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Tema 2
Cinemática de fluidos
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Sólidos, líquidos y gases
La distinción no siempre es clara y nítida. Por e...
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Concepto generales
Cambia de forma y se adapta al contenedor.
Se deforma de...
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Aproximación del continuo
Criterio dinámico: Recorrido libre medio (500 Å e...
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Partícula fluida
Es una porción del volumen que debe:
1. ser lo suficientemen...
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Líneas en un fluido
Trayectoria: Curva recorrida por la partícula fluida.
Mar...
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En un flujo estacionario todas estas líneas coinciden.
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UniversidadComplutense 8/318/31
Viscosidad y ley de Newton
Sir Isaac NEWTON, 1642–1727
F
S
= τ = µ
du
dy
Vi...
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Valores de las viscosidades dinámica y cinemática
µ (g/cm s) ν (cm2
/s)
Air...
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Explicación microscópica
dW = F dx = 2σL dx = 2σ dS
σ: Tensión superficial...
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Ley de Laplace
Pierre Simon LAPLACE, 1749–1827
Si cambiamos R a R + dR la...
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Ley de Laplace general
P1 − P2 = σ
1
R
+
1
R
Presión en un fluido estático...
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La fuerza de presión no depende de la dirección
dm =
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ρ dxdydz
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Ley de Pascal
Blaise PASCAL, 1623–1662
El balance de fuerzas en las direc...
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Capilares
∆P = ρgh =
2σ
r
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2σ cos θ
R
h =
2σ cos θ
ρgR
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Principio de Arquímedes
ARQUÍMEDES, 287–212 a.C.
Un cuerpo sumergido en u...
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Demostración
La fuerza en la dirección vertical es
Fy = − P(y) cos θ dA =...
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Descripción lagrangiana
Estudia el movimiento de una partícula fluida
y, e...
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Aceleración de una partícula fluida
Du
Dt
=
∂u
∂t
+ (u · )u
Podemos entonc...
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Demostración
Considereremos una partícula fluida que en el instante t se e...
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δu = u(r2, t + δt) − u(r1, t) = u(r2, t + δt) − u(r2, t)
cambio temporal
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Tensor de deformaciones
Cuando pasamos de r a r + dr, el campo de velocid...
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Deformación pura
Para simplificar consideramos un espacio bidimensional.
A...
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Coordenadas en t y t + dt respecto a los ejes X1 y X2
A (0, 0) → A u1(0, ...
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Como
u1(dx1, 0) u1(0, 0) +
∂u1
∂x1
dx1 u2(dx1, 0) u2(0, 0) +
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El cambio relativo en las longitudes de las aristas es
A B − AB
AB
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∂u1
...
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Efecto de las componentes no diagonales
Consideremos que e11 = e22 = 0 y ...
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u1(dx1, 0) u1(0, 0) +
∂u1
∂x1
=0
dx1 u2(dx1, 0) u2(0, 0) +
∂u2
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dx1
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θ = π/2 (ángulo entre segmentos A B y A C ). Sea dφ la variación del
ángu...
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Rotación pura
ωij = 0, eij = 0 =⇒ ∂u1
∂x2
= −∂u2
∂x1
. dβ −∂u1
∂x2
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Vorticidad
Sea ωk = − ijkωij. Entonces
ωk = −
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∂xj
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Tema2 Cinemática de fluidos

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Tema2 Cinemática de fluidos

  1. 1. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 1/311/31 Tema 2 Cinemática de fluidos
  2. 2. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 2/312/31 Sólidos, líquidos y gases La distinción no siempre es clara y nítida. Por ejemplo, el asfalto puede soportar tensión durante tiempos cortos, pero empieza a fluir a tiempos largos.
