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Correo Electrónico: prosperoruiz@hotmail.com
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
GENERALIDADES:
 Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un
  planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la
  primera potencia, que no contiene productos entre las variables.
 Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una relación
  entre dos números desconocidos (llamados incógnitas) de la forma: ax
  + by = c , los números a y b se llaman coeficientes y cumplen:
  a ≠0, b ≠0 y c se llama término independiente.
 La solución de la ecuación es cualquier par de números que sustituidos
  en lugar de x e y verifican la igualdad.
 La solución de sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia
  aplicación en la administración, economía, ciencia y tecnología. En
  general, se puede afirmar que en cualquier rama de la ciencia existe al
  menos una aplicación que requiere del planteamiento y solución de
  tales sistemas.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DESCRIPCIÓN
 En el módulo: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES,
  se da el material fundamental para resolver ecuaciones
  de primer grado con una incógnita
 Se resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado
  con dos incógnitas por diferentes métodos de
  resolución.
 Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:
  consistentes e inconsistentes.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
OBJETIVOS DEL MÓDULO:
 OBJETIVO GENERAL: Brindar al estudiante algunos
  tópicos del álgebra lineal y de las finanzas con el fin de
  aplicarlos posteriormente en otros cursos y en el desarrollo
  de su carrera.
 OBJETIVO ESPECÍFICOS: Resolver ecuaciones de primer
  grado enteras y fraccionarias) con una incógnita
 Resolver sistemas de ecuaciones lineales por métodos
  comunes, tales como: igualación, sustitución, reducción y
  determinante.
 Determinar, gráficamente, la solución de sistemas lineales
  consistentes e inconsistentes.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Ecuación de primer grado
 Una ecuación de primer grado con una variable (incógnita)
   es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma
                 ___________________
                      mx + b = 0    ,
                  ___________________

 Ejemplos:
a) 6x + 25 = 0          [Ecuación numérica]
b) 8y = - 18            [Ecuación entera]
c) 6x/7 - 4 = 2/3       [Ecuación fraccionaria]
d) 4x - 3a = 6b + cx    [Ecuación literal]
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. Solución de una ecuación
Resolver una ecuación es hallar sus raíces o soluciones, es
decir, el valor o los valores de las variables que satisfacen la
ecuación.

    Ejemplos:
a) La solución de la ecuación: 5x + 6 = 10x + 5 es x = 1/5.
b) La raíz de la ecuación -5 = 0 es x = 19
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3. Procedimiento para resolver una ecuación de primer grado con
   una incógnita

    Para determinar la solución o raíz de una ecuación de primer
    grado con una incógnita se sigue el siguiente procedimiento:
   Efectuar las operaciones indicadas.
   Transponer los términos que contengan la incógnita en uno
    de los miembros y en el otro miembro los términos
    independientes.
    Reducir los términos semejantes, y
    Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros (derecho
    e izquierdo) de la ecuación por el coeficiente de dicha
    incógnita.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplo ilustrativo 1
 Resuélvase la ecuación 5x - [- (3x + 4) - 5(2x - 6)] = - 8x


Solución
5x - [- 3x - 4 - 10x + 30 ] = - 8x
  5x + 3x + 4 + 10x - 30 = - 8x
                   18x - 26 = - 8x
                        26x = 26
                          x = 26/26 = 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplo ilustrativo 2
 Resuélvase la ecuación: b(y + b) - y = b(b + 1) + 1


Solución
by + b2 - y = b 2 + b + 1
     by - y = b + 1
   y(b - 1) = b + 1
          y = (b + 1)/(b – 1)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4. Problemas propuestos

 Ecuaciones enteras
a) 4x - 8 = 16x - 10 + 24x
b) 10x - (5x - 6) - [7x + 2 - (3x - 6)] = 0
 Ecuación fraccionaria
3y/4 - 1/3 + 2y = 5/4 - 4y/5
 Ecuaciones literales
(y + a)2 -( y - b)2 - (a + b)2 = 0
z2 + c2 = (c + z)2 - c(c - 2)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición

    La reunión de ecuaciones del tipo
 a1x + b1y = c1 (1)
 a2x + b2y = c2 (2)
constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas (x e y). Las ecuaciones (1) y (2) reciben el
nombre de ecuaciones lineales.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. Métodos para resolver un sistema de dos
  ecuaciones lineales
 La solución de un sistema de dos ecuaciones de primer
  grado son los valores de las variables que satisfacen las
  ecuaciones.
 Ejemplo:
En el sistema de ecuaciones:
                        4x + 2y = 12 (1)
                          2x - y = 2 (2)
la solución es x = 2, y = 2.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Existen métodos algebraicos para la resolución de un
  sistema dos ecuaciones lineales, tales como:
 a) Método de igualación
 b) Método de sustitución
 c) Método de reducción (suma o resta)
 d) Método por determinantes
 e) Método gráfico
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


       MÉTODO DE IGUALACIÓN
              (Video)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


      • MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
              (Video)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


