Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cá...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 
Câu 6. Trong không gia...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
,2 ( ), 3 (1) 
é = =- + =- - 
êë = - = - + = - - 
17 7 ,2 ( ), 3 (2) 
2.1 + 2( - ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 
Câu 12. Trong khôn...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
C âu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M(-1;1;0),N(0;0;-2),I(...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
0 1 3 2 2 0 ; ; 
ì + - + = - - ï - + = Û = = - = íï 
î - + - = 
0 3 3 2 2 0 ; ; 
...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
C âu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
2 0 
r r Þ a c d 
ì + + = 
í + + = î 
2 2 0 
( ,( )) 9 9 = = £ 
3 2 
2 2 
8 + 4 +...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc 
Câu 27. Trong không gian v...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
: 3 0 
2 4 0 
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d x y ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
PT mặt phẳng (P): 2(x -1) + (y - 2) ± (z - 3) = 0 hoặc - 2(x -1) + (y - 2) ± (z -...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
( ) 2 
() 2 
Chọn hai điểm M(1;-2;0),N(0;-1;2)Îd . Ta có: M P c a b 
+ + - + = Þ ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
C âu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x - y + z + 2 =...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng 
Câu 44. Trong không gian vớ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằn...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) Þ D đi qua A và H 
r uuur Þ Phương t...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác 
Câu 8. ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
C âu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường t...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
ì = - 
ï = - + íï 
î = + 
3 2 
3 
r = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Vì d nằm tron...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
trong mặt phẳng (a ) và cắt (D¢); (d) và (D) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác 
Câu 20....
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
C âu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1, D2 và mặt p...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
(d1) có VTCP ur1 = (2; - 4; 3) , (d2) có VTCP ur2 = (-2; 3; 4) 
r = r r = - - 
r ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
· Đặt A(-1+ a;-2 + 2a;a), B(2 + 2b;1+ b;1+ b)Þ AB = (-a + 2b + 3;-2a + b + 3;-a +...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
6 3 2 12 0 
3 3 0 
D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: x y z 
ì + + - = 
íî x - y...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
3 2 3 0 1 0 1; 5; 8 
ì + + - = æ ö ï + = Û -í ç ÷ 
ï + - + = è ø î 
d x y z - - 
...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng 
uuuur r Û 
( ) ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Giả sử A(t;4 –t;-1+ 2t), B(u;2 –3u;-3u), C(-1+ 5v;1+ 2v;-1+ v) . 
Ta có: A, B, C ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z +1 = 0 ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
éë ùû + + = = 
2 2 
2 2 
( , ) , 12 24 54 
2 
2 
( , ) 12 + 24 + 
54 = = 
( ) 
2 ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
b) max(d(B,d)) = 18 Ût = 0Þ Phương trình đường thẳng d: 
: 1 0, (2;1; 1), ( 1;2;0...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
(2; 1;2), : 1 1 1, : 2 1 0 
- + - ì + - + = - = = í -+ + = î 
D D 
2 2 2 
é = 
êë...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
5 
1 
5 
5 
1 
5 
= = - Þ ur = (2;-5;-11) Þ PT của D: 
+ - 
ì - + = 
ï + - í = ï ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
C âu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi ...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác 
Câu 59. Trong không...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách x...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Þ Phương trình mặt cầu là: (x - 2)2 + (y -1)2 + (z - 2)2 = 4 
Câu 5. Trong không ...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
· S ( x ) (y ) (z )2 2 2 ( ) : -1 + + 2 + - 4 = 25 có tâm I (1;-2;4) và R = 5. 
K...
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
· Giả sử (S): x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 . 
ì = ì - + - + - = - + - +...
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: 
æ ö æ ö æ ö 
ç ÷ + ç + ÷ + ç ÷...
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12   1đ
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Hình giải tích 12 1đ

256.798 Aufrufe

Veröffentlicht am

Hình giải tích 12 1đ

Veröffentlicht in: Design
  • DỊCH VỤ THIẾT KẾ THUYẾT TRÌNH (Thiết kế profile cho doanh nghiệp--- Thiết kế Brochure--- Thiết kế Catalogue--- slide bài giảng--- slide bài phát biểu---slide bài tốt nghiệp--- dạy học viên thiết kế thuyết trình…)-----(Giá từ 8.000 đ - 10.000 đ/1trang slide)------ Mọi chi tiết vui lòng liên hệ với chúng tôi: điện thoại 0973.764.894 hoặc zalo 0973.764.894 (Miss. Huyền) ----- • Thời gian hoàn thành: 1-2 ngày sau khi nhận đủ nội dung ----- Qui trình thực hiện: ----- 1. Bạn gửi nội dung cần thiết kế về địa chỉ email dvluanvan@gmail.com ----- 2. DỊCH VỤ THIẾT KẾ THUYẾT TRÌNH báo giá chi phí và thời gian thực hiện cho bạn ----- 3. Bạn chuyển tiền tạm ứng 50% chi phí để tiến hành thiết kế ----- 4. Gửi file slide demo cho bạn xem để thống nhất chỉnh sửa hoàn thành. ----- 5. Bạn chuyển tiền 50% còn lại. ----- 6. Bàn giao file gốc cho bạn.
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier
  • vanquy06021999@gmail.com
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier

Hình giải tích 12 1đ

  1. 1. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x –3y + 2z –5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). · (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = éënP, ABùû = (0;-8;-12) ¹ 0 r uur r r Þ chọn n = éëBA,uùû = (-10;4;-1) = = , d x y z 2 - - - = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ( ) : - 1 - 4 = = . Chứng minh rằng điểm M, d1, d2 cùng r r uuuuuur Þ d1,d2 đồng phẳng. Trang 1 r r uuur r Þ (Q) : 2y + 3z -11 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P) : x + 2y + 3z + 3 = 0 . ĐS: (Q) : x - 2y + z - 2 = 0 Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;3),B(1;-2;1) và song song với đường thẳng 1 x t ìï = - + : 2 d y t = íï î = - - 3 2 z t . uur · Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP ur = (1;2;-2) . ì ^ í ^ î Gọi nr là VTPT của (P) Þ n BA n u r uur r Þ Phương trình của (P): 10x - 4y + z -19 = 0 . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1) và (d2 ) có phương trình: ( ); 1 1 2 d x y z 1 - + - 2 3 1 ( ) : 4 1 3 6 9 3 (d1 ) và (d2 ) . · Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ rv = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng(a ) : x + 4y + z -11 = 0 và tiếp xúc với (S). · (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (a ) là nr = (1;4;1) . Þ VTPT của (P) là: [ ] P nr = rn,rv = (2;-1;2) Þ PT của (P) có dạng: 2x - y + 2z + m = 0 . Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P ( ,( )) 4 = mm 21 3 Û é = - êë = . Vậy: (P): 2x - y + 2z + 3 = 0 hoặc (P): 2x - y + 2z - 21 = 0 . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng ( ) : 1 d x y + z 1 = = 1 - 2 - 3 và d x y z 2 1 2 5 nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. · d1 qua M1(0;-1;0) và có ur= (1;-2;-3) , d2 qua M2(0;1;4) và có uruuuuuur 1 2 = (1;2;5) . éëu1;r r r u2 ùû = (-4;-8;4) ¹ 0 , M1M2 = (0;2;4) Þ éëu1;u2 ùû .M1M2 = 0 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1,d2 Þ (P) có VTPT nr = (1;2;-1) và đi qua M1 nên có phương trình x + 2y - z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M(1;–1;1)Î(P).
  2. 2. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 - 4 + 2 1 2 Trang 2 x - 3 y - 3 z 2 2 1 = = và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP ur = (2;2;1) . (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n r = [r u,r i ] = (0;1;-2) Þ PT của (P) có dạng: y - 2z + D = 0 . (P) tiếp xúc với (S) Û d(I,(P)) = R Û D 2 2 = + é = + ê ë = - Û D - 3 = 2 5 Û D D 3 2 5 3 2 5 Þ (P): y - 2z + 3 + 2 5 = 0 hoặc (P): y - 2z + 3 - 2 5 = 0 . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 4 = 0 và mặt phẳng (P): x + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;-1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nrP = (1;0;1) . PT (Q) đi qua M có dạng: A(x - 3) + B(y -1) +C(z +1) = 0, A2 + B2 +C2 ¹ 0 (Q) tiếp xúc với (S) Û d(I,(Q)) = RÛ -4A + B +C = 3 A2 + B2 +C2 (*) (Q) ^ (P)ÛrnQ.nrP = 0Û A +C = 0ÛC = -A (**) Từ (*), (**) Þ B - 5A = 3 2A2 + B2 Û8B2 - 7A2 +10AB = 0 Û A = 2B Ú 7A = -4B · Với A = 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2x + y - 2z - 9 = 0 · Với 7A = -4B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4x - 7y - 4z - 9 = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 4z + 5 = 0 , (P) : 2x + y - 6z + 5 = 0,M(1;1;2) . ĐS: (Q) : 2x + 2y + z - 6 = 0 hoặc (Q) :11x -10y + 2z - 5 = 0 . Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 –2x + 4y + 2z –3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3. · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 Ûb = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0. Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 2y + 2z –1 = 0 : 2 0 2 6 0 và đường thẳng d x y ì - - = í î x - z - = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r =1. · (S) có tâm I(-1;1;-1) , bán kính R = 2. PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Chọn M(2;0;-2),N(3;1;0)Îd .
  3. 3. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian ,2 ( ), 3 (1) é = =- + =- - êë = - = - + = - - 17 7 ,2 ( ), 3 (2) 2.1 + 2( - 2) - 3 + = 4 Û - 5 + = 12 Û é = - 7 ê 2 + 2 + ( - 1) ë = 17 Trang 3 Ta có: ( ) ( ) ( ,( )) M P N P d I P R2 r2 ì Î ï Î íï î = - Û a b c a b d a b a b c a b d a b + Với (1) Þ (P): x + y - z - 4 = 0 + Với (2) Þ (P): 7x -17y + 5z - 4 = 0 Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z 1 : 1 2 1 1 D - = = - , x y z 2 : 1 1 1 1 D - = = - - và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 –2x + 2y + 4z –3 = 0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1. · (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 - 3 2 = 0 Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6p . · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới (b) là h = R2 - r2 = 52 - 32 = 4 D Do đó D D 2 2 2 D (loaïi) Vậy (b) có phương trình 2x + 2y – z –7 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) (S) : x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z -11 = 0 , (a ) : 2x + y - 2z +19 = 0, p = 8p . ĐS: (b ) : 2x + y - 2z +1 = 0
  4. 4. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By +Cz = 0 (với A2 + B2 +C2 ¹ 0 ). · Vì (P) ^ (Q) nên: 1.A +1.B +1.C = 0 Û C = -A - B (1) + 2 - · d(M,(P)) = 2 Û 2 0 (3) é = êë + = 8 5 0 (4) 4 0 ì + + = ( ) 5 4 ( ;( )) ìD Ûï + í = í = î ï + + î 4 2 P Û a c 3 2 5 2 - + + + ,( ) 3 3 3 5 2 3 5 = Û = Û = Û + = + Trang 4 A B C A2 B2 C2 = + + Û (A + 2B -C)2 = 2(A2 + B2 +C2) (2) Từ (1) và (2) ta được: 8AB + 5B2 = 0 Û B A B · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0 · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5x - 8y + 3z = 0 . Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x - 1 y - 3 z 1 1 4 = = và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4. · Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 0 ( a2 + b2 + c2 ¹ 0 ) D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP ur = (1;1;4) Ta có: a b c P a b d A P d a2 b2 c2 ì = í = - î a c . · Với a = 4c . Chọn a = 4,c = 1Þb = -8Þ Phương trình (P): 4x - 8y + z -16 = 0 . · Với a = -2c . Chọn a = 2,c = -1Þb = 2 Þ Phương trình (P): 2x + 2y - z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với : x y z 1;M(0;3; 2),d 3 1 1 4 D - = = - = . ĐS: (P) : 2x + 2y - z - 8 = 0 hoặc (P) : 4x - 8y + z + 26 = 0 . Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x t ì = ï = - + íï î = ( ): 1 2 d y t z 1 và điểm A(-1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. · (d) đi qua điểm M(0;-1;1) và có VTCT ur = (1;2;0) . Gọi nr = (a;b;c) với a2 + b2 + c2 ¹ 0 là VTPT của (P) . PT mặt phẳng (P): a(x - 0) + b(y +1) + c(z -1) = 0Ûax + by + cz + b - c = 0 (1). Do (P) chứa (d) nên: ur.nr = 0Û a + 2b = 0Û a = -2b (2) ( ) a b c b c d A P b c b c a b c b c 2 2 2 2 2 2 2 5 + + + b bc c ( b c) c b Û4 2 - 4 + 2 = 0Û 2 - 2 = 0Û = 2 (3) Từ (2) và (3), chọn b = -1 Þ a = 2,c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): 2x - y - 2z +1 = 0 .