  3. 3. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 3/313/31 Concepto generales Cambia de forma y se adapta al contenedor. Se deforma de manera continua. No recupera la forma al cesar la fuerza. Pueden ser comprimidos pero no traccionados. Sólido: F S = K a h = Kγ → 0 sólo si γ → 0 Líquido: F S = µ U h = µ ˙γ → 0 sólo si ˙γ → 0
  4. 4. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 4/314/31 Aproximación del continuo Criterio dinámico: Recorrido libre medio (500 Å en aire).
  5. 5. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 5/315/31 Partícula fluida Es una porción del volumen que debe: 1. ser lo suficientemente grande como para que su densidad sea la densidad promedio del fluido. 2. ser lo suficientemente pequeña como para que sus propiedades físicas (temperatura, densidad, etc) sean uniformes. 3. ser identificable durante tiempos suficientemente largos. Flujo Campo de velocidades asociado al fluido en movimiento: u(r, t). Cuando u = u(r) se dice que el flujo es estacionario.
  6. 6. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 6/316/31 Líneas en un fluido Trayectoria: Curva recorrida por la partícula fluida. Marcamos una partícula fluida con tinta y hacemos una foto de muy larga exposición. r = r0 + t t0 v(r0, t ) dt Línea de emisión: Curva constituida por las partículas fluidas que van pa- sando por un mismo punto. Vamos inyectando tinta en un punto cualquiera pero fijo en el fluido y ha- cemos una foto instantánea. Línea de corriente: Curva tangente al campo de velocidades en todo punto en un cierto instante de tiempo. u × dl = 0 ⇒ dx u = dy v = dz w
  7. 7. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 7/317/31 En un flujo estacionario todas estas líneas coinciden.
  8. 8. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 8/318/31 Viscosidad y ley de Newton Sir Isaac NEWTON, 1642–1727 F S = τ = µ du dy Viscosidad dinámica: µ. Unidad SI: Poiseuille. 1 Pl = 1 kg/m s. Unidad CGS: Poise. 1 Po = 0,1 Pl Viscosidad cinemática: ν = µ ρ.
  9. 9. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 9/319/31 Valores de las viscosidades dinámica y cinemática µ (g/cm s) ν (cm2 /s) Aire 0.00018 0.15 Agua 0.011 0.011 Mercurio 0.016 0.0012 Aceite de oliva 0.99 1.08 Glicerina 23.3 18.5 Tensión superficial
  10. 10. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 10/3110/31 Explicación microscópica dW = F dx = 2σL dx = 2σ dS σ: Tensión superficial. Unidades SI: N/m. Agua: 70 × 10−3 N/m. Mercurio: 480 × 10−3 N/m.
  11. 11. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 11/3111/31 Ley de Laplace Pierre Simon LAPLACE, 1749–1827 Si cambiamos R a R + dR la energía de la su- perficie aumenta. dWS = σdS = σd 4πR2 = 8πσR dR Trabajo de las fuerzas de presión dWP = −∆P dV = −(P1 − P2) d 4 3 πR3 = −(P1 − P2)4πR2 dR Luego dWS + dWP = 0 ⇒ P1 − P2 = σ 2 R
  12. 12. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 12/3112/31 Ley de Laplace general P1 − P2 = σ 1 R + 1 R Presión en un fluido estático Fuerza por unidad de área. Como no hay movimiento la viscosidad no juega ningún papel, por lo que esta fuerza es normal a la superficie. Patm → 1 atm = 101,3 kPa = 1,013 bar, con 1 bar = 105 Pa
  13. 13. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 13/3113/31 La fuerza de presión no depende de la dirección dm = 1 2 ρ dxdydz dx = ds cos θ dy = ds sen θ 0 = P1ds dz sen θ − P3dy dz 0 = P1ds dz cos θ − P2dx dz + g dm Cuando dV → 0 obtenemos P1 = P2 = P3.