      • MÉTODO DE REDUCCIÓN
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


Regla de Cramer:
           MÉTODO POR DETERMINANTE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


        • MÉTODO GRÁFICO
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Presentación tema de matemática

  • 1. Facilitador : PRÓSPERO RUIZ C Correo Electrónico: prosperoruiz@hotmail.com
  • 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES GENERALIDADES:  Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables.  Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una relación entre dos números desconocidos (llamados incógnitas) de la forma: ax + by = c , los números a y b se llaman coeficientes y cumplen: a ≠0, b ≠0 y c se llama término independiente.  La solución de la ecuación es cualquier par de números que sustituidos en lugar de x e y verifican la igualdad.  La solución de sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la administración, economía, ciencia y tecnología. En general, se puede afirmar que en cualquier rama de la ciencia existe al menos una aplicación que requiere del planteamiento y solución de tales sistemas.
  • 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DESCRIPCIÓN  En el módulo: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES, se da el material fundamental para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita  Se resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por diferentes métodos de resolución.  Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en: consistentes e inconsistentes.
  • 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES OBJETIVOS DEL MÓDULO:  OBJETIVO GENERAL: Brindar al estudiante algunos tópicos del álgebra lineal y de las finanzas con el fin de aplicarlos posteriormente en otros cursos y en el desarrollo de su carrera.  OBJETIVO ESPECÍFICOS: Resolver ecuaciones de primer grado enteras y fraccionarias) con una incógnita  Resolver sistemas de ecuaciones lineales por métodos comunes, tales como: igualación, sustitución, reducción y determinante.  Determinar, gráficamente, la solución de sistemas lineales consistentes e inconsistentes.
  • 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Ecuación de primer grado  Una ecuación de primer grado con una variable (incógnita) es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma ___________________ mx + b = 0 , ___________________  Ejemplos: a) 6x + 25 = 0 [Ecuación numérica] b) 8y = - 18 [Ecuación entera] c) 6x/7 - 4 = 2/3 [Ecuación fraccionaria] d) 4x - 3a = 6b + cx [Ecuación literal]
  • 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2. Solución de una ecuación Resolver una ecuación es hallar sus raíces o soluciones, es decir, el valor o los valores de las variables que satisfacen la ecuación.  Ejemplos: a) La solución de la ecuación: 5x + 6 = 10x + 5 es x = 1/5. b) La raíz de la ecuación -5 = 0 es x = 19
  • 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3. Procedimiento para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita Para determinar la solución o raíz de una ecuación de primer grado con una incógnita se sigue el siguiente procedimiento:  Efectuar las operaciones indicadas.  Transponer los términos que contengan la incógnita en uno de los miembros y en el otro miembro los términos independientes.  Reducir los términos semejantes, y  Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros (derecho e izquierdo) de la ecuación por el coeficiente de dicha incógnita.
  • 8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo ilustrativo 1  Resuélvase la ecuación 5x - [- (3x + 4) - 5(2x - 6)] = - 8x Solución 5x - [- 3x - 4 - 10x + 30 ] = - 8x 5x + 3x + 4 + 10x - 30 = - 8x 18x - 26 = - 8x 26x = 26 x = 26/26 = 1
  • 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo ilustrativo 2  Resuélvase la ecuación: b(y + b) - y = b(b + 1) + 1 Solución by + b2 - y = b 2 + b + 1 by - y = b + 1 y(b - 1) = b + 1 y = (b + 1)/(b – 1)
  • 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4. Problemas propuestos  Ecuaciones enteras a) 4x - 8 = 16x - 10 + 24x b) 10x - (5x - 6) - [7x + 2 - (3x - 6)] = 0  Ecuación fraccionaria 3y/4 - 1/3 + 2y = 5/4 - 4y/5  Ecuaciones literales (y + a)2 -( y - b)2 - (a + b)2 = 0 z2 + c2 = (c + z)2 - c(c - 2)
  • 11. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición La reunión de ecuaciones del tipo  a1x + b1y = c1 (1)  a2x + b2y = c2 (2) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y). Las ecuaciones (1) y (2) reciben el nombre de ecuaciones lineales.
  • 12. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2. Métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales  La solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado son los valores de las variables que satisfacen las ecuaciones.  Ejemplo: En el sistema de ecuaciones: 4x + 2y = 12 (1) 2x - y = 2 (2) la solución es x = 2, y = 2.
  • 13. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Existen métodos algebraicos para la resolución de un sistema dos ecuaciones lineales, tales como:  a) Método de igualación  b) Método de sustitución  c) Método de reducción (suma o resta)  d) Método por determinantes  e) Método gráfico
  • 14. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  MÉTODO DE IGUALACIÓN (Video)
  • 15. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • MÉTODO DE SUSTITUCIÓN (Video)
  • 16. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • MÉTODO DE REDUCCIÓN
  • 17. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Regla de Cramer: MÉTODO POR DETERMINANTE
  • 18. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES • MÉTODO GRÁFICO (Video)