  5. 5. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian C âu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M(-1;1;0),N(0;0;-2),I(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . ,2 , (1) é =- = - = - êë = = - = - 5 7 ,2 , (2) 2 0 ì - + + = ï + + = ïí - + ++ + + + 3 0 3a4 2 = ïï î + + + + 2 2 2 + + + - + - + Trang 5 Ta có: ( ) ( ) ( ,( )) 3 M P N P d I P ì Î ï Î íï î = Û a b c a bd a b a b c a bd a b . + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x - y + z + 2 = 0 + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): 7x + 5y + z + 2 = 0 . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;-1;2) , B(1;3;0), C(-3;4;1) , D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Ta có: ( ) ( ) ( ,( )) ( ,( )) A P B P d C P d D P ìï Î Î íï î = Û a b c d a b d b c d a b c d a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 , 4, 7 2, , 4 Û b ac ad a é = = = - êë = = = - c ab ad a + Với b = 2a,c = 4a,d = -7a Þ (P): x + 2y + 4z - 7 = 0 . + Với c = 2a,b = a,d = -4a Þ (P): x + y + 2z - 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1),B(-2;1;3),C(2;-1;1),D(0;3;1) . ĐS: (P) : 4x + 2y + 7z -15 = 0 hoặc (P) : 2x + 3z - 5 = 0 . Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0;-1;2) , C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) . · Vì O Î (P) nên (P) : ax + by + cz = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0 . Do A Î (P) Þ a + 2b + 3c = 0 (1) và d(B,(P)) = d(C,(P))Û -b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) và (2) Þ b = 0 hoặc c = 0 . · Với b = 0 thì a = -3c Þ (P) : 3x - z = 0 · Với c = 0 thì a = -2b Þ (P) : 2x - y = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;0),B(0;4;0),C(0;0;3) . ĐS: -6x + 3y + 4z = 0 hoặc 6x - 3y + 4z = 0 . Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1;-1) , B(1;1;2) , C(-1;2;-2) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z +1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (a ) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC . · PT (a ) có dạng: ax + by + cz + d = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0 Do A(1;1;-1)Î(a )nên: a + b - c + d = 0 (1); (a ) ^ (P) nên a - 2b + 2c = 0 (2) IB = 2ICÞ d(B,(a)) = 2d(C;(a)) Þ a b c d a b c d = 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + + +
  6. 6. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 0 1 3 2 2 0 ; ; ì + - + = - - ï - + = Û = = - = íï î - + - = 0 3 3 2 2 0 ; ; 5 2 3 0 2 2 : 1 2 1 2 1 4 - - + - - + = d 2 d 1 d 3 : 2 1 1 1 2 2 ( ,( )) ( ,( )) 5 Û é + = + êë + = - + Trang 6 3 3 6 0 (3) a b c d a b c d Û é - + - = êë- + - + = 5 2 3 0 Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : TH1 : a b c d a b c b a c ad a a b c d 3 3 6 0 2 2 . Chọn a = 2Þb = -1;c = -2;d = -3 Þ (a ) : 2x - y - 2z - 3 = 0 TH2 : a b c d a b c b ac ad a a b c d ì + - + = - ï - + = Û = = = íï î- + - + = . Chọn a = 2Þb = 3;c = 2;d = -3Þ (a ) : 2x + 3y + 2z - 3 = 0 Vậy: (a ) : 2x - y - 2z - 3 = 0 hoặc (a ) : 2x + 3y + 2z - 3 = 0 Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình : 2 2 3 2 1 3 d x y z 1 - - - = = , d x y z 2 - - - = = - . Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1,d2 . · Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có ur= (2;1;3) , d2 đi qua B(1;2;1) và có urd1 d2 = (2;-1;4) . Do (P) cách đều d1,d2 nên (P) song song với d1,d2 Þ nP r = éëud1,r ud2 r ùû = (7;-2;-4) Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x - 2y - 4z + d = 0 Do (P) cách đều d1,d2 suy ra d(A,(P)) = d(B,(P)) 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d Û 69 69 2 Û - = - Û = Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14x - 4y - 8z + 3 = 0 Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình x t ì = + ï = - íï î = d y t z 1 1 : 2 1 , d x y z 2 - - + = = - . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P). · Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP ur1 = (1;-1;0) d2 đi qua B(2;1;-1) và có VTCP là ur2 = (1;-2;2) Gọi nr là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n r = éëu1,r u2 r ùû = (-2;-2;-1) Þ Phương trìnht (P): 2x + 2y + z + m = 0 . d ( d 1 ,( P )) d ( A ;( P )) 7 + m = = ; 3 d d 2 P d B P + m 3 = = 7 2(5 ) 7 2(5 ) d(d1,(P)) = 2d(d2,(P)) Û 7 + m = 2. 5 + m m m m m m 3; m 17 3 Û =- = - + Với m = -3Þ (P) : 2x + 2y + z –3 = 0 + Với m 17 = - Þ (P) : 2x 2y z 17 0 3 + + - = 3
  7. 7. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian C âu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;-1;2) , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x -1)2 + (y - 2)2 + (z +1)2 = 2 . · (S) có tâm I(1;2;-1), bán kính R = 2 . PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) , , 2 3 (1) é =- =- - = + êë = - = - - = + 3 8 , , 2 3 (2) Trang 7 Ta có: ( ) ( ) ( ,( )) A P B P d I P R ìï Î Î íï î = Û a bc a bd a b a bc a bd a b + Với (1) Þ Phương trình của (P): x - y -1 = 0 + Với (2) Þ Phương trình của (P): 8x - 3y - 5z + 7 = 0 Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. · Ta có d(O,(P)) £ OA . Do đó d(O,(P))max = OA xảy ra ÛOA ^ (P) nên mặt phẳng (P) uuur cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA = (2;-1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x - y + z - 6 = 0 .. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: x - 1 y z - 1 2 1 3 = = . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. · Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), uuur ta có AH ³ HI Þ HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm VTPT Þ (P): 7x + y - 5z - 77 = 0 . Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số {x = -2 + t; y = -2t; z = 2 + 2t . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất. · Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì (P) P (d) hoặc (P) É (d) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH . Mặt khác d d P d I P IH ( ,( )) ( ,( )) ( ) ì = = í î H Î P Trong (P), IH £ IA; do đó maxIH r uur = IAÛ H º A . Lúc này (P) ở vị r trí (P0) ^ IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = (6;0;-3) , cùng phương với v = (2;0;-1) . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x - 4) -1.(z +1) = 2x - z - 9 = 0 . Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x - 1 y z - 2 = = và điểm 2 1 2 A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . (P) có VTPT nr = (a;b;c) , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP ur = (2;1;2) .
  8. 8. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 2 0 r r Þ a c d ì + + = í + + = î 2 2 0 ( ,( )) 9 9 = = £ 3 2 2 2 8 + 4 + 5 2 æ 2 1 ö 3 ç + ÷ + è ø + = Û = - . Khi đó: (P): x - 4y + z - 3 = 0 . = = . ĐS: (P) : 2x + y - z +1 = 0 ( ,( )) 1 1 = = £ 4 2 2 2 4 2 2 + + æ ö Trang 8 Vì (P) É d nên M P ì Î íî n u = ( ) . 0 a b c ì2 = -(2 + ) í = + î Þ c a b d a b . Xét 2 trường hợp: TH1: Nếu b = 0 thì (P): x - z +1 = 0 . Khi đó: d(A,(P)) = 0 . TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2y - (2a +1)z + 2a + 2 = 0 . Khi đó: d A P a a a 2 2 Vậy max d(A,(P)) = 3 2Û a a 2 1 0 1 2 4 Câu hỏi tương tự: a) d : x - 1 y + 1 z - 2 , A(5;1;6) 2 1 5 b) d : x - 1 y + 2 z = = , A(1;4;2) 1 1 2 - . ĐS: (P) : 5x +13y - 4z + 21 = 0 Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0;-1;2) và N(-1;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểmK(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. · PT (P) có dạng: Ax + B(y +1) +C(z - 2) = 0Û Ax + By +Cz + B - 2C = 0 (A2 + B2 +C2 ¹ 0) N(-1;1;3)Î(P)Û-A + B + 3C + B - 2C = 0Û A = 2B +C Þ(P) : (2B +C)x + By +Cz + B - 2C = 0; d K P B B C BC ( ,( )) 4 2 2 2 4 = + + · Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại) · Nếu B ¹ 0 thì d K P B B C BC C 2 1 2 ç + ÷ + è B ø Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 .
  9. 9. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): cos , 1 1 1 2 4 1 0 r r ¢ = Û = Û - + = Û m = 2 - 2 hay m = 2 + 2 = = Þ (P) : -23x + 5y +13z –5 = 0 . a = . 2 3 0 ì- + - + = ï 2a - - 6 + = 0 ï + + = îï + + + ïí + º a = . Trang 9 x - 1 y z = = 1 - 1 - 2 và tạo với mặt phẳng (P) : 2x - 2y - z +1 = 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz. · () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP ur = (1;-1;-2) . (P) có VTPT nr¢ = (2;-2;-1) . uuuur r uuur ur Giao điểm M(0;0;m) cho AM = (-1;0;m) . (a) có VTPT n = éëAM,u ùû = (m;m - 2;1) (a) và (P): 2x - 2y - z +1 = 0 tạo thành góc 600 nên : (n n ) m m 2 2 m 4 m 5 2 2 2 - + Kết luận : M(0;0;2 - 2) hay M(0;0;2 + 2) Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng (a ) : 2x – y –1 = 0 , (b ) : 2x – z = 0 và tạo với mặt phẳng (Q) : x –2y + 2z –1 = 0 một góc j mà cos 2 2 9 j = · Lấy A(0;1;0), B(1;3;2)Îd . (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax + By +Cz –B = 0 . (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = 0 Þ A = -(2B + 2C) Þ (P) : -(2B + 2C)x + By +Cz – B = 0 2 2 2 2 2 2 cos B C B C B C 2 B2 C2 3 (2 2 ) 9 j - - - + = = + + + Û 13B2 + 8BC –5C2 = 0 . Chọn C 1 B 1; B 5 = Þ = = . 13 + Với B = C = 1 Þ (P) : -4x + y + z –1 = 0 + Với B C 5 , 1 13 Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;-3),B(2;-1;-6) và mặt phẳng (P) : x + 2y + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc a thoả mãn cos 3 6 · PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Ta có: ( ) ( ) A Q B Q ì Î ï Î ïíï cos 3 6 a = ïî Û a b c d b c d a b c a2 b2 c2 2 3 1 4 1 6 4, 3, 15 , 0, Û a bc bd b é =- =- = - êë a = - bc = d = - b Þ Phương trình mp(Q): 4x - y + 3z +15 = 0 hoặc (Q): x - y - 3 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) A(0;0;1),B(1;1;0) , P Oxy ( ) ( ),cos 1 6 ĐS: (Q): 2x - y + z -1 = 0 hoặc (Q): x - 2y - z +1 = 0 .
