 2012
Torreón Coahuila
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI


1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la
carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888

2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero la
maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga el
alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.

P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de
ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará
sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.


La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo
existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5


DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo 1:
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3
salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Ejemplo 2:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el pun to de que
el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son
aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2
personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

Ejemplo 3:


Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y
que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de
que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la
probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.


Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de
que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

Ejemplo 5:

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara
10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres
ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una
ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4


DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son
muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar
5 de ellos sean muy inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores,
obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418

X=3

=3

Ejemplo4.-El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de
que existan 5 registros con problemas?

n=40


P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

=3.2

X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si
tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros
con problemas?

n=40

P=0.08

=10

DISTRIBUCIÓN GAMMA
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de
una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente
es 0,98.

Ejercicio 2


Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una
cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros
a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.


DISTRIBUCIÓN NORMAL
1.-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de
14.0
µ = 80
σ = 14z

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.7611
z = 0.3594

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.

p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594

p(x ≤ 75) = 0.3594


c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389
z =
0.0367

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022

2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en
Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de
$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una
solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00
σ =$20,0z

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085
70000 80000
μ

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915

0.4013


–
z =
65000 70000 80000
μ
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥65,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.4013

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000
habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El
tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo
medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje
en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la
desviación estándar es de 7.5 minutos.

µ = 38.3 min.

σ = 7.5 min. z

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen
menos de 30 minutos?
p( x≤30)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.1335

p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos?
p(30 ≤ x ≤ 35)
Probabilidad
acumulada.
0.3300

0.1335


–
z =
–
z =
30 35 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%

µ = 1,200 c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre
σ = 225 30 y 40 minutos?
Probabilidad p(30 ≤ x ≤ 40) z
acumulada.
Probabilidad
5% = .0500 acumulada.
–
z = 0.5910
–
z =
0.1335
30 38.3
μ
p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 =
0.4575 = 45.75%

4.- Las ventas mensuales de silenciadores en
el área de Richmond, Virginia, tiene una
distribución normal, con una media de
$1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer
niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se
agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65

z – 5% ó 0.0500
1.65

X=
x = 1,571.25 1,571.25


5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de
los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y
que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de
universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

z –
1.64

x = 27,462.

DISTRIBUCIÓN T (DE STUDENT)
Ejercicio 1 Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas
de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y
calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué
conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos
cuya duración fue?:
µ = 20,082
σ = 4,500
Probabilidad Valor
acumulada. de z z
520 521 511 513 510 µ=500 h
95% = .9500 = 513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07

SOLUCIÓN.
t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%


v = n-1 = 24

t = 2.22

Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

Ejercicio 2 El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, ha
comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba no levantándose a
tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el
despertador, llega a tiempo adar su primera clase.

(a) Identiﬁca y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?

Solución: En primer lugar conviene identiﬁcar el experimento aleatorio que estamos realizando.
Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a los
siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuación
traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan en
el enunciado.

P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden que
calculemos P(T¯). Puesto que {O, O}es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar la
formulas de la probabilidadtotal, de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).


En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sin
embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir
como:P(T¯) = + =0.69

Ejercicio 3La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y
desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud
media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P(μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P(μ<20.5) --> P(T<2.5) ~ t(24)

P(T<2.5) = 0.9902

P(μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del
99.02%

Ejercicio 4 Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.


- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en el
puntow0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,
llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila la
llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van
desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente
consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscando
en la fila 30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Yw0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

Ejercicio 5
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:


df_1 = 8 (1dFila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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