  14. 14. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 14/3114/31 Ley de Pascal Blaise PASCAL, 1623–1662 El balance de fuerzas en las direcciones X y Z muestra que P no puede depender de x ó z. En la dirección Y Pdx dz − (P + dP)dx dz − ρgdx dy dz = 0 ⇒ dP dy = −ρg (agua ρg ∼ 0,1 atm/m) P(y) = P0 − ρgy
  15. 15. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 15/3115/31 Capilares ∆P = ρgh = 2σ r = 2σ cos θ R h = 2σ cos θ ρgR
  16. 16. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 16/3116/31 Principio de Arquímedes ARQUÍMEDES, 287–212 a.C. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido desalojado.
  17. 17. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 17/3117/31 Demostración La fuerza en la dirección vertical es Fy = − P(y) cos θ dA = − Q · dA siendo Q ≡ P(y). Aplicando el teorema de la divergencia [AM18] Fy = − · Q dV = − dP dy dV = ρgV
  18. 18. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 18/3118/31 Descripción lagrangiana Estudia el movimiento de una partícula fluida y, en particular, la trayectoria de la misma. r = r0 + t t0 v(r0, t ) dt por lo que v(r0, t) = dr dt Descripción euleriana Estudia la dinámica del fluido a partir del campo u(r, t).
  19. 19. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 19/3119/31 Aceleración de una partícula fluida Du Dt = ∂u ∂t + (u · )u Podemos entonces relacionar la aceleración de la partícula fluida (concepto lagrangiano) con el campo de velocidades del fluido (concepto euleriano). Derivada material Campo escalar H(r, t) Campo vectorial F(r, t) DH Dt = ∂H ∂t derivada local + u · H derivada advectiva DF Dt = ∂F ∂t + (u · )F
  20. 20. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 20/3120/31 Demostración Considereremos una partícula fluida que en el instante t se encuentra en r1. En t + δt se encontrará en r2 = r1 + u(r1, t)δt + O(δt2 ) con velocidad u(r2, t + δt).
  21. 21. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 21/3121/31 δu = u(r2, t + δt) − u(r1, t) = u(r2, t + δt) − u(r2, t) cambio temporal + u(r2, t) − u(r1, t) cambio espacial Desarrollando por Taylor hasta primer orden obtenemos u(r2, t) − u(r1, t) = ∂u ∂x δx + ∂u ∂y δy + ∂u ∂z δz donde δr = (δx, δy, δz) = r2 − r1 = u(r1, t)δt. Entonces Du Dt ≡ l´ım δt→0 δu δt = ∂u ∂t + (u · )u
  22. 22. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 22/3122/31 Tensor de deformaciones Cuando pasamos de r a r + dr, el campo de velocidades cambia de u(r, t) a u(r, t) + du, con dui = ∂ui ∂xj dxj ≡ Gij dxj donde se ha empleado el criterio de suma sobre índices repetidos. Se define el tensor de deformación como Gij = ∂ui ∂xj = eij + ωij eij = 1 2 ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ωij = 1 2 ∂ui ∂xj − ∂uj ∂xi