  10. 10. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng : 3 0 2 4 0 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d x y z cos(( ),( )) cos45 - 4 - 8 2 = Û = 9 2 + - = Û é = - êë = ì = 2 í î = Trang 10 ì + + - = í î x + y + z - = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc a = 600 . · ĐS: (P) : 2x + y + z - 2 - 2 = 0 hoặc (P) : 2x - y - z - 2 + 2 = 0 Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 5x - 2y + 5z -1 = 0 và (Q) : x - 4y - 8z +12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a = 450 . · Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Ta có: (R) ^ (P)Û5a - 2b + 5c = 0 (1); ·R Q a b c a b c 0 2 2 2 + + (2) Từ (1) và (2) Þ a ac c a c c a 7 2 6 2 0 7 · Với a = -c : chọn a = 1,b = 0,c = -1 Þ PT mặt phẳng (R) : x - z = 0 · Với c = 7a : chọn a = 1,b = 20,c = 7 Þ PT mặt phẳng (R) : x + 20y + 7z = 0 Câu hỏi tương tự: a) Với (P) : x - y - 2z = 0,(Q) º (Oyz),M(2;-3;1),a = 450 . ĐS: (R) : x + y +1 = 0 hoặc (R) : 5x - 3y + 4z - 23 = 0 Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x y z 1 : 1 1 1 1 1 3 D - + - = = - và x y z 2 : 1 2 1 D = = - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và tạo với D2 một góc a = 300 . · Đáp số: (P): 5x +11y + 2z + 4 = 0 hoặc (P): 2x - y - z - 2 = 0 . Câu hỏi tương tự: x y z a) Với 1 : 2 1 1 1 D - = = - , x y z 2 : 2 3 5 2 1 1 D - - + = = - , a = 300 . ĐS: (P): x - 2y - 2z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2y + z - 4 = 0 b) x y z 1 : 1 1 2 1 1 D - + = = - , x y z 2 : 2 1 1 1 1 D - + = = - , a = 300 . ĐS: (P): (18 + 114)x + 21y + (15 + 2 114)z - (3 - 114) = 0 hoặc (P): (18 - 114)x + 21y + (15 - 2 114)z - (3 + 114) = 0 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450, 300 . · Gọi nr = (a;b;c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0;0), j = (0;1;0) r r . Ta có: sin( ,( )) 2 Ox P Oy P 2 sin( ,( )) 1 2 ì = ïïíï = ïî Û a b c b
  11. 11. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian PT mặt phẳng (P): 2(x -1) + (y - 2) ± (z - 3) = 0 hoặc - 2(x -1) + (y - 2) ± (z - 3) = 0 Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y - z + 5 = 0 và đường = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo cos 3 . 3 a = = Þ a = 300 . - + = = ìï = - : 1 2 = - + î = 2 + íï Trang 11 thẳng d : x + 1 y + 1 z - 3 2 1 1 với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Gọi a =·((P),(Q)) . Chọn hai điểm M(-1;-1;3),N(1;0;4)Îd . Ta có: M P c a b ( ) () 7 4 ì Î Þì = - - í Î í = + î î N P d a b Þ (P): ax + by + (-2a - b)z + 7a + 4b = 0 Þ a b a2 ab b2 cos 3 . 6 5 4 2 a + = + + TH1: Nếu a = 0 thì b b2 6 2 2 TH2: Nếu a ¹ 0 thì b a b b a a 2 3 1 cos . 65 4 2 a + = æ ö + + ç ÷ è ø . Đặt x b = và f (x) = cos2a a Xét hàm số ( ) 9 . 2 1 f x x x + + x x 2 2 65 4 2 = + + . Dựa vào BBT, ta thấy min f (x) = 0Ûcosa = 0Ûa = 900 > 300 Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1,c = 1,d = 4 . Vậy: (P): y - z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với (Q): x + 2y + 2z –3 = 0, d : x 1 y 2 z 1 2 - 1 . ĐS: (P) : x + 2y + 5z +3 = 0 . b) Với (Q) (Oxy),d : x - 1 y + 2 z º = = 1 1 2 - . ĐS: (P) : x - y + z - 3 = 0 . c) Với (Q) : 2x - y - z - 2 = 0 , x t d y t z t . ĐS: (P) : x + y + z - 3 = 0 . Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-1;-1;3),N(1;0;4) và mặt phẳng (Q): x + 2y - z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất. · ĐS: (P) : y - z + 4 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) M(1;2;-1),N(-1;1;2),(Q) º (Oxy) . ĐS: (P) : 6x + 3y + 5z - 7 = 0 . Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 x t ìï = - : 2 d y t = - + î z = 2 t íï . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c 2 2 2 0 ( 0) + + + = + + ¹ . Gọi ·a = ((P),Oy).
  12. 12. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng ( ) 2 () 2 Chọn hai điểm M(1;-2;0),N(0;-1;2)Îd . Ta có: M P c a b + + - + = Þ sin 2 sin 4 + 3 1 . (4 + 3 ) = = 1 . (4 3) 3 2 4 5 a = khi Trang 12 ì Î Þì = - í Î í = - + î î N P d a b Þ (P): ax by a - b z a 2b 0 2 b a2 b2 ab 5 5 2 a = + - . TH1: Nếu b = 0 thì a = 00 . TH2: Nếu b ¹ 0 thì sin 2 2 a a b b 5 5 2 a = æ ö ç ÷ + - è ø . Đặt x a = và f (x) = sin2a . b ( ) 4 Xét hàm số f x x2 x 5 2 5 = - + . Dựa vào BBT, ta được f x x max ( ) 5 1 = Û = Þ a > 00 . 6 5 Vậy a lớn nhất khi a b 1 5 = . Chọn a = 1,b = 5,c = -2,d = 9 Þ (P): x + 5y - 2z + 9 = 0 . Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng : 1 2 1 2 1 d x - y + z 1 = = - và : 2 1 2 1 2 d x + y - z 2 = = - . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là lớn nhất. · d1 đi qua M(1;-2;0) và có VTCP ur = (1;2;-1) .Vì d1 Ì (P) nên MÎ(P) . PT mặt phẳng (P) có dạng: A(x -1) + B(y + 2) +Cz = 0 (A2 + B2 +C2 ¹ 0) Ta có: d Ì (P)Ûur.nr = 0ÛC = A + 2B . Gọi a = (·2 (P),d2) Þ A B A B A AB B A AB B 2 2 2 2 3. 2 + 4 + 5 3 2 + 4 + 5 a TH1: Với B = 0 thì sin 2 2 3 a = TH2: Với B ¹ 0. Đặt t A = , ta được: B sin t t t 2 2 + = + + a Xét hàm số ( ) (4 3) f t t + t t 2 2 2 4 5 = + + . Dựa vào BBT ta có: max f (t) 25 = khi t = -7 Û 7 A B = -7 Khi đó sin f ( 7) 5 3 a = - = . 9 So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn nhất với sin 5 3 9 A B = -7 . Þ Phương trình mặt phẳng (P) : 7x - y + 5z -9 = 0 . Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + 1 y - 2 z + 1 = = 1 1 - 1 và điểm A(2;-1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. · ĐS: (P) : x + y + 2z -1 = 0 .
  13. 13. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian C âu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x - y + z + 2 = 0 và điểm A(1;1;-1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. · ĐS: (P) : y + z = 0 hoặc (P) : 2x + 5y + z - 6 = 0 . Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. x y z · Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ ( P ) : + + = 1 a b c 4 5 6 1 5 6 0 4 6 0 + = . Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. = éë ùû = Trang 13 uur uur uur uur Þ (4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; ) IA a JA b JK bc IK a c = - = - = - = - a b c b c a c ì + + = ïïí ï- + = îï- + = 77 77 77 Þ a = ; b = ; c = 4 5 6 Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x + 5y + 6z - 77 = 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1). ĐS: (P): x - y - z + 3 = 0 Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh rằng: b c bc 2 · PT mp (P) có dạng: x y z b c 1. 2 + + = Vì MÎ(P) nên 1 1 1 1 2 + + = Û b c b c bc + = . 2 uuur Ta có AB(-2;b;0) uuur , AC(-2;0;c). Khi đó S = b2 + c2 + (b + c)2 . Vì b2 + c2 ³ 2bc; (b + c)2 ³ 4bc nên S ³ 6bc . Mà bc = 2(b + c) ³ 4 bc Þbc ³ 16 . Do đó S ³ 96 . Dấu "=" xảy ra Û b = c = 4 . Vậy: min S = 96 khi b = c = 4 . Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng (P) : x + y + z + 4 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6. · Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = 0 (d ¹ 4) . Giả sử B = (Q)ÇOx, C = (Q)ÇOy Þ B(-d;0;0),C(0;-d;0) (d < 0) . SABC AB AC 1 , 6 2 uuur uuur Û d = -2 Þ (Q) : x + y + z - 2 = 0 . Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0;0),B(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9 2 . · ĐS: (P) : x + 2y - 2z - 3 = 0 .
  14. 14. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. · Giá sử A(a;0;0)ÎOx,B(0;b;0)ÎOy,C(0;0;c)ÎOz (a,b,c > 0) . Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z a b c + + = 1. 9 + 1 + 1 = 1 (1); VOABC abc 1 9 27 9 1 1 3 1 3 ì = = ìï = ï Û = í + + = íîï îï = + + = + + = Trang 14 Ta có: M(9;1;1)Î(P) Þ a b c = (2) 6 (1) Û abc bc ac ab 9 = + + ≥ abc 2 33 9( ) Û (abc)3 ³ 27.9(abc)2 Ûabc ³ 243 Dấu "=" xảy ra Û bc ac ab a b a b c c Þ (P): x y z 1 27 3 3 + + = . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;2;4) . ĐS: (P) : x y z 1 3 6 12 Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức 1 1 1 + + có giá trị OA2 OB2 OC2 nhỏ nhất. · ĐS: (P) : x + 2y + 3z -14 = 0 . Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA +OB +OC có giá trị nhỏ nhất. · ĐS: (P) : x y z 1 2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15 .
  15. 15. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng uuuur r Û t t t 2(2 -1) + ( - 2) - (- ) = 0 Û t 2 r uuuur = Þ d u æ ö æ ö ç - ÷Î ç - ÷Ï è ø è ø Trang 15 d : x + 1 y - 1 z - 2 = = và mặt 2 1 3 phẳng P : x - y - z -1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(1;1;-2) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d . · u r uur uur = éëud ;nP ùû =(2;5;-3) . D nhận ur làm VTCP Þ : x 1 y 1 z 2 2 5 3 D - - + = = - Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = -t ; y = -1+ 2t ; z = 2 + t ( tÎR ) và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 3 = 0 .Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d). · Gọi A = d Ç (P) Þ A(1;-3;1) . Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: -x + 2y + z + 6 = 0 D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: {x = 1+ t; y = -3; z = 1+ t Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D: x - 1 y + 1 z = = 2 1 - 1 . Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với D. r uuuur · u = (2;1; - 1) . Gọi H = d Ç D. Giả sử H(1+ 2t;-1+ t;-t) Þ MH = (2t D -1;t - 2;-t) . MH u^ D 3 = 3MH = (1;-4;-2) Þ d: 2 1 4 2 x t y t z t ìï = + = - íï î = . Câu 4. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P). · Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. (D) = (P)Ç(Q) suy ra phương trình (D). Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của : 2 0 3 2 3 0 đường thẳng d x z ì - = í î x - y + z - = trên mặt phẳng P : x - 2y + z + 5 = 0 . · PTTS của d: 4 x t y t z t 37 2 2 ì = ï = - + íï î = . Mặt phẳng (P) có VTPT nr = (1;-2;1) . Gọi A = d Ç(P) Þ A 4;11;2 æ ö ç ÷ è ø 2 . Ta có B d B P 0; 3 ;0 , 0; 3 ;0 ( ) 2 2 . Gọi H(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H 4 ; 7 ; 4 æ ö ç- - è 3 6 3 ÷ ø .
  16. 16. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) Þ D đi qua A và H r uuur Þ Phương trình của D: = = , (P) : x - 3y + 2z - 5 = 0 . ĐS: 1 6 2 3 2 2 1 3 ì = ì - + = ì = ï ï ï í = Ûí + - = Ûí = Þ ï Î îï + + = îï = î . 0 2 3 2 . 0 3 0 1 (2;1;1) BH AC a b c a CH AB a b c b H H ABC a b c c r r r r r r r . ì ^ é ù í Þ = ë û = - î ^ D , (12;2; 11) Trang 16 Þ D có VTCP u = 3HA = (16;13;10) 4 16 11 13 x t y t z t ì = + ï = + íï î = + 2 210 . Câu hỏi tương tự: a) Với d : x + 1 y - 1 z - 2 2 1 3 1 23 x m y m z m : 2 29 5 32 D ì = + ï = + íï î = + Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng (P) : 6x + 2y + 3z - 6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P). · Ta có: (P)ÇOx = A(1;0;0); (P)ÇOy = B(0;3;0); (P)ÇOz = C(0;0;2) Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (a) là mặt phẳng trung trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = D Ç(a ) Þ I 1 ; 3 ;1 æ ö ç ÷ è ø 2 2 . Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ . Þ Phương trình đường thẳng d: x t y t z t ì = + ïïí = + ïï î = + . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;-1),B(2;1;1);C(0;1;2) và đường thẳng d : x - 1 y + 1 z + 2 = = 2 - 1 2 . Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. uuur uuur uuur uuur · Ta có AB = (1;-1;2), AC = (-1;-1;3)Þ éëAB, ACùû = (-1;-5;-2) Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0 Gọi trực tâm của tam giác ABC là H(a;b;c) , khi đó ta có hệ: ( ) 5 2 9 1 uuur uuur uuur uuur Do đường thẳng D nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên: ABC ABC d u n d u n u u u D D Vậy phương trình đường thẳng : x 2 y 1 z 1 12 2 11 D - - - = = -
  17. 17. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương = Þ H 7 ; 1; 2 æ ö ç - - ÷ è ø uuur r Þ H 1; 8; 2 æ ö ç ÷ è ø r uuur Þ Phương trình D: - - + = = Trang 17 trình d : x - 1 y + 1 z = = 2 1 - 1 . Viết phương trình của đường thẳng D đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d. · PTTS của d: 1 2 1 x t y t z t ì = + ï = - + íï î = - . d có VTCP ur = (2;1;-1) . uuuur Gọi H là hình chiếu của M trên d Þ H(1+ 2t;-1+ t;-t) Þ MH = (2t -1;-2 + t;-t) uuuur r Û t 2 Ta có MH ^ d Û MH.u = 0 3 3 3 3 , MH 1 ; 4 ; 2 æ ö = ç - - è 3 3 3 ÷ ø uuuur Phương trình đường thẳng D: x - 2 y - 1 z = = 1 - 4 - 2 . Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua d Þ H là trung điểm của MM¢ Þ M 8; 5; 4 ¢æ ö ç - - è 3 3 3 ÷ ø . Câu hỏi tương tự: a) M( 4; 2;4);d : x + 3 y - 1 z + 1 - - = = 2 - 1 4 . ĐS: + 1 - D : = = 3 3 2 - 1 x y z Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t Î R. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A; cắt và vuông góc với (d). Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x = y - 1 = z + 1 1 2 - 1 và hai điểm A(1;1;-2) , B(-1;0;2) . Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới D là nhỏ nhất. · d có VTCP urd = (1;2;-1) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng D đi qua A và H thỏa YCBT. Ta có: (P): x + 2y - z - 5 = 0 . Giả sử H(x; y; z) . Ta có: ( ) , H P BH u cuøng phöông d ì Î íî 3 3 3 Þ u 3AH ( 2;5;8) D= = - x - 1 y - 1 z + 2 = = - 2 5 8 . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : x + 1 y z + 1 2 3 1 D = = - và hai điểm A(1;2;-1), B(3;-1;-5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng D sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. uuur uuur · Giả sử d cắt D tại M Þ M(-1+ 2t;3t;-1- t) , AM = (-2 + 2t;3t - 2;-t), AB = (2;-3;-4) Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d(B,d) = BH £ BA . Vậy d(B,d) lớn nhất bằng BA uuur uuur Û H º A Û AM ^ ABÛ AM.AB = 0 Û2(-2 + 2t) - 3(3t - 2) + 4t = 0Ût = 2 Þ M(3;6;-3) Þ PT đường thẳng d : x 1 y 2 z 1 1 2 - 1 .
  18. 18. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường 1 2 1 2 uuur uuur = éë ùû 1 3 2 2 2 2 uuuur x y z = = , (P) : 2x + y - z +1= 0 , M(1;2;–1) . ĐS: : 1 2 1 = a = - a = - = uur uuur uur = é ù = ë û Trang 18 thẳng D: x + 1 y - 1 z = = 2 - 1 2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. · Phương trình tham số của D: x t y t z t ìï = - + = - íï î = . Điểm C Î D nên C(-1+ 2t;1- t;2t) . uuur uuur AC = (-2 + 2t;-4 - t;2t); AB = (2;-2;6) ; éëAC, ABùû = (-24 - 2t;12 - 8t;12 - 2t) uuur uuur Þ éëAC, ABùû = 2 18t2 - 36t + 216 Þ S AC AB 1 , 2 uuur uuur = 18(t -1)2 +198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t =1 hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: x - 3 y - 3 z - 6 = = - 2 - 3 - 4 . Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + 1 y - 2 z - 2 = = 3 - 2 2 và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d). · Đường thẳng (d) có PTTS: x t y t z t ì =- + ï = - íï î = + . Mặt phẳng (P) có VTPT nr = (1; 3; 2) Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) Î d Þ MN = (3t - 3;-2t;2t - 2) uuuur r Để MN // (P) thì MN.n = 0Ût = 7 Þ N(20; -12; 16) Phương trình đường thẳng D: x - 2 y - 2 z - 4 = = 9 - 7 6 Câu hỏi tương tự: a) d : x y - 1 z - 2 1 2 1 = = , (P) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2;4). ĐS: : x 1 y 3 z 3 1 1 1 D - - - = = - b) d : x - 2 y z + 2 1 3 2 - - + D = = 2 - 9 - 5 c) x - 2 y + 4 z - 1 = = 3 - 2 2 , (P) : 3x - 2y - 3z - 2 = 0 ,M(3;-2;-4) . ĐS: : x - 3 y + 2 z + 4 5 6 9 D = = - Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 3x - 2y + z - 29 = 0 và hai điểm A(4;4;6) ,B(2;9;3) . Gọi E,F là hình chiếu của A và B trên (a ) . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (a ) đồng thời D đi qua giao điểm của AB với (a ) và D vuông góc với AB. uuur uuur · AB = (-2;5;-3), n r = (3;-2;1) r a , sin(AB,( )) cos(AB,n ) 19 532 a = = a EF AB AB AB 2 AB .cos( ,( )) 1 sin ( ,( )) 38 1 361 171 532 14 AB cắt (a ) tại K(6;-1;9) ; u AB,n (1;7;11) D a . Vậy 6: x t y t z t 1 7 9 11 D ì = + ï = - + íï î = +
  19. 19. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian C âu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần - + = - + + = = = . Lập r r r r r r r u n uD n u n ,n ( 3; 2; 1) ì ^ é ù í ^ Þ = ë û = - - - î uuur uuur uuur uuur ì = ì - + = ì = ï ï ï í = Ûí + - = Ûí = Þ ï Î îï + + = îï = î . 0 2 3 2 . 0 3 0 1 (2;1;1) ( ) 5 2 9 1 r r r r r r r u n ì ^ é ù í Þ = ë û = - î ^ D , (12;2; 11) = = và điểm A(-2;3;4) . Viết phương trình đường thẳng D nằm ( ) DD r r r Þ PT của D: = - + = ç - ÷ + ³ = Û M 2 ; 1;11 æ ö ç- - ÷ è ø Trang 19 lượt có phương trình: (P) : x 2y z 0, (Q) : x 3y 3z 1 0, (d) : x - 1 y z - 1 2 1 1 phương trình đường thẳng D nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d). · (P), (Q) lần lượt có VTPT là nP r = (1;-2;1),nQ r = (1;-3;3)ÞéënP,r nQ r ùû = (-3;-2;-1) PTTS của (d): x = 1+ 2t, y = t, z = 1+ t . Gọi A = (d) Ç (D) Þ A(1+ 2t;t;1+ t) . . Do A Ì (P) nên: 1+ 2t - 2t +1+ t = 0Ût = -2Þ A(-3;-2;-1) Theo giả thiết ta có: P P Q Q D D Vậy phương trình đường thẳng ( ) : x 3 y 2 z 1 3 2 1 D + + + = = . Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;-1),B(2;1;1),C(0;1;2) và đường thẳng (d) : x - 1 y + 1 z + 2 = = 2 - 1 2 . Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). uuur uuur uuur uuur · Ta có AB = (1;-1;2), AC = (-1;-1;3)Þ éëAB, ACùû = (-1;-5;-2) Þ phương trình (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0 Gọi trực tâm của DABC là H(a;b;c) BH AC a b c a CH AB a b c b H H ABC a b c c Do (D) Ì (ABC) và vuông góc với (d) nên: ABC ABC d d u n n u u D D Þ PT đường thẳng : x 2 y 1 z 1 12 2 11 D - - - = = - . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0, đường thẳng d : x + 3 y + 1 z - 3 2 1 1 trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên D sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. · Gọi B = d Ç (P) Þ B(-1;0;4) . Vì P d ì Ì í ^ î r r r r . u n u u ì ^ í ^ î nên P d D D Do đó ta có thể chọn u nP ud 1 , (1; 1; 1) D 3= éë ùû = - - 1 4 x t y t z t ìï = - + = - íï î = - . æ ö Giả sử M(-1+ t;-t;4 - t)ÎD Þ AM t t t 2 3 2 2 9 3 1 26 26 3 3 3 è ø Dấu "=" xảy ra Û t 1 3 3 3 3 . Vậy AM đạt GTLN khi M 2 ; 1;11 æ ö ç- - è 3 3 3 ÷ ø . Câu hỏi tương tự:
  20. 20. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng ì = - ï = - + íï î = + 3 2 3 r = (a;b;c), (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : nrP ^ urd 2 2 2 2( 2 ) 9( ) = - : chọn a = 7, c = -15, b = -8 Þ.PTTS của d là: íïì + + + 2 = 0 ï - + - = î - + + + = Trang 20 a) (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0 , 1: x t d y t z t x t y z t = ìïD = - íï . ĐS: : 1 4 î = + Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;-1;1) , đường thẳng : x y 2 z 1 2 2 D - = = , mặt phẳng (P) : x – y + z -5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng D một góc 450 . · Gọi ud , uD r r lần lươt là các VTCP của d và D ; nrP là VTPT của ( P). Đặt d u Þ a –b + c = 0 Û b = a + c ( 1 ). Theo gt: (d,D) = 450 Û a b c a b c a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 .3 2 + + = Û + + = + + + + (2) Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 30ac 0 c 0; c 15a 7 + = Û = = - + Với c = 0 : chọn a = b = 1 Þ PTTS của d là : 3 1– 1 x t y t z ìï = + = - íï î = + Với c 15a 7 3 7 1–8 1–15 x t y t z t ìï = + = - íï î = . Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x - 3 y + 2 z + 1 = = 2 1 - 1 và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42 . · PTTS d: 3 2 2 1 x t y t z t ì = + ï = - + íï î = - - Þ M(1;-3;0) . (P) có VTPT nrP = (1;1;1) , d có VTCP urd = (2;1;-1) r r r Vì D nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u ud ,nP (2; 3;1) D = éë ùû = - uuuur Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên D , khi đóMN = (x -1; y + 3; z) . Ta có uuuur r MN u N ( P ) MN D 42 ì ^ ï Î íï î = Û x y z x y z x 2 y 2 z2 2 3 11 0 ( 1) ( 3) 42 Þ N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5) · Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình của : x - 5 y + 2 z + 5 2 3 1 D = = - · Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình của : x + 3 y + 4 z - 5 2 3 1 D = = - . Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x + y - z -1 = 0 , hai đường thẳng (D): x - 1 y z = = - 1 - 1 1 , (D¢): x y z + 1 1 1 3 = = . Viết phương trình đường thẳng (d) nằm
  21. 21. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian trong mặt phẳng (a ) và cắt (D¢); (d) và (D) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 6 2 uuur , r 6 r Û Trang 21 . · (a) có VTPT nr = (1;1;-1) , (D) có VTCP u r = ( - 1; - 1;1) D Þ (D) ^ (a). uuur Gọi A = (D¢)Ç(a ) Þ A(0;0;-1) ; B = (D)Ç(a ) Þ B(1;0;0) Þ AB = (1;0;1) Vì (d) Ì (a) và (d) cắt (D¢) nên (d) đi qua A và (D) ^ (a) nên mọi đường thẳng nằm trong (a) và không đi qua B đều chéo với (D). Gọi d u a b c ( ; ; ) = r là VTCP của (d) Þ d u r .nr = a + b - c = 0 (1) uuur và urd không cùng phương với AB (2) AB u u Ta có: d(d,D) = d(B,d) Þ d d 2 éë ùû= 2 2 2 2 2 2 ( ) 6 b a c a b c 2 + - = + + (3) Từ (1) và (3) Þ ac = 0 Û a c 0 0 é = êë = . · Với a = 0 . Chọn b = c = 1 Þ urd = (0;1;1) Þ x 0 d y t z t : 1 ìï = = íï î = - + · Với c = 0 . Chọn a = -b = 1 Þ urd = (1;-1;0) Þ x t d y t z : 1 ìï = = - íï î = - .