  23. 23. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 23/3123/31 Deformación pura Para simplificar consideramos un espacio bidimensional. Admitiremos ahora que sólo e11 y e22 son no nulas. ω12 = −ω21 = 0 =⇒ ∂u1 ∂x2 = ∂u2 ∂x1 e12 = e21 = 0 =⇒ ∂u1 ∂x2 = − ∂u2 ∂x1    =⇒ ∂u1 ∂x2 = ∂u2 ∂x1 = 0 Por tanto, las derivadas no nulas en este caso son e11 = ∂u1 ∂x1 = 0 e22 = ∂u2 ∂x2 = 0
  24. 24. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 24/3124/31 Coordenadas en t y t + dt respecto a los ejes X1 y X2 A (0, 0) → A u1(0, 0)dt, u2(0, 0)dt B (dx1, 0) → B dx1 + u1(dx1, 0)dt, u2(dx1, 0)dt C (0, dx2) → C u1(0, dx2)dt, dx2 + u2(0, dx2)dt
  25. 25. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 25/3125/31 Como u1(dx1, 0) u1(0, 0) + ∂u1 ∂x1 dx1 u2(dx1, 0) u2(0, 0) + ∂u2 ∂x1 =0 dx1 u1(0, dx2) u1(0, 0) + ∂u1 ∂x2 =0 dx2 u2(0, dx2) u2(0, 0) + ∂u2 ∂x2 dx2 las coordenadas en t + dt respecto a los ejes X1 y X2 son A (0, 0) B dx1 + ∂u1 ∂x1 dx1dt, 0 C 0, dx2 + ∂u2 ∂x2 dx2dt
  26. 26. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 26/3126/31 El cambio relativo en las longitudes de las aristas es A B − AB AB = ∂u1 ∂x1 dt A C − AC AC = ∂u2 ∂x2 dt Para un paralelepípedo de aristas dx1, dx2 y dx3, el cambio relativo de volumen V = dx1dx2dx3 por unidad de tiempo es 1 V DV Dt = 1 dx1dx2dx3 D Dt dx1dx2dx3 = 1 dxi D Dt dxi = ∂ui ∂xi 1 V DV Dt = · u Si el fluido es incompresible · u = 0.
  27. 27. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 27/3127/31 Efecto de las componentes no diagonales Consideremos que e11 = e22 = 0 y e12 = e21 = 0. ω12 = −ω21 = 0 =⇒ ∂u1 ∂x2 = ∂u2 ∂x1 e11 = e22 = 0 =⇒ ∂u1 ∂x1 = ∂u2 ∂x2 = 0    =⇒ e12 = e21 = ∂u1 ∂x2 = ∂u2 ∂x1 = 0
  28. 28. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 28/3128/31 u1(dx1, 0) u1(0, 0) + ∂u1 ∂x1 =0 dx1 u2(dx1, 0) u2(0, 0) + ∂u2 ∂x1 dx1 u1(0, dx2) u1(0, 0) + ∂u1 ∂x2 dx2 u2(0, dx2) u2(0, 0) + ∂u2 ∂x2 =0 dx2 las coordenadas en t + dt respecto a los ejes X1 y X2 son A (0, 0) B dx1, ∂u2 ∂x1 dx1dt C ∂u1 ∂x2 dx2dt, dx2
  29. 29. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 29/3129/31 θ = π/2 (ángulo entre segmentos A B y A C ). Sea dφ la variación del ángulo entre ambos segmentos dφ ≡ θ − π 2 =⇒ dφ sen(dφ) = sen θ − π 2 = − cos θ Utilizando que hasta primer orden A B dx1 A C dx2 A B · A C ∂u1 ∂x2 + ∂u2 ∂x1 dx1dx2dt = 2e12dx1dx2dt tenemos dφ = − cos θ = − A B · A C A B A C = −2e12dt dφ dt = −2e12
  30. 30. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 30/3130/31 Rotación pura ωij = 0, eij = 0 =⇒ ∂u1 ∂x2 = −∂u2 ∂x1 . dβ −∂u1 ∂x2 dt = ∂u2 ∂x1 dt = dα dα dt = ∂u2 ∂x1 = 1 2 ∂u2 ∂x1 − ∂u1 ∂x2 = ω21
  31. 31. Curso2006-2007 UniversidadComplutense 31/3131/31 Vorticidad Sea ωk = − ijkωij. Entonces ωk = − 1 2 ijk ∂ui ∂xj + 1 2 ijk ∂uj ∂xi = − 1 2 (− ijk) ∂uj ∂xi + 1 2 ijk ∂uj ∂xi = kij ∂uj ∂xi ω = × u Ejemplo: rotación uniforme u = r ×Ω = rΩ r ×z = rΩ φ → uφ = rΩ ω = ×u [AM16c] = 1 r ∂(ruφ) ∂r z = 2Ω z = 2Ω

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