  22. 22. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai 7 ' 3 2 ' 9 ' uuuur r uuuur r uuuur r uuuur r . Từ đây tìm được t và t¢ Þ Toạ độ của M, N. : 2 3 11 0 ì + + = í - + = î ì = - ï = - + íï î = : 7 2 uuur ì = ï = - íï î = - + 2: 4 1 2 : 2 1 3 3 1 2 : 3 7 1 1 2 1 Trang 22 đường thẳng: x y z 1 : 7 3 9 1 2 1 D - - - = = - và D2 : 3 7 1 2 1 3 x t y t z t ì = + ï = - íï î = - . · Phương trình tham số của D1 : x t y t z t ì = + ï = + íï î = - b Gọi M a và N r r lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với D1 và D2 Þ M(7 + t¢;3 + 2t¢;9 – t¢) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t) VTCP lần lượt của D1 và D2 là = (1; 2; –1) và = (–7;2;3) ìï ^ ìï Ûí . = 0 í îï ^ îï . = 0 Ta có: MN a MN a MN b MN b Đường vuông góc chung D chính là đường thẳng MN. Câu hỏi tương tự: a) Với x t y t z 1 3 ( ): 1 2 4 D ì = + ï = - + íï î = , x t y t z t 2 2 2 ' ( ): 2 ' 2 4 ' D ì =- + ï = íï î = + : 2 – 10 –47 0 . ĐS: x y z 3 –2 6 0 D ì + = í î x + y z + = Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-4;-5;3) và cắt cả hai đường thẳng: d x y 1 y z 2 7 0 và : 2 1 1 2 3 5 d x y z 2 - + - = = - . · Viết lại phương trình các đường thẳng: 5 3 x t d y t z t 1 1 1 1 , 2 2 x t ì = + ï = - + íï î = - : 1 3 d y t z t 2 2 2 2 1 5 . Gọi A = d Çd1,B = d Çd2 Þ A(5 - 3t1;-7 + 2t1;t1) , B(2 + 2t2;-1+ 3t2;1- 5t2). uuur uuur MA = (-3t1 + 9;2t1 - 2;t1 - 3) , MB = (2t2 + 6;3t2 + 4;-5t2 - 2) uuur uuur éëMA,MBùû = (-13t1t2 - 8t1 +13t2 +16;-13t1t2 + 39t2;-13t1t2 - 24t1 + 31t2 + 48) uuur uuur M, A, B thẳng hàng Û MA,MB uuur uuur r cùng phương Û éëMA,MBùû = 0 Û t t 1 2 2 0 ì = í = î uuur Þ A(-1;-3;2),B(2;-1;1) Þ AB = (3;2;-1) Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB = (3;2;-1) Þ 4 3 x t ìï = - + : 5 2 d y t = - + î z = 3 - t íï Câu hỏi tương tự: a) M(1;5;0), : 2 1 3 3 d x y - z 1 = = - - , x t d y t z t . ĐS: b) M(3; 10; 1) , d x y z 1 - + + = = , d x y z 2 - - - = = - - ĐS: 3 2 x t ì = + ï = - íï î = - : 10 10 d y t 1 2 z t
  23. 23. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian C âu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1, D2 và mặt phẳng (a ) có 2 1 1 2 : 5 3, : ,( ) : 2 0 ì = + - + + ï= + = = - + + = íï î = D D a uuur uuurr uuur Trang 23 phương trình là x t x y z y t x y z z t 1 2 1 1 2 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của D1 với (a ) đồng thời cắt D2 và vuông góc với trục Oy. · Toạ độ giao điểm A của (a ) và D1 thoả mãn hệ 2 1 53 1 (1;2; 1) x t t y t x A z t y x y z z ì = + ì = - ïï = + ïï = í Ûí Þ - ï = ï = 2 îï - + + 2 = 0 îï = - 1 r Trục Oy có VTCP là j = (0;1;0) . Gọi d là đường thẳng qua A cắt D2 tại B(1+ t;-1+ t;-2 + 2t) . AB = (t;t - 3;2t -1);d ^ OyÛ AB j = 0Ût = 3Þ AB = (3;0;5) uuur Đường thẳng d đi qua A nhận AB = (3;0;5) làm VTCP có phương trình là 1 3 2 1 5 x u y z u ì = + ï = íï î = - + . Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x t ì = + ï = + íï î = + d y t z t 1 1 : 1 2 1 2 , đường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z –5 = 0 . Gọi I là giao điểm của d1,d2 . Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1,d2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. · PTTS của d2 :{x = t '; y = -1+ 2t '; z = 3 - 2t ' . I = d1Çd2 Þ I(1;1;1) . Giả sử: B(1+ t;1+ 2t;1+ 2t)Îd1, C(t ';-1+ 2t ';3 - 2t ')Îd2 (t ¹ 0, t ' ¹ 1) DBIC cân đỉnh I Û IB IC [AB , AC ] 0 ì = í = î uuur uuur ur Û tt 1 ' 2 ì = í = î Þ Phương trình d3 :{x = 2; y = 3; z = 1+ 2t Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x –3y +11z = 0 và hai đường thẳng d1: x -1 = y - 3 2 = z + 1 3 , x - 4 1 = y 1 = z - 3 2 . Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d1 và d2. · Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1) Phương trình đường thẳng D: x + 2 y - 7 z - 5 = = 5 - 8 - 4 . Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): 3x +12y - 3z - 5 = 0 và (Q): 3x - 4y + 9z + 7 = 0 , (d1): x + 5 y - 3 z + 1 = = 2 - 4 3 , (d2): x - 3 y + 1 z - 2 = = - 2 3 4 . Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2). · (P) có VTPT nrP = (1; 4; -1) , (Q) có pháp vectơ nrQ = (3; - 4; 9)
  24. 24. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng (d1) có VTCP ur1 = (2; - 4; 3) , (d2) có VTCP ur2 = (-2; 3; 4) r = r r = - - r và ur nên có VTPT: P n : 1 1 2 2 3 2 2 0 2 3 0 ì - + = í + + = î ( ) : - 2 - 1 - 1 = = ; (P) : x + y - 2z + 5 = 0 . Lập phương Trang 24 Gọi: ( ) ( P ) ( Q ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ì D = Ç ï É ïí ï É 1 1 1 1 1 2 1 P d P P Q d Q Q u u D 1 = ïî P P r r Þ (D) = (P1) Ç (Q1) và (D) // (D1) (D) có vectơ chỉ phương u nP nQ 1[ ; ] (8; 3; 4) 4 (P1) có cặp VTCP u1 r 1 = [ur1; ur ] = (25; 32; 26) Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 Û25x + 32y + 26z + 55 = 0 (Q1) có cặp VTCP u2 r và ur nên có VTPT: Q n r 1 = [ur2; ur ] = (0; 24; -18) Phương trình mp (Q1): 0(x - 3) + 24(y +1) -18(z - 2) = 0 Û 4y - 3x +10 = 0 Ta có: (D) = (P1) Ç(Q1) Þ phương trình đường thẳng (D) : x y z 25 32 26 55 0 4 3 10 0 ì + + + = í î y - z + = Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z –3 = 0 và hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình x - 4 y - 1 z = = 2 2 - 1 và x + 3 y + 5 z - 7 = = 2 3 - 2 . 2 Viết phương trình đường thẳng (D ) song song với mặt phẳng (P), cắt (d1) và (d2) tại A và B sao cho AB = 3. · A Î ( d1 ) Þ A (4 + 2 t ;1 + 2 t ; - t ) ; B Î()d Þ B (-3 + 2 t ¢;-5 + 3 t ¢;7 - 2 t ¢) uuur AB = (-7 + 2t¢ - 2t;-6 + 3t¢ - 2t;7 - 2t¢ + t) , nrP = (2;-1;2). uuur r ì = í î = . 0 3 Từ giả thiết ta có: AB nP AB Û tt 2 1 ì ¢ = í = - î uuur Þ A(2;-1;1), AB = (-1;2;2) . Þ Phương trình đường thẳng (D): x - 2 y + 1 z - 1 = = - 1 2 2 . Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + z +1 = 0 và hai đường thẳng : 1 2 3 2 1 3 d x y z 1 - + - = = , d x y z 2 + - - = = . Viết phương trình đường thẳng D song song với (P), vuông góc với d1 và cắt d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3. · d1 có VTCP ur1 = (2;1;3) , d2 có VTCP ur2 = (2;3;2) , (P) có VTPT nr = (2;-1;1) . Giả sử D có VTCP ur = (a;b;c) , EÎd2 có xE = 3 Þ E(3;-1;6) . Ta có: ( P ) u . n 0 ì ì = í Ûí = î ^ î . 0 d1 u u1 DD r r P r r Û a b c a b c Û a c ì = - í = - î b c Þ Chọn ur = (1;1;-1) Þ PT đường thẳng D: {x = 3 + t; y = -1+ t; z = 6 - t . Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) và mặt phẳng (P) có phương trình: ( ) : 1 2 d x + y + z 1 = = , 1 2 1 d x y z 2 2 1 1 trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt (d1),(d2) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
  25. 25. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian · Đặt A(-1+ a;-2 + 2a;a), B(2 + 2b;1+ b;1+ b)Þ AB = (-a + 2b + 3;-2a + b + 3;-a + b +1) uuur r . Suy ra: AB a a = ( - 5;- -1;-3) uuur ì- - - = í + - = î 2 8 26 0 2 4 8 0 ì - + = í- - + = î ì =- = = + íî 6 3 2 0 6 3 2 24 0 Trang 25 uuur Do AB // (P) nên: AB ^ nP = (1;1;-2)Ûb = a - 4 uuur AB = (a - 5)2 + (-a -1)2 + (-3)2 = 2a2 - 8a + 35 = 2(a - 2)2 + 27 ³ 3 3 Suy ra: min AB 3 3 a 2 b 2 = Ûì = í = - î , A(1;2;2) , AB = (-3;-3;-3) . Vậy d : x - 1 y - 2 z - 2 = = . 1 1 1 Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( ) : 8 6 10 d x y z 1 + - - = = 2 1 - 1 và x t ìï = 2 (): 2 d y t = - íï î = - + 4 2 z t . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1) tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB. · Giả sử: A(-8 + 2t1;6 + t1;10 - t1) Î d1, B(t2;2 - t2;-4 + 2t2) Î d2. uuur Þ AB = (t2 - 2t1 + 8;-t2 - t1 - 4);2t2 + t1 -14) . uuur r AB,i = (1;0;0) cùng phương Û t t t t 2 1 2 1 4 0 2 14 0 Û t t 1 2 22 18 ì = - í = î Þ A(-52;-16;32), B(18;-16;32) . Þ Phương trình đường thẳng d: {x = -52 + t; y = -16; z = 32 . Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1): 23 8 10 4 x t y t z t ìï = - + = - + íï î = và (d2): x - 3 y + 2 z = = 2 - 2 1 . Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2). · Giả sử A(-23 + 8t1;-10 + 4t1;t1) Î d1, B(3 + 2t2;-2 - 2t2;t2) Î d2. uuur Þ AB = (2t2 - 8t1 + 26;-2t2 - 4t1 + 8;t2 - t1) uuur r AB // Oz Û AB,k cuøng phöông Û t t t t 2 1 2 1 Û t t 1 2 17 6 5 3 ì = ïíï = - î Þ A 1; 4 ;17 æ ö ç- ÷ è 3 3 6 ø Þ Phương trình đường thẳng AB: x y z t 1; 4 ; 17 3 3 6 Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d): x y z ì - + = í î x + y + z - = . Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. · Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0
  26. 26. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 6 3 2 12 0 3 3 0 D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: x y z ì + + - = íî x - y + z = Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. · Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) Þ (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D) Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: = = . Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình uuur r Þ PTTS của { d : x = t; y = -t; z = 0 ( ) : 2 1 ìï = - + = - íï î = + ' 3 ' 6 ' 1 uur 1 9 15 2 0 18 18; 12 ; 7 ¢ ¢ ¢ ¢ æ ö ^ Û - + - + - = Û = Þ ç - ÷ 18 56 118 4 0 26 11 11 11 11 l l l Trang 26 x t ì =- - ï = íï î = + d y t z t 1 1 2 : 1 và d x y z 2: 1 1 2 đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với uuur d2. · Đường thẳng D cần tìm cắt d1 tại A(–1–2t; t; 1+t) ÞOA = (–1–2t; t; 1+t) d ^ d2 ÛOA.u2 = 0Ût = -1Þ A(1;-1;0) Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;1;1) , d x y z 1 + - = = 3 1 - 2 , x t d y t z t 2 2 2 ( ): 5 2 . ĐS: d : x - 1 y - 1 z - 1 = = 3 1 - 1 Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình: (d1) : x t y t z t ì = ï = + íï î = + 4 6 2 và (d2) : x t y t z t ì = ï = - íï î = - Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1). · (d1) có VTCP ur1 = (1; 1; 2) ; (d2) có VTCP ur2 = (1; 3; 1) KÎ(d2) Þ K(t¢; 3t¢ - 6; t¢ -1) Þ IK = (t¢ -1; 3t¢ - 5; t¢ - 2) IK u2 t t t t K 11 11 11 11 è ø uur r Giả sử (d ) cắt (d1) tại H(t; 4 + t; 6 + 2t), (H Î(d1)) . HK t t t 18 ; 56 ; 59 2 æ ö = ç - - - - - è 11 11 11 ÷ ø uuur uuur r HK u1 t t t t ^ Û - - - - - = Û = - HK 1 (44; 30; 7). Þ = - - 11 uuur Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): x y z 18 44 ; 12 30 ; 7 7 11 11 11 ì = + = - - = - íî Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) với: (d1): x - 1 y + 2 z 3 2 1 = = ; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x +1 = 0 và (Q): x + y - z + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2). · Phương trình mặt phẳng (a) đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): 3x + 2y + z - 3 = 0 .
  27. 27. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 3 2 3 0 1 0 1; 5; 8 ì + + - = æ ö ï + = Û -í ç ÷ ï + - + = è ø î d x y z - - = = , ( ') : 1 2 = = r r r Þ Phương trình r r r r r r r Þ (D): ì ^ é ù í Þ = ë û = - - î ^ Trang 27 A = (d2) Ç (a) Û x y z x A x y z 2 0 3 3 Þ Phương trình AM: x y - 1 z - 1 = = 3 2 5 - . Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x - y + 2z = 0 và 2 đường thẳng (d) : x - 1 y - 1 z - 1 1 3 2 2 1 1 - . Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d'). · Ta có nrP = (2;-1;2), urd = (1;3;2) và PTTS của (d'): 1 2 2 x t y t z t ì = - ï = + íï î = Gọi A = (d') Ç (P) Þ A(1- 2t;2 + t;t). Do A Î (P) nên: 2(1- 2t) - 2 - t + 2t = 0Ût = 0Þ A(1;2;0) Mặt khác (D) nằm trong (P), vuông góc với (d) nên uD r vuông góc với nrP, urd Þ ta có thể chọn u nP,ud ( 8; 2;7) D = éë ùû = - - : x 1 y 2 z 8 2 7 D - - = = - - Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + z -1 = 0 và hai đường thẳng (d1): x - 1 y + 2 z - 3 2 1 3 = = , (d2): x + 1 y - 1 z - 2 2 3 2 = = . Viết phương trình đường thẳng (D) song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3. a n · E Î (d2) Þ E(3; 7; 6). P P d d a n a a a 1 1 , 4(1;1; 1) V V V 37 x t y t z t ìï = + = + î = 6 - íï . Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x - 8y + 7z +1 = 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). · Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) uuur Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là éëAB,r nP ùû Þ d: x - 2 y z - 1 = = 2 - 1 - 2 Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x + 1 y - 1 z - 1 = = 2 - 1 1 ; d2: x - 1 y - 2 z + 1 1 1 2 = = và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . · Gọi A = d1 Ç D, B = d2 Ç D. Vì D Ì (P) nên A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P) Þ A(1; 0; 2), B(2; 3; 1) Þ D chính là đường thẳng AB Þ Phương trình D: x - 1 y z - 2 = = 1 3 - 1 . Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với
  28. 28. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng uuuur r Û ( ) : - 1 + 1 = = , : 1 1 2 2 3 1 - - - : 1 1 1 5 2 1 Trang 28 ( ) : 1 1 d x - y + z 1 = = 2 - 1 1 và x t ìï = - + d y z t 2 1 ( ): 1 = - íï î = - , với tÎR . · Lấy MÎ(d1) Þ M(1+ 2t1;-1- t1;t1) ; N Î(d2 ) Þ N (-1+ t;-1;-t) uuuur Suy ra MN = (t - 2t1 - 2;t1;-t - t1) d P MN k n k R* t t t t t ( ) ^ ( )Û = . ; Î Û - 2 1 - 2 = 1 = - - 1 t t1 4 5 2 5 ì = ïïí ï - = ïî Þ M 1 ; 3; 2 æ ö = ç - - è 5 5 5 ÷ ø 1 3 2 Þ d: x - = y + = z + 5 5 5 Câu hỏi tương tự: a) Với (P): 2x + y + 5z + 3 = 0 , d x y z 1 2 1 2 ( ) : 2 1 d x y z 2 - - = = 1 1 - 2 ĐS: d : x + 1 y + 2 z + 2 = = 2 1 5 b) Với (P) : 2x – y –5z +1 = 0 , d x y z 1 + - - = = , : 2 2 1 5 2 d x - y + z 2 = = - ĐS: x - 1 y - 4 z - 3 = = 2 - 1 - 5 Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z +1 = 0 , (Q): x – y + 2z + 3 = 0 , (R): x + 2y –3z +1 = 0 và đường thẳng D1 : x - 2 y + 1 z = = - 2 1 3 . Gọi D2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng D1 , D2 . · Dcó PTTS: {1 x = 2 - 2t; y = -1+ t; z = 3t ; D2 có PTTS: {x = 2 + s; y = 5 + 3s; z = s . Giả sử d ÇD1 = A;d ÇD2 = B Þ A(2 - 2t;-1+ t;3t), B(2 + s;5 + 3s;s) uuur AB = (s + 2t;3s - t + 6;s - 3t) , (R) có VTPT nr = (1;2;-3) . uuur r cùng phương d ^ (R)Û AB, n s + 2t 3s -+ t 6 s - 3t 1 2 3 Û = = - 23 1 1 23 Þ t = Þ A ; ; 24 æ ö ç ÷ è 12 12 8 ø Vậy phương trình của d: x 1 y 1 z 23 12 = 12 = 8 1 2 - 3 . Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình x t ì = ï = - íï= - + î 1: 4 d y t 1 2 z t , : 2 1 3 3 d x y - z 2 = = - - , d x y z 3 + - + = = . Viết phương trình đường thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d1, d2, d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC . · Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1, d2, d3 .
  29. 29. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Giả sử A(t;4 –t;-1+ 2t), B(u;2 –3u;-3u), C(-1+ 5v;1+ 2v;-1+ v) . Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC ÛB là trung điểm của AC t uv 2 3 3 9 ( ) 3 6 = Û + + = Û = Û = ± ( ) : 1 6 5 ( ) : 3 1 Trang 29 ( 1 5 ) 2 4 (1 2 ) 2.(2 3 ) 1 2 ( 1 ) 2( 3 ) t v u ì + - + = Ûï - + + = - íï t v u t v u î- + + - + = - Û 1 0 0 ìï = = íï î = Þ A(1;3;1), B(0;2;0), C(-1;1;-1) . Đường thẳng D đi qua A, B, C có phương trình: x y - 2 z = = 1 1 1 Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): 2 4 3 2 3 x t y t z t ì = + ï = + íï î = - + và mặt phẳng (P): -x + y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . · Chọn A(2;3; -3), B(6;5; -2)Î(d), mà A, B Î (P) nên (d) Ì (P) . r r Gọi ur là VTCP của ( d1 ) Ì (P), qua A và vuông góc với (d) thì r r d u u u u P ì ^ í ^ î nên ta chọn ur = [urd ,urP ] = (3;-9;6) . Phương trình của đường thẳng ( d1 ) : x t y t t R z t ì = + ï = - Î íï î = - + Lấy M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) Î( d1 ) . (D) là đường thẳng qua M và song song với (d). Theo đề : AM t2 t2 t2 t2 t 14 9 81 36 14 1 1 9 3 · t = 1 3 - ÞM(1;6; -5) x y z 1 4 2 1 D - - + Þ = = · t = 1 3 ÞM(3;0; -1) x y z 2 4 2 1 D - + Þ = =
  30. 30. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z +1 = 0 và đường r r và d1 qua I uur - + + = = Trang 30 thẳng: d: x - 2 y - 1 z - 1 = = 1 - 1 - 3 . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng D nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến D bằng h = 3 2 . · (P) có VTPT nrP = (1;1;-1) và d có VTCP ur = (1;-1;-3) . I = d Ç(P)ÞI(1;2;4) Vì D Ì (P);D ^ d ÞD có véc tơ chỉ phương u r = éë r nP,u r ( 4;2; 2) D ùû = - - Gọi H là hình chiếu của I trên D Þ H Împ(Q) qua I và vuông góc D Þ Phương trình (Q): -2(x -1) + (y - 2) - (z - 4) = 0Û-2x + y - z + 4 = 0 Gọi d1 = (P)Ç(Q)Þd1 có VTCP ëénP;nQ ûù = (0;3;3) = 3(0;1;1) x d y t z t 1 1 : 2 4 ì = ïÞ= + íï î = + Giả sử H Îd1ÞH(1;2 + t;4 + t)ÞIH = (0;t;t) . Ta có: 3 2 2 2 3 2 3 IH t t = Û = Û é = êë t = - 3 · Với t = 3Þ H(1;5;7) Þ Phương trình : x 1 y 5 z 7 2 1 1 D - - - = = - - · Với t = -3Þ H(1;-1;1) Þ Phương trình : x 1 y 1 z 1 2 1 1 D - + - = = - - . Câu hỏi tương tự: a) (P) : x + y + z + 2 = 0 , d : x 3 y 2 z 1 2 1 - 1 , h = 42 . ĐS: : x - 5 y + 2 z + 5 2 3 1 D = = - ; : x + 3 y + 4 z - 5 2 3 1 D = = - Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0 và đường thẳng d : x + 1 y - 1 z - 3 = = 1 7 - 1 . Viết phương trình đường thẳng D vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2. · Vì D ^ (P) nên D nhận nrP = (2;1;-2) làm VTCP. Giả sử M(t -1;7t +1;3 - t)Îd . Ta có: d(M,(P)) = 2 Û 11t + 2 = 6 Û t t 8 11 4 11 é = - êêê = ë = - Þ M 19 ; 45; 41 + Với t 8 11 æ ö ç- - ÷ è ø 11 11 11 Þ D: x t y t z t 19 2 ; 45 ; 41 2 11 11 11 ì = - + = - + = - íî = Þ M 7 ; 39 ; 29 + Với t 4 11 æ ö ç- ÷ è ø 11 11 11 Þ D: x t y t z t 7 2 ; 39 ; 29 2 11 11 11 ì = - + = + = - íî Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 3y - z -1 = 0 và các điểm A(1;0;0); B(0;-2;3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). · Ta có: A(1;0;0)Î(P) . Gọi VTCP của đường thẳng d là: ur = (a;b;c), a2 + b2 + c2 ¹ 0 Ta có: d Ì (P)Ûur.nrP = 0Ûc = a + 2b
  31. 31. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian éë ùû + + = = 2 2 2 2 ( , ) , 12 24 54 2 2 ( , ) 12 + 24 + 54 = = ( ) 2 4 5 1 0 ì = 1+ ï = - íï î = - éë ùû - + = = = , 12 18 18 ( , ) ( ) AB u t t d B d f t = Û = Þ Phương trình đường thẳng d: Trang 31 uuur AB = (-1;2;-3) uur uuur ; duAB a b a b a b , ( 2 7 ;2 2 ;2 ) é ù = - - - + ë û Þ u AB a ab b d B d u a ab b 2 + 4 + 5 r uuur r + TH1: Nếu b = 0 thì d(B,d) = 6 + TH2: Nếu b ¹ 0 . Đặt t a = Þ b d B d t t f t t t + + Xét hàm số 2 2 ( ) 12 24 54 f t t t + + 2 t 4 t 5 = + + ta suy ra được 6 £ d(B,d) = f (t) £ 14 So sánh TH1 và TH2 Þ 6 £ d(B,d) £ 14 Do đó: a) min(d(B,d)) = 6 Ûb = 0 . Chọn a =1 Þ c= 1 Þ Phương trình đường thẳng d: x t y z t ì = + ï = íï î = b) max(d(B,d)) = 14 Ûa = -b . Chọn b = –1 Þ a =1 , c = –1 Þ Phương trình đường thẳng d: x t y t z t Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và các điểm A(-3;0;1) ; B(1;-1;3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất. · ĐS: d : x + 3 y z - 1 = = 26 11 - 2 . Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : x 1 y z 2 2 1 1 D + - = = - , hai điểm d u A(0;-1;2) , B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng D sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất). uuur · Gọi M = d Ç D . Giả sử M ( - 1 + 2 t ; t ;2 - t ) . VTCP của d: r = AM = (2t -1;t +1;-t) uuur AB(2;2;-1) uuur r ; éëAB;ud ùû = (1- t;1;4 - 2t) Þ d u t t d 2 2 6 - 2 + 2 uuur r r Xét hàm số 2 2 ( ) 12 24 54 f t t t + + 2 t 4 t 5 = + + . Ta có max f (t) f (0) 18; min f (t) f (2) 1 11 = = = = Þ d B d 1 ( , ) 18 11 £ £ a) d B d t min( ( , )) 1 2 11 3 1 3 2 2 x t y t z t ì = ï = - + íï î = -
  32. 32. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng b) max(d(B,d)) = 18 Ût = 0Þ Phương trình đường thẳng d: : 1 0, (2;1; 1), ( 1;2;0) : 1 0 ; : 2 3 0 d x d x y ì + = ì + - = í + - = í - - = î î d : x - 3 y + 2 z - 1 = = d : x - 1 y - 4 z - 2 = = r r uuur r r , . (2 ) ( , ) 3. 3. ( ) v u AN d d D t f t v u t t Trang 32 x t y t z t ì = - ï = - 1 + î = 2 - íï Câu hỏi tương tự: a) x y z A B D íì + + - = î x - y + z - 1 - - = 0 . ĐS: max y z min y z 2 0 2 0 b) : x 1 y 2 z 1, A(3; 2;1), B(2;1; 1) 1 2 1 D - + - = = - - - . ĐS: max 19 - 3 5 ; : 3 20 1 d x y z min - + - = = 5 20 7 - - . c) : x 1 y 2 z , A(1;4;2), B( 1;2;4) 1 1 2 D - + = = - - . ĐS: max 1 - 4 - 3 ; : 1 4 2 15 18 19 d x y z min - - - = = Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x - 1 y - 2 z = = , hai điểm 2 1 1 A(1;1;0),B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến D là lớn nhất. ruuur · Ta có VTCP của d là: ud = (2;1;1) và AB = (1;0;1) . Gọi H là hình chiếu của B lên D ta có: d(B,D) = BH £ AB . Do đó khoảng cách từ B đến D lớn nhất khi H º A . Khi đó D là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. Ta có d AB ì ^ í ^ î DD r r uuur = éë ùû = - - Þ Có thể chọn VTCP của D là u ud , AB (1; 1; 1) D Þ PT của D là: 1 1 x t y t z t ì = + ï = - íï î = - Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0;-1;2) , cắt đường thẳng x y z 1 : 1 2 2 1 1 D + - = = - sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng x y z 2 : 5 2 2 1 D - = = - là lớn nhất. r uuur · Gọi M d 1 D = Ç . Giả sử M t t t ( 1 2 ; ;2 ) - + - .VTCP của d : d u = AM = (2t -1;t +1;-t) uuur D2 đi qua N(5;0;0) và có VTCP v (2; 2;1) D = - r ; AN = (5;1;-2) r r ; v ;ud (t 1;4t 1;6t) D éë ùû = - - Þ d d 2 2 2 , 53 10 2 D D éë ùû + = = = éë ùû - + Xét hàm số ( ) (2 ) f t t 2 2 + 53 t 10 t 2 = - + . Ta suy ra được max f (t) f ( 4 ) 26 = = 37 9 Þ max(d(D,d)) = 26Þ Phương trình đường thẳng d: {x = 29t; y = -1- 41t; z = 2 + 4t Câu hỏi tương tự:
  33. 33. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian (2; 1;2), : 1 1 1, : 2 1 0 - + - ì + - + = - = = í -+ + = î D D 2 2 2 é = êë + = 15 7 0 6 - 9 3 6 ( 4) ( 1) (2 3) 2 Trang 33 a) A x y z x y z 1 2 x y z 2 1 1 1 0 . ĐS: d : x - 2 y + 1 z - 2 = = 41 68 - 27 . Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;-1;2) , song song với mặt phẳng (P) : x + y - z +1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng x y z : 3 0 2 2 0 D ì + + - = í î x - y + z - = là lớn nhất. · ĐS: 1 1 2 x y t z t ìï = = - + íï î = + . Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc Câu 52. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: x y - 2 z 1 2 2 = = và mặt phẳng (P): x - y + z - 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 450 . · Gọi ud r ,u r ,r D nP lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). r = (a;b;c) (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Giả sử d u + Vì d Ì (P) nên urd ^ nrP Þ a - b + c = 0 Û b = a + c (1) + (·d,D) = 450 Û a + b + c a2 b2 c2 = 3 + + 2 Û 2(a + 2b + c)2 = 9(a2 + b2 + c2 ) (2) Từ (1) và (2) ta được: 14c2 + 30ac = 0 Û c 0 a c + Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: {x = 3 + t; y = -1- t; z = 1 + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: {x = 3 + 7t; y = -1- 8t; z = 1-15t . Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P) : x + y – z +1 = 0 , cắt các đường thẳng 1 3 x t x t ì = + ì = - ï = ï = + í í îï = + îï = - : ; : 1 d y t d y t 1 2 2 2 1 2 z t z t và tạo với d1 một góc 300. · Ta có d1 Ì (P) . Gọi A = d2 Ç(P) Þ A(5;-1;5) . d1 có VTCP ur1 = (1;1;2) . uuur Lấy B(1+ t;t;2 + 2t)Îd1 Þ AB = (t - 4;t +1;2t - 3) là VTCP của D Ta có d 0 cos(D, 1) = cos30 Û t t 2 t 2 t 2 = - + + + - 1 4 tt Û é = - êë =
  34. 34. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 5 1 5 5 1 5 = = - Þ ur = (2;-5;-11) Þ PT của D: + - ì - + = ï + - í = ï î + + 2 3 6 2 Trang 34 uuur + Với t = -1 thì AB = (-5;0;-5) Þ d: x t y z t ì = + ï = - íï î = + uuur + Với t = 4 thì AB = (0;5;5) Þ d: x y t z t ì = ï = - + íï î = + Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan·OBC = 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. · BC: {x = 2 + t; y = -2t; z = 0 . Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-1;1),B(0;1;-2) và đường thẳng d : x y - 3 z + 1 = = 1 - 1 2 . Viết phương trình đường thẳng D đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng d một góc a sao cho cos 5 a = . 6 · PT mặt phẳng (OAB): x + 4y + 2z = 0 . Gọi M = d Ç (OAB) Þ M(-10;13;-21) . Giả sử D có VTCP ur = (a;b;c) + Vì D Ì (OAB) nên a + 4b + 2c = 0 (1) + cos 5 a = Û 6 2 5 a - b + c a2 b2 c2 = 6 + + 6 (2) 5 , 2 11 11 , 6 é = = - êê ë = = - Từ (1) và (2) Þ b ca c b ca c + Với b c a c 5 , 2 11 11 x + 10 y - 13 z + 21 = = 2 - 5 - 11 + Với b = c,a = -6c Þ ur = (6;-1;-1) Þ PT của D: x + 10 y - 13 z + 21 = = 6 - 1 - 1 Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A(0;1;-2) , vuông góc với đường thẳng d : x 3 y 2 z = = 1 - 1 1 và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0 một góc a = 300 . · Giả sử D có VTCP ur = (a;b;c) . Ta có: r a d cos 3 2 ì ^ a ïí = ïî Û a b c 0 a b c a2 b2 c2 0, 2 , Û é c = a = b ê=- = - ë c ab a + Với c = 0,a = b Þ ur = (1;1;0) Þ D: {x = t; y = 1+ t; z = -2 + Với c = -2a,b = -a Þ ur = (1;-1;-2) Þ D: {x = t; y = 1- t; z = -2 - 2t .
  35. 35. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian C âu 57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;-1;2) , song song với mặt phẳng (P) : 2x - y - z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng : x 1 y 1 z cos 5 - 4 1 . (5 - 4 ) cos 1 . (5 4) 1 a = = . ( ) r uuur . Gọi ·d Û = - Þ Phương trình đường thẳng d : Trang 35 1 2 2 D + - = = - một góc lớn nhất (nhỏ nhất). · D có VTCP u r = (1; - 2;2) D . Gọi VTCP của đường thẳng d là ur = (a;b;c) . d P (P)Ûur.nrP = 0Ûc = 2a - b . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là a. 2 Þ a b a b a ab b a ab b = = 2 2 2 2 a 3 5 - 4 + 2 3 5 - 4 + 2 + TH1: Nếu b = 0 thì cos 1 . 5 3 a = + TH2: Nếu b ¹ 0 . Đặt t a = Þ b 2 t - f t t 2 t 3 5 - 4 + 2 3 Xét hàm số ( ) (5 4) f t t - t t 2 2 5 4 2 = - + . Ta suy ra được: 0 cos f (t) 5 3 9 £ a = £ So sánh TH1 và TH2, ta suy ra: 0 cos 5 3 9 £ a £ Do đó: a) min(cosa ) = 0 Û a b 4 5 = Þ Phương trình đường thẳng d : x - 1 y + 1 z - 2 = = 4 5 3 b) max(cos ) 5 3 a = Û 9 a b 1 5 = - Þ Phương trình đường thẳng d: x - 1 y + 1 z - 2 = = 1 - 5 7 Câu 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(-1;0;-1) , cắt đường thẳng x y z 1 : 1 2 2 2 1 1 D - - + = = - sao cho góc giữa d và đường thẳng x y z 2 : 3 2 3 1 2 2 D - - + = = - là lớn nhất (nhỏ nhất). d · Gọi u M = d ÇD1 . Giả sử M(1+ 2t;2 + t;-2 - t) . VTCP của d : = AM = (2t + 2;t + 2;-1- t) a = ( ,D2 ). Þ 2 cos 2 . t 2 . f ( t ) 2 3 6 t 14 t 9 3 a= + + Xét hàm số f t t 2 2 ( ) 6 t 14 t 9 = + + . Ta suy ra được max f (t) f ( 9) 9 = - = ;min f (t) = f (0) = 0 7 5 a) min(cosa ) = 0 Û t = 0 Þ Phương trình đường thẳng d : x + 1 y z + 1 = = 2 2 - 1 b) max(cos ) 2 5 a = t 9 5 7 x + 1 y z + 1 = = 4 5 2
  36. 36. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: d x y z 1 : 1 4 3 1 2 1 (1;2;5) 1 , 2 3 = Ç Þ Þ = éë ùû = : 1 2 2 3 2 æ - + ö = çç ÷÷ è + + + ø Trang 36 : - 2 - 3 - 3 = = 1 1 - 2 , d x y z 2 - - - = = - . Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của DABC và tính diện tích của DABC . · Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH Þ(P) ^ d1Þ(P) : x + y - 2z +1 = 0 B = (P)Çd2 Þ B(1;4;3) Þ phương trình BC :{x = 1+ 2t; y = 4 - 2t; z = 3 Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có: (Q) : x - 2y + z - 2 = 0Þ K(2;2;4)Þ M(1;2;5) (K là trung điểm của CM). x 1 ì = ïÞ = + íï : 4 2 AB y t 3 2 z t î = - , do A AB d1 A S ABC AB AC D 2 uuur uuur . Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho DABC với A(1;-1;1) và hai đường trung tuyến lần lượt có phương trình là d x y z 1 - - = = - - , x t ìï = - d y = íï î = + z t 2 1 : 0 1 . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. · Ta có AÏd1, AÏd2 . Gọi MÎd1, N Îd2 lần lượt là trung điểm AC, AB. N(1–t;0;1+ t) Þ B(1–2t;1;1+ 2t) . B d1 t 1 2 Î Þ = Þ B(0;1;2) 1 (1;0;1) 2 M(2t;1- 3t;2 - 2t) Þ C(4t –1;3 –6t;3 –4t) . C Î d2 Þ t = Þ C uuur uuur Ta có: AB = 6, AC = 1. Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB = - 6DC æ + ö çç ÷÷ è + + + ø Þ D 6 ; 1 ; 2 6 1 6;1 6 1 6 Þ AD 1 ; 2 6 ; 1 1 6 1 6 1 6 uuur Vậy phương trình đường thẳng AD là: x - 1 y + 1 z - 1 = = - 1 2 + 6 1 .
  37. 37. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;-2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy. · Gọi M là hình chiếu của I(1;-2;3) lên Oy, ta có: M(0;-2;0) . IM = (-1;0;-3)Þ R = IM = 10 ì = - ¢ ï = íï î = ¢ ( ) : - 2 - 1 ,( ) : - 2 + 4 - 2 = = = = ( ) : ( 2)2 5 ( 3)2 9 Trang 37 uuur là bán kính mặt cầu cần tìm. Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là (x -1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 10 . Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : {x =2t; y =t; z= 4 và (d2) : {x = 3-t; y = t; z =0 . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). · Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) Þ M(2; 1; 4); N(2; 1; 0) Þ Phương trình mặt cầu (S): (x - 2)2 + (y -1)2 + (z - 2)2 = 4. Câu hỏi tương tự: a) : 2 1 1 1 2 d x - y - z 1 = = - , x t d y z t 2 2 2 : 3 2 2 2 ( ) : 11 13 1 5 æ ö æ ö æ ö ç - ÷ + ç - ÷ + ç + ÷ = è ø è ø è ø . ĐS: S x y z 6 6 3 6 b) d x y z d x y z 1 2 1 2 2 1 6 2 - 2 æ ö ĐS: S x y z - + ç - ÷ + - = 2 4 è ø Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: : 4 1 5 3 1 2 d x y z 1 - - + = = - - và d y t 2 x 2 t = + ìï : 3 3 = - + î z = t íï . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 . · Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính. Câu hỏi tương tự: x t a) d y t z 1 2 : 4 ì = ï = íï î = , x t ì = - ï = íï î = d y t z 2 3 : 0 . ĐS: (S) : (x - 2)2 + (y -1)2 + (z - 2)2 = 4 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (D1) có phương trình {x = 2t; y = t; z = 4 ; (D2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (a ) : x + y - 3 = 0 và (b ) : 4x + 4y + 3z -12 = 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng D1, D2 chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của D1,D2 làm đường kính. · Gọi AB là đường vuông góc chung của D1 ,D2 : A(2t;t;4)ÎD1 , B(3 + s;-s;0)ÎD2 AB ^ D1, AB ^ D2 Þ A(2;1;4), B(2;1;0)
  38. 38. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Þ Phương trình mặt cầu là: (x - 2)2 + (y -1)2 + (z - 2)2 = 4 Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AºO, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’. · Kẻ CH^ AB’, CK^ DC’ Þ CK ^ (ADC’B’) nên DCKH vuông tại K. CH2 CK2 HK2 49 Þ = + = . Vậy phương trình mặt cầu: (x 3)2 (y 2)2 z2 49 = = , (C) có bán kính r R2 IH2 29 75 31 186 = - = - = = ëé ûù + + = = , 4 196 100 5 2 æ ö = + ç ÷ = Trang 38 10 10 - + - + = Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z - 2 = 0 . Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A¢, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). · Dễ thấy A¢( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): x2 + y2 + z 2 - 5x - 2y - 2z +1 = 0 Þ (S) có tâm I 5;1;1 æ ö ç è 2 ÷ ø , bán kính R 29 2 = +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) +) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d: 5/ 2 1 1 x t y t z t ì = + ï = + íï î = + H 5; 1 ; 1 æ ö Þ ç ÷ 3 6 6 è ø IH 75 5 3 36 6 4 36 6 6 Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình x + 1 y - 2 z + 3 = = 2 1 - 1 . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. · d(A, (d)) = BA a a 4 + 1 + 1 uur r r PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : (x –1)2 + (y + 2)2 + (z –3)2 = 50 Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x + 5 y - 7 z = = 2 - 2 1 và điểm M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 . Viết phương trình của mặt cầu (S). · d đi qua N(-5;7;0) và có VTCP ur uuuur = (2;-1;1) ; MN = (-9;6;-6) . Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d Þ MH = d(M,d) = 3 . Bán kính mặt cầu (S): R MH AB 2 2 2 18 2 è ø . Þ PT mặt cầu (S): (x - 4)2 + (y -1)2 + (z - 6)2 = 18. Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 2x - y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 8z - 4 = 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (a ) . Viết phương trình mặt cầu (S¢) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (a ) .
  39. 39. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian · S ( x ) (y ) (z )2 2 2 ( ) : -1 + + 2 + - 4 = 25 có tâm I (1;-2;4) và R = 5. Khoảng cách từ I đến (a) là: d (I,(a)) = 3 < R Þ (a) và mặt cầu (S) cắt nhau. Gọi J là điểm đối xứng của I qua (a). Phương trình đường thẳng IJ : 12 1 2 1 1; 1;2 42 1 x t t y t x H z t y x y z z ì = + ì = - ïï = - - ïï = - í Ûí Þ - - ï = + ï = - îï - + - = îï = ìï 2 2 2 2 4 64 ( 2) 16 8 2 = + Þ + = + - Þ = í 2 2 2 1 2 13 13 6 3 6 æ ö æ ö æ ö ç + ÷ + ç + ÷ + ç - ÷ = è ø è ø è ø 2 2 2 11 14 1 13 6 3 6 æ ö æ ö æ ö ç - ÷ + ç + ÷ + ç - ÷ = è ø è ø è ø Trang 39 1 2 2 4 2 x t y t z t ì = + ï = - - íï î = + Toạ độ giao điểm H của IJ và (a) thoả ( ) 2 2 30 2 Vì H là trung điểm của IJ nên J (-3;0;0) . Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = 5 nên có phương trình: S ( x ) y z ( ¢) : + 3 2 + 2 + 2 = 25 . Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z = 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8. · Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S0) là mặt cầu có tâm I0(0;0;m) thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S0) theo 2 đường tròn tâm O1 º O(0;0;0) , bán kính R1 = 2 và tâm O2(0;0;2) , bán kính R2 = 8. Gọi R là bán kính mặt cầu thì R m m m m R m 2 2 2 2 2 = + - ïî Þ R = 2 65 và I0(0;0;16) . Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(a;b;16) (a, b Î R), bán kính R = 2 65 . Vậy phương trình mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z -16)2 = 260 (a, b Î R). Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 2 = 0 và đường thẳng d: x y + 1 z - 2 = = 1 2 1 - . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. · Giả sử I(-t;2t -1;t + 2)Îd , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C). Ta có: d(I,(P)) = 2Û -6t - 5 = 6 Û t t 1 6 11 6 é = êêê = - ë . R (d I P ) r 2 = ( ,( ) 2 + 2 = 13 = Þ I 1 ; 2 ;13 + Với t 1 6 æ ö ç- - è 6 3 6 ÷ ø Þ (S): x y z = - Þ I 11; 14 ; 1 + Với t 11 6 æ ö ç - ÷ è 6 3 6 ø Þ (S): x y z Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 5 6 .
  40. 40. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng · Giả sử (S): x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 . ì = ì - + - + - = - + - + - - ï ïí = Ûí - + - + - = - + - - + - ï Î îï + + - = î a) b c a a b c b I a b c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (3 ) (4 ) (1 ) (2 ) ( 3 ) (1 ) (3 ) (4 ) (6 ) ( 1 ) (1 ) ì + = ì = Ûï - - = Ûï = - Þ - í í îï + + - = îï = uuur uuur r uuur uuur = a = = (đvdt) = = 0 1 24 77 37 37 Trang 40 + Từ O, A, B Î (S) suy ra: a c d 1 2 0 ìï = = íï î = Þ I(1;b;2) . + d(I,(P)) 5 = Û 6 b + 5 5 6 6 = Û bb 0 10 é = êë = - Vậy (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4z = 0 hoặc (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 20y - 4z = 0 Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3;4),B(1;2;-3),C(6;-1;1) và mặt phẳng (a ) : x + 2y + 2z -1 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng (a ) và đi qua ba điểm A,B,C . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (a ) . · Goi I(a;b;c) là tâm mật cầu ta có : IA IB a b c a b c IA IC a b c a b c I a b c ( 2 2 1 0 7 6 1 5 4 3 6 1 (1; 1;1) 2 2 10 1 Þ R2 = IA2 = 25 Þ Phương trình (S) : (x -1)2 + (y +1)2 + (z -1)2 = 25 Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên SABC 25 3 2 = AB = (0;-1;-7), AC = (5;-4;-3)Þ p = éëAB, ACùû = (-25;-35;5) ABC (n p) cos(( ),( )) cos , 17 15 3 a = r r = a Gọi S ' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (a ) Ta có S SABC ABC ' .cos(( ),( )) 50 3 17 85 4 15 3 6 Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z 3 1 1 - = + = và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1). · Gọi I là tâm của (S). I Î d Þ I(1+ 3t;-1+ t;t). Bán kính R = IA = 11t2 - 2t +1 . 5t 3 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d(I,(P)) + R 3 Û 37t2 - 24t = 0 Û t R t R é= Þ = ê = Þ = êë . Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0). Vậy phương trình mặt cầu (S): (x -1)2 + (y +1)2 + z2 = 1.
  41. 41. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: æ ö æ ö æ ö ç ÷ + ç + ÷ + ç ÷ = è ø è ø è ø = Û t = 3 . Suy ra: R 2 , I(3; 1; 3) - + + + + = . 2 2 2 ( ) : 16 11 5 9 Trang 41 x - 1 y + 2 z 1 1 1 = = và mặt phẳng (P): 2x + y –2z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0). · Gọi I là tâm của (S) Þ I (1+ t;t –2;t). 7 Ta có d(I, (P)) = AI Û t = 1; t = . 13 Vậy: (S) : (x –2)2 + (y +1)2 + (z –1)2 = 1 hoặc S x y z 2 2 2 ( ) : – 20 19 – 7 121 13 13 13 169 . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2;-2) , đường thẳng D: 2x - 2 = y + 3 = z và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8p . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và tiếp xúc với (S). · Ta có: d = d(I,(P)) = 3 . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: 2p r = 8p Þr = 4 Suy ra bán kính mặt cầu: R2 = r2 + d2 = 25 Þ (S) : (x -1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25 Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với (D) tại điểm M 5; 5; 4 æ ö ç - ÷ è 3 3 3 ø . Do đó: (Q) chứa (D) và tiếp xúc với (S) đi qua M 5; 5; 4 æ ö ç - ÷ è 3 3 3 ø và có VTPT MI 2 ; 11;10 æ ö ç - ÷ è 3 3 3 ø uuur Þ PT mặt phẳng (Q): 6x - 33y + 30z -105 = 0. Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :{x = t; y = -1; z = -t và 2 mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0 và (Q): x + 2y + 2z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). · Giả sử: I(t;-1;-t)Îd . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d(I,(P)) = d(I,(Q)) = R Û 1 - t 5 - t 3 3 3 =- - . Vậy phương trình mặt cầu (S): (x ) (y ) (z ) 3 2 1 2 3 2 4 9 Câu hỏi tương tự: a) d :{x = 2 + t; y = 1+ 2t; z = 1- t , (P) : x + 2y - 2z + 5 = 0 , (Q) : x + 2y - 2z -13 = 0 . æ ö æ ö æ ö ç - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ = è ø è ø è ø ĐS: S x y z 7 7 7 Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y - 2z +10 = 0 , hai đường thẳng (D1): x - 2 y z - 1 = = 1 1 - 1 , (D2): x - 2 y z + 3 1 1 4 = = . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (D1), tiếp xúc với (D2) và mặt phẳng (P). · x t y t z t 1 2 : 1 D ìï = + = íï î = - ; D2 đi qua điểm A(2;0;-3) và có VTCP ur2 = (1;1;4) . Giả sử I(2 + t;t;1- t)ÎD1 là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S